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第5講　機械振動和機械波
目標要求　
1.熟練掌握機械振動的特點和規律、機械波的傳播規律和特點。
2.能根據振動和波的圖像分析質點的振動和波動特點。
考點一　機械振動
1．簡諧運動的規律
規律 x＝Asin(ωt＋φ)
圖像 反映同一質點在各個時刻的位移
受力 特征 回復力F＝－kx，F(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動 特征 衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量 特征 振幅越大，能量越大。在運動過程中，動能和勢能相互轉化，系統的機械能守恒
周期 性特征 質點的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為
對稱 性特征 關于平衡位置O對稱的兩點，加速度的大小、速度的大小、相對平衡位置的位移大小相等；動能、勢能相等
2.單擺
(1)單擺周期公式T＝2π
①g為當地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。
②單擺處于超重或失重狀態時等效重力加速度g0＝g±a。在近地軌道上運動的衛星加速度a＝g，為完全失重，等效重力加速度g0＝0。
(2)回復力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，負號表示回復力F與位移x的方向相反。(如圖所示)
①當擺球在最高點時，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。
②當擺球在最低點時，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。
例1　如圖所示，彈簧振子在B、C兩點之間做簡諧運動，其平衡位置為O點。已知B、C相距50 cm。從小球經過O點時開始計時，經過0.3 s首次到達B點。取向右為正方向，下列說法正確的是(　　)
A．小球振動的周期一定為1.2 s
B．小球振動的振幅為0.5 m
C．彈簧振子振動方程可能為x＝－0.25sin(5πt) m
D．0.6 s末，小球可能不在平衡位置
學習筆記：______________________________________________________________
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例2　有兩個釣魚時所用的不同的魚漂P和Q，分別漂浮于平靜水面上的不同位置，平衡時狀態均如圖甲所示。現因魚咬鉤而使魚漂P和Q均在豎直方向上做簡諧運動，振動圖像如圖乙所示，以豎直向上為正方向，則下列說法正確的是(　　)
A．魚漂P和Q振動形成的水波疊加后會形成干涉圖樣
B．t＝0.6 s時魚漂P和Q的速度都為0
C．t＝1.0 s時魚漂P和Q的速度方向相同
D．t＝1.0 s時魚漂P和Q的加速度方向相同
學習筆記：______________________________________________________________
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例3　(2023·江蘇揚州市三模)如圖所示，“桿線擺”可以繞著固定軸OO′來回擺動。擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面內，這相當于單擺在光滑斜面上來回擺動。輕桿水平，桿和線長均為L，重力加速度為g，擺角很小時，“桿線擺”的周期為(　　)
A．2π B．2π
C．2π D．2π
學習筆記：______________________________________________________________
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考點二　機械波
形成條件 (1)波源；(2)傳播介質，如空氣、水等
傳播特點 (1)機械波傳播的只是振動的形式和能量，質點只在各自的平衡位置附近做簡諧運動，并不隨波遷移 (2)介質中各質點振動周期和頻率都與波源的振動周期和頻率相同 (3)一個周期內，質點完成一次全振動，通過的路程為4A，位移為零 (4)一個周期內，波向前傳播一個波長
波的圖像 (1)坐標軸：橫軸表示各質點的平衡位置，縱軸表示該時刻各質點的位移 (2)意義：表示在波的傳播方向上，某時刻各質點離開平衡位置的位移
波長、波速和 頻率(周期) 的關系 (1)v＝λf；(2)v＝
波的疊加 (1)兩個振動情況相同的波源形成的波，在空間某點振動加強的條件為Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)，振動減弱的條件為Δx＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…) (2)振動加強點的位移隨時間而改變，振幅為兩波振幅的和A1＋A2
波的多 解問題 由于波的周期性、波傳播方向的雙向性，波的傳播易出現多解問題
波的特性 波的干涉
波的衍射
例4　(2023·江蘇省蘇錫常鎮四市一模)某同學抓住繩子一端在0～2 s內做了兩種不同頻率的簡諧運動，其振動圖像如圖所示。下列說法正確的是(　　)
A．繩端起振方向向下
B．前后兩次振動的周期之比為1∶2
C．前后兩次形成的繩波波速之比為2∶1
D．前后兩次形成的繩波波長之比為2∶1
學習筆記：______________________________________________________________
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例5　(2023·江蘇鹽城市三模)沿x軸正方向傳播的簡諧橫波在t＝0時刻的波形如圖所示，A、B、C三個質點的平衡位置分別為xA＝1.5 m、xB＝2 m、xC＝3 m，t＝1.8 s時質點A恰好第二次到達波峰，下列說法中正確的是(　　)
A．波傳播的速度大小為5 m/s
B．t＝0.2 s時質點B處在波谷位置
C．質點C在t＝0.3 s時沿y軸正方向運動
D．質點B的振動表達式為y＝5sin(2.5πt) cm
學習筆記：______________________________________________________________
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例6　(2023·湖南卷·3)如圖(a)，在均勻介質中有A、B、C和D四點，其中A、B、C三點位于同一直線上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直AB。t＝0時，位于A、B、C處的三個完全相同的橫波波源同時開始振動，振動圖像均如圖(b)所示，振動方向與平面ABD垂直，已知波長為4 m。下列說法正確的是(　　)
A．這三列波的波速均為2 m/s
B．t＝2 s時，D處的質點開始振動
C．t＝4.5 s時，D處的質點向y軸負方向運動
D．t＝6 s時，D處的質點與平衡位置的距離是6 cm
學習筆記：______________________________________________________________
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例7　(2023·全國甲卷·34(2))分別沿x軸正向和負向傳播的兩列簡諧橫波P、Q的振動方向相同振幅均為5 cm，波長均為8 m，波速均為4 m/s。t＝0時刻，P波剛好傳播到坐標原點處，該處的質點將自平衡位置向下振動；Q波剛好傳到x＝10 m處，該處的質點將自平衡位置向上振動。經過一段時間后，兩列波相遇。
(1)在給出的坐標圖上分別畫出P、Q兩列波在t＝2.5 s時刻的波形圖(P波用虛線，Q波用實線)；
(2)求出圖示范圍內的介質中，因兩列波干涉而振動振幅最大和振幅最小的平衡位置。
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考點三　振動圖像和波的圖像的綜合應用
例8　(2023·江蘇省蘇北地區一模)一列簡諧橫波在t＝1.0 s時的波形圖如圖甲所示，P是介質中的質點，圖乙是質點P的振動圖像，已知該波在介質中的傳播速度為10 m/s，則(　　)
A．該波沿x軸負方向傳播
B．再經過0.6 s，質點P運動的路程為6 m
C．t＝1.0 s時質點P離開平衡位置的位移為－5 cm
D．質點P的平衡位置坐標為x＝5 m
1．(2023·江蘇常州市期末)甲、乙兩列簡諧橫波在同一均勻介質中傳播，甲波沿x軸正方向傳播，乙波沿x軸負方向傳播，t＝0時刻兩列波恰好在坐標原點相遇，波形圖如圖所示。則(　　)
A．x＝－3 m處的質點起振時向y軸負向運動
B．甲、乙兩列波不具有相干性
C．坐標原點為振動減弱點
D．兩個相鄰振動加強點間的距離為1 m
2．(2023·江蘇淮安市模擬)如圖所示，甲圖為波源的振動圖像，乙圖為該波源在某介質中產生的橫波t0時刻的波形圖像，O點是波源，則下列說法正確的是(　　)
A．該波的傳播速度為1 m/s
B．再經過0.3 s，乙圖中質點Q剛好開始振動，Q的起振方向沿y軸正方向
C．當乙圖中質點Q第一次到達波峰時，質點P正處于平衡位置向下振動
D．從該時刻到質點Q開始振動，質點P運動的路程為0.3 m
第5講　機械振動和機械波
例1　C　[小球經過O點時開始計時，經過0.3 s首次到達B點，若開始計時時小球向右運動，則小球振動的周期T＝1.2 s
若開始計時時小球向左運動，則
T＝0.3 s
小球振動的周期T＝0.4 s
小球振動的周期可能為1.2 s或0.4 s，A錯誤；
由題意可知2A＝50 cm，小球振動的振幅為A＝0.25 m，B錯誤；當T＝0.4 s時，有ω＝＝5π rad/s，
可知彈簧振子的振動方程為
x＝－0.25sin(5πt) m，C正確；
無論周期是0.4 s還是1.2 s,0.6 s末，小球都在平衡位置，D錯誤。]
例2　D　[兩列波的周期不相等，不滿足干涉條件，所以不能形成干涉圖樣，故A錯誤；t＝0.6 s時，魚漂P和Q都經過平衡位置，此時它們的速度均為最大值，故B錯誤；t＝1.0 s時，魚漂P的速度方向為正，Q的速度方向為負，即方向相反，故C錯誤；t＝1.0 s時，魚漂P和Q的位移方向均為負，所以加速度方向均為正，所以此時兩者的加速度方向相同，故D正確。]
例3　A　[由于擺球繞OO′軸轉動，擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面內，則在擺角很小時，重力沿虛線向下的分力mgsin 30°沿擺球擺動的切線方向的分力提供回復力，如圖，“桿線擺”的擺長為l＝Lcos 30°＝L，“桿線擺”的周期為T＝2π＝2π，故選A。]
例4　D　[由題圖知，繩端起振方向向上，前后兩次振動的周期之比為2∶1，A、B錯誤；波在相同介質中傳播波速不變，波速之比為1∶1，C錯誤；根據λ＝vT 可知，波長之比為2∶1，D正確。]
例5　C　[由題圖可得波長λ＝4 m，根據波向右傳播可得：當波向右傳播Δx＝4.5 m時質點A恰好第二次到達波峰，故波速v＝＝ m/s＝2.5 m/s，周期為T＝＝1.6 s，因為t＝0.2 s＝，根據波的傳播方向和質點的振動方向的關系，質點B在平衡位置向上振動，不會到達波谷，B錯誤；因為t＝0.3 s<，所以質點C從波谷正在向平衡位置振動，即向y軸正方向運動，C正確；根據波向右傳播可得：t＝0時刻，質點B在平衡位置向上振動，由題圖可得：振幅A＝5 cm，又有周期T＝1.6 s，故質點B的振動表達式為y＝Asin t＝5sin(1.25πt) cm，D錯誤。]
例6　C　[由圖(b)的振動圖像可知，振動的周期為4 s，故三列波的波速為v＝＝1 m/s，A錯誤；由圖(a)可知，與D處距離最近的波源是波源C，距離為3 m，故開始振動后波源C處的橫波傳播到D處所需的時間為tC＝＝3 s，故t＝2 s時，D處的質點還未開始振動，B錯誤；由幾何關系可知AD＝BD＝5 m，波源A、B產生的橫波傳播到D處所需的時間為tAB＝＝5 s，故t＝4.5 s時，僅波源C處的橫波傳播到D處，此時D處的質點振動時間為t1＝t－tC＝1.5 s，由振動圖像可知此時D處的質點向y軸負方向運動，C正確；t＝6 s時，波源C處的橫波傳播到D處后振動時間為t2＝t－tC＝3 s，由振動圖像可知此時D處為波源C處傳播橫波的波谷；t＝6 s時，波源A、B處的橫波傳播到D處后振動時間為t3＝t－tAB＝1 s，由振動圖像可知此時D處為波源A、B處傳播橫波的波峰。根據波的疊加原理可知此時D處質點的位移為y＝2A－A＝2 cm，故t＝6 s時，D處的質點與平衡位置的距離是2 cm，D錯誤。]
例7　(1)見解析圖　(2)見解析
解析　(1)根據Δx＝vt得
Δx＝4×2.5 m＝10 m
可知t＝2.5 s時P波剛好傳播到x＝10 m處，Q波剛好傳播到x＝0處，
根據上下坡法及兩波的波長λ＝8 m可得波形圖如圖所示
(2)根據題意可知，P、Q兩波振動頻率相同，振動方向相反，兩波疊加時，振動加強點的條件為到兩波源的距離差
Δx＝(n＝0,1,2…)
解得在圖示范圍內，振幅最大的平衡位置有x＝3 m、x＝7 m
振動減弱的條件為
Δx＝nλ(n＝0,1,2…)
解得在圖示范圍內，振幅最小的平衡位置有x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
例8　D　[由題圖乙可知，t＝1.0 s時，P點振動方向向上，根據上下坡法，波沿x軸正方向傳播，A錯誤；經過1個周期，即1.2 s，質點經過的路程s＝4A，經過0.5個周期，即0.6 s，經過的路程s′＝2A，以上規律質點在任何位置開始都適用，故再經過0.6 s，質點P運動的路程為0.2 m，B錯誤；由題圖乙可得簡諧運動的表達式y＝Asin (t)＝10sin (t) cm，當t＝1.0 s時，解得質點P離開平衡位置的位移為y＝10sin () cm＝－5 cm，C錯誤；由題圖乙可知，當t′＝1.2 s時，P點振動到平衡位置，該波沿x軸正方向傳播，此時的波形圖如圖中虛線，所以v＝＝10 m/s，解得xQP＝2 m，又由λ＝vT＝10×1.2 m＝12 m，所以xP＝λ＋xQP＝5 m，D正確。]
高考預測
1．D　[x＝－3 m處的質點起振是由甲波引起的，由圖像可知甲波在坐標原點的起振方向向y軸正向運動，則x＝－3 m處的質點起振時向y軸正向運動，故A錯誤；甲、乙兩列簡諧橫波在同一均勻介質中傳播，可知傳播速度相等，由圖像可知兩波波長相等，則甲、乙兩列波具有相同的頻率，甲、乙兩列波具有相干性，故B錯誤；由于甲、乙兩列波的波速相等，由圖像可知，兩列波的波峰同時傳到坐標原點，則坐標原點為振動加強點，故C錯誤；由于甲、乙兩波波長相等，波速相等，又同時傳播到坐標原點，設乙波波源坐標為x0，則甲波波源坐標為－x0，設兩波源間的兩點分別為相鄰的振動加強點，坐標分別為x1、x2，則有Δx1＝(x1＋x0)－(x0－x1)＝2x1＝nλ，Δx2＝(x2＋x0)－(x0－x2)＝2x2＝(n＋1)λ，可知兩個相鄰振動加強點間的距離為Δx＝x2－x1＝λ＝×2 m＝1 m，故D正確。]
2．A　[由題圖甲可知該波的周期為0.2 s，由題圖乙可知該波的波長為0.2 m，則該波的波速v＝＝ m/s＝1 m/s，故A正確；由題圖乙可知t0時刻波剛好傳播到x＝0.2 m處，經過0.3 s，波傳播的距離x＝vt＝1×0.3 m＝0.3 m，可知波傳播到x＝0.5 m處的質點Q，結合題圖甲可知Q的起振方向沿y軸負方向，故B錯誤；由B選項分析可知波傳播到x＝0.5 m處的質點Q后，第一次到達波峰還需要的時間t′＝T＝0.15 s，即從t0時刻起，經過的時間為0.45 s，即T，由同側法可知，t0時刻質點P向y軸正方向振動，經過T后，質點P正處于波峰位置，故C錯誤；從該時刻到質點Q開始振動，經過的時間為0.3 s，即T，質點P運動的路程s＝6A＝6×2 cm＝0.12 m，故D錯誤。]

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