資源簡介

專題二　能量與動(dòng)量
知識(shí)體系
第6講　功與功率　功能關(guān)系
目標(biāo)要求　
1.會(huì)對功和功率進(jìn)行分析和計(jì)算，會(huì)求解力的平均功率和瞬時(shí)功率。
2.掌握常見的功能關(guān)系，結(jié)合實(shí)際情境分析功和能的轉(zhuǎn)化。
考點(diǎn)一　功、功率的分析與計(jì)算
1．功的計(jì)算
(1)恒力做功一般用功的公式或動(dòng)能定理求解。
(2)變力做功通常應(yīng)用動(dòng)能定理、微元法、等效轉(zhuǎn)化法、平均力法、圖像法求解，或者利用恒定功率求功，即W＝Pt。
2．功率的計(jì)算
明確是求瞬時(shí)功率還是平均功率。
P＝側(cè)重于平均功率的計(jì)算，P＝Fvcos α(α為F和v的夾角)側(cè)重于瞬時(shí)功率的計(jì)算。
3．機(jī)車啟動(dòng)(F阻不變)
(1)兩個(gè)基本關(guān)系式：P＝Fv，F(xiàn)－F阻＝ma。
(2)兩種常見情況：
①恒定功率啟動(dòng)：P不變，此時(shí)做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，直至達(dá)到最大速度vm，此過程Pt－F阻s＝mvm2；
②恒定加速度啟動(dòng)：開始階段a不變，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)－F阻＝ma，v＝at，達(dá)到額定功率P＝Fv，然后保持功率不變，加速度逐漸減小到零，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
無論哪種啟動(dòng)方式，最大速度都等于勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即vm＝。
例1　(2023·江蘇高郵市調(diào)研)仰臥起坐是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定的女生測試項(xiàng)目之一。根據(jù)該標(biāo)準(zhǔn)高三女生一分鐘內(nèi)完成50個(gè)以上仰臥起坐記為優(yōu)秀。若某女生一分鐘內(nèi)做了40個(gè)仰臥起坐，其質(zhì)量為50 kg，上半身質(zhì)量約為總質(zhì)量的0.6倍，仰臥起坐時(shí)下半身重心位置不變，上半身高度約為總身高的0.4倍，g取10 m/s2，試估算測試的全過程中該女生克服重力做功的平均功率約為(　　)
A．10 W B．70 W C．150 W D．300 W
學(xué)習(xí)筆記：______________________________________________________________
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例2　水平桌面上，長6 m的輕繩一端固定于O點(diǎn)，如圖所示(俯視圖)，另一端系一質(zhì)量m＝2 kg的小球，現(xiàn)對小球施加一個(gè)沿桌面方向大小恒為10 N的力F，F(xiàn)拉著物體從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，F(xiàn)的方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成30°角。已知小球與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計(jì)空氣阻力，取g＝10 m/s2，則下列說法正確的是(　　)
A．拉力F對小球做的功為10π J
B．拉力F對小球做的功為5π J
C．小球克服摩擦力做的功為16π J
D．小球克服摩擦力做的功為4π J
學(xué)習(xí)筆記：______________________________________________________________
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例3　(2023·新課標(biāo)卷·20改編)一質(zhì)量為1 kg的物體在水平拉力的作用下，由靜止開始在水平地面上沿x軸運(yùn)動(dòng)，出發(fā)點(diǎn)為x軸零點(diǎn)，拉力做的功W與物體坐標(biāo)x的關(guān)系如圖所示。物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4，重力加速度大小取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．在x＝1 m時(shí)，拉力的功率為6 W
B．在x＝4 m時(shí)，物體的動(dòng)能為2 J
C．從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝2 m，物體克服摩擦力做的功為10 J
D．從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝4 m的過程中，物體的動(dòng)量最大為2 kg·m/s
學(xué)習(xí)筆記：______________________________________________________________
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例4　某碼頭采用斜面運(yùn)送冷鏈?zhǔn)称罚浜喕瘓D如圖甲所示，電動(dòng)機(jī)通過繞輕質(zhì)定滑輪的輕質(zhì)細(xì)繩與放在傾角為θ＝30°、足夠長的斜面上的物體相連，啟動(dòng)電動(dòng)機(jī)后物體沿斜面上升，在0～6 s時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖乙所示，其中除1～5 s時(shí)間段的圖像為曲線外，其余時(shí)間段的圖像均為直線，1 s后電動(dòng)機(jī)的輸出功率保持不變。已知物體的質(zhì)量為2 kg，不計(jì)一切摩擦，重力加速度g＝10 m/s2。則下列判斷正確的是(　　)
A．在0～1 s內(nèi)電動(dòng)機(jī)所做的功為25 J
B．1 s后電動(dòng)機(jī)的輸出功率為80 W
C．物體的最大速度為5 m/s
D．在0～5 s內(nèi)物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)了35 m
學(xué)習(xí)筆記：______________________________________________________________
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考點(diǎn)二　功能關(guān)系
1．功能關(guān)系的理解和應(yīng)用
功能關(guān)系反映了做功和能量轉(zhuǎn)化之間的對應(yīng)關(guān)系，功是能量轉(zhuǎn)化的量度。
(1)根據(jù)功能之間的對應(yīng)關(guān)系，判定能的轉(zhuǎn)化情況。
(2)根據(jù)能量轉(zhuǎn)化，可計(jì)算變力做的功。
2．常見功能關(guān)系
能量 功能關(guān)系 表達(dá)式
勢能 重力做功等于重力勢能減少量 W＝Ep1－Ep2 ＝－ΔEp
彈力做功等于彈性勢能減少量
靜電力做功等于電勢能減少量
分子力做功等于分子勢能減少量
動(dòng)能 合外力做功等于物體動(dòng)能變化量 W＝Ek2－Ek1＝ mv2－ mv02
機(jī)械能 除重力和彈簧彈力之外的其他力做功等于機(jī)械能變化量 W其他＝E2－E1 ＝ΔE機(jī)
摩擦產(chǎn)生 的內(nèi)能 一對相互作用的摩擦力做功之和的絕對值等于產(chǎn)生的內(nèi)能 Q＝Ff·s相對 s相對為相對路程
電能 克服安培力做功等于電能增加量 W克安＝E2－E1＝ΔE
例5　如圖所示，足夠長粗糙斜面固定在水平地面上，繞過光滑定滑輪的輕繩連接質(zhì)量相等的物塊A和B(可看作質(zhì)點(diǎn))，當(dāng)一沿斜面向下的恒力F作用在物塊A上，使其加速下滑的過程中(物塊B始終未與斜面、滑輪相碰)，下列說法中正確的是(　　)
A．恒力F做功小于物塊A、B動(dòng)能增量之和
B．恒力F做功等于物塊A、B動(dòng)能增量之和
C．物塊A與斜面因摩擦產(chǎn)生的熱量與B的機(jī)械能增量之和等于恒力F做功
D．物塊A克服繩的拉力做功一定大于物塊A的重力勢能減少量
例6　如圖所示，某段滑雪道傾角為30°，總質(zhì)量為m(包括雪具在內(nèi))的滑雪運(yùn)動(dòng)員從距底端高為h處的雪道上由靜止開始勻加速下滑，加速度為g，g為重力加速度。在運(yùn)動(dòng)員從上向下滑到底端的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．運(yùn)動(dòng)員減少的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能
B．運(yùn)動(dòng)員獲得的動(dòng)能為mgh
C．運(yùn)動(dòng)員克服摩擦力做功為mgh
D．系統(tǒng)減少的機(jī)械能為mgh
學(xué)習(xí)筆記：______________________________________________________________
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例7　(2020·全國卷Ⅰ·20改編)一物塊在高3.0 m、長5.0 m的斜面頂端從靜止開始沿斜面下滑，其重力勢能和動(dòng)能隨下滑距離s的變化如圖中直線Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。則(　　)
A．物塊下滑過程中機(jī)械能守恒
B．物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5
C．物塊下滑時(shí)加速度的大小為6.0 m/s2
D．當(dāng)物塊下滑2.0 m時(shí)機(jī)械能損失了12 J
學(xué)習(xí)筆記：______________________________________________________________
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1.如圖所示，密度為ρ、棱長為a的正立方體木塊漂浮在水面上(h為木塊在水面上的高度)。現(xiàn)用豎直向下的力F將木塊按入水中，直到木塊上表面剛浸沒，則此過程中木塊克服浮力做功為(已知水的密度為ρ0、重力加速度為g)(　　)
A．ρa(bǔ)3gh
B.a3gh(ρ＋ρ0)
C．ρ0a3gh(a－h(huán))
D.a3gh(a－h(huán))(ρ＋ρ0)
2．(2023·江蘇南通市期末)將一小球從地面以一定的初速度豎直向上拋出并落回地面，小球所受空氣阻力始終與速度成正比，則整個(gè)過程中小球的重力的瞬時(shí)功率大小P與時(shí)間t、機(jī)械能E與路程s的關(guān)系圖像可能正確的是(　　)
第6講　功與功率　功能關(guān)系
例1　B　[設(shè)該同學(xué)身高為1.6 m，上半身高度約為0.64 m，每次上半身重心上升距離約為0.32 m，則每次克服重力做功為W＝0.6mgh＝0.6×50×10×0.32 J＝96 J，則功率P＝W＝ W＝64 W，該女生克服重力做功的平均功率約為70 W，故選B。]
例2　A　[根據(jù)題意可知，F(xiàn)的方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成30°角，由W＝Flcos α可得，拉力F對小球做的功為WF＝F··2πR·cos 30°＝10π J，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知，小球所受摩擦力為滑動(dòng)摩擦力，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，則摩擦力做的功為Wf＝－Ffl＝－μmg··2πR＝－8π J，即小球克服摩擦力做的功為8π J，故C、D錯(cuò)誤。]
例3　B　[由題圖可知，W－x圖像的斜率表示拉力F,0～2 m過程中拉力大小為6 N,2～4 m過程中拉力大小為3 N，由牛頓第二定律可知，a1＝＝2 m/s2，a2＝＝－1 m/s2，故0～2 m過程中，物體做勻加速運(yùn)動(dòng)，2～4 m過程中，物體做勻減速運(yùn)動(dòng)。在x＝1 m時(shí)，由公式v12＝2a1x1，解得v1＝2 m/s，此時(shí)拉力的功率P＝F1v1＝12 W，故A錯(cuò)誤；在x＝4 m時(shí)，物體的動(dòng)能Ek＝W總－Ffx4＝18 J－16 J＝2 J，故B正確；從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝2 m，物體克服摩擦力做的功W克f＝Ffx2＝8 J，故C錯(cuò)誤；從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝4 m的過程中，物體在x＝2 m時(shí)速度最大，由v22＝2a1x2，解得v2＝2 m/s，此時(shí)物體的動(dòng)量p＝mv2＝2 kg·m/s，故D錯(cuò)誤。]
例4　D　[在0～1 s內(nèi)，物體位移大小為x1＝v1t1＝2.5 m，設(shè)0～1 s內(nèi)電動(dòng)機(jī)做的功為W1，由動(dòng)能定理得W1－mgx1sin 30°＝mv12，解得W1＝50 J，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在0～1 s內(nèi)，物體的加速度大小為a＝＝5 m/s2，設(shè)0～1 s內(nèi)細(xì)繩拉力的大小為F1，由牛頓第二定律得F1－mgsin 30°＝ma，解得F1＝20 N，由題意知，1 s后電動(dòng)機(jī)的輸出功率為P＝F1v1＝100 W，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)物體達(dá)到最大速度vm后，根據(jù)平衡條件可得細(xì)繩的拉力大小為F2＝mgsin 30°＝10 N，則vm＝＝10 m/s，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)1～5 s內(nèi)物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的距離為x2，對物體由動(dòng)能定理得Pt2－mgx2sin 30°＝mvm2－mv12，解得x2＝32.5 m，所以在0～5 s內(nèi)物體沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的距離為x＝x1＋x2＝35 m，選項(xiàng)D正確。]
例5　D　[以A、B整體為研究對象，設(shè)A沿斜面下滑的距離為L，斜面傾角為θ，根據(jù)動(dòng)能定理得WF－mgL＋mgLsin θ－W克f＝EkA＋EkB－0，可得WF＝EkA＋EkB＋W克f＋mgL－mgLsin θ，故A、B錯(cuò)誤；由功能關(guān)系可知物塊A與斜面因摩擦產(chǎn)生的熱量與A、B的機(jī)械能增量之和等于恒力F做功，故C錯(cuò)誤；以B為研究對象可得WT－mgL＝mv2，可得WT＝mv2＋mgL，而A重力勢能的減少量為ΔEp＝mgLsin θ，可得WT>ΔEp，故D正確。]
例6　D　[運(yùn)動(dòng)員的加速度大小為g，小于gsin 30°＝g，所以其必受摩擦力，且大小為mg，克服摩擦力做功為mg×＝mgh，故C錯(cuò)誤；摩擦力做負(fù)功，機(jī)械能不守恒，減少的重力勢能沒有全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，有mgh轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故A錯(cuò)誤，D正確；由動(dòng)能定理知，運(yùn)動(dòng)員獲得的動(dòng)能為mg×＝mgh，故B錯(cuò)誤。]
例7　B　[由E－s圖像知，物塊動(dòng)能與重力勢能的和減小，則物塊下滑過程中機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；由E－s圖像知，整個(gè)下滑過程中，物塊機(jī)械能的減少量為ΔE＝30 J－10 J＝20 J，重力勢能的減少量ΔEp＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcos α·s，其中cos α＝＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，則可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B正確；物塊下滑時(shí)的加速度大小a＝gsin α－μgcos α＝2 m/s2，故C錯(cuò)誤；物塊下滑2.0 m時(shí)損失的機(jī)械能為ΔE′＝μmgcos α·s′＝8 J，故D錯(cuò)誤。]
高考預(yù)測
1．B　[設(shè)木塊浸入的深度為x，則浮力大小為F浮＝ρ液gV排＝ρ0ga2x，可見浮力與木塊進(jìn)入水中的位移成正比。木塊漂浮在水面上時(shí)有F浮1＝G＝ρga3，木塊上表面剛浸沒時(shí)受到的浮力為F浮2＝ρ0ga3，浮力做的功為W＝h＝ga3h(ρ＋ρ0)，故選B。]
2．B　[小球上升過程中受到重力和空氣阻力的作用，方向均向下，速度逐漸減小，則空氣阻力逐漸減小，加速度逐漸減小，下降過程中重力方向向下，空氣阻力方向向上，速度逐漸增大，則空氣阻力逐漸增大，加速度逐漸減小，且上升過程的平均速度大于下降過程的平均速度，上升過程的時(shí)間小于下降過程的時(shí)間，所以v－t圖像如圖所示，根據(jù)P＝mgv，P－t圖像如圖所示故A錯(cuò)誤，B正確；小球上升過程中速度逐漸減小，則空氣阻力逐漸減小，經(jīng)過相同路程空氣阻力做功逐漸減小，機(jī)械能損失逐漸減小；小球下降過程中速度逐漸增大，則空氣阻力逐漸增大，經(jīng)過相同路程空氣阻力做功逐漸增大，機(jī)械能損失逐漸增大，且上升過程中空氣阻力做功大于下降過程中空氣阻力做功，則上升過程中損失的機(jī)械能大于下降過程中損失的機(jī)械能，則E－s圖像如圖所示故C、D錯(cuò)誤。]

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