資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
七年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題一 有理數(shù)考點(diǎn)大串講專題復(fù)習(xí)
知識(shí)點(diǎn)回顧
一、正數(shù)和負(fù)數(shù)
⒈正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念
負(fù)數(shù)：比0小的數(shù) 正數(shù)：比0大的數(shù) 0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)
注意：①字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；當(dāng)a表示0時(shí)，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，例如+a,-a就不能做出簡(jiǎn)單判斷）
②正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“+”，有時(shí)“+”省略不寫。
具有相反意義的量
若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：
零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃
3.0表示的意義
⑴0表示“ 沒(méi)有”，如教室里有0個(gè)人，就是說(shuō)教室里沒(méi)有人；
⑵0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：
二、有理數(shù)
有理數(shù)的概念
⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）
⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)
⑶正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。
理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。
注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數(shù)，-1,-3,-5…也是奇數(shù)。
有理數(shù)的分類
⑴按有理數(shù)的意義分類 ⑵按正、負(fù)來(lái)分
正整數(shù) 正整數(shù)
整數(shù) 0 正有理數(shù)
負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù)
有理數(shù) 有理數(shù) 0 （0不能忽視）
正分?jǐn)?shù) 負(fù)整數(shù)
分?jǐn)?shù) 負(fù)有理數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)
總結(jié)：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)）
②負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)
③正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)
④負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)
三、數(shù)軸
⒈數(shù)軸的概念
規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。
注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無(wú)限延伸的直線；⑵原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；⑶同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一；⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。
2.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系
⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。
⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說(shuō)，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小
⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；
⑵正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；
⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。
4.數(shù)軸上特殊的最大（小）數(shù)
⑴最小的自然數(shù)是0，無(wú)最大的自然數(shù)；
⑵最小的正整數(shù)是1，無(wú)最大的正整數(shù)；
⑶最大的負(fù)整數(shù)是-1，無(wú)最小的負(fù)整數(shù)
5.a可以表示什么數(shù)
⑴a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0；
⑵a<0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=0
6.數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律
根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，向左移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則減去幾，向右移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則加上幾，從而得到所需的點(diǎn)的位置。
四、相反數(shù)
⒈相反數(shù)
只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。
注意：⑴相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的；⑵相反數(shù)只有符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù)；
⑶0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。
2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定
⑴任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)；
⑵0的相反數(shù)是0；
⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=0
⑷互為相反數(shù)的非零兩數(shù)商為負(fù)1，即a，b互為相反數(shù)，則== -1(a0,b0))
3.相反數(shù)的幾何意義
在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。
說(shuō)明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
4.相反數(shù)的求法
⑴求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“-”即可求得
⑵求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號(hào)括起來(lái)再添“-”，然后化簡(jiǎn)
⑶求前面帶“-”的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來(lái)再添“-”，然后化簡(jiǎn)
5.相反數(shù)的表示方法
⑴一般地，數(shù)a 的相反數(shù)是-a ，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。
當(dāng)a>0時(shí)，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）
當(dāng)a<0時(shí)，-a>0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）
當(dāng)a=0時(shí)，-a=0，（0的相反數(shù)是0）
6.多重符號(hào)的化簡(jiǎn)
多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律:“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果，可以直接省略；“-”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié)果；即：“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。
五、絕對(duì)值
⒈絕對(duì)值的幾何定義
一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作|a|。
2.絕對(duì)值的代數(shù)定義
⑴一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身； ⑵一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)； ⑶0的絕對(duì)值是0.
（非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）
（非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）
3.絕對(duì)值的性質(zhì)
任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|≥0。即
⑴0的絕對(duì)值是0；絕對(duì)值是0的數(shù)是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0；
⑶任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：|a|≥a；
⑷絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；
⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；
⑹絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；
⑺若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0，則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0）
4.有理數(shù)大小的比較
⑴利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小；
⑵利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小；異號(hào)兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。
5.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)
①當(dāng)a≥0時(shí)， |a|=a ； ②當(dāng)a≤0時(shí)， |a|=-a
6.已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求這個(gè)數(shù)
一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，絕對(duì)值為0的數(shù)是0，沒(méi)有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù)。
六、有理數(shù)的加減法
1.有理數(shù)的加法法則
⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；
⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；
⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；
⑷一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。
2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律
⑴加法交換律：a+b=b+a
⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，通常有下列規(guī)律：
①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；
②符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；
③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”；
④幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”；
⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。
3.加法性質(zhì)
一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小；加0后的和等于原數(shù)。
4.有理數(shù)減法法則
減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。
5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義
在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。
在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和的形式。
七、有理數(shù)的乘除法
1.有理數(shù)的乘法法則
法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè)，就必須運(yùn)用法則三）
法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；
法則三：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；
法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.
2.倒數(shù)
乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說(shuō)a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。
注意：①0沒(méi)有倒數(shù)；
②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；
③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。
④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1。
3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律
⑴乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba
⑵乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理數(shù)的除法法則
（1）除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
（2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0
5.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算
（1）乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。
（2）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照‘先乘除，后加減’的順序進(jìn)行。
八、有理數(shù)的乘方
1.乘方的概念
求n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在 中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)。
2.乘方的性質(zhì)
（1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。
（2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。
九、有理數(shù)的混合運(yùn)算
做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：
1.先乘方，再乘除，最后加減；
2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；
3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。
十、科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)大于10的數(shù)表示成 的形式（其中， n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法。
十一、近似數(shù)
只有近似數(shù)有精確度的問(wèn)題，準(zhǔn)確數(shù)不存在精確度問(wèn)題。
一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。
高頻考點(diǎn)
【考點(diǎn)1】正數(shù)和負(fù)數(shù)的判斷
【例1-1】在下面四組數(shù)：①，2.3，；②，0，；③，0.3，7；④，，2中，三個(gè)數(shù)都不是負(fù)數(shù)的一組是　　
A．①② B．②④ C．③④ D．②③④
【例1-2】六年級(jí)某班三位任課老師中，如果語(yǔ)文老師的歲數(shù)比數(shù)學(xué)老師大3歲記作3歲，那么英語(yǔ)老師的歲數(shù)比數(shù)學(xué)老師小5歲，可以記作 　 　歲．
【考點(diǎn)2】相反意義的量
【例2-1】《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù)，若上升7米記作米，則米表示（ ）
A．上升5米 B．下降5米 C．下降7米 D．上升7米
【例2-2】下列各對(duì)量中，表示具有相反意義的量的是（ ）
A．購(gòu)進(jìn)kg蘋果與賣出kg蘋果 B．高出海平面m與低于海平面m
C．向東走m和向西走m D．飛機(jī)上升m與飛機(jī)前進(jìn)m
【考點(diǎn)3】有理數(shù)的分類
【例3-1】下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．有理數(shù)分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零
B．分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和零
C．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)
D．整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)
【例3-2】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里．
，4，，，，，，，0，．
(1)整數(shù)集合｛ …｝
(2)分?jǐn)?shù)集合｛ …｝
(3)非負(fù)數(shù)集合｛ …｝
(4)正有理數(shù)集合｛ …｝
(5)負(fù)有理數(shù)集合｛ …｝
【例3-3】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
【考點(diǎn)4】數(shù)軸
【例4-1】下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)只能表示整數(shù) B．兩個(gè)不同的有理數(shù)可以用數(shù)軸上的同一點(diǎn)表示
C．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)表示的所有數(shù)都是有理數(shù) D．?dāng)?shù)軸上，原點(diǎn)右邊的數(shù)都是正數(shù)
【例4-2】畫(huà)出數(shù)軸并表示下列有理數(shù)：，，，3，0.用“>”號(hào)把這五個(gè)數(shù)連接起來(lái).
【例4-3】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，表示的數(shù)分別為（ ）

A．， B．， C．， D．，
【例4-4】如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)表示數(shù)現(xiàn)將點(diǎn)沿?cái)?shù)軸作如下移動(dòng)，第一次將點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第二次將點(diǎn)向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第三次將點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，…，按照這種移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行下去，第次移動(dòng)到點(diǎn)，那么點(diǎn)所表示的數(shù)為（　　　）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)5】相反數(shù)
【例5-1】下列每一對(duì)數(shù)：和，和，和，和，和中，互為相反數(shù)的有（ ）
A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)
【例5-2】和互為相反數(shù)，那么 ．
【例5-3】如圖，在單位長(zhǎng)度是1的數(shù)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)表示的數(shù)是 .
【例5-4】在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“”號(hào)把它們按照從小到大的順序排列．
3，，，0，．
【考點(diǎn)6】絕對(duì)值
【例6-1】在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離為3的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知與4互為相反數(shù)，的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，已知，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5
【例6-3】．以下說(shuō)法正確的是 ．
①絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是0和1；
②如果兩個(gè)數(shù)的和為0，那么這兩個(gè)數(shù)一定是一正一負(fù)；
③已知a，b，c是非零有理數(shù)，若，則的值為0或；
④已知時(shí)，那么的最大值為8，最小值為；
⑤若且，則代數(shù)式的值為．
【例6-4】已知，，均為有理數(shù)，且滿足，，那么的值為 ．
【例6-5】將下列各數(shù)在如圖所示的數(shù)軸上表示出來(lái)，并用“>”把這些數(shù)連接起來(lái)．（要求先用鉛筆畫(huà)圖，準(zhǔn)確無(wú)誤后再用黑色筆覆蓋）
．

【例6-6】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于相應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值，如2與3的距離可表示為，2與的距離可表示為
(1)數(shù)軸上表示3和8的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；
(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 　　；如果，則x為 　　；
(3)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．
(4)當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，x的值為 　　．
【考點(diǎn)7】有理數(shù)大小比較
【例7-1】下列各組有理數(shù)大小的比較中，錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C．D．
【例7-2】已知，，，下列關(guān)于a、b、c三數(shù)的大小關(guān)系，何者正確（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)8】有理數(shù)的加減
【例8-1】點(diǎn)P從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，先向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度，最后再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度后停下，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，則點(diǎn)Q表示的數(shù)是 ．
【例8-2】校運(yùn)動(dòng)會(huì)，小明負(fù)責(zé)在一條東西賽道上為同學(xué)們拍照，這天他從主席臺(tái)出發(fā)，最后停留在處．規(guī)定以向東的方向?yàn)檎较颍叫杏涗浫缦拢▎挝唬好祝?br/>(1)小明離主席臺(tái)最遠(yuǎn)是______米；
(2)以主席臺(tái)為原點(diǎn)，用1個(gè)單位長(zhǎng)度表示，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示點(diǎn)；
(3)在主席臺(tái)東邊5米處是仲裁處，小明經(jīng)過(guò)仲裁處______次；
(4)若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照過(guò)程中步行消耗的卡路里是多少？
【例8-3】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．
【例8-4】計(jì)算（能使用簡(jiǎn)便方法的使用簡(jiǎn)便方法）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考點(diǎn)9】有理數(shù)的乘除
【例9-1】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是（ ）

A． B． C． D．
【例9-3】氣象統(tǒng)計(jì)資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降．已知山腳的溫度是．
(1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?br/>(2)小明在上山過(guò)程中看到溫度計(jì)上的讀數(shù)是，此時(shí)他距山腳有多高？
【例9-4】計(jì)算：
(1)；
(2)．
【考點(diǎn)10】有理數(shù)的乘方
【例10-1】表示（ ）
A．乘5 B．5個(gè)相加 C．5個(gè)相乘 D．2個(gè)相加
【例10-2】計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【例10-3】計(jì)算： ．
【例10-4】若，則 ．
【考點(diǎn)11】有理數(shù)的混合運(yùn)算
【例11-1】李宏同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)算程序如圖所示．按照程序進(jìn)行運(yùn)算，程序運(yùn)行到“判斷是否大于100”為一次運(yùn)行．若時(shí)，則該運(yùn)算程序能輸出結(jié)果時(shí)至少需要運(yùn)行（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【例11-2】計(jì)算：
(1)；
(2)．
【例11-3】計(jì)算：
(1)
(2)
【例11-4】某水果店新進(jìn)了箱橘子，以每箱千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來(lái)表示，記錄如下．
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）
箱數(shù)
(1)箱橘子中，最重的一箱比最輕的一箱重多少千克？
(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，箱橘子總計(jì)超過(guò)或不足多少千克？
(3)若橘子每千克售價(jià)元，求售完這箱橘子可賣多少元？
【考點(diǎn)12】科學(xué)計(jì)數(shù)法
【例12-1】國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2023年2月14日數(shù)據(jù)顯示河南省2022年商品、服務(wù)類電子商務(wù)交易額突破萬(wàn)億元，居全國(guó)第十一位，比上年同期增長(zhǎng)3.5%．?dāng)?shù)據(jù)“1.2萬(wàn)億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
【例12-2】用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，它原來(lái)是________位數(shù)（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考點(diǎn)13】近似數(shù)
【例13-1】下列各數(shù)據(jù)中，是近似數(shù)的有（　　）
①小明體重；②黃山蓮花峰的海拔；③小強(qiáng)買筆花了元；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例13-2】2021年9月25日，華為公司副董事長(zhǎng)、“CFO”（首席財(cái)務(wù)官）孟晚舟女士乘坐中國(guó)政府包機(jī)返回祖國(guó)，行程約12357千米．用四舍五入法對(duì)12357取近似值，其中錯(cuò)誤的是（　　）
A．12360（精確到10） B．（精確到百分位）
C．（精確到千位） D．1萬(wàn)（精確到萬(wàn)位）
【例13-3】指出下列各數(shù)精確到哪一位？
(1)2000；
(2)4.523億；
(3)；
(4)0.00125．
七年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題一 有理數(shù)考點(diǎn)大串講專題復(fù)習(xí)
知識(shí)點(diǎn)回顧
一、正數(shù)和負(fù)數(shù)
⒈正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念
負(fù)數(shù)：比0小的數(shù) 正數(shù)：比0大的數(shù) 0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)
注意：①字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；當(dāng)a表示0時(shí)，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，例如+a,-a就不能做出簡(jiǎn)單判斷）
②正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“+”，有時(shí)“+”省略不寫。
具有相反意義的量
若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：
零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃
3.0表示的意義
⑴0表示“ 沒(méi)有”，如教室里有0個(gè)人，就是說(shuō)教室里沒(méi)有人；
⑵0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：
二、有理數(shù)
有理數(shù)的概念
⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）
⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)
⑶正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。
理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。
注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數(shù)，-1,-3,-5…也是奇數(shù)。
有理數(shù)的分類
⑴按有理數(shù)的意義分類 ⑵按正、負(fù)來(lái)分
正整數(shù) 正整數(shù)
整數(shù) 0 正有理數(shù)
負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù)
有理數(shù) 有理數(shù) 0 （0不能忽視）
正分?jǐn)?shù) 負(fù)整數(shù)
分?jǐn)?shù) 負(fù)有理數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)
總結(jié)：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)）
②負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)
③正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)
④負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)
三、數(shù)軸
⒈數(shù)軸的概念
規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。
注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無(wú)限延伸的直線；⑵原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；⑶同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一；⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。
2.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系
⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。
⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說(shuō)，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小
⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；
⑵正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；
⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。
4.數(shù)軸上特殊的最大（小）數(shù)
⑴最小的自然數(shù)是0，無(wú)最大的自然數(shù)；
⑵最小的正整數(shù)是1，無(wú)最大的正整數(shù)；
⑶最大的負(fù)整數(shù)是-1，無(wú)最小的負(fù)整數(shù)
5.a可以表示什么數(shù)
⑴a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0；
⑵a<0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=0
6.數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律
根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，向左移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則減去幾，向右移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則加上幾，從而得到所需的點(diǎn)的位置。
四、相反數(shù)
⒈相反數(shù)
只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。
注意：⑴相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的；⑵相反數(shù)只有符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù)；
⑶0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。
2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定
⑴任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)；
⑵0的相反數(shù)是0；
⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=0
⑷互為相反數(shù)的非零兩數(shù)商為負(fù)1，即a，b互為相反數(shù)，則== -1(a0,b0))
3.相反數(shù)的幾何意義
在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。
說(shuō)明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
4.相反數(shù)的求法
⑴求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“-”即可求得
⑵求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號(hào)括起來(lái)再添“-”，然后化簡(jiǎn)
⑶求前面帶“-”的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來(lái)再添“-”，然后化簡(jiǎn)
5.相反數(shù)的表示方法
⑴一般地，數(shù)a 的相反數(shù)是-a ，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。
當(dāng)a>0時(shí)，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）
當(dāng)a<0時(shí)，-a>0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）
當(dāng)a=0時(shí)，-a=0，（0的相反數(shù)是0）
6.多重符號(hào)的化簡(jiǎn)
多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律:“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果，可以直接省略；“-”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié)果；即：“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。
五、絕對(duì)值
⒈絕對(duì)值的幾何定義
一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作|a|。
2.絕對(duì)值的代數(shù)定義
⑴一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身； ⑵一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)； ⑶0的絕對(duì)值是0.
（非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）
（非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）
3.絕對(duì)值的性質(zhì)
任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|≥0。即
⑴0的絕對(duì)值是0；絕對(duì)值是0的數(shù)是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0；
⑶任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：|a|≥a；
⑷絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；
⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；
⑹絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；
⑺若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0，則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0）
4.有理數(shù)大小的比較
⑴利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小；
⑵利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小；異號(hào)兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。
5.絕對(duì)值的化簡(jiǎn)
①當(dāng)a≥0時(shí)， |a|=a ； ②當(dāng)a≤0時(shí)， |a|=-a
6.已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求這個(gè)數(shù)
一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，絕對(duì)值為0的數(shù)是0，沒(méi)有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù)。
六、有理數(shù)的加減法
1.有理數(shù)的加法法則
⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；
⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；
⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；
⑷一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。
2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律
⑴加法交換律：a+b=b+a
⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，通常有下列規(guī)律：
①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；
②符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；
③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”；
④幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”；
⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。
3.加法性質(zhì)
一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小；加0后的和等于原數(shù)。
4.有理數(shù)減法法則
減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。
5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義
在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。
在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和的形式。
七、有理數(shù)的乘除法
1.有理數(shù)的乘法法則
法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè)，就必須運(yùn)用法則三）
法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；
法則三：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；
法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.
2.倒數(shù)
乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說(shuō)a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。
注意：①0沒(méi)有倒數(shù)；
②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；
③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。
④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1。
3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律
⑴乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba
⑵乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理數(shù)的除法法則
（1）除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
（2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0
5.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算
（1）乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。
（2）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照‘先乘除，后加減’的順序進(jìn)行。
八、有理數(shù)的乘方
1.乘方的概念
求n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在 中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)。
2.乘方的性質(zhì)
（1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。
（2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。
九、有理數(shù)的混合運(yùn)算
做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：
1.先乘方，再乘除，最后加減；
2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；
3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。
十、科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)大于10的數(shù)表示成 的形式（其中， n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法。
十一、近似數(shù)
只有近似數(shù)有精確度的問(wèn)題，準(zhǔn)確數(shù)不存在精確度問(wèn)題。
一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。
高頻考點(diǎn)
【考點(diǎn)1】正數(shù)和負(fù)數(shù)的判斷
【例1-1】在下面四組數(shù)：①，2.3，；②，0，；③，0.3，7；④，，2中，三個(gè)數(shù)都不是負(fù)數(shù)的一組是　　
A．①② B．②④ C．③④ D．②③④
【分析】根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的特征可判斷求解．
【解析】①中 是負(fù)數(shù)，不符合題意；
②③④中的三個(gè)數(shù)都不是負(fù)數(shù)，符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了負(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解定義．
【例1-2】六年級(jí)某班三位任課老師中，如果語(yǔ)文老師的歲數(shù)比數(shù)學(xué)老師大3歲記作3歲，那么英語(yǔ)老師的歲數(shù)比數(shù)學(xué)老師小5歲，可以記作 　 　歲．
【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義解答即可．
【解析】如果語(yǔ)文老師的歲數(shù)比數(shù)學(xué)老師大3歲記作3歲，那么英語(yǔ)老師的歲數(shù)比數(shù)學(xué)老師小5歲，可以記作歲．
故答案為：．
【考點(diǎn)2】相反意義的量
【例2-1】《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù)，若上升7米記作米，則米表示（ ）
A．上升5米 B．下降5米 C．下降7米 D．上升7米
【答案】B
【分析】根據(jù)具有相反意義的量求解即可．
【詳解】解：∵上升7米記作米，
∴米表示下降5米，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了具有相反意義的量，理解相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
【例2-2】下列各對(duì)量中，表示具有相反意義的量的是（ ）
A．購(gòu)進(jìn)kg蘋果與賣出kg蘋果 B．高出海平面m與低于海平面m
C．向東走m和向西走m D．飛機(jī)上升m與飛機(jī)前進(jìn)m
【答案】B
【分析】相反意義的量必須具有兩個(gè)要素：一是它們的意義相反；二是它們都具有數(shù)量．
【詳解】解：A：賣出kg蘋果相當(dāng)于購(gòu)進(jìn)kg蘋果，不符合題意；
B：高出海平面m與低于海平面m是具有相反意義的量，符合題意；
C：向東走m相當(dāng)于向西走9m，不符合題意；
D：飛機(jī)的上升和下降，前進(jìn)和后退具有相反意義．上升和前進(jìn)不具有相反意義，不符合題意；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查具有相反意義的量．掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3】有理數(shù)的分類
【例3-1】下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．有理數(shù)分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零
B．分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和零
C．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)
D．整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)
【分析】直接利用有理數(shù)的有關(guān)定義分析判斷即可．
【解析】解：A、有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，故此選項(xiàng)正確；
D、整數(shù)包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)0和零，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)，正確區(qū)分相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
【例3-2】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里．
，4，，，，，，，0，．
(1)整數(shù)集合｛ …｝
(2)分?jǐn)?shù)集合｛ …｝
(3)非負(fù)數(shù)集合｛ …｝
(4)正有理數(shù)集合｛ …｝
(5)負(fù)有理數(shù)集合｛ …｝
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
(4)見(jiàn)解析
(5)見(jiàn)解析
【分析】按照有理數(shù)的分類解答即可．
【詳解】（1）解：整數(shù)集合{，4，，，0，…}
（2）分?jǐn)?shù)集合{，，，，…}
（3）非負(fù)數(shù)集合{4，，，，，0，，…}
（4）正有理數(shù)集合{4，，，，，…}
（5）負(fù)有理數(shù)集合{，，，…}
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)，認(rèn)真掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、非負(fù)數(shù)的定義與特點(diǎn)．注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù)．
【例3-3】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合圈里：
﹣50%，0.628，﹣3，﹣，0，﹣3.14，5.9，﹣92．
解：由題可得：
【考點(diǎn)4】數(shù)軸
【例4-1】下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)只能表示整數(shù) B．兩個(gè)不同的有理數(shù)可以用數(shù)軸上的同一點(diǎn)表示
C．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)表示的所有數(shù)都是有理數(shù) D．?dāng)?shù)軸上，原點(diǎn)右邊的數(shù)都是正數(shù)
【答案】D
【分析】利用數(shù)軸表示數(shù)逐一判斷即可求解．
【詳解】解：數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示一切實(shí)數(shù)，則A和C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故A和C選項(xiàng)不符合題意；
B、數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)只能表示唯一一個(gè)數(shù)，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤，故B選項(xiàng)不符合題意；
D、數(shù)軸上，原點(diǎn)右邊的數(shù)都是正數(shù)，正確，故D選項(xiàng)符合題意，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸表示數(shù)，熟練掌握其基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【例4-2】畫(huà)出數(shù)軸并表示下列有理數(shù)：，，，3，0.用“>”號(hào)把這五個(gè)數(shù)連接起來(lái).
【答案】圖見(jiàn)解析；
【分析】首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)；然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“＞”號(hào)連接起來(lái)即可．
【詳解】解：如圖所示：
故
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，以及在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，要熟練掌握．
【例4-3】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，表示的數(shù)分別為（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】觀察數(shù)軸，在數(shù)軸上找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和數(shù)字即可．
【詳解】解：在數(shù)軸上點(diǎn)表示，點(diǎn)表示，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上數(shù)字的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
【例4-4】如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)表示數(shù)現(xiàn)將點(diǎn)沿?cái)?shù)軸作如下移動(dòng)，第一次將點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第二次將點(diǎn)向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第三次將點(diǎn)向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，…，按照這種移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行下去，第次移動(dòng)到點(diǎn)，那么點(diǎn)所表示的數(shù)為（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】從A的序號(hào)為奇數(shù)的情形中，尋找解題規(guī)律求解即可.
【詳解】∵A表示的數(shù)為1，
∴=1+（-3）×1=-2，
∴=-2+（-3）×（-2）=4，
∴=4+（-3）×3=-5= -2+（-3），
∴=-5+（-3）×（-4）=7，
∴=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2，
∴= ，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住序號(hào)為奇數(shù)時(shí)數(shù)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)5】相反數(shù)
【例5-1】下列每一對(duì)數(shù)：和，和，和，和，和中，互為相反數(shù)的有（ ）
A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)
【答案】A
【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念逐一判斷即可．
【詳解】解：和相等，不是相反數(shù)；
與互為相反數(shù)；
，，它們互為相反數(shù)；
，，它們相等，不互為相反數(shù)；
和互為倒數(shù)，不互為相反數(shù)；
∴互為相反數(shù)的有對(duì)，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的概念，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．
【例5-2】和互為相反數(shù)，那么 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
【例5-3】如圖，在單位長(zhǎng)度是1的數(shù)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)表示的數(shù)是 .
【答案】﹣2
【分析】根據(jù)圖示，點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離是6，據(jù)此求出點(diǎn)C表示的數(shù)，即可求得點(diǎn)B表示的數(shù).
【詳解】∵點(diǎn)和點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離是6
∴點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣3，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是1，且點(diǎn)B在點(diǎn)C右側(cè)，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2
故答案為﹣2
【點(diǎn)睛】本題為考查數(shù)軸和相反數(shù)的綜合題，稍有難度，根據(jù)題意認(rèn)真分析，熟練掌握數(shù)軸和相反數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.
【例5-4】在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“”號(hào)把它們按照從小到大的順序排列．
3，，，0，．
【答案】圖見(jiàn)解析，
【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，根據(jù)數(shù)軸比較有理數(shù)的大小．正確的將各有理數(shù)表示在數(shù)軸上是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，，然后在數(shù)軸上表示各數(shù)，最后根據(jù)從左向右依次增大進(jìn)行排序即可．
【詳解】解：，，
∴在數(shù)軸上表示各數(shù)如圖：
∴．
【考點(diǎn)6】絕對(duì)值
【例6-1】在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離為3的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可；掌握絕對(duì)值的意義為到原點(diǎn)的距離是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離為3的數(shù)是．
故選C．
【例6-2】已知與4互為相反數(shù)，的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，已知，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5
【答案】D
【分析】先根據(jù)相反數(shù)的定義以及絕對(duì)值的定義求得a、b的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得m、n的值，然后計(jì)算即可．掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)均為零是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵與4互為相反數(shù)，的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，
∴，
∵，
∴或，
又∵，或，，
∴或，
∴或，
∴或，
∴的值為3或5．
故選：D．
【例6-3】．以下說(shuō)法正確的是 ．
①絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是0和1；
②如果兩個(gè)數(shù)的和為0，那么這兩個(gè)數(shù)一定是一正一負(fù)；
③已知a，b，c是非零有理數(shù)，若，則的值為0或；
④已知時(shí)，那么的最大值為8，最小值為；
⑤若且，則代數(shù)式的值為．
【答案】③④⑤
【分析】本題考查了絕對(duì)值的定義，化簡(jiǎn)絕對(duì)值；根據(jù)絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，即可判斷①；根據(jù)，即可判斷②；③根據(jù)，得出a、b、c兩負(fù)一正，再分類討論：當(dāng)a和b為兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，當(dāng)a和b為一正一負(fù)時(shí)，即可判斷③；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，，即可判斷④；根據(jù)且，得出，則，進(jìn)而得出，，則，代入求解即可判斷⑤．
【詳解】解：①絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，故①不正確，不符合題意；
②，故②不正確，不符合題意；
③∵，
∴a、b、c兩負(fù)一正，
當(dāng)a和b為兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)：，
當(dāng)a和b為一正一負(fù)時(shí)：，
故③正確，符合題意；
④∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
故④正確，符合題意；
⑤∵且，
∴a和b互為相反數(shù)，
∴，則，
∴，，
∴，
∴，
故⑤正確，符合題意；
綜上：正確的有③④⑤，共3個(gè)，
故答案為：③④⑤．
【例6-4】已知，，均為有理數(shù)，且滿足，，那么的值為 ．
【答案】8或4
【分析】此題考查的是化簡(jiǎn)絕對(duì)值．根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得，，從而得出，，然后分類討論，分別代入中即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，，
當(dāng)，時(shí)，
；
當(dāng)，時(shí)，
；
當(dāng)，時(shí)，
；
當(dāng)，時(shí)，
；
綜上：的值為8或4；
故答案為：8或4．
【例6-5】將下列各數(shù)在如圖所示的數(shù)軸上表示出來(lái)，并用“>”把這些數(shù)連接起來(lái)．（要求先用鉛筆畫(huà)圖，準(zhǔn)確無(wú)誤后再用黑色筆覆蓋）
．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查絕對(duì)值、相反數(shù)，數(shù)軸上有理數(shù)的表示及有理數(shù)的大小比較，先利用絕對(duì)值和相反數(shù)的定義得到，，再利用數(shù)軸表示5個(gè)數(shù)，然后利用數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大進(jìn)行大小比較．
【詳解】解：，，
在數(shù)軸上表示為：

；
【例6-6】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于相應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值，如2與3的距離可表示為，2與的距離可表示為
(1)數(shù)軸上表示3和8的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是 　　；
(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 　　；如果，則x為 　　；
(3)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．
(4)當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，x的值為 　　．
【答案】(1)5，6
(2)，5或
(3)0
(4)2
【分析】本題考查數(shù)軸與絕對(duì)值幾何意義與應(yīng)用．
（1）根據(jù)題目所舉例子進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）仿照題干所舉例子進(jìn)行解答即可；
（3）根據(jù)數(shù)軸可知，，，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（4）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）解：，．
故答案為：5，6；
（2）解：數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，
，則或，
即或．
故答案為：，5或；
（3）解：由數(shù)軸可知，，，，
則|
；
（4）解：代數(shù)式的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示，2，3的三點(diǎn)的距離之和，
顯然只有當(dāng)時(shí)，距離之和才是最小，
則取最小值時(shí)，x的值為2；
故答案為：2．
【考點(diǎn)7】有理數(shù)大小比較
【例7-1】下列各組有理數(shù)大小的比較中，錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】先去括號(hào)，再比較各數(shù)的大小即可．
【詳解】A、∵，，∴，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、∵∴，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
C、∵，∴，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、∵，∴，故本選項(xiàng)正確，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．
【例7-2】已知，，，下列關(guān)于a、b、c三數(shù)的大小關(guān)系，何者正確（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較解答即可．
【詳解】解：∵，， ，且
∴，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)大小比較，熟練掌握兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小是解本題的關(guān)鍵
【考點(diǎn)8】有理數(shù)的加減
【例8-1】點(diǎn)P從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，先向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度，最后再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度后停下，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，則點(diǎn)Q表示的數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)及有理數(shù)的加減法，根據(jù)向右移動(dòng)加，向左移動(dòng)減進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，先向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度，最后再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度后停下，
所以點(diǎn)P所表示的數(shù)是，
因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，則點(diǎn)Q表示的數(shù)是．
故答案為：．
【例8-2】校運(yùn)動(dòng)會(huì)，小明負(fù)責(zé)在一條東西賽道上為同學(xué)們拍照，這天他從主席臺(tái)出發(fā)，最后停留在處．規(guī)定以向東的方向?yàn)檎较颍叫杏涗浫缦拢▎挝唬好祝?br/>(1)小明離主席臺(tái)最遠(yuǎn)是______米；
(2)以主席臺(tái)為原點(diǎn)，用1個(gè)單位長(zhǎng)度表示，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示點(diǎn)；
(3)在主席臺(tái)東邊5米處是仲裁處，小明經(jīng)過(guò)仲裁處______次；
(4)若小明每步行1米消耗0.04卡路里，那么他在拍照過(guò)程中步行消耗的卡路里是多少？
【答案】(1)10
(2)
(3)4
(4)2.4
【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，
（1）逐次求得每次運(yùn)動(dòng)后的位置即可求得離主席臺(tái)的距離；
（2）根據(jù)第一問(wèn)可得到主席臺(tái)的位置，并在數(shù)軸上標(biāo)注即可；
（3）根據(jù)每次運(yùn)動(dòng)與5的大小即可求得經(jīng)過(guò)主席臺(tái)的次數(shù)；
（4）根據(jù)步行記錄如得到總計(jì)，結(jié)合每步行1米消耗0.04卡路里即可求得答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
故小明離主席臺(tái)最遠(yuǎn)是10米．
（2）根據(jù)第一問(wèn)得知點(diǎn)A即為主席臺(tái)，
．
（3）小明從主席臺(tái)出發(fā)經(jīng)過(guò)仲裁處，由到經(jīng)過(guò)仲裁處，到經(jīng)過(guò)仲裁處，到經(jīng)過(guò)仲裁處．則共經(jīng)過(guò)仲裁處4次．
（4）根據(jù)題意得，，
則小明在拍照過(guò)程中步行消耗2.4卡路里．
【例8-3】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，先化為省略加號(hào)的和的形式，再結(jié)合加法的運(yùn)算律把分母相同的兩個(gè)數(shù)先加即可．
【詳解】解：
．
【例8-4】計(jì)算（能使用簡(jiǎn)便方法的使用簡(jiǎn)便方法）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
(4)
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案；
（2）先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再將式子變形為，計(jì)算即可得到答案；
（3）將式子變形為，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
（4）將式子變形為，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)9】有理數(shù)的乘除
【例9-1】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)軸得出，，推出，，，，最后選出即可．
【詳解】解：從數(shù)軸可知：，，
，，，，
選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤，只有選項(xiàng)A正確；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加法減法和乘法，關(guān)鍵是能根據(jù)數(shù)軸得到，．
【例9-2】計(jì)算的結(jié)果是（　　）
A．6 B．36 C． D．1
【答案】B
【分析】將除法變?yōu)槌朔ǎ偌s分計(jì)算即可求解．
【詳解】解：原式
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除法，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則正確進(jìn)行計(jì)算．
【例9-3】氣象統(tǒng)計(jì)資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降．已知山腳的溫度是．
(1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?br/>(2)小明在上山過(guò)程中看到溫度計(jì)上的讀數(shù)是，此時(shí)他距山腳有多高？
【答案】(1)
(2)米
【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)及有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．
（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．
結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：
，
即山頂?shù)臏囟葹椋?br/>（2）
（米），
即他距山腳1500米．
【例9-4】計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先計(jì)算除法，再計(jì)算乘法即可求解；本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；
（2）先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行變形，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法求解；本題考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算、乘法運(yùn)算律等知識(shí)點(diǎn)．
【詳解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【考點(diǎn)10】有理數(shù)的乘方
【例10-1】表示（ ）
A．乘5 B．5個(gè)相加 C．5個(gè)相乘 D．2個(gè)相加
【答案】C
【分析】根據(jù)乘方的意義：表示個(gè)數(shù)相乘，即可．
【詳解】解：表示5個(gè)相乘；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方．熟練掌握表示個(gè)相乘，是解題的關(guān)鍵．
【例10-2】計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，以及乘法分配律，逆用乘法分配律計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
故選C．
【例10-3】計(jì)算： ．
【答案】
【分析】把原式化為，再逆用積的乘方運(yùn)算可得答案．
【詳解】解：
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是積的乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【例10-4】若，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是求出、的值，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．先根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性求出、的值，然后再代入中計(jì)算即可．
【詳解】，
，，
，，
將，代入中得：
，
故答案為：．
【考點(diǎn)11】有理數(shù)的混合運(yùn)算
【例11-1】李宏同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)運(yùn)算程序如圖所示．按照程序進(jìn)行運(yùn)算，程序運(yùn)行到“判斷是否大于100”為一次運(yùn)行．若時(shí)，則該運(yùn)算程序能輸出結(jié)果時(shí)至少需要運(yùn)行（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【答案】C
【分析】本題考查程序流程圖與有理數(shù)的運(yùn)算．根據(jù)所給程序運(yùn)算法則求解即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴該運(yùn)算程序能輸出結(jié)果時(shí)至少需要運(yùn)行3次．
故選：C
【例11-2】計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；
（1）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后計(jì)算除法，即可求解．
（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【例11-3】計(jì)算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．
（1）先算乘方和絕對(duì)值，然后運(yùn)算乘除，最后加減解題；
（2）先算乘方，然后運(yùn)算乘除，最后加減解題；
【詳解】（1）
；
（2）
．
【例11-4】某水果店新進(jìn)了箱橘子，以每箱千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來(lái)表示，記錄如下．
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）
箱數(shù)
(1)箱橘子中，最重的一箱比最輕的一箱重多少千克？
(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，箱橘子總計(jì)超過(guò)或不足多少千克？
(3)若橘子每千克售價(jià)元，求售完這箱橘子可賣多少元？
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)和有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
（1）最重的一箱蘋果比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量重千克，最輕的一箱蘋果比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量輕千克，則兩箱相差千克；
（2）將這個(gè)數(shù)據(jù)相加，和為正，表示比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量超過(guò)，和為負(fù)表示比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量不足，再求絕對(duì)值即可；
（3）先求得總質(zhì)量，再乘以元即可．
【詳解】（1）解：（千克），
∴最重的一箱比最輕的一箱重千克；
（2）（千克），
∴箱橘子總計(jì)超過(guò)千克；
（3）（元），
∴售完這箱橘子可賣元．
【考點(diǎn)12】科學(xué)計(jì)數(shù)法
【例12-1】國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2023年2月14日數(shù)據(jù)顯示河南省2022年商品、服務(wù)類電子商務(wù)交易額突破萬(wàn)億元，居全國(guó)第十一位，比上年同期增長(zhǎng)3.5%．?dāng)?shù)據(jù)“1.2萬(wàn)億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：將萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
【例12-2】用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，它原來(lái)是________位數(shù)（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的形式，其中，n是整數(shù)位數(shù)減1．
【詳解】解：根據(jù)題意，
∴它原來(lái)是12位數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，掌握科學(xué)記數(shù)法的一般形式以及a與n的取值是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)13】近似數(shù)
【例13-1】下列各數(shù)據(jù)中，是近似數(shù)的有（　　）
①小明體重；②黃山蓮花峰的海拔；③小強(qiáng)買筆花了元；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根據(jù)近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的含義，結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】①小明體重，體重最后一位是估計(jì)值，是近似數(shù)；
②黃山蓮花峰的海拔，不是絕對(duì)的精確，是近似數(shù)；
③小強(qiáng)買筆花了元，是準(zhǔn)確值．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)的定義的掌握情況．生活中的表示測(cè)量的數(shù)據(jù)往往是近似數(shù)，如測(cè)量的身高、體重等；準(zhǔn)確數(shù)往往是生活中可以用自然數(shù)來(lái)表示的人數(shù)或物體的個(gè)數(shù)等．
【例13-2】2021年9月25日，華為公司副董事長(zhǎng)、“CFO”（首席財(cái)務(wù)官）孟晚舟女士乘坐中國(guó)政府包機(jī)返回祖國(guó)，行程約12357千米．用四舍五入法對(duì)12357取近似值，其中錯(cuò)誤的是（　　）
A．12360（精確到10） B．（精確到百分位）
C．（精確到千位） D．1萬(wàn)（精確到萬(wàn)位）
【答案】A
【分析】近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當(dāng)看末位數(shù)字實(shí)際在哪一位．
【詳解】解：A．12357精確到10是，符合題意；
B．12357精確到百分位為，不符合題意；
C．12357精確到千位是，不符合題意；
D．12357精確到萬(wàn)位是1萬(wàn)，此選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)法．從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．
【例13-3】指出下列各數(shù)精確到哪一位？
(1)2000；
(2)4.523億；
(3)；
(4)0.00125．
【答案】(1)精確到個(gè)位
(2)精確到十萬(wàn)位
(3)精確到千位
(4)精確到十萬(wàn)分位
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是學(xué)生對(duì)近似數(shù)有效數(shù)字的理解，掌握近似數(shù)有效數(shù)字的概念：“從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非零數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字”是解答本題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑