資源簡(jiǎn)介

6.2.1　向量的加法運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)歸納
一、向量加法的定義和三角形法則
(1)定義：求 的運(yùn)算，叫做向量的加法.
(2)對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a.
(3)三角形法則
如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝ .
提醒　運(yùn)用向量加法的三角形法則作圖時(shí)要“首尾相接，再首尾相連”.
二、向量加法的平行四邊形法則
如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作 OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量 (OC是 OACB的對(duì)角線)就是向量a與b的和.
提醒　應(yīng)用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點(diǎn)”.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)際上就是向量加法的幾何意義.
三、共線向量的加法與向量加法的運(yùn)算律
(1)|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系
一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b 時(shí)等號(hào)成立.
(2)向量加法的運(yùn)算律
①交換律：a＋b＝b＋a.
②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
提醒　(1)已知幾個(gè)向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這幾個(gè)向量的和.
(2)首尾順次相接的若干個(gè)向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.
題型演練
題型一　向量的加法運(yùn)算法則
例1 (1)已知平面四邊形ABCD，則＋＋＝(　　)
A. B.
C. D.0
(2)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則＋＝(　　)
A. B.
C. D.
小結(jié) (1)用三角形法則求和向量，關(guān)鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)，平行四邊形法則注意“共起點(diǎn)”.
(2)向量求和的多邊形法則：＋＋＋…＋＝.特別地，當(dāng)An和A1重合時(shí)，＋＋＋…＋＝0.
訓(xùn)練1 (1)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|＋|為(　　)
A.1 B.
C.3 D.2
(2)如圖所示，用向量加法的平行四邊形法則作出a＋b.
題型二　向量的加法運(yùn)算律
例2 設(shè)A，B，C，D是平面上的任意四點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
小結(jié)　向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則
(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.
(2)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.
變式2 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，則|＋＋|＝________.
題型三　向量加法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
例3 在靜水中船的速度為20 m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向.
小結(jié)　應(yīng)用向量解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.
(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題.
(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題.
變式3 一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達(dá)B地，再由B地沿正北方向飛行40 km到達(dá)C地，求此時(shí)直升飛機(jī)與A地的相對(duì)位置.
方法小結(jié)
1.重要思想與方法
(1)三角形法則和平行四邊形法則都可用于求向量的和，二者是統(tǒng)一的.當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)，選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，選用平行四邊形法則.
(2)在應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則求向量的和時(shí)，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法.
2.易錯(cuò)易混點(diǎn)提醒
向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量平移到共同起點(diǎn).
分層作業(yè)
A基礎(chǔ)能力提升
一、單選題
1．平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，為中點(diǎn)，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．為實(shí)數(shù)0 C．與方向相同 D．
4．已知中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
5．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．向量與向量長(zhǎng)度相等 B．單位向量都相等
C．的長(zhǎng)度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
6．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形
C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形
二、多選題
7．已知點(diǎn)P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．向量與可能平行 B．點(diǎn)P在線段EF上
C． D．
8．已知，，分別是△三邊，，的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．設(shè)為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，為平行四邊形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，則 ．
10．如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P在上，判斷下列各式是否正確（正確的在括號(hào)內(nèi)打“√"，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
11．若向量，不共線，且，，則的取值范圍是 ．
12．若，則
四、解答題
13．如圖，在五邊形中，四邊形是平行四邊形，且，，，試用，，分別表示，，，及．
14．如圖，在中，，.
(1)，求的值；
(2)若，，試用，表示.
15．如圖，已知向量，，不共線，作向量++．
16．如圖所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
B數(shù)學(xué)素養(yǎng)落實(shí)
一、單選題
1．（2023·新疆·高三學(xué)業(yè)考試）在平行四邊形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，，均為單位向量，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B． C． D．-1
4．（2023下·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
5．（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)以下各式，結(jié)果為的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正六邊形中， .
7．（2023下·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn) .
8．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）填空：
（1） ；
（2） ．
四、解答題
9．（2022下·高一課前預(yù)習(xí)）已知用向量加法的三角形法則作出.
(1)；
(2).
10．（2022下·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，為邊長(zhǎng)為1的正六邊形，O為其幾何中心.
(1)化簡(jiǎn)；
(2)化簡(jiǎn)；
(3)化簡(jiǎn)；
(4)求向量的模.6.2.1　向量的加法運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)歸納
一、向量加法的定義和三角形法則
(1)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.
(2)對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a.
(3)三角形法則
如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.
提醒　運(yùn)用向量加法的三角形法則作圖時(shí)要“首尾相接，再首尾相連”.
二、向量加法的平行四邊形法則
如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作 OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量(OC是 OACB的對(duì)角線)就是向量a與b的和.
提醒　應(yīng)用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點(diǎn)”.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)際上就是向量加法的幾何意義.
三、共線向量的加法與向量加法的運(yùn)算律
(1)|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系
一般地，我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b方向相同時(shí)等號(hào)成立.
(2)向量加法的運(yùn)算律
①交換律：a＋b＝b＋a.
②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
提醒　(1)已知幾個(gè)向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這幾個(gè)向量的和.
(2)首尾順次相接的若干個(gè)向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.
題型演練
題型一　向量的加法運(yùn)算法則
例1 (1)已知平面四邊形ABCD，則＋＋＝(　　)
A. B.
C. D.0
(2)如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)＋＋＝＋＝.
(2)以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形，如圖所示，則＋＝，
由和的模相等，方向相同，
得＝，即＋＝.
小結(jié) (1)用三角形法則求和向量，關(guān)鍵是抓住“首尾相連”，和向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)，平行四邊形法則注意“共起點(diǎn)”.
(2)向量求和的多邊形法則：＋＋＋…＋＝.特別地，當(dāng)An和A1重合時(shí)，＋＋＋…＋＝0.
訓(xùn)練1 (1)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|＋|為(　　)
A.1 B.
C.3 D.2
答案　B
解析　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，
所以|＋|＝||＝AC＝.
(2)如圖所示，用向量加法的平行四邊形法則作出a＋b.
解　在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b.
題型二　向量的加法運(yùn)算律
例2 設(shè)A，B，C，D是平面上的任意四點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解　(1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
(2)＋＋＋
＝＋＋＋
＝.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝0.
小結(jié)　向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則
(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)了恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.
(2)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.
變式2 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，則|＋＋|＝________.
答案　1
解析　|＋＋|＝|＋＋|
＝||＝1.
題型三　向量加法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
例3 在靜水中船的速度為20 m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向.
解　作出圖形，如圖.船速v船與岸的方向成α角，由圖可知v水＋v船＝v實(shí)際，結(jié)合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，∴α＝60°，
從而船與水流方向成120°的角.
故船行進(jìn)的方向是與水流的方向成120°的角的方向.
小結(jié) 　應(yīng)用向量解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.
(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題.
(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題.
變式3 一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達(dá)B地，再由B地沿正北方向飛行40 km到達(dá)C地，求此時(shí)直升飛機(jī)與A地的相對(duì)位置.
解　如圖所示，設(shè)，分別是直升飛機(jī)的位移，則表示兩次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，
||＝20 km，||＝20 km.
在Rt△ACD中，
||＝＝40 km，∠CAD＝60°，
即此時(shí)直升飛機(jī)位于A地北偏東30°方向，且距離A地40 km處.
方法小結(jié)
1.重要思想與方法
(1)三角形法則和平行四邊形法則都可用于求向量的和，二者是統(tǒng)一的.當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)，選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，選用平行四邊形法則.
(2)在應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則求向量的和時(shí)，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法.
2.易錯(cuò)易混點(diǎn)提醒
向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量平移到共同起點(diǎn).
分層作業(yè)
A基礎(chǔ)能力提升
一、單選題
1．平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先用表示出，然后相加，即可得到本題答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減法運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.
2．在中，為中點(diǎn)，且，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】選取向量，為基底，由向量線性運(yùn)算，求出，即可求得結(jié)果.
【詳解】， ，
，
，，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.
3．向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．為實(shí)數(shù)0 C．與方向相同 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)相反向量的定義，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；與方向相反，故C錯(cuò)誤；，故D正確.
故選：D.
4．已知中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不妨設(shè)為等腰直角三角形，其中，以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系,分別求得向量 的坐標(biāo)，利用平面向量的基本定理求解.
【詳解】不妨設(shè)為等腰直角三角形，其中，以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系；
設(shè)，故，，
故，，，
故，，
設(shè)，
則，
解得，
故．
故選：C
5．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．向量與向量長(zhǎng)度相等 B．單位向量都相等
C．的長(zhǎng)度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋院突橄喾聪蛄浚L(zhǎng)度相等，方向相反，故A選項(xiàng)正確；
單位向量長(zhǎng)度都為，但方向不確定，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
根據(jù)零向量的概念，易知C選項(xiàng)正確；
向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故D選項(xiàng)正確；
故選：B.
6．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是矩形 B．四邊形是菱形
C．四邊形是正方形 D．四邊形是平行四邊形
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則及向量相等的充要條件判斷即可；
【詳解】解：，，
，且，四邊形是平行四邊形．
故選：D．
二、多選題
7．已知點(diǎn)P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．向量與可能平行 B．點(diǎn)P在線段EF上
C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算化簡(jiǎn)得到，即可判斷ABC選項(xiàng)；
根據(jù)點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)得到，，，然后得到，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋裕矗渣c(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故A錯(cuò)，BC正確；
設(shè)邊上的高為，因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，所以，，又點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，，所以，則，，所以，故D錯(cuò).
故選：BC.
8．已知，，分別是△三邊，，的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和向量的加法三角形法則和平行四邊形法則，可得選項(xiàng).
【詳解】由加法的三角形法則可得，，，
由三角形的中位線性質(zhì)得，四邊形ADEF是平行四邊形，，，
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法的三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用，關(guān)鍵在于由三角形的中位線的性質(zhì)得出向量的共線關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
三、填空題
9．設(shè)為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，為平行四邊形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，則 ．
【答案】4
【詳解】
，，故答案為.
10．如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P在上，判斷下列各式是否正確（正確的在括號(hào)內(nèi)打“√"，錯(cuò)誤的打“×”）
（1）．( )
（2）．( )
（3）．( )
【答案】 × √ ×
【解析】（1）由圖形得；（2）、（3）利用向量加法幾何意義；
【詳解】對(duì)（1），因?yàn)椋剩?）錯(cuò)誤；
對(duì)（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正確；
對(duì)（3），，故（3）錯(cuò)誤.
故答案為：(1) ×；(2) √；(3) ×
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時(shí)注意三角形法則的運(yùn)用.
11．若向量，不共線，且，，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設(shè)向量，的夾角為，利用展開計(jì)算，再將代入，寫出的范圍.
【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)椋裕窒蛄浚还簿€，所以，所以，即.
故答案為：.
12．若，則
【答案】
【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴.
故答案為：.
四、解答題
13．如圖，在五邊形中，四邊形是平行四邊形，且，，，試用，，分別表示，，，及．
【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)向量的加法法則結(jié)合幾何圖形，即可求出結(jié)果.
【詳解】，
，，
.
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?br/>所以,
.
綜上，，，，及.
14．如圖，在中，，.
(1)，求的值；
(2)若，，試用，表示.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)在中運(yùn)用向量的加法與相反向量及數(shù)乘關(guān)系可求解；
(2)，，兩式相減化簡(jiǎn)整理可得答案.
【詳解】（1），
所以，，
故.
（2）因?yàn)椋?br/>，
所以，
故.
15．如圖，已知向量，，不共線，作向量++．
【答案】答案見詳解.
【分析】利用向量加法的三角形法則即可求解.
【詳解】由向量加法的三角形法則，
++如圖，
16．如圖所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法則直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
B數(shù)學(xué)素養(yǎng)落實(shí)
一、單選題
1．（2023·新疆·高三學(xué)業(yè)考試）在平行四邊形ABCD中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根據(jù)向量的運(yùn)算可得答案.
【詳解】.
故選：A.
2．（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，，均為單位向量，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形不等式，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】平面向量，，均為單位向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時(shí)取等號(hào)，
則當(dāng)時(shí)，與共線，反之，與共線并且方向相反時(shí)，，
所以“”是“與共線”的充分不必要條件，A正確.
故選：A
3．（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理和線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖所示，
所以.
故選：B.
4．（2023下·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】,
故選：B
二、多選題
5．（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)以下各式，結(jié)果為的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】對(duì)A，，故A正確；
對(duì)B，，故B正確；
對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正六邊形中， .
【答案】
【分析】將平移到，平移到，根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算即可求解.
【詳解】將平移到，平移到，
故.
故答案為:.
7．（2023下·上海浦東新·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn) .
【答案】
【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】.
故答案為：
8．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）填空：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】（1）（2）利用平面向量的加法法則可化簡(jiǎn)所求向量.
【詳解】（1）；
（2）.
故答案為：（1）；（2）.
四．解答題
9．（2022下·高一課前預(yù)習(xí)）已知用向量加法的三角形法則作出.
(1)；
(2).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）（2）利用向量加法法則即可求解.
【詳解】（1）
（2）
七、計(jì)算題
10．（2022下·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，為邊長(zhǎng)為1的正六邊形，O為其幾何中心.
(1)化簡(jiǎn)；
(2)化簡(jiǎn)；
(3)化簡(jiǎn)；
(4)求向量的模.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形法則直接求解即可；
（2）根據(jù)，進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)，結(jié)合加法法則求解即可；
（4）根據(jù)，結(jié)合加法法則求解得，進(jìn)而得模.
【詳解】（1）解：根據(jù)向量的平行四邊形法則得；
（2）解：根據(jù)題意，，所以；
（3）解：因?yàn)椋裕?br/>（4）解：因?yàn)椋裕?br/>所以

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