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專題1.7 胡不歸模型（最值模型）
模塊1：模型簡介及知識儲備
【模型背景】從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”?？吹竭@里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題。
知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。
若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關系。
【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V11），記，即求BC+kAC的最小值.
2）構造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉化為求BC+CH最小值.
3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解題關鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。
模塊2：核心模型點與典例
例1．（2023·四川樂山·統考二模）如圖，菱形中，，，是對角線上的任意一點，則的最小值為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖：過點E作，過點B作，連接,由菱形的性質結合題意可得結合可得，則,即；再根據三角形的三邊關系可得,則當時，即F與重合時，有最小值，最后解直角三角形求出即可．
【詳解】解：如圖：過點E作，過點B作，連接．

∵在菱形中，，∴，
∵，∴，，即．
∴．∴．∵
∴當時，即F與重合時，有最小值
∴的最小值．故選B．
【點睛】本題考查菱形的性質、解直角三角形等知識點，找到有最小值的位置是解答本題的關鍵．
例2．（2023·云南昆明·統考二模）如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】連接AC，作，證明當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，再利用勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出結果．
【詳解】解：連接AC，作
∵是正方形且邊長為4，∴，，，
∵，∴，∴，
∴當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG，
∵，，∴，∵，∴，
設，則，∴，解得：，
設，則，∵，∴，解得：
∴，故選：D
【點睛】本題考查正方形的性質，動點問題，勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半，解題的關鍵是證明當取最小值時，A，P，G三點共線，且，此時最小值為AG．
例3．（2023·湖北武漢·九年級期末）如圖， 中，，，為邊上一點，則的最小值為______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延長線于H，由直角三角形的性質可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當H、P、B三點共線時HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【詳解】如圖，過點作，交的延長線于，
四邊形是平行四邊形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
當點，點，點三點共線時，HP+PB有最小值，即有最小值，
此時 ，，，∴ ，
則最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質，直角三角形的性質，垂線段最短等知識．構造直角三角形是解題的關鍵．
例4．（2022·廣東佛山·?？家荒＃┰谶呴L為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為 ___________．
【答案】0
【分析】作于，可得出，從而得的最小值，將變形為，進一步得出結果．
【詳解】解：如圖，作于，
∵四邊形是正方形，，，的最小值為0，
∵，∴的最小值為0，故答案為：0．
【點睛】本題考查了正方形的性質，解直角三角形等知識，解題關鍵是作輔助線轉化線段．
例5．（2022春·湖南湘西·八年級統考階段練習）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，點是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則的最小值是____________．
【答案】
【分析】作DE⊥AB于E點，連接BD，根據垂線段最短，此時DE最短，即PA+PB+PD最小，根據菱形性質和等邊三角形的性質即可求出DE的長，進而得出結論．
【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于E點，連接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°
∴∠DAB=60°，則△ABD為等邊三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE
∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根據垂線段最短，此時DE最短，即PA+PB+PD最小
∵菱形的邊長為4∴AB=4，AE=2∴DE=
∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值為故答案為：
【點睛】本題考查菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，掌握菱形性質，將多條線段轉化是解題關鍵．
例6．（2022·山東濟寧·?？寄M預測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．
①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．
【答案】（1）證明見解析；（2）① ；②和 走完全程所需時間為 ．
【分析】（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進行證明即可；（2）①構造直角三角形求即可；
②先確定點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間．
【詳解】（1） 四邊形 是矩形， ，
與 交于點O,且 關于 對稱，
，， 四邊形 是菱形；
（2）①連接 ,直線 分別交 于點 ,交 于點 ，
關于 的對稱圖形為 ， ，
在矩形 中， 為 的中點，且O為AC的中點，
為 的中位線 ， ，同理可得： 為 的中點， ，
， ；
②過點P作 交 于點 ， 由 運動到 所需的時間為3s，
由①可得，，
點Q以 的速度從P到A所需的時間等于以 從M運動到A，
即：， 由O運動到P所需的時間就是OP+MA和最小.
如下圖，當P運動到 ,即 時，所用時間最短.，
在 中，設， ，
，解得： ， ，和 走完全程所需時間為．
模塊3：同步培優題庫
全卷共23題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·四川攀枝花·統考二模）如圖，中，，，，為邊上的一動點，則的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】C
【分析】過點作，交的延長線于點，由銳角三角函數可得，即，則當點，點，點三點共線且時，有最小值，由可求最小值為．
【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，
，，，
，，
當點，點，點三點共線且時，有最小值，即最小值為，
，．故答案為3．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，垂線段最短和銳角三角函數的性質，熟練應用相關性質是解題的關鍵．
2．（2023秋·山東日照·九年級校聯考期末）如圖，在矩形中，，，點P是對角線上的動點，連接，則的最小值為（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【分析】直接利用已知得出，再將原式變形，進而得出最小值，進而得出答案．
【詳解】解：過點A作，過點D作于點M，交于點P，
∵在矩形中，，， ∴，
∴， 則，∴，
∴， ．
即的最小值為6．故選B．
【點睛】本題考查的是矩形的性質，銳角三角函數的應用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題關鍵．
3．（2022·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為　　
A．4 B．5 C． D．
解：如圖，過點作于點，過點作于點，連接交于點．
四邊形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值為4，故選：．
4．（2022·山東濟南·統考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且，點P是線段BD上的一個動點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，此時的長度最小為MH，再算出MC的長度， 在中利用三角函數即可解得MH．
【詳解】解：過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，
∵菱形中，，∴，為等邊三角形，
∴，，∴在中，，∴，
∴此時得到最小值，，
∵，，∴，又∵，∴,故選：B.
【點睛】本題主要考查了菱形的性質與三角函數，能夠找到最小值時的P點是解題關鍵．
5．（2023·安徽合肥·校聯考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點D、F分別是邊AB，BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+ FB的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由FB聯想到給FB構造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC補成等邊△ABP，過F作BP的垂線FH，故GF+FB＝GF+FH，易得當G、F、H成一直線時，GF+FB最短．又由于點G為動點，易證點G在以AC為直徑的圓上，求點G到PB的最短距離即當點G在點O到BP的垂線段上時，GQ的長度．
【詳解】延長AC到點P，使CP＝AC，連接BP，過點F作FH⊥BP于點H，取AC中點O，連接OG，過點O作OQ⊥BP于點Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等邊三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴當G、F、H在同一直線上時，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于點G∴∠AGC＝90° ∵O為AC中點∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三點共圓，圓心為O，即點G在⊙O上運動∴當點G運動到OQ上時，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝∴GH最小值為 故選C．
【點睛】本題考查了含30°直角三角形性質，垂直平分線性質，點到直線距離，圓上點與直線距離，最短路徑．解題關鍵是找到點G運動到什么位置時，GH最小，進而聯想到找出點G運動路徑再計算．
二、填空題（本大題共15小題，每小題4分，共60分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6. （2023.綿陽市八年級期中）P是正方形對角線上一點，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為 。
解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB）
連接AC交 BD于O，作BE使∠PBE=30°，過點P作PF⊥BE，PF=PB.
顯然A、P、F共線時PA+PB最小。此時 PA+PB=AF
∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE=
利用等面積法:×AF×BE=×AE×BO 解得：AF=
注意：本題也可以利用費馬點（旋轉作圖）來解決。
7．（2023·四川宜賓·?？寄M預測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．
【答案】
【分析】過點P作PQ⊥AD于點Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知當B、P、Q三點共線時有最小值，然后利用解直角三角形的知識進行求解即可.
【詳解】過點P作PQ⊥AD，垂足為Q，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，
∴當點B、P、Q三點共線時有最小值，
∴的最小值為，故答案為：3.
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形，線段之和最短問題，正確添加輔助線，靈活運用相關知識是解題的關鍵.
8．（2023·陜西寶雞·統考二模）如圖，在矩形中，，，點是對角線上的動點，連接，則的最小值為______．
【答案】
【分析】直接利用已知得出，再將原式變形，進而得出最小值，進而得出答案．
【詳解】過點A作，過點D作于點H，交于點，
∵在矩形中，，∴，∴，則，
∵，
此時最小，∴的最小值是．故答案為：．
【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關鍵．
9．（2023春·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值等于______．
【答案】4
【分析】由四邊形是菱形，根據已知線段長度，將轉化，再根據垂線段最短即可求解．
【詳解】解：如圖，連接交于點M，過點M作于點H，過點A作于點G，交于點P，
四邊形是菱形，邊長為5，，
，，，，
，，
，，，
，，
，即，，
當A，P，G三點共線且時，取最小值，最小值為，
菱形的面積，，
的最小值是4．故答案為：4．
【點睛】本題考查菱形的性質，解直角三角形，以及最短路徑問題，熟練掌握菱形的性質，勾股定理，菱形的面積公式，將轉化為是解題的關鍵．
10．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值是______．
【答案】
【分析】過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，此時的長度最小為MH，再算出MC的長度， 在直角三角形MPC中利用三角函數即可解得MH
【詳解】過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，此時的長度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC為等邊三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此時得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案為：
【點睛】本題主要考查了菱形的性質與三角函數，能夠找到最小值時的P點是解題關鍵.
11．（2023·黑龍江佳木斯·統考一模）如圖，菱形ABCD中，，邊長為3，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．
【答案】
【分析】求兩條線段之和的最小值問題，通常轉化為兩點之間的距離，在平面中，兩點間的距離最短．
【詳解】解：如圖所示：
過點作交于點，過點作交于點，
四邊形是菱形，，
∴∠ABP=30°，，，
由垂線段最短可知，的最小值為的長，
，
即的最小值是：，故答案是：．
【點睛】本題考查了動點中的最短路徑問題，解題的關鍵是：通過等量代換，轉化為兩點之間的距離．
12．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．
【答案】3
【詳解】思路引領：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．易證ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．
答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，
在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值為3，故答案為3．
13．（2022·廣東中山·統考二模）如圖，菱形的對角線，點E為對角線上的一動點，則的最小值為_________．
【答案】3
【分析】過點作的垂線，垂足為，過點作，根據已知條件求得的長，根據含30度角的直角三角形的性質，可得，當時，最小，股定理求得的長即可求解．
【詳解】如圖，過點作的垂線，垂足為，過點作，
中，
，
如圖，當時，最小，最小值為
的最小值為．故答案為：
【點睛】本題考查了菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，軸對稱求線段和的最小值，垂線段最短，轉化線段是解題的關鍵．
14．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+BM的最小值為_____．
【答案】4
【分析】如圖，過點A作AT⊥BC于T，過點M作MH⊥BC于H，根據菱形的性質和30°角的直角三角形的性質可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即為AT的長，再利用解直角三角形的知識求解即可．
【詳解】解：如圖，過點A作AT⊥BC于T，過點M作MH⊥BC于H．
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值為4，故答案為：4．
【點睛】本題考查了菱形的性質、30°角的直角三角形的性質、垂線段最短以及解直角三角形等知識，屬于常考題型，熟練掌握上述知識、明確解答的方法是解題關鍵．
15．（2023·浙江寧波·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．
【答案】6
【分析】先求出點A，點B坐標，由勾股定理可求AB的長，作點B關于OA的對稱點，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質可得CH＝AC，則，即當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質可求解．
【詳解】解：∵一次函數分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴，
作點B關于OA的對稱點，連接 ，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：
∴，∴，∴，∴是等邊三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此時，，是等邊三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．
【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，確定點C的位置是解題的關鍵．
16．（2023·湖南湘西·統考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為 ．

【答案】6
【分析】過點P作，連接并延長交于點F，連接，根據等邊三角形的性質和圓內接三角形的性質得到，，然后利用含角直角三角形的性質得到，進而求出，然后利用代入求解即可．
【詳解】如圖所示，過點P作，連接并延長交于點F，連接

∵是等邊三角形，∴
∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4∴，，
∴∴
∵∴∴
∵，∴∴
∴的最小值為的長度 ∵是等邊三角形，，
∴∴的最小值為6．故答案為：6．
【點睛】此題考查了圓內接三角形的性質，等邊三角形的性質，含角直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
17．（2023·江蘇宿遷·統考二模）已知中，，則的最大值為 ．

【答案】
【分析】過點C作，垂足為D，取，即可說明是等腰直角三角形，求出，進一步求出，繼而將轉化為，推出點D在以為直徑的圓上，從而可知當為等腰直角三角形時，最大，再求解即可．
【詳解】解：如圖，過點C作，垂足為D，取，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，而一定，
∴當的面積最大時，最大，∵，∴點D在以為直徑的圓上，
∴當D平分時，點D到的距離最大，即高最大，則面積最大，
此時，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．
．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，含30度的直角三角形的性質，圓周角定理，解題的關鍵是添加輔助線，將最值轉化為的長．
18．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+ PD的最小值等于______.
【答案】
【分析】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，根據四邊形ABCD是平行四邊形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當PB+PE最小時2PB+ PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【詳解】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴當PB+PE最小時2PB+ PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案為：6.
【點睛】此題考查平行四邊形的性質，直角三角形含30°角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉化為三點共線的形式是解題的關鍵.
19．（2022·四川眉山·統考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．
【答案】
【分析】先證明四邊形ABCD是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，可得，，然后根據勾股定理可得，則，進而求出，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，
當B、P、M在同一直線上時，為最小，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，進而求解即可．
【詳解】兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，
即，四邊形ABCD是平行四邊形，
，，四邊形ABCD是菱形，
過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，如圖，
，，
，，，
，，
，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖，
，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，
當B、P、M在同一直線上時，為最小，如圖，
，，
的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了三角函數、菱形的性質與判定及含30°直角三角形的性質，解題的關鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據三角函數及菱形的性質進行求解即可．
20．（2022·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，點P是對角線AC上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．
【答案】6
【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再將原式變形，進而得出PA+PD最小值，進而得出答案．
【詳解】過點A作∠CAN=30°，過點D作DM⊥AN于點M，交AC于點P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，則∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），
，
此時PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案為：6．
【點睛】此題主要考查了胡不歸問題，正確作出輔助線是解題關鍵．
三、解答題（本大題共3小題，共40分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
21．（2022·江蘇·統考一模）如圖1，平面內有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關于點的勾股點．
（1）如圖2，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點、、、、、、均在小正方形的頂點上，則點E是關于點B的勾股點.
（2）如圖3，是矩形內一點，且點是關于點的勾股點,
①求證：；②若，，求的度數．
（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內一點，且點是關于點的勾股點．①當時，求的長；②直接寫出的最小值．
【答案】（2）①證明見解析；②30°；（3）①AE的長為或；②．
【分析】（2）①由矩形性質得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根據勾股數得BC2+EC2=AC2，又因為AD=BC，即得CE=CD．②設∠CED=α，根據∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三個內角，利用三角形內角和180°為等量關系列方程，即求出α進而求出∠ADE．
（3）由條件“點C是△ABE關于點A的勾股點”仍可得CE=CD=5，作為條件使用．①△ADE是等腰三角形需分3種情況討論，把每種情況畫圖再根據矩形性質和勾股定理計算，即能求AE的長．②在CB上截取CH= ，利用兩邊對應成比例及夾角相等構造△ECH∽△BCE，把BE轉化為EH，所以當點A、E、H在同一直線上時，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．
【詳解】解：（2）①證明：∵點C是△ABE關于點A的勾股點∴CA2=CB2+CE2
∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2∴CB2+CE2=CB2+CD2∴CE=CD
②設∠CED=α，則∠CDE=∠CED=α∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE∴∠DAE=∠DEA=135°-α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2（135°-α）+（90°-α）=180°解得：α=60°∴∠ADE=90°-60°=30°
（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8∴AD=BC=8，CD=AB=5
∵點C是△ABE關于點A的勾股點∴CE=CD=5
i）如圖1，若DE=DA，則DE=8
過點E作MN⊥AB于點M，交DC于點N
∴∠AME=∠MND=90°∴四邊形AMND是矩形
∴MN=AD=8，AM=DN設AM=DN=x，則CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2∴82-x2=52-（5-x）2解得：x=
∴EN= ，AM=DN=∴ME=MN-EN=8-,
∴Rt△AME中，AE=
ii）如圖2，若AE=DE，則E在AD的垂直平分線上
過點E作PQ⊥AD于點P，交BC于點Q∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°
∴四邊形CDPQ是矩形∴PQ=CD=5，CQ=PD=4
∴Rt△CQE中，EQ=＝3∴PE=PQ-EQ=2
∴Rt△APE中，AE=
iii）如圖3，若AE=AD=8，則AE2+CE2=AD2+CD2=AC2∴∠AEC=90°
取AC中點O，則點A、B、C、D在以O為圓心、OA為半徑的⊙O上
∴點E也在⊙O上∴點E不在矩形ABCD內部，不符合題意
綜上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的長為或．
②在CB上截取CH= ，連接EH
∴ ,∵∠ECH=∠BCE∴△ECH∽△BCE
∴ ,∴EH=BE∴AE+BE=AE+EH
∴當點A、E、H在同一直線上時，AE+BE=AH取得最小值
∵BH=BC-CH=8-＝ ,∴AH= ∴AE+BE的最小值為．
【點睛】此題考查勾股定理、勾股定理逆定理的應用，矩形性質，等腰三角形性質，解一元一次方程和一元二次方程，圓的定義和圓周角定理．解題關鍵是對新定義概念的性質運用，第（3）①題等腰三角形的分類討論需數形結合把圖形畫出后再解題，②可利用特殊位置試算得到最小值，計算過程較繁瑣復雜．
22．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第七中學校考期中）在菱形中，．
(1)如圖1，過點B作于點E，連接，點是線段的中點，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，連接．點Q是對角線上的一個動點，若，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性質求出，從而得到，，利用勾股定理求出，再運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案；
（2）過點在直線的上方作，分別過點、作于點，于點，交于點，連接，則，，當點與重合時，的值最小，當點與重合時，．再根據菱形性質和等腰直角三角形性質即可求得答案．
【詳解】（1）解：，，，
在菱形中，，，在中，，
點是線段的中點，；
（2）如圖，過點在直線的上方作，分別過點、作于點，于點，交于點，
連接，則，、關于直線對稱，，
，當點與重合時，的值最小，
當點與重合時，．當點與不重合時，．
四邊形是菱形，，，
又，，
，，，
即的最小值是．的最小值是．
【點睛】本題是菱形綜合題，考查的是軸對稱最短路徑問題、點到直線的距離垂線段最短，菱形的性質、直角三角形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等，掌握軸對稱最短路徑的確定方法、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．
23．（2023春·廣東揭陽·九年級統考期末）如圖，矩形的對角線，相交于點O，關于的對稱圖形為．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，．①求的值；
②若點P為線段上一動點（不與點A重合），連接，一動點Q從點O出發，以的速度沿線段勻速運動到點P，再以的速度沿線段勻速運動到點A，到達點A后停止運動．設點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間為t，求t的最小值．
【答案】(1)見解析(2)①；②t的最小值為3
【分析】（1）根據矩形的性質可得，折疊的性質可得，即可求證；
（2）①連接交于點M，作交的延長線于H，根據菱形的性質得出，，，通過證明四邊形是矩形，得出， ，則，根據勾股定理得出最后根據，即可求解；②根據題意得出點Q的運動時間 ，連接，過點P作于H，則，進而得出，根據垂線段最短可知，當點O，P，H共線且與重合時，t有最小值，t的最小值為的值，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，
∵關于的對稱圖形為，∴，∴四邊形是菱形．
（2）解：①如答圖1中，連接交于點M，作交的延長線于H．

∵四邊形是菱形，∴，，
∵，∴為中位線，∴，
∵，∴四邊形是矩形，
∴， ，∴，
在中，∴
②由題意得：點Q的運動時間
如答圖2中，連接，過點P作于H，

由①，得 過點O作于M．如答圖2
根據垂線段最短可知，當點O，P，H共線且與重合時，
t有最小值，t的最小值為的值， 又所以t的最小值為3．
【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的判定和性質、銳角三角函數、相似三角形的判定和性質、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用垂線段最短解決最值問題，是中考壓軸題．
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專題1.7 胡不歸模型（最值模型）
模塊1：模型簡介及知識儲備
【模型背景】從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”?？吹竭@里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題。
知識儲備：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。
若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關系。
【模型解讀】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V11），記，即求BC+kAC的最小值.
2）構造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉化為求BC+CH最小值.
3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。?br/>【解題關鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短。
模塊2：核心模型點與典例
例1．（2023·四川樂山·統考二模）如圖，菱形中，，，是對角線上的任意一點，則的最小值為（ ）．

A． B． C． D．
例2．（2023·云南昆明·統考二模）如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
例3．（2023·湖北武漢·九年級期末）如圖， 中，，，為邊上一點，則的最小值為______．
例4．（2022·廣東佛山·校考一模）在邊長為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為 ___________．
例5．（2022春·湖南湘西·八年級統考階段練習）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，點是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則的最小值是____________．
例6．（2022·山東濟寧·?？寄M預測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．
①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．
模塊3：同步培優題庫
全卷共23題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·四川攀枝花·統考二模）如圖，中，，，，為邊上的一動點，則的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
2．（2023秋·山東日照·九年級校聯考期末）如圖，在矩形中，，，點P是對角線上的動點，連接，則的最小值為（ ）
A． B．6 C． D．4
3．（2022·重慶·九年級期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值為　　
A．4 B．5 C． D．
4．（2022·山東濟南·統考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且，點P是線段BD上的一個動點，則的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2023·安徽合肥·校聯考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點D、F分別是邊AB，BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+ FB的最小值是（　?。?br/>A． B． C． D．
二、填空題（本大題共15小題，每小題4分，共60分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6. （2023.綿陽市八年級期中）P是正方形對角線上一點，AB=2，則PA+PB+PC的最小值為 。
7．（2023·四川宜賓·?？寄M預測）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．
8．（2023·陜西寶雞·統考二模）如圖，在矩形中，，，點是對角線上的動點，連接，則的最小值為______．
9．（2023春·廣東廣州·九年級?？茧A段練習）如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值等于______．
10．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值是______．
11．（2023·黑龍江佳木斯·統考一模）如圖，菱形ABCD中，，邊長為3，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．
12．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．
13．（2022·廣東中山·統考二模）如圖，菱形的對角線，點E為對角線上的一動點，則的最小值為_________．
14．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM+BM的最小值為_____．
15．（2023·浙江寧波·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．
16．（2023·湖南湘西·統考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為 ．

17．（2023·江蘇宿遷·統考二模）已知中，，則的最大值為 ．

18．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+ PD的最小值等于______.
19．（2022·四川眉山·統考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．
20．（2022·陜西西安·校考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，點P是對角線AC上的動點，連接PD，則PA＋2PD的最小值________．
三、解答題（本大題共3小題，共40分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
21．（2022·江蘇·統考一模）如圖1，平面內有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關于點的勾股點．
（1）如圖2，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點、、、、、、均在小正方形的頂點上，則點E是關于點B的勾股點.
（2）如圖3，是矩形內一點，且點是關于點的勾股點,
①求證：；②若，，求的度數．
（3）如圖3，矩形中，，，是矩形內一點，且點是關于點的勾股點．①當時，求的長；②直接寫出的最小值．
22．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第七中學?？计谥校┰诹庑沃校?br/>(1)如圖1，過點B作于點E，連接，點是線段的中點，連接，若，求線段的長度；(2)如圖2，連接．點Q是對角線上的一個動點，若，求的最小值．
23．（2023春·廣東揭陽·九年級統考期末）如圖，矩形的對角線，相交于點O，關于的對稱圖形為．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，若，．①求的值；
②若點P為線段上一動點（不與點A重合），連接，一動點Q從點O出發，以的速度沿線段勻速運動到點P，再以的速度沿線段勻速運動到點A，到達點A后停止運動．設點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間為t，求t的最小值．
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