資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.1 直線與圓的位置關系
模塊1：學習目標
1.了解直線與圓的三種位置關系；
2.了解圓的切線的概念；
3.熟練掌握切線性質及判定定理；
模塊2：知識梳理
考點1 直線與圓的位置關系
1、直線與圓相離 無公共點；
2、直線與圓相切 有一個公共點；
3、直線與圓相交 有兩個公共點；
考點2 切線的性質與判定定理
1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
2、性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如右圖）
推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。
模塊3：核心考點與典例
考點1、判斷直線與圓的位置關系
例1．（2023上·江蘇南京·九年級統考階段練習）設的半徑為，點在直線上，已知，那么直線與的位置關系是 ．
【答案】相切或相交/相交或相切
【分析】本題主要考查直線與圓的位置關系，由條件可知點在上，則可知直線與相切或相交，即可得到答案，由條件判斷出點在圓上是解題的關鍵．
【詳解】解：，，，
點在直線上，，直線與相切或相交，故答案為：相切或相交．
變式1. （2023上·廣東肇慶·九年級校考階段練習）已知的半徑是，點到同一平面內直線的距離為一元二次方程的根，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷
【答案】C
【分析】本題考查的是直線與圓的位置關系，解一元二次方程，先求解方程，再比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．
【詳解】∴，解得，
∴點到同一平面內直線的距離，
∴直線與的位置關系是相離，故選：C．
變式2. （2023上·江蘇鹽城·九年級統考期中）在平面直角坐標系中，以點為圓心，4為半徑的圓（ ）
A．與x軸相切，與y軸相交 B．與x軸相離，與y軸相交
C．與x軸相交，與y軸相切 D．與x軸相切，與y軸相離
【答案】A
【分析】本題考查的是直線與圓的位置關系以及點到坐標軸的距離．由已知點可求該點到x軸，y軸的距離，再與半徑比較，確定圓與坐標軸的位置關系．
【詳解】解：點到x軸為4，等于半徑4，
點到y軸的距離為2，小于半徑4，
故該圓與x軸相切，與y軸相交，故選：A．
考點2、已知直線與圓的位置關系求參數
例1．（2022下·福建南平·九年級福建省南平第一中學校考自主招生）如圖，直線與圓心在原點，半徑為的圓有公共點，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據等面積法算出坐標原點到直線的距離，根據圓與直線有交點可判斷圓半徑范圍；
【詳解】 解：過原點作交于點C，
直線與坐標軸的交點為A、B兩點，
令解得，故A點坐標為：令解得，故B點坐標為：
故直線到坐標原點的距離為：，
直線與圓有公共點，故；故選：C．
【點睛】此題考查了直線與圓的位置關系、勾股定理以及直角三角形的性質，此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
變式1.（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）已知一次函數的圖像經過第一、二、四象限，以坐標原點O為圓心、r為半徑作．若對于符合條件的任意實數k，一次函數的圖像與總有兩個公共點，則r的最小值為 ．
【答案】2
【分析】由的圖像經過第一、二、四象限，可知，由過定點，可知當圓經過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，進而可得r的最小值是2．
【詳解】解：∵的圖像經過第一、二、四象限，∴，隨的增大而減小，
∵過定點，∴當圓經過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，
∴r的臨界點是2，∴r的最小值是2，故答案為：2．
【點睛】本題考查了一次函數圖像，直線與圓的位置關系．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
變式2.（2022上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）已知的斜邊，直角邊．以點C為圓心，當半徑r取 值時，與邊只有一個公共點．
【答案】或
【分析】分當圓和斜邊相切和當圓和斜邊相交兩種情況求解即可．
【詳解】如圖，
∵斜邊，直角邊，∴．
當圓和斜邊相切時，則半徑即是斜邊上的高；
當圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則．故答案為或．
【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，在解答此題時要注意分兩種情況討論，不要漏解．
考點3、直線與圓的相關平移問題
例1．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，直線與x軸、y 軸分別相交于點A、B兩點，圓心P的坐標為（2，0）．⊙P與y軸相切于點O，若將⊙P沿x軸向左移動，當⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的個數是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根據題意，⊙P沿x軸向左移動，分別與直線相切于點M、N，且圓心分別為點、；根據一次函數的性質，求得，；根據特殊角度三角函數的性質，得，結合平移的性質，推導得；同理，推導得；根據直線與圓位置關系的性質，得符合題意要求的點P坐標，即可得到答案．
【詳解】根據題意，⊙P沿x軸向左移動，分別與直線相切于點M、N，且圓心分別為點、，如下圖：
∴，且將⊙P沿x軸向左移動，當⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P，再點和之間
直線與x軸、y 軸分別相交于點A、B兩點
∴， ∴， ∴
∴ ∴∴，即
∵ ∴∴，即
∴符合題意要求的點P坐標為：，，，，，，
∴當⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的個數是：7故選：C．
【點睛】本題考查了平移、一次函數、圓、三角函數、直角坐標系的知識；解題的關鍵是熟練掌握平移、直線與圓位置關系、切線、特殊角度三角函數的性質，從而完成求解．
變式1.（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的的圓心P的坐標為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

【答案】/
【分析】分兩種情況討論：位于軸左側和位于軸右側，根據平移的性質和圓的切線的性質分別求解，即可得到答案．
【詳解】解：的圓心P的坐標為，，
的半徑為2，，，，
當位于軸左側且與軸相切時，平移的距離為1，
當位于軸右側且與軸相切時，平移的距離為5，
平移的距離d的取值范圍是，故答案為：．

【點睛】本題考查了平移的性質，直線與圓的位置關系，解題關鍵是掌握當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．
變式2.（2023上·江西南昌·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為2的的圓心P從點（點A在直線上）出發以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設點P運動的時間為秒，則當 時，與坐標軸相切．

【答案】2或6或10
【分析】設與坐標軸的切點為，根據已知條件得到，，，推出是等腰直角三角形，，①當與軸相切時，②如圖，與軸和軸都相切時，③當點只與軸相切時，根據等腰直角三角形的性質得到結論．
【詳解】解：設與坐標軸的切點為，
直線與軸、軸分別交于點、，點，
時，，時，，時，，，，，
，，，是等腰直角三角形，，
①當與軸相切時，

點是切點，的半徑是2，軸，，是等腰直角三角形，
，，，
點的速度為每秒個單位長度，；
②如圖，與軸和軸都相切時，，，
點的速度為每秒個單位長度，；
③當點只與軸相切時，，，
點的速度為每秒個單位長度，．
綜上所述，則當或6或10秒時，與坐標軸相切，故答案為：2或6或10．
【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質，分類討論是解題的關鍵．
考點4、切線的相關概念辨析
例1．（2023上·九年級課時練習）下列直線中可以判定為圓的切線的是（　　）
A．與圓有公共點的直線 B．經過半徑外端的直線
C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線
【答案】D
【分析】根據切線的判定方法逐項分析即可．
【詳解】解：A．與圓有且僅有一個公共點的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；
B．經過半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；
C．經過半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；
D．與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項正確，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個公共點，這時直線與圓的位置關系叫做相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點；經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
變式1.（2023上·廣東九年級課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．與圓有公共點的直線是圓的切線 B．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線
C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線 D．過圓的半徑外端的直線是圓的切線
【答案】B
【分析】根據切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，可判定C、D錯誤；由切線的定義：到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，可判定A錯誤，B正確．注意排除法在解選擇題中的應用．
【詳解】解：A、與圓只有一個交點的直線是圓的切線，故本選項錯誤；
B、到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，故本選項正確；
C、經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項錯誤；
D、經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項錯誤．故選：B．
【點睛】此題考查了切線的判定．此題難度不大，注意掌握切線的判定定理與切線的定義是解此題的關鍵．
變式2.（2023·浙江昌·九年級校考期中）下列說法正確的是（　　）
A．與圓有公共點的直線是圓的切線 B．三角形的內心到三角形三個頂點距離相等
C．和半徑垂直的直線是圓的切線 D．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線
【答案】D
【分析】逐一進行判斷即可．
【詳解】A，與圓有公共點的直線不一定是圓的切線，還可能與圓相交，故該選項錯誤；
B，三角形的外心到三角形三個頂點距離相等，故該選項錯誤；
C，和半徑垂直的直線不一定是圓的切線，有可能是圓內的一條弦，故該選項錯誤；
D，到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，故該選項正確，故選：D．
【點睛】本題主要考查與圓有關的結論，掌握圓的有關性質是解題的關鍵．
考點5、切線的性質定理（求角度）
例1．（2023上·河南許昌·九年級統考期中）如圖，為直徑，P是外的一點，，分別與相切于點A，B，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了切線的性質，連接，由切線的性質求出，的度數，最后利用四邊形的內角和計算即可；解題的關鍵是掌握切線的性質．
【詳解】解：如圖，連接，
，，，
，分別與相切于點A，B，，
，．故選：B．
變式1．（2023上·北京西城·九年級校考階段練習）如圖，交于點切于點，點在上． 若，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了切線的性質、圓周角定理、直角三角形的性質，由切線的性質可得，再由直角三角形的性質可得，最后由圓周角定理即可得出答案，熟練掌握切線的性質、圓周角定理、直角三角形的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：切于點，，，
，，，故選：B．
變式2．（2023上·湖北·九年級校聯考期中）圖，在平面直角坐標系中，已知點，過原點O，且與x軸交于另一點D，為的切線，B 為切點，是的直徑，則 °．

【答案】
【分析】先據點A，的坐標得，進而得的半徑為1，然后在中用銳角三角函數求出，進而得，再證為等邊三角形即可求出的度數．
【詳解】解：點，，，
過原點，為的半徑，為的切線，，，
在中，，，，，，，
又，三角形為等邊三角形，，
即的度數為．故答案為：．
【點睛】此題主要考查了數軸上兩點間距離，切線的性質，銳角三角函數，等邊三角形的判定和性質等，熟練掌握切線的性質，銳角三角函數的定義和等邊三角形的判定和性質是解答此題的關鍵．
考點6、切線的性質定理（求長度）
例1．（2023上·重慶潼南·九年級校聯考期中）如圖，是的直徑，C為上一點，連接、，于點E，是的切線，且，若，，則的長為（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】C
【分析】本題考查了切線的性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，連接，通過證明，得出，則，求出，則，根據切線的定義，求出，最后根據，即可解答．
【詳解】解：連接，如圖，∵是的直徑，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∵是的切線，∴，∴，
∴，故選：C．
變式1. （2023上·江蘇揚州·九年級校考期中）如圖，平面直角坐標系中，點A在y軸上，線段的中點P的坐標為，與x軸相切于點C，則的長度為 ．

【答案】
【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理，矩形的判定和性質，根據點P的坐標得出，進而得出，即可根據勾股定理得出，再證明四邊形為矩形，得出，即可求解．
【詳解】解：連接，過點P作于點D，
∵點P的坐標為，∴，∵點P為中點，∴，
根據勾股定理可得：，
∵與x軸相切于點C，∴軸，∵，，∴四邊形為矩形，
∴，∴，故答案為：．

變式2.（2023上·安徽阜陽·九年級統考階段練習）如圖，是的直徑，與相切于點平分． (1)求證：．(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】本題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質等問題．
（1）連接，根據等邊對等角、角平分線的性質及切線的性質即可證明結論成立．
（2）連接，證明，由相似三角形的性質即可求得的長．
【詳解】（1）連接，如圖所示：
∵直線與相切于C點，∴．∵，∴．
又∵平分．∴，∴，∴．∵．∴．
（2）連接，如圖所示：
∵是的直徑，∴，∵由（1）知：，∴，
又∵，∴，∴，即：，∴
考點7、切線的判定定理（添加條件）
例1．（2023·浙江·九年級統考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當∠CAB的度數等于 度時，AC才能成為⊙O的切線．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度數，因為OA⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數．
【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，
∵當OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，
∴當∠CAB的度數等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．
【點睛】本題考查了切線的判定，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，掌握切線的判定定理是解答此題的關鍵．
變式1.（2023·浙江九年級課時練習）如圖，為的直徑，，當 時，直線與相切．
【答案】1
【分析】直線與相切時，，根據勾股定理即可求出．
【詳解】解：當時，直線與相切，
∴（cm），故答案為：1．
【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質是解題關鍵．
變式2.（2023上·江蘇淮安·九年級淮安市洪澤實驗中學校考階段練習）如圖，直線、相交于點O，，半徑為2的的圓心在直線上，且位于點O左側的距離6處．如果以1的速度沿由A向B的方向移動，那么 秒鐘后與直線相切．

【答案】2或10
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系和含角的直角三角形的性質，由圓的相切解得路程，根據題意與⊙P相切時，，當⊙P在直線左側時如圖，由，求得，則有即可求得時間；當⊙P在直線右側時，同理求得即可求得時間．
【詳解】解：當⊙P在直線左側時，過點作交于點E，如圖，∴，

∵，∴，，
則⊙P向右移動了2，所用時間秒；
當⊙P在直線右側時，如圖，過點作交于點F，則，
∵∴，，
則⊙P向右移動了10，所用時間秒．故答案為：2或10．
考點8、切線的判定定理（證明）
例1．（2023上·山東菏澤·九年級統考期中）如圖，在中，，平分交于點E，點D在邊上且．
(1)判斷直線與外接圓的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)直線與外接圓相切(2)
【分析】本題考查了切線的判定以及勾股定理的有關知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
（1）連接OE，結合兩半徑構成的等腰三角形性質和角平分線定義，易證為垂直關系；
（2）由（1）的結論，根據勾股定理構造方程，可求出半徑長，再求出的值．
【詳解】（1）解：直線AC與外接圓相切．
理由如下：設外接圓的圓心為O，連接OE，如圖，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴AC為的切線．
（2）解：設的半徑為r，則，，
在中，，解得：，∴，
∵，∴，∴．
變式1．（2023上·河南周口·九年級統考階段練習）在四邊形中，，，以點為圓心，長為半徑作，連接，交于，(1)試判斷與的位置關系，并說明理由．(2)若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)與相切，理由見解析(2)
【分析】本題考查切線的判定，全等三角形的判定和性質，扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質，勾股定理：（1）過點作于點，先證，推出，可知點在上，是的半徑，根據切線的判定可知與相切；
（2）先證是等邊三角形，求出的度數，再根據即可求解．
【詳解】（1）解：與相切，理由如下：
如圖：過點作于點，，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，，
，點在上，是的半徑，又，與相切．
（2）解：，是等邊三角形，，
，，
，，，
在中，，
，解得，
．
變式2．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，，點在上，過點作的平行線交于點，交過點的直線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質．（1）根據平行線的性質及，推出，根據直角三角形的性質得出，等量代換推出，則，根據切線的判定定理即可得解；（2）利用勾股定理求出，連接，由等腰三角形三線合一可得，即可求解．
熟記切線的判定定理與性質定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：，，，
，，，是圓的切線；
（2），，
連接，則，由（1）知，則，∴．
考點9、切線的作法
例1．（2023上·江蘇揚州·九年級統考期中）用直尺和圓規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法：

(1)在圖①中，已知，點P在上，過點P作的切線；
(2)在圖②中，已知，點Q在外，過點Q作的切線．
【答案】(1)見詳解(2)見詳解
【分析】本題考查了作圖 復雜作圖、也考查了切線的判定．復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作
（1）以為圓心，大于為半徑畫弧，再以為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別相交于點M、N， 連接，點P在直線（直線）上，即可得直線過P點作的切線得到直線；
（2）連接，作的垂直平分線得到中點O，然后以O點為圓心，為半徑作圓交于A、B，則直線、滿足條件．
【詳解】（1）解：如圖①，切線為所作：

（2）解：如圖②，切線為所作：
變式1.（2023上·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點，連接，過點作．(1)請用無刻度的直尺和圓規作圖：過點作的切線，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）；(2)在（1）的條件下，若，求的長．
【答案】(1)見詳解(2)
【分析】本題考查作圓的切線和全等三角形判定與性質：（1）以點B為圓心，適當長為半徑，畫弧分別交于點M、的延長線于點N，再分別以點M和點N為圓心，大于，的長為半徑，畫弧，分別相交于點G和點H，連接并延長交于一點，即為點F，此時是的垂直平分線，結合，即可作答；（2）由，，可得，而點D在以為直徑的圓上，為的切線，可得，證明，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：過B作，交于F，直線即為所求直線；
（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，
∵點D在以為直徑的圓上，∴，∴，∵為的切線，∴，
∵，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴．
變式2.（2023·江蘇徐州·校考三模）如圖，已知P是外一點．按要求完成下列問題：

(1)作圖：(保留作圖的痕跡)。①連接，與交與點A，延長，與交于點B；
②以點P為圓心，長為半徑畫弧，以點O為圓心，長為半徑畫弧；
③兩弧相交于點C，連接，與交于點D，連接，．
(2)證明：為的切線；(3)計算：利用直尺、三角尺或量角器測量相關數據，可計算出弧與弦所圍“弓形”的面積為______．(結果保留根號或精確到)
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【分析】（1）根據題意完成作圖即可；（2）先連接，得到是等腰三角形，點D是的中點，再利用等腰三角形“三線合一”證明即可；（3）測量出圓的半徑和扇形的圓心角，再根據面積公式計算即可；數據僅供參考，以實際測量為準．
【詳解】（1）解：依題意畫圖如下：

（2）如下圖：連接，依題意得：，；

∵，∴是等腰三角形，∵，，∴
∴點D是的中點，是中底邊上的中線，
∴是中底邊上的高，即， ∴，∴為的切線；
（3）經測量得到，半徑，(數據僅供參考，以實際測量為準)
過點O作于E，則由垂徑定理可知，

∵，，∴°，∴，
∴∴
弧與弦所圍“弓形”的面積為：．
【點睛】本題考查用尺規作圓的切線的方法，圓切線的證明，弓形面積的求法等知識，根據題意正確作出圖形是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·山東聊城·九年級統考期中）在中，，，，以點C為圓心，2為半徑作，直線與的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】C
【分析】本題考查直線與圓的位置關系，解直角三角形．熟記相關結論即可．
若⊙O的半徑為，圓心O到直線的距離為，當時，直線與⊙O相切；當時，直線與⊙O相交；當時，直線與⊙O相離．
【詳解】解：作，如圖所示：

∵，，∴
∴故直線與的位置關系是相交故選：C
2．（2023·浙江九年級期中）已知和直線相交，圓心到直線的距離為，則的直徑可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設的半徑為，圓心到直線的距離為，然后根據和直線相交，確定r和d的關系，然后再確定r的取值范圍，進而確定直徑的取值范圍即可解答．
【詳解】解：設的半徑為，圓心到直線的距離為，和直線相交， ，
又 圓心到直線 的距離為 ， ， 直徑大于 ．故選A．
【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系、圓的基本概念等知識點，根據和直線相交得到是解答本題的關鍵．
3．（2021·廣東揭陽·統考一模）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（ ）
A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線
C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則
【答案】A
【分析】根據AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質可以得到點D是BC的中點，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項正確；若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項正確；
根據CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項正確；若，沒有理由可證明DE是⊙O的切線．
【詳解】解：當AB=AC時，如圖：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，
∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項正確；
當DE是⊙O的切線時，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項正確；
當CD=BD時，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以C選項正確．
若，沒有理由證明DE是⊙O的切線，所以A選項錯誤．故選：A．
【點睛】本題考查了切線的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
4．（2023·浙江寧波·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C畫圓弧，則點B與下列格點連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點坐標是(　　)
A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)
【答案】D
【分析】根據切線的判定在網格中作圖即可得結論．
【詳解】解：如圖，
過格點A，B，C畫圓弧，則點B與下列格點連線所得的直線中，
能夠與該圓弧相切的格點坐標是(6，2)．故選：D．
【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定定理是解題的關鍵.
5．（2023上·山東臨沂·九年級統考期中）如圖，切于點，連結交于點交于點，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是切線的性質，圓周角定理的應用，三角形的內角和定理的應用，連接，證明，，可得，從而可得．
【詳解】解：如圖，連接，

∵切于點，∴，
∵， ，∴，
∴，∴；故選：D．
6．（2023上·四川綿陽·九年級校考期中）如圖，是圓的弦，，，相交于點，且．連接，當，時，則線段的長為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本題考查了切線的性質與判定，勾股定理；連接，由，利用等邊對等角得到，再由垂直于，得到三角形為直角三角形，得到兩銳角互余，等量代換得到垂直于，即可證得為圓的切線；設，則，在中，根據勾股定理得出，通過解方程即可求得．
【詳解】解：連接，

，，，，
，，即，
，，即，則為圓的切線；
解：設，則，而，在中， ，
即，解得，線段的長是．故選：B．
7．（2023上·山東德州·九年級校聯考期中）如圖，點A在半徑為2的上，過線段上的一點作直線，與過點的切線交于點，且，設，則的面積關于的函數圖象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知得出與x之間的函數關系式，進而得出函數是二次函數，當時，取到最小值為，即可得出圖象．此題主要考查了動點函數的圖象，根據已知得出與x之間的函數解析式是解題關鍵．
【詳解】解：∵A點在半徑為2的上，過線段上的一點P作直線，與過A點的切線交于點B，且，∴，，
∴，解得：，
∴，函數為二次函數，
∵，∴當時，取到最小值為，
根據四個選項的圖象只有D符合要求．故選：D．
8．（2023上·河北張家口·九年級統考期中）如圖，在中，，，．O是邊上一點，以點O為圓心，長為半徑在邊的右側作半圓O，交邊于點P，交邊于點Q．關于結論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（ ）
結論Ⅰ：當的長度最短時，半圓O的半徑為
結論Ⅱ：當時，與半圓O相切，且
A．只有結論Ⅰ B．只有結論Ⅱ對 C．結論Ⅰ、Ⅱ都對 D．結論Ⅰ、Ⅱ都不對
【答案】C
【分析】當時，的長度最短，由是的直徑，得，則，可知此時點P與點B重合，由，，求得，則半圓O的半徑為，可判斷結論Ⅰ正確；當時，連接，因為，所以是等邊三角形，則，所以，而，則，所以，可證明與半圓O相切，且，可判斷結論Ⅱ正確，于是得到問題的答案．
【詳解】解：如圖1，當時，的長度最短，
∵是的直徑，∴，∴，∴點P與點B重合，
∵，，，∴，
∴，∴，
∴半圓O的半徑為，故結論Ⅰ正確；
當時，如圖2，連接，∵，，
∴，∴是等邊三角形，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵是的半徑，且，∴與半圓O相切，
∵，∴，∴，故結論Ⅱ正確，故選：C．
【點睛】此題重點考查直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、切線的判定定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
9．（2023上·江蘇常州·九年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，與x軸相切于點B，為的直徑，點C在函數（，）的圖像上，為軸上的一點，的面積為6，則k的值是（　　）．
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】C
【分析】根據平行線間高相等可得，進而得到，然后根據k值的幾何意義即可解答．掌握反比例函數的幾何意義是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，，設的高為h
∵與x軸相切于點B，為的直徑，∴，,
∴、的高為，∴,
∵，∴，∴,
∵，且反比例函數圖像在一象限，∴．故選：C．
10．（2023上·河南周口·九年級統考階段練習）如圖，正方形中和中，，連接．若繞點A旋轉，當最大時，（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【分析】作，交的延長線于點，當為此圓的切線時，即時，最大，在中，，證明則根據三角形面積公式即可得到答案．
【詳解】如圖，作，交的延長線于點，

，當繞點A旋轉時，點在以A為圓心，8為半徑的圓上
當為此圓的切線時，即時，最大，
此時，在中，，，，
，，
在和中，，
．故選：D．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、旋轉的性質、正方形的性質、切線性質、圓周角定理、勾股定理等知識，找到最大時的位置是解題的關鍵。
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022上·北京·九年級統考期末）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是 ．（寫一個條件即可）
【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根據切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，
又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，
故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關鍵．
12．（2022上·江蘇淮安·九年級校考階段練習）如圖，分別切于點，點是上一點，且，則的度數為 ．

【答案】
【分析】連接，由切線性質、及四邊形內角和為得到，再根據圓周角定理即可得到．
【詳解】解：連接，如圖所示：

分別切于點，，，
，由四邊形內角和為得到，
，，故答案為：．
【點睛】本題考查圓中求角度，涉及切線性質、四邊形內角和、圓周角定理等知識，熟記相關性質是解決問題的關鍵．
13．（2023上·河南漯河·九年級統考期中）如圖，分別與相切于點A，B，為的直徑，若，則的形狀是 ．

【答案】等邊三角形
【分析】本題考查的是切線的性質、圓周角定理，連接，根據圓周角定理求出，根據切線的性質得到，然后利用四邊形內角和定理即可得是等邊三角形．
【詳解】解：如圖，連接，

∵為的直徑，∴，由圓周角定理得：，
∵分別與相切于點A，B，∴，
∴，
∴為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．
14．（2023上·湖南湘西·九年級統考階段練習）如圖1，在平面內選一定點，引一條有方向的射線，再選定一個單位長度，那么平面上任意一點的位置可由的長度與的度數確定，有序數對稱為點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．
應用：在圖2的極坐標系下，如果與相切于點，，射線與交于，兩點，連接，，則點的極坐標應記為 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線的性質、極坐標的定義，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．連接，根據切線的性質得到，證明為等邊三角形，得到，根據勾股定理計算，即可得到答案．
【詳解】解：連接，如圖，
∵與相切，∴，∵，∴，
∵，∴為等邊三角形，∴，
∴，，∴，
由勾股定理得：，即，解得，
∴，∴點的極坐標應記為，故答案為：．
15．（2023上·湖北隨州·九年級校聯考期中）中，，以C為圓心所作的圓與邊僅一個交點，則半徑r為 ．
【答案】或
【分析】本題考查直線與圓的位置關系，解決本題需要掌握直線與圓的位置關系等有關知識．分兩種情況，①相切，畫出符合條件的圖形，然后根據切線性質和三角形的面積即可求出答案； ②相交，畫出圖形如圖所示，進而確定的取值范圍，從而使問題得解．
【詳解】∵∴，
分為兩種情況：①如圖1，當與相切時，只有一個公共點，則．

由三角形的面積公式得：，
∴，∴，即．
②如圖2，當時，與只有一個公共點，
故答案為：或．
16．（2023上·江蘇揚州·九年級統考期中）如圖，在扇形中，點C，D在上，將沿弦折疊后恰好與相切于點E，F．已知，則的長度為 ．
【答案】
【分析】如圖，作，，與交于點，則，由折疊的性質可知，扇形與扇形半徑相同，即，根據，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，作，，與交于點，
∴，
由折疊的性質可知，扇形與扇形半徑相同，
∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質，折疊的性質，四邊形內角和，弧長等知識．熟練掌握折疊的性質，弧長公式是解題的關鍵．
17．（2023·廣東廣州·廣州市番禺區市橋星海中學校考一模）如圖，在中，為直徑，點M為延長線上的一點，與相切于點C，圓周上有另一點D與點C分居直徑兩側，且使得，連接．現有下列結論：①與相切；②四邊形是菱形；③；④．其中正確的結論是 （填序號）．
【答案】①②③④
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質、切線的判定及性質、菱形的判定及性質、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根據切線的判定及性質可判斷①，利用三角形的判定及性質得，再根據菱形的判定即可判斷②，利用含角的直角三角形的特征可判斷③，利用菱形的性質可判斷④，熟練掌握相關的判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，，，，，
，，
與相切于點C，，，
是的直徑，與相切；故①正確；
，，，
，，，
，∴四邊形是菱形，故②正確；
，，
，，，，
，，故③正確；
∵四邊形是菱形，，
，故④正確；故答案為：①②③④．
18．（2023上·浙江臺州·九年級臺州初級中學校考階段練習）如圖，，半徑為的與角的兩邊相切，點是上任意一點，過點向角的兩邊作垂線，垂足分別為，，設，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了切線的性質，含度角的直角三角形的性質，勾股定理；設半徑為的與角的兩邊相切于，，連接，，延長交于，求得，根據直角三角形的性質得到，求得，得到，如圖，延長交于，推出與是直角三角形，根據直角三角形的性質得到，，求得，當與相切且點在圓心的右側時，有最大值，連接，則四邊形是正方形，根據正方形的性質得到，求得；如圖，當與相切且點在圓心的，左側時，有最小值，同理可得于是得到結論．
【詳解】解：設半徑為的與角的兩邊相切于，，如圖，連接，，延長交于，，
，是直角三角形，，
，，，，
如圖，延長交于，，，，
，，與是直角三角形，
，，，
當與相切且點在圓心的右側時，有最大值，
連接，則四邊形是正方形，，，
(；
如圖，當與相切且點在圓心的左側時，有最小值，
同理可得(；
故的取值范圍是，故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）如圖，與相切于點A，與相交于點B，點C在上，且與點A，B 不重合，若，求的度數．
【答案】31°
【分析】本題考查了切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，連接，根據切線的性質可得，即可求得，再根據圓周角定理，可得的度數，熟知同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的一半，是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
與相切于點A，∴，
，∴．
20．（2023·浙江九年級課時練習）已知在矩形中，，，以點為圓心，為半徑作，(1)當半徑為何值時，與直線相切；(2)當半徑為何值時，與直線相切；
(3)當半徑的取值范圍為何值時，與直線相交且與直線相離．
【答案】(1)當半徑為3時，與直線相切；(2)當半徑為2.4時，與直線相切
(3)當半徑的取值范圍為時，與直線相交且與直線相離
【分析】（1）根據圓心到直線的距離等于半徑時，圓與直線相切，結合矩形的性質進行求解即可；
（2）連接，過點作，等積法求出的長，即為所求；
（3）根據圓心到直線的距離和圓的半徑之間的關系，進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形為矩形，∴，∴，，
∵圓心到邊的距離為，與直線相切，
∴，則當半徑為3時，與直線相切；
（2）連接，過作，交于點，
∵在中，，，∴，
又∵，∴圓心到邊的距離，
又與直線相切，∴，則當半徑為2.4時，與直線相切；
（3）∵與直線相交，圓心到邊的距離為，∴，
又與直線相離，圓心到的距離為，∴，
則當半徑的取值范圍為時，與直線相交且與直線相離．
【點睛】本題考查直線與圓之間的位置關系．熟練掌握圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切，小于半徑時，直線與圓相交，大于半徑時，直線與圓相離，是解題的關鍵．
21．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）閱讀下面的材料，回答問題∶

(1)在單位長度為1的正方形網格中標出該圓弧所在圓的圓心；(2)請在(1)的基礎上，完成下面問題∶①的半徑為 ； ②判斷直線與的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析(2)①；②是的切線，理由見解析
【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線與的垂直平分線，交于點O，則O點即為的圓心；（2）①在中，利用勾股定理即可求解；②連接，利用勾股定理的逆定理得，進而可求解．
【詳解】（1）解：連接，，，作線段的垂直平分線，作線段的垂直平分線，交線段的垂直平分線于點，O點即為的圓心，如圖所示，點O即為所求：

（2）①在中，，，
的半徑為：，故答案為：；
②是的切線，理由如下：連接，如圖：
由①得：,在中，，，
，，即：，
是直角三角形，且，，是的切線．
【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理、確定圓心及切線的判定，熟練掌握勾股定理及其逆定理及切線的判定是解題的關鍵．
22．（2023上·山東日照·九年級統考期中）（1）如圖，是的直徑，與交于點F，點E在上，連接、， ，求證： ；從①與相切；②中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結論（填寫序號），并完成證明過程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的長．
【答案】（1）②作為條件，①作為結論；見解析；（答案不唯一）（2）
【分析】（1）連接，利用角平分線的定義和等腰三角形的性質得到，利用垂直的定義，平行線的性質和圓的切線的判定定理解答即可得出結論；
（2）連接，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定與性質解答即可得出結論．
【詳解】解：若②作為條件，①作為結論．
證明：連接，如圖， ∵弦平分，∴，
∵，∴，∴，∴．
∵，∴．∵為的半徑，∴與相切；
若①作為條件，②作為結論．
證明：連接，如圖， ∵弦平分，∴，
∵，∴，∴，
∴．∴與相切，為的半徑，∴，∴．
（2）解：連接，∵弦平分，∴，∴，∴．
∵， ∴，又，，∴，
∵四邊形為圓的內接四邊形，∴，
∵為的直徑，∴．∴，
∴，∴，∴．
【點睛】本題主要考查圓的有關性質，圓周角定理，弧、弦、圓周角的關系，角平分線的定義，平行線的判定與性質，垂直定義，圓的切線的判定與性質定理，勾股定理，圓的內接四邊形的性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
23．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）【觀察思考】：
某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動，在滑動的過程中，連桿也隨之運動，并且帶動連桿繞固定點擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點在以為半徑的上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點作于點，并測得分米，分米，分米．

(1)點在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是______分米；
(2)如圖3，小明同學說：“當點滑動到點的位置時，與是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？(3)小麗同學發現：“當點運動到上時，點到的距離最小．”事實上，還存在著點到距離最大的位置，此時，點到的距離是______分米；
【答案】(1)12(2)不對，詳見解析(3)6
【分析】（1）當O、P、Q三點共線時，在中，由勾股定理可求得的長度即可解答；
（2）顯然不對，當Q、H重合時，，顯然構不成直角三角形，故與不相切；（3）當P到直線l的距離最長時，這個最大距離為，此時直線l；
【詳解】（1）解：當O、P、Q三點共線時，分米
在中，由勾股定理可求得，
∴點在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是分米．故答案為：12；
（2）解：不對．理由如下：∵，
∵當Q、H重合時，，∵，即，
∴與不垂直．∴與不相切．
（3）因為的值永遠是6，只有時，點P到直線l的距離最大，此時最大的距離是6分米；
【點睛】本題主要考查了勾股定理、切線的判定、矩形的判定和性質、垂徑定理等知識點，靈活運用相關知識是解答本題的關鍵．
24．（2022下·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，為的直徑，C為延長線上一點，是的切線，D為切點，于點E，交于點F．
(1)求證：；(2)若，，求的長．

【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）連接，得到，結合求得，然后利用得到，從而得到，再利用得到，從而，最后得證結果；（2）根據三角形的中位線定理得到，設，，根據相似三角形的性質得到的長度，表示的長度，再利用勾股定理可得答案．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，，

是的切線，是的直徑，
，，，
，，，
，；
（2），，∴，
是的中位線，，
，設，，則，
∴，，
，，，
，，，∴，
∵，∴，解得：（負根舍去），
∴．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質、平行線的判定和性質、解直角三角形，三角形的中位線定理、相似三角形的判定和性質，勾股定理的應用，解題的關鍵是正確作出輔助線．
25．（2023·江蘇淮安·校考三模）如圖1，在外取一點P，作直線分別交于B、A兩點，先以點P為圓心，的長為半徑畫弧，再以點O為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點Q，連接，交于點C，連接．完成下列任務：

(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)如圖2，繼續作點C關于直線的對稱點D，連接，交于點E，連接．
①若，則______；②若的半徑為13，，求的長．
【答案】(1)與相切，理由見解析(2)①，②
【分析】（1）根據等腰三角形三線合一性質，推導，從而證明PC與⊙O相切；
（2）①根據為的切線和點C關于的對稱點為點D，從而可知，再根據圓周角定理即可得到，再由求出，繼而求出；
②利用⊙O的半徑為15，求出，再利用求出，繼而求出的長即可．
【詳解】（1）由題意得：，，連接，

∵是直徑，∴，即點C是得中點，
又∵，即是等腰三角形，∴，(三線合一)∴與相切
（2）①∵為的切線，∴，∴．
∵點C與點D關于的對稱，∴，，
∴，點D在圓上，∴，
∵，∴；又∵，∴
又∵，∴，∴，故答案為：；
②∵，，∴，
∵，，∴
∴，即∴，∴．
【點睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，圓周角定理，軸對稱的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識，掌握相關知識和基本模型是解題的關鍵．
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專題2.1 直線與圓的位置關系
模塊1：學習目標
1.了解直線與圓的三種位置關系；
2.了解圓的切線的概念；
3.熟練掌握切線性質及判定定理；
模塊2：知識梳理
考點1 直線與圓的位置關系
1、直線與圓相離 無公共點；
2、直線與圓相切 有一個公共點；
3、直線與圓相交 有兩個公共點；
考點2 切線的性質與判定定理
1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
2、性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如右圖）
推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。
模塊3：核心考點與典例
考點1、判斷直線與圓的位置關系
例1．（2023上·江蘇南京·九年級統考階段練習）設的半徑為，點在直線上，已知，那么直線與的位置關系是 ．
變式1. （2023上·廣東肇慶·九年級校考階段練習）已知的半徑是，點到同一平面內直線的距離為一元二次方程的根，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷
變式2. （2023上·江蘇鹽城·九年級統考期中）在平面直角坐標系中，以點為圓心，4為半徑的圓（ ）
A．與x軸相切，與y軸相交 B．與x軸相離，與y軸相交
C．與x軸相交，與y軸相切 D．與x軸相切，與y軸相離
考點2、已知直線與圓的位置關系求參數
例1．（2022下·福建南平·九年級福建省南平第一中學校考自主招生）如圖，直線與圓心在原點，半徑為的圓有公共點，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
變式1.（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）已知一次函數的圖像經過第一、二、四象限，以坐標原點O為圓心、r為半徑作．若對于符合條件的任意實數k，一次函數的圖像與總有兩個公共點，則r的最小值為 ．
變式2.（2022上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）已知的斜邊，直角邊．以點C為圓心，當半徑r取 值時，與邊只有一個公共點．
考點3、直線與圓的相關平移問題
例1．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，直線與x軸、y 軸分別相交于點A、B兩點，圓心P的坐標為（2，0）．⊙P與y軸相切于點O，若將⊙P沿x軸向左移動，當⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的個數是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
變式1.（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的的圓心P的坐標為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是 ．

變式2.（2023上·江西南昌·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為2的的圓心P從點（點A在直線上）出發以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設點P運動的時間為秒，則當 時，與坐標軸相切．

考點4、切線的相關概念辨析
例1．（2023上·九年級課時練習）下列直線中可以判定為圓的切線的是（　　）
A．與圓有公共點的直線 B．經過半徑外端的直線
C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線
變式1.（2023上·廣東九年級課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．與圓有公共點的直線是圓的切線 B．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線
C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線 D．過圓的半徑外端的直線是圓的切線
變式2.（2023·浙江昌·九年級校考期中）下列說法正確的是（　　）
A．與圓有公共點的直線是圓的切線 B．三角形的內心到三角形三個頂點距離相等
C．和半徑垂直的直線是圓的切線 D．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線
考點5、切線的性質定理（求角度）
例1．（2023上·河南許昌·九年級統考期中）如圖，為直徑，P是外的一點，，分別與相切于點A，B，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023上·北京西城·九年級校考階段練習）如圖，交于點切于點，點在上． 若，則為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023上·湖北·九年級校聯考期中）圖，在平面直角坐標系中，已知點，過原點O，且與x軸交于另一點D，為的切線，B 為切點，是的直徑，則 °．

考點6、切線的性質定理（求長度）
例1．（2023上·重慶潼南·九年級校聯考期中）如圖，是的直徑，C為上一點，連接、，于點E，是的切線，且，若，，則的長為（ ）
A． B．5 C． D．4
變式1. （2023上·江蘇揚州·九年級校考期中）如圖，平面直角坐標系中，點A在y軸上，線段的中點P的坐標為，與x軸相切于點C，則的長度為 ．

變式2.（2023上·安徽阜陽·九年級統考階段練習）如圖，是的直徑，與相切于點平分． (1)求證：．(2)若，求的長．
考點7、切線的判定定理（添加條件）
例1．（2023·浙江·九年級統考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當∠CAB的度數等于 度時，AC才能成為⊙O的切線．
變式1.（2023·浙江九年級課時練習）如圖，為的直徑，，當 時，直線與相切．
變式2.（2023上·江蘇淮安·九年級淮安市洪澤實驗中學校考階段練習）如圖，直線、相交于點O，，半徑為2的的圓心在直線上，且位于點O左側的距離6處．如果以1的速度沿由A向B的方向移動，那么 秒鐘后與直線相切．

考點8、切線的判定定理（證明）
例1．（2023上·山東菏澤·九年級統考期中）如圖，在中，，平分交于點E，點D在邊上且．(1)判斷直線與外接圓的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求的值．
變式1．（2023上·河南周口·九年級統考階段練習）在四邊形中，，，以點為圓心，長為半徑作，連接，交于，(1)試判斷與的位置關系，并說明理由．(2)若，求圖中陰影部分的面積．
變式2．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，，點在上，過點作的平行線交于點，交過點的直線于點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．
考點9、切線的作法
例1．（2023上·江蘇揚州·九年級統考期中）用直尺和圓規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法：

(1)在圖①中，已知，點P在上，過點P作的切線；
(2)在圖②中，已知，點Q在外，過點Q作的切線．
變式1.（2023上·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點，連接，過點作．(1)請用無刻度的直尺和圓規作圖：過點作的切線，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）；(2)在（1）的條件下，若，求的長．
變式2.（2023·江蘇徐州·校考三模）如圖，已知P是外一點．按要求完成下列問題：
(1)作圖：(保留作圖的痕跡)。①連接，與交與點A，延長，與交于點B；
②以點P為圓心，長為半徑畫弧，以點O為圓心，長為半徑畫弧；
③兩弧相交于點C，連接，與交于點D，連接，．
(2)證明：為的切線；(3)計算：利用直尺、三角尺或量角器測量相關數據，可計算出弧與弦所圍“弓形”的面積為______．(結果保留根號或精確到)

模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·山東聊城·九年級統考期中）在中，，，，以點C為圓心，2為半徑作，直線與的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2．（2023·浙江九年級期中）已知和直線相交，圓心到直線的距離為，則的直徑可能為（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·廣東揭陽·統考一模）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（ ）
A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線
C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則
4．（2023·浙江寧波·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C畫圓弧，則點B與下列格點連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點坐標是(　　)
A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)
5．（2023上·山東臨沂·九年級統考期中）如圖，切于點，連結交于點交于點，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·四川綿陽·九年級校考期中）如圖，是圓的弦，，，相交于點，且．連接，當，時，則線段的長為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023上·山東德州·九年級校聯考期中）如圖，點A在半徑為2的上，過線段上的一點作直線，與過點的切線交于點，且，設，則的面積關于的函數圖象大致是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023上·河北張家口·九年級統考期中）如圖，在中，，，．O是邊上一點，以點O為圓心，長為半徑在邊的右側作半圓O，交邊于點P，交邊于點Q．關于結論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（ ）
結論Ⅰ：當的長度最短時，半圓O的半徑為
結論Ⅱ：當時，與半圓O相切，且
A．只有結論Ⅰ B．只有結論Ⅱ對 C．結論Ⅰ、Ⅱ都對 D．結論Ⅰ、Ⅱ都不對
9．（2023上·江蘇常州·九年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，與x軸相切于點B，為的直徑，點C在函數（，）的圖像上，為軸上的一點，的面積為6，則k的值是（　　）．
A．6 B．12 C．24 D．36
10．（2023上·河南周口·九年級統考階段練習）如圖，正方形中和中，，連接．若繞點A旋轉，當最大時，（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022上·北京·九年級統考期末）在下圖中，是的直徑，要使得直線是的切線，需要添加的一個條件是 ．（寫一個條件即可）
12．（2022上·江蘇淮安·九年級校考階段練習）如圖，分別切于點，點是上一點，且，則的度數為 ．

13．（2023上·河南漯河·九年級統考期中）如圖，分別與相切于點A，B，為的直徑，若，則的形狀是 ．

14．（2023上·湖南湘西·九年級統考階段練習）如圖1，在平面內選一定點，引一條有方向的射線，再選定一個單位長度，那么平面上任意一點的位置可由的長度與的度數確定，有序數對稱為點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．
應用：在圖2的極坐標系下，如果與相切于點，，射線與交于，兩點，連接，，則點的極坐標應記為 ．
15．（2023上·湖北隨州·九年級校聯考期中）中，，以C為圓心所作的圓與邊僅一個交點，則半徑r為 ．
16．（2023上·江蘇揚州·九年級統考期中）如圖，在扇形中，點C，D在上，將沿弦折疊后恰好與相切于點E，F．已知，則的長度為 ．
17．（2023·廣東廣州·廣州市番禺區市橋星海中學校考一模）如圖，在中，為直徑，點M為延長線上的一點，與相切于點C，圓周上有另一點D與點C分居直徑兩側，且使得，連接．現有下列結論：①與相切；②四邊形是菱形；③；④．其中正確的結論是 （填序號）．
18．（2023上·浙江臺州·九年級臺州初級中學校考階段練習）如圖，，半徑為的與角的兩邊相切，點是上任意一點，過點向角的兩邊作垂線，垂足分別為，，設，則的取值范圍是 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）如圖，與相切于點A，與相交于點B，點C在上，且與點A，B 不重合，若，求的度數．
20．（2023·浙江九年級課時練習）已知在矩形中，，，以點為圓心，為半徑作，(1)當半徑為何值時，與直線相切；(2)當半徑為何值時，與直線相切；
(3)當半徑的取值范圍為何值時，與直線相交且與直線相離．
21．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）閱讀下面的材料，回答問題∶
(1)在單位長度為1的正方形網格中標出該圓弧所在圓的圓心；(2)請在(1)的基礎上，完成下面問題∶①的半徑為 ； ②判斷直線與的位置關系，并說明理由．

22．（2023上·山東日照·九年級統考期中）（1）如圖，是的直徑，與交于點F，點E在上，連接、， ，求證： ；從①與相切；②中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結論（填寫序號），并完成證明過程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的長．
23．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）【觀察思考】：
某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動，在滑動的過程中，連桿也隨之運動，并且帶動連桿繞固定點擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點在以為半徑的上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點作于點，并測得分米，分米，分米．

(1)點在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是______分米；
(2)如圖3，小明同學說：“當點滑動到點的位置時，與是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？(3)小麗同學發現：“當點運動到上時，點到的距離最小．”事實上，還存在著點到距離最大的位置，此時，點到的距離是______分米；
24．（2022下·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，為的直徑，C為延長線上一點，是的切線，D為切點，于點E，交于點F．
(1)求證：；(2)若，，求的長．

25．（2023·江蘇淮安·校考三模）如圖1，在外取一點P，作直線分別交于B、A兩點，先以點P為圓心，的長為半徑畫弧，再以點O為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點Q，連接，交于點C，連接．完成下列任務：

(1)判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)如圖2，繼續作點C關于直線的對稱點D，連接，交于點E，連接．
①若，則______；②若的半徑為13，，求的長．
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