資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2 切線長定理+專題2.3 三角形的內切圓
模塊1：學習目標
1.理解切線長定義；
2.掌握切線長定理，靈活應用切線長定理解決問題；
3.掌握三角形的內切圓的相關概念及計算。
模塊2：知識梳理
1.切線長：從圓外一點作圓的切線，通常我們把這一點到切點之間的線段的長叫做切線長。
2.切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
3.三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。三角形叫做圓的外切三角形。
4.三角形的內心：三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。
5.內切圓及有關計算。
（1）三角形內切圓的圓心是三個內角平分線的交點，它到三邊的距離相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內切圓的半徑r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內切圓的半徑。
模塊3：核心考點與典例
考點1、切線長定理的相關計算
例1．（2023·北京·九年級校考期中）如圖，，，是的切線，，，為切點，若，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】此題考查切線長定理，由與相切于點、與相切于點，可得，同理得，再由求得結果．熟練運用切線長定理解決問題是解題的關鍵．
【詳解】解：與相切于點、與相切于點，，
，，
與相切于點、與相切于點，
，的長為3，故答案為：3．
變式1.（2023上·吉林白城·九年級校聯考階段練習）如圖，分別切于A，B兩點，為直徑，，若，則的周長為 ．
【答案】6
【分析】本題主要考查切線的性質、切線長定理以及等邊三角形的判定與性質，由切線的性質得出，由切線長定理得出，判斷出是等邊三角形，從而得出的周長．
【詳解】解：∵是切線，∴．
∵為直徑，∴，∴，
∵∴∴是等邊三角形，
∴的周長．故答案為：6．
變式2.（2023上·河南濮陽·九年級校考期中）如圖，切線、分別與相切于點、，切線與相切于點，且分別交、于點、，若的周長為，則線段的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是切線長定理，通過切線長定理將相等的線段進行轉換，得出三角形的周長等于是解題的關鍵．
【詳解】解：∵都是的切線，∴，同理，，
∴的周長，∴；故答案為：3．
變式3．（2023上·山東濱州·九年級校聯考期中）如圖，，是的兩條切線，切點分別為A，B，若，點C為上任意一點（不與點A、B重合），則 ．

【答案】或
【分析】本題考查切線的性質和圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓的內接四邊形對角互補是解題的關鍵，根據題意畫出圖形，連接、，根據切線的性質得到、的度數，再根據四邊形的內角和是和圓的內接四邊形對角互補，即可得到的度數．
【詳解】解：連接、，，在弧上任取一點，連接、，如圖所示：

∵，是的兩條切線，切點分別為A，B，∴，
∵，∴在四邊形中，，
若點在優弧上，則，
若點在劣弧上，則，
∴的度數是或，故答案為：或．
考點2、切線長定理的相關證明
例1．（2023上·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，為外一點，為的切線，切點分別為，直線交于點，交于點．
(1)求證：；(2)若，求證：；(3)若，求的長．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)．
【分析】（1）連接，利用圓周角定理，同圓的半徑相等，切線的性質，等腰三角形的性質和等量代換解答即可；（2）利用直徑所對的圓周角為直角，三角形的外角的性質和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）設，則，，，；再證明，得到，代入即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵是的直徑，∴，∴，
∵，∴，
∵為的切線， ∴，即，
∴，∴，∴；
（2）證明：由（1）知：，
∵，∴．
∵，∴，∴；
（3）解：設，則，∴，
∴，．
∵、為的切線，∴，平分，∴．
∵為的切線，∴，∴，
∴，∴，即：．
解得：或（不合題意，舍去），∴．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質，切線長定理，等腰三角形的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，連接是解決此類問題常添加的輔助線．
變式1.（2023上·廣東云浮·九年級統考期末）如圖1所示，為的外接圓，為直徑，、分別與相切于點D、C（）.E在線段上，連接并延長與直線相交于點P，B為中點.(1)證明：是的切線.(2)如圖2，連接，，求證：.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）連接，根據直角三角形斜邊上的中線的性質以及等邊對等角得出，進而根據為切線，， ，得出，即可得證；（2）根據、、分別與相切于點D、E、C，根據切線長定理得出，，則，，，，即可得出，進而即可得證．
【詳解】（1）證明：連接，∵為直徑，∴.
在中，B為中點，∴，∴，
∵，∴， 又∵為切線，∴，
∴ ∴. 即，∴是的切線.
（2）證明：∵、、分別與相切于點D、E、C，
∴，，，， ∴，∴，
∴， ∴， ∴；
【點睛】本題考查了切線的性質與切線長定理，掌握切線的判定方法以及切線長定理是解題的關鍵．
變式2.（2022上·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）探究問題：
(1)如圖1，PM、PN、EF分別切于點A、B、C，猜想的周長與切線長PA的數量關系，并證明你的結論．(2)如果圖1的條件不變，且，的周長為16cm，求的半徑．
(3)如圖2，點E是的邊PM上的點，于點F，與邊EF及射線PM、射線PN都相切．若，，求的半徑．
【答案】(1)的周長，證明見解析(2)6cm(3)1或2
【分析】（1）根據切線長定理由、分別切于、得到，由于過點的切線分別交、于點、，再根據切線長定理得到，，然后根據三角形周長的定義得到的周長，用等線段代換后得到三角形的周長等于；（2）連接，，根據切線的性質得到，根據勾股定理得到，于是得到結論；（3）根據題意作出圖形，設與射線、射線相切于，，與相切于，于是得到，連接，，，推出四邊形是正方形，得到，設的半徑為，根據切線長定理列方程即可得到結論；得到三角形的內切圓，根據勾股定理和三角形面積公式可得半徑為1．
【詳解】（1）解：的周長，證明：、分別切于、，，
與為的切線，，同理得到，
的周長；
（2）解：如圖1所示，連接，，
是的切線，，，
的周長為，，，的半徑為；
（3）解：如圖2所示，設與射線、射線相切于，，與相切于，則，
連接，，，，，
，四邊形是正方形，，
設的半徑為，，，，，
，，即，．
如圖3所示，，
，解得．的半徑為2或1．
【點睛】本題考查了切線長定理，勾股定理，三角形的周長公式，正方形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
考點3、圓的外切四邊形模型
例1．（2023·江蘇南京·九年級統考期中）如圖，圓O是四邊形ABCD的內切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝ ．
【答案】62°
【分析】先根據切線長定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形內角和計算出∠1+∠2＝62°，則∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四邊形內角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
【詳解】解：∵圓O是四邊形ABCD的內切圓，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案為：62°．
【點睛】本題考查了四邊形的內切圓．切線的性質和切線長定理，三角形內角和，掌握四邊形的內切圓性質．切線的性質和切線長定理，三角形內角和是解題關鍵．
變式1.（2023上·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，為的內切圓，切點分別為，點分別為上的點，且為的切線．
(1)若，求的度數；(2)若，求的周長．
【答案】(1)(2)11
【分析】本題考查了切線長定理，內切圓的性質，解題的關鍵是：
（1）利用三角形內角和求出，再根據內切圓的性質和切線長定理得出，，再求出，最后利用三角形內角和求出結果；
（2）設的切點為，根據內切圓的性質得到，，推出的周長為，再結合切線長定理可得，再計算即可
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵為的內切圓，∴，，
∴，∴；
（2）∵為的內切圓，為的切線，設切點為，∴，，
∴的周長為：
∵，，，
∴．

變式2.（2023·九年級課時練習）如圖，⊙O與四邊形ABCD的各邊依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD與AD+BC有何數量關系，并證明你的猜想；（2）若四邊形ABCD增加條件AD∥BC而成為梯形，梯形的中位線長為m，其他條件不變，試用m表示梯形的周長．
【答案】（1）AB+CD=AD+BC，證明詳見解析；（2）4m.
【分析】(1)由切線長定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC，
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位線定理得，AD+BC=2m，梯形的周長=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【詳解】(1)AB+CD=AD+BC
證明：由切線長定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位線定理得，AD+BC=2m，
梯形的周長=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【點睛】考查了圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊和相等；也考查了梯形的中位線定理，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 .
考點4、直角三角形的內切圓半徑
例1．（2023上·陜西西安·九年級統考期中）如圖，已知中，，為的內切圓，若，且的面積為24，則的周長為（　　）
A．48 B． C．24 D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內切圓的性質及正方形的判定和性質．
設的半徑為r，與的三邊、、的切點分別為D、E、F，連接、、．先證四邊形是正方形，則，根據勾股定理求出r．又由的周長內切圓半徑，即可求出的周長．
熟練掌握“三角形內切圓的圓心是三條角平分線的交點，它到三角形三條邊的距離相等”這一性質，并且能求出內切圓的半徑是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，設的半徑為，與的三邊、、的切點分別為，連接、、，則，，，且，
又，∴四邊形是正方形，，
，，解得，
，，
，即的周長為，故選：C．
變式1.（2023上·江蘇宿遷·九年級校考期中）三角形的兩邊長分別為6和8，第三邊長是方程一個實數根，則此三角形內切圓的半徑為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】本題主要考查了求三角形內切圓半徑，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的兩根，根據構成三角形的條件確定這個三角形的三邊長為，由此利用勾股定理的逆定理證明該三角形是直角三角形，根據等面積法得到求出的長即可得到答案．
【詳解】解：∵，∴，解得或，
當時，∵，∴此時不能構成三角形，不符合題意；
當時，∵，∴此時能構成三角形，∴這個三角形的三邊長為，
∵，∴該三角形是直角三角形，
如圖所示，在中，點O是的內接圓，分別與相切于D、E、F，
∴，，
∵，∴，
∴，∴，∴圓O的半徑為2，
∴此三角形內切圓的半徑為2，故選B．

變式2.（2023上·廣西南寧·九年級南寧十四中校考期中）如圖，的內切圓與分別相切于點，，，，則的內切圓半徑r為（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】連接、、，，，設半徑為，利用面積公式求出內切圓半徑，，
【詳解】解：連結接、、，，，，設半徑為，

，，，，
的內切圓與，，分別相切于點，，，
，，，且，
，
，故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理，三角形內切圓，面積法求內切圓半徑，扇形面積等知識，解題關鍵是求出內切圓半徑．
考點5、任意三角形的內切圓半徑
例1．（2022上·廣東湛江·九年級校考期末）如圖，圓O是的內切圓，與各邊的切點分別為D、E、F，若圖中3個陰影三角形的面積之和為4，內切圓半徑為1，則的周長為（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】根據題意可推出的面積為8，進而即可求解出的周長．
【詳解】解：∵圓O是的內切圓，與各邊的切點分別為D、E、F，圖中3個陰影三角形的面積之和為4，∴的面積為8，
∵內切圓半徑為1，∴的周長，則的周長為：16．故選：D．
【點睛】本題考查了三角形內切圓與內心，根據三角形內切圓半徑乘以三角形周長除以2得出三角形面積是解決本題的關鍵．
變式1.（2023·廣西梧州·統考二模）如圖，是的內切圓，若的周長為18，面積為9，則的半徑是（　　）

A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】作輔助線如解析圖，根據，代入數據求解即可.
【詳解】解：如圖，設與的各邊分別相切于點E、F、G，連接，設的半徑為r，
則，，
∵，
又的周長為18，面積為9，∴，∴，故選：A.

【點睛】本題考查了利用三角形的面積求三角形的內切圓半徑，掌握求解的方法是解題的關鍵.
變式2.（2023上·福建福州·九年級統考期中）如圖，在中，，，則它內切圓的半徑為 ．

【答案】
【分析】本題考查了三角形內切圓的性質和等腰三角形的性質，連接，，，把原三角形分成三個三角形，而這三個三角形的高就是內切圓的半徑．等腰三角形的面積可通過作高求得，這樣得到關于半徑的方程，解方程即可．
【詳解】解：作的內切圓，分別與、、相切于、、，連結，，，，，，

則，，，是內心，，
，．、、三點共線，，
設內切圓半徑為，，，，，則，
又，．故答案為：．
考點6、三角形的內心相關運用
例1．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，點是的內切圓的圓心，若，則度數等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了三角形內心的性質以及三角形內角和定理．利用內心的性質得出，，進而利用三角形內角和定理得出，進而求出答案．
【詳解】解：∵O是的內心，∴，，
∵，∴，
∴，
∴．故選：D．
變式1.（2023上·山東菏澤·九年級統考期中）如圖，點是的內心，連接并延長交于點，交的外接圓于點，連接．以下結論中正確的結論有（ ）個

（1）平分；（2）；（3）；（4）；（5）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】此題考查相似三角形的判定，根據三角形的內心的性質和圓周角定理，相似三角形的判定逐項判斷即可．
【詳解】解：∵點E是的內心，∴平分，故（1）正確；
∴，∴，故（2）正確；∴，故（3）正確；
∵，，∴，故（4）正確；如圖，連接，

∵點E是的內心，∴平分，平分，
∴，，又∵．
∴，，
即，故．故（5）正確；故選：A．
變式1.（2023上·廣東珠海·九年級校考期中）如圖，中，，，點是的內心，則的度數為 ．
【答案】
【分析】此題考查了三角形內心的性質．此題難度不大，解題的關鍵是掌握三角形的內心是三角形三條角平分線的交點．由點是的內心，，，根據三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，即可求得與的度數，又由三角形內角和定理，即可求得的度數．
【詳解】解：點是的內心，，，
，，
．故答案為：
考點7、內切圓與外接圓的綜合運用
例1．（2023上·河北邢臺·九年級校聯考期中）已知是的內心，，為平面上一點，點恰好又是的外心，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的內心和三角形外心的性質，三角形內角和定理，利用三角形內心的性質得分別是的角平分線，進而求出的大小，再利用三角形外心的性質得出等于的一半，即可得出答案，牢記以上知識點得出各角之間的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，

∵是的內心，，∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵點又是的外心，∴，故選：．
變式1. （2023下·河北承德·九年級校聯考階段練習）兩直角邊的長分別為和，則其內心與外心的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據題意畫出圖形，的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，求出，根據面積法求出，進而得出，可得，根據勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：如圖所示：的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，

設，，∴，
∵的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，
∴，，
根據三角形的面積可得：，
∴，即，
∴，∴，∴，
∴，∴內心與外心的距離為，故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內心與外心，勾股定理，得出三角形的內心與外心的位置是解題的關鍵．
變式2. （2023上·江蘇揚州·九年級統考期中）【特例感知】（1）如圖1，是的圓周角，為直徑，平分交于點D，，若，則 ， ．
【類比遷移】（2）如圖2，是的圓周角，為的弦，平分交于點D，過點D作，垂足為F，探索線段之間的數量關系，并說明理由．
【問題解決】（3）如圖3，是的圓周角，為的弦，平分交于點D，若，，，則的內心與外心之間的距離為______．
【答案】（1）3，；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）作于點F，求得，，利用勾股定理和面積法即可求解；
（2）結論：．只要證明，推出，，推出即可解決問題；
（3）過點D作，交的延長線于點F，，交于點E，連接，作的內切圓，圓心為M，N為切點，連接．由（1）（2）可知，四邊形是正方形，是對角線．由切線長定理可知：，推出，由面積法可知內切圓半徑為2，在中，理由勾股定理即可解決問題；
【詳解】解；（1）作于點F，
∵平分，，，∴，
∵平分，∴，∵為直徑，∴，
∵，∴，
∵，即，
∴，故答案為：3，；
（2）如圖，結論：．
理由：作于，連接，．
平分，，，，，
，，，，
，，，
，，∴，，
．
（3）如圖，過點D作，交的延長線于點F，，交于點E，連接，作的內切圓，圓心為M，N為切點，連接．由（1）（2）可知，四邊形是正方形，是對角線．，正方形的邊長為，
由（2）可知：，，
由切線長定理可知：，，
設內切圓的半徑為，則解得，即，
在中，．故答案為：．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了角平分線的性質定理，全等三角形的判定和性質，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·江蘇連云港·九年級校考期中）如圖，，是的切線，，為切點，是的直徑，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查切線的性質和切線長的性質定理，根據切線的性質和切線長的性質定理，得出，即可求解．
【詳解】，是的切線，是的直徑，
，，，
，，
．故選B．
2．（2023上·湖南湘西·九年級統考階段練習）如圖，P為外一點，、分別切于點A、B，切于點E，分別交、于點C、D，若，則的周長為（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【分析】本題考查切線長定理．根據切線長定理，得到，進而得到的周長為，即可．
【詳解】解：由切線長定理，可知：，
∴的周長；故選C．
3．（2023上·北京海淀·九年級校考階段練習）如圖，過點作的切線，，切點分別是，，連接．過上一點作的切線，交，于點，．若，的周長為4，則的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本題考查切線長定理，勾股定理；利用切線長定理得出，，，再根據三角形周長等于4，可求得，從而利用勾股定理可求解．
【詳解】解：∵，是的切線，切點分別是，，∴，
∵、是的切線，切點是D，交，于點，，∴，，
∵的周長為4，即，∴，
∵，∴，故選：B．
4．（2023上·山東濰坊·九年級統考期中）如圖，在中，，則內切圓的半徑是（ ）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】此題考查了勾股定理，正方形的判定與性質，直角三角形內切圓的性質，以及切線長定理．設、、與的切點分別為D、E、F；易證得四邊形是正方形；那么根據切線長定理可得：，由此可求出r的長．
【詳解】解：如圖，

在中，，根據勾股定理.
四邊形中，，，∴四邊形是正方形，
由切線長定理，得：，，；∴；
∴．故選：C．
5．（2022上·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，中，，，，點是的內心，則的長度為（ ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的內切圓和內心，勾股定理，三角形的外接圓與外心，根據點是的內心，畫出的內切圓，如圖，過點作，，，垂足為，，，連接，根據內切圓的性質可知垂足，，也是三邊與的切點，，，，，利用勾股定理可得，設，則，根據切線長定理可求得，設，根據，可得，即，問題隨之得解．
【詳解】根據點是的內心，畫出的內切圓，如圖，過點作，，，垂足為，，，連接，

根據內切圓的性質可知垂足，，也是三邊與的切點，
，，，，
，，，，
設，則，，，，
，，，設，
，，，
，．故選：C．
6．（2023·遼寧盤錦·九年級校考階段練習）中，，，，則的外接圓和內切圓的半徑分別（ ）
A．，1 B．5，2 C．，2.4 D．，2
【答案】A
【分析】先證得是直角三角形，設的外接圓和內切圓的半徑分別為，，根據圓周角定理可知為的外接圓的直徑，求得，然后根據的面積，求得，即可選出答案．
【詳解】解：∵，，，
∴，則為直角三角形，即：，
設的外接圓和內切圓的半徑分別為，，
∵，∴為的外接圓的直徑，則：，
的面積，
即：，解得：．故選：A．
【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓和內切圓，明確的面積是解題的關鍵．
7．（2022上·新疆烏魯木齊·九年級校考階段練習）如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接、，先根據圓周角定理得到，再根據切線的性質得，然后根據四邊形內角和計算的度數．
【詳解】解：連接、，如圖：
，，
是的內切圓，與、分別相切于點、，
，，，
，，故選：C．
【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．
8．（2022上·河北邯鄲·九年級校考期中）如圖，是四邊形的內切圓．若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據內切圓得到四條角平分線，結合四邊形內角和定理求解即可得到答案；
【詳解】解：∵是四邊形的內切圓，
∴，，， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，故選：A；
【點睛】本題考查圓內切四邊形及四邊形的內角和定理，解題的關鍵是得到．
9．（2023上·福建廈門·九年級校考期中）如圖，在中，，，于點，點是上一點，連接，交于點，若，則下列說法正確的為（ ）
A．點為的外心 B．點為的內心
C．點、、在以為圓心的同一個圓上 D．點為中點
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的內切圓與內心，等腰三角形的性質，三角形的外接圓與外心，區分三角形的內心和外心是解題的關鍵．根據，得到，由得到，可得點是三角形角平分線的交點，進而判斷點是的內心．
【詳解】解：，，，
，，是的角平分線，
，，，
，是的角平分線，
交于點，點是三角形角平分線的交點，故點是的內心．故選：B．
10．（2022下·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，在中，，于， 為的內切圓，設 的半徑為，的長為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角形內切圓的特點作出圓心和三條半徑，分別表示出的面積，利用面積相等即可解決問題．
【詳解】解：如圖所示：為中、、的角平分線交點，過點分別作垂線交、、于點、、，

，
，，
的長為，，，
，，故選：A．
【點睛】本題考查了三角形內切圓的相關性質，本題掌握三角形內切圓的性質，根據已知條件利用三角形面積相等推出關系式是解題關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·新疆·九年級校考階段練習）如圖，分別與相切于點A，B，連接，若，，則的半徑等于 ．

【答案】2
【分析】此題考查了切線的性質以及等邊三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．由、分別與相切于點、，，易得是等邊三角形，則可求得的長，繼而求得答案．
【詳解】解：、分別與相切于點、，，，
，是等邊三角形，，
，．
故的半徑長為為2，故答案為：2
12．（2023上·江蘇南京·九年級校考期中）如圖，半徑為4的與含有角的直角三角板的邊切于點A，將直角三角板沿邊所在的直線向左平移，當平移到與相切時，該直角三角板平移的距離為 ．
【答案】
【分析】根據題意畫出平移后的圖形，如圖所示，設平移后的與圓相切于點，連接，過作，根據垂徑定理得到為的中點，由平移前與圓相切，切點為點，根據切線的性質得到與垂直，可得為直角，由與為圓的兩條切線，根據切線長定理得到，再根據，根據有一個角為的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形為等邊三角形，平移的距離，且，由求出為，在直角三角形中，由銳角三角函數定義求出的長，由可求出的長，即為平移的距離．
【詳解】解：根據題意畫出平移后的圖形，如圖所示：
設平移后的與圓相切于點，連接，過作，可得為的中點，
∵平移前圓與相切于點，∴，即，
∵平移前圓與相切于點，平移后圓與相切于點，
即與為圓的兩條切線，
∴為等邊三角形，
在中，，
則該直角三角板平移的距離為．故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質，切線長定理，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，垂徑定理，以及平移的性質，根據題意畫出相應的圖形，并作出適當的輔助線是解題的關鍵．
13．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第十七中學校考期中）如圖，，分別與相切于，，切于，已知，的半徑為，則的周長是 ．
【答案】24
【分析】本題考查了切線長定理；利用勾股定理求得切線的長，再根據切線長定理可知，，，進而可求出結果．
【詳解】解：連接．
∵，與相切，∴，，
在中，由勾股定理可得．
根據切線長定理可得，，，
所以的周長．故答案為：．
14．（2023上·江蘇南京·九年級統考期中）如圖，四邊形的各邊都與相切，若，則四邊形的周長為 ．

【答案】24
【分析】本題考查了切線長定理，關鍵是由切線長定理推出AB+CD=AD+BC．由切線長定理推出，，，，然后根據周長公式即可求解．
【詳解】如圖，，，，是切點

四邊形各邊與相切，，，
四邊形的周長為故答案為：24．
15．（2023上·山西呂梁·九年級校聯考階段練習）如圖，是的內切圓，D，E分別為邊，上的點，且為的切線．若的周長為32，的周長為12，則的長為 ．

【答案】10
【分析】本題考查了切線長定理，根據切線長定理得，，，，再根據三角形周長公式即可求解，熟練掌握切線長定理是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖：

由切線長定理得：，，，，
，
，，故答案為：10．
16．（2023上·湖北隨州·九年級校聯考階段練習）如圖，的內切圓與、、、分別相切于點、、，且，，，則圖中由線段、及組成的陰影部分的面積是 ．

【答案】/
【分析】本題考查了求扇形面積，正方形的性質與判定，切線長定理，先得出是直角三角形，進而證明四邊形是正方形，根據陰影部分面積等于正方形的面積減去個圓的面積，即可求解．
【詳解】解：∵，，，∴∴，
∵的內切圓與、、、分別相切于點、、，
∴∴四邊形是矩形，
又∵，∴四邊形是正方形，則，如圖所示，連接，，，

∴∵，
∴，∴，故答案為：．
17．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，正方形的邊長是，，E是邊的中點．將該正方形沿折疊，點C落在點處，分別與，，相切，切點分別為F、G、H，則的半徑為 ．

【答案】2
【分析】本題主要考查了三角形內切圓，正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的性質與判定．
如圖所示，延長交于M，連接，先證明得到，設設，則，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如圖所示，連接，利用等面積法求出半徑即可．
【詳解】解：如圖所示，延長交于M，連接，
∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點，∴，
由折疊的性質可得，∴，
又∵，∴， ∴，
設，則，，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，∴，
如圖所示，連接

∵分別與，，相切，切點分別為，，，
∴，
∵，∴，
∴，∴的半徑為，故答案為；2．
18．（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，點是的內心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結論：①；②連接，，若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的序號是 ；

【答案】①②④
【分析】根據內心的定義和性質可求判定結論①；如圖所示，連接，根據內心的定義和性質，三角形的內角和可判定結論②；根據題意，條件不足，可判定結論③；根據同弧或等弧所對圓周角相等，等腰三角形的判定和性質可判定結論④，由此即可求解．
【詳解】解：結論①，
∵點是的內心，即是的角平分線，∴，
∵，∴，故結論①正確；
結論②連接，，若，則，如圖所示，連接，

∵點是的內心，∴，，
∴，
∵，∴在中，，
∴，
∴在中，，故結論②正確；
結論③若點為的中點，則，
∵點是的內心，∴，∵點是的中點，∴，
∵，無法證明，
∴不一定等于，即不一定成立，故結論③錯誤；
結論④，根據題意，平分，∴，∵，
∴，（三角形的外角性質），
∴，∴，故結論④正確；
綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．
【點睛】本題主要考查三角形與圓的綜合，掌握三角形內心的定義（角平分線的交點）和性質，同弧（或等弧）所對圓周角相等，三角形內角和，外角和，等腰三角形的判和性質等知識的的綜合運用是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·河南漯河·九年級統考期中）已知，如圖，在中，，請根據下列要求解決問題：(1)利用尺規作出的內切圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)若，內切圓的半徑為1，求的周長．

【答案】(1)見解析(2)
【分析】本題考查了三角形內切圓，作角平分線，作垂線等知識．熟練掌握三角形角平分線的交點為三角形的內切圓的圓心是解題的關鍵．（1）根據三角形角平分線的交點為三角形的內切圓的圓心，確定圓心，然后作垂線確定半徑，最后作圓即可；（2）如圖1，連接，則，即，計算求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1，作的平分線，交點即為圓心，過作于，以為圓心，為半徑畫圓，即為的內切圓；

（2）解：如圖1，連接，∴，即，
解得，，∴的周長為．
20．（2022上·福建泉州·九年級校考期末）作圖題：如圖，在矩形中，已知，，
(1)用直尺和圓規在上找一點E，使平分，（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)求內切圓半徑r的值．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）以B為圓心，長為半徑畫弧交于E，連接，，則平分
（2）先分別利用勾股定理求得、，然后利用三角形內切圓的性質列方程即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求．
（2）解：由（1）作圖可知，，
∴在中，，∴，
∴在中，
∵內切圓半徑為r，∴內切圓的圓心到的三邊的距離都為半徑r，
∴，即，解得．
【點睛】本題考查了作圖 復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的性質、三角形內切圓的性質．
21．（2023上·廣東廣州·九年級校考期中）如圖，的直徑，和是它的兩條切線，與相切于點E，并與，分別相交于D，C兩點．設，．

(1)點O到直線的距離為 ；(2)求y與x的函數解析式．
【答案】(1)3(2)
【分析】（1）連接，與相切于點E，推導出半徑，即點O到直線的距離即為圓的半徑，據此解答；（2）首先作交于F，可得四邊形是矩形；然后根據切線長定理得到，，則；在直角中根據勾股定理，就可以求出y與x的關系．
【詳解】（1）解：如圖1，連接，

∵與相切于點E，∴半徑，∴即為點O到直線的距離，
∵，∴，
（2）作交于F．如圖2，
∵、與切于點定A、B，∴，．
又∵，∴，
∴四邊形是矩形，∴，，
∵，∴．
∵切于E，∴， ，則，
在中，由勾股定理得：，整理為，
∴y關于x的函數解析式為．
【點睛】本題考查了切線的性質、切線長的定理的應用，圓周角定理以及直線與圓的位置關系，勾股定理的應用，反比例函數的應用等知識點，解題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，運用勾股定理來解題．
22．（2023上·山東德州·九年級校聯考期中）如圖，在中．．
(1)用直尺和圓規作出，使圓心在邊上，并與其他兩邊都相切，與邊相切于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)通過作圖，試說明與相切的理由；(3)求的半徑．
【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)3．
【分析】（1）作的角平分線交于點，以點為圓心，的長為半徑作圓即可；
（2）過點作，垂足為點．由題可知，是的角平分線，利用圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切即可證明；（3）由勾股定理得，根據切線長定理得，進而得，在中，利用勾股定理構造方程即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，
（2）證明：過點作，垂足為點．
由題可知，是的角平分線 ∵，
是的角平分線
又∵，是的半徑，與相切；
（3）解：在中，．
與相切
設半徑為，則，
根據勾股定理得，解得半徑為．
【點睛】本題主要考查了切線得判定、切線長定理、勾股定理、尺規作角的角平分線以及角平分線的性質定理，熟練掌握切線判定、切線長定理、勾股定理、尺規作角的角平分線是解題的關鍵．
23．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考期中）[數學概念]我們把存在內切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形．例如，如圖，四邊形內接于．且每條邊均與相切，切點分別為、、、．因此該四邊形是雙圓四邊形．
[性質初探]（1）雙圓四邊形的對角的數量關系是 ：雙圓四邊形的邊的性質：對邊之和相等即．
[特例研究]（2）已知、分別是雙圓四邊形的內切圓和外接圓的圓心，如圖，若，，．求邊的長；
①的半徑為 ，②的半徑為 ；③的長為 ．
【答案】（1）對角互補；（2）AD=8；①；②；③
【分析】（1）根據圓內接四邊形對角互補性質，解答即可；
（2）先根據（1）中的結論可得在直徑上，作輔助線，要構建正方形，由三角函數設，，根據可列方程，從而得結論；在中，勾股定理求得，根據即可求解．
【詳解】解：（1）解：四邊形內接于，(圓內接四邊形對角互補)．
故答案為：對角互補；圓內接四邊形的對角互補．
（2）連接，連接，，

，是的直徑，由題意知：，，，
設，則，，
，，，，，，
，，，，
點在上，，，四邊形是正方形，，
，，，，
設，，，，即的半徑為
，，，，
，即的半徑為，
在中，，，，，
．故答案為：①；②；③．
【點睛】本題考查了圓周角定理，切線長定理，圓內接四邊形的性質，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線．
24．（2023·山東濟寧·中考模擬）閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,內切圓O的半徑為r連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．
∴．

（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內切圓（與各邊都相切的圓），如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內切圓半徑r；
（2）理解應用：如圖(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內切圓，設它們的半徑分別為r1和r2，求的值.
【答案】（1）（2）.
【分析】（1）如圖，連接OA、OB、OC、OD，則△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以點O為頂點、高都是r的三角形，根據即可求得四邊形的內切圓半徑r.
（2）過點D作DE⊥AB于點E，分別求得AE的長，進而BE 的長，然后利用勾股定理求得BD的長；然后根據，，兩式相除，即可得到的值.
【詳解】解：（1）如圖（2），連接OA、OB、OC、OD.
∵∴
（2）如圖（3），過點D作DE⊥AB于點E，
∵梯形ABCD為等腰梯形，∴∴
在Rt△AED中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴
∵AB∥DC，∴.又∵，∴.即.
25．（2023上·江蘇南京·九年級校考階段練習）（1）發現：如圖1，在平面內，已知的半徑為r，B為外一點，且，P為上一動點，連接，易得的最大值為___________，最小值為___________；（用含a，r的代數式表示）
（2）應用：①如圖2，在矩形中，，E為邊中點，F為邊上一動點，在平面內沿將翻折得到，連接，則的最小值為___________；
②如圖3，點P為線段外一動點，分別以為直角邊，P為直角頂點，作等腰和等腰，連接．若，則最大值為___________；
（3）拓展：如圖4，已知以為直徑的半圓O，C為弧上一點，，P為弧上任意一點，交于D，連接，若，則的最小值為___________．

【答案】（1）；（2）①，②；（3）
【分析】（1）當P在延長線上時，最大為：．當P在上時，最小為：．
（2）①由沿將翻折得到，可知，即P的運動軌跡是以點E為圓心，以2為半徑的半圓，則當E、P、B三點共線時，小，此時進而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可證，得，進而 ，當C、A、B三點共線時，最大，進而可求解；
（3）以為邊作，在的異側作等邊，為半圓O的直徑，，由，由是等邊三角形，可得，即D的運動軌跡是G為圓心，為半徑的，進而可求；
【詳解】解：（1）當P在延長線上時最大，如圖：

∴最大為：．
當P在上時最小，如圖：∴最小為：．故答案為∶．
（2）①如圖：∵沿將翻折得到，
∴，即P的運動軌跡是以點E為圓心，以2為半徑的半圓，
∴當E、P、B三點共線時，小，此時，
∴的最小值為，故答案為：．
②∵和是等腰直角三角形，∴，
∴ ，即，
∴，∴，∴當最大時，就最大，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴當C、A、B三點共線時，最大，如圖：∴此時．
（3）以為邊作，在的異側作等邊，

∵為半圓O的直徑，，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵是等邊三角形，∴，∴，
∴，即D的運動軌跡是G為圓心，為半徑的，而，∴，
在中，，∴，
當G、D、B三點共線時，BD最小，如圖：∴最小值為：，故答案為：．
【點睛】本題考查了圓的綜合應用，涉及翻折變換，全等三角形的判定及性質，三角形兩邊之差小于第三邊等知識，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，等邊三角形及轉化思想的應用，綜合性較強．
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專題2.2 切線長定理+專題2.3 三角形的內切圓
模塊1：學習目標
1.理解切線長定義；
2.掌握切線長定理，靈活應用切線長定理解決問題；
3.掌握三角形的內切圓的相關概念及計算。
模塊2：知識梳理
1.切線長：從圓外一點作圓的切線，通常我們把這一點到切點之間的線段的長叫做切線長。
2.切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
3.三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。三角形叫做圓的外切三角形。
4.三角形的內心：三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。
5.內切圓及有關計算。
（1）三角形內切圓的圓心是三個內角平分線的交點，它到三邊的距離相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內切圓的半徑r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內切圓的半徑。
模塊3：核心考點與典例
考點1、切線長定理的相關計算
例1．（2023·北京·九年級校考期中）如圖，，，是的切線，，，為切點，若，，則的長為 ．
變式1.（2023上·吉林白城·九年級校聯考階段練習）如圖，分別切于A，B兩點，為直徑，，若，則的周長為 ．
變式2.（2023上·河南濮陽·九年級校考期中）如圖，切線、分別與相切于點、，切線與相切于點，且分別交、于點、，若的周長為，則線段的長為 ．
變式3．（2023上·山東濱州·九年級校聯考期中）如圖，，是的兩條切線，切點分別為A，B，若，點C為上任意一點（不與點A、B重合），則 ．

考點2、切線長定理的相關證明
例1．（2023上·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，為外一點，為的切線，切點分別為，直線交于點，交于點．
(1)求證：；(2)若，求證：；(3)若，求的長．
變式1.（2023上·廣東云浮·九年級統考期末）如圖1所示，為的外接圓，為直徑，、分別與相切于點D、C（）.E在線段上，連接并延長與直線相交于點P，B為中點.(1)證明：是的切線.(2)如圖2，連接，，求證：.
變式2.（2022上·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）探究問題：
(1)如圖1，PM、PN、EF分別切于點A、B、C，猜想的周長與切線長PA的數量關系，并證明你的結論．(2)如果圖1的條件不變，且，的周長為16cm，求的半徑．
(3)如圖2，點E是的邊PM上的點，于點F，與邊EF及射線PM、射線PN都相切．若，，求的半徑．
考點3、圓的外切四邊形模型
例1．（2023·江蘇南京·九年級統考期中）如圖，圓O是四邊形ABCD的內切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝ ．
變式1.（2023上·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，為的內切圓，切點分別為，點分別為上的點，且為的切線．
(1)若，求的度數；(2)若，求的周長．
變式2.（2023·九年級課時練習）如圖，⊙O與四邊形ABCD的各邊依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD與AD+BC有何數量關系，并證明你的猜想；（2）若四邊形ABCD增加條件AD∥BC而成為梯形，梯形的中位線長為m，其他條件不變，試用m表示梯形的周長．
考點4、直角三角形的內切圓半徑
例1．（2023上·陜西西安·九年級統考期中）如圖，已知中，，為的內切圓，若，且的面積為24，則的周長為（　　）
A．48 B． C．24 D．
變式1.（2023上·江蘇宿遷·九年級校考期中）三角形的兩邊長分別為6和8，第三邊長是方程一個實數根，則此三角形內切圓的半徑為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
變式2.（2023上·廣西南寧·九年級南寧十四中校考期中）如圖，的內切圓與分別相切于點，，，，則的內切圓半徑r為（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
考點5、任意三角形的內切圓半徑
例1．（2022上·廣東湛江·九年級校考期末）如圖，圓O是的內切圓，與各邊的切點分別為D、E、F，若圖中3個陰影三角形的面積之和為4，內切圓半徑為1，則的周長為（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
變式1.（2023·廣西梧州·統考二模）如圖，是的內切圓，若的周長為18，面積為9，則的半徑是（　　）

A．1 B． C．1.5 D．2
變式2.（2023上·福建福州·九年級統考期中）如圖，在中，，，則它內切圓的半徑為 ．

考點6、三角形的內心相關運用
例1．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，點是的內切圓的圓心，若，則度數等于（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023上·山東菏澤·九年級統考期中）如圖，點是的內心，連接并延長交于點，交的外接圓于點，連接．以下結論中正確的結論有（ ）個

（1）平分；（2）；（3）；（4）；（5）
A．5 B．4 C．3 D．2
變式1.（2023上·廣東珠海·九年級校考期中）如圖，中，，，點是的內心，則的度數為 ．
考點7、內切圓與外接圓的綜合運用
例1．（2023上·河北邢臺·九年級校聯考期中）已知是的內心，，為平面上一點，點恰好又是的外心，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
變式1. （2023下·河北承德·九年級校聯考階段練習）兩直角邊的長分別為和，則其內心與外心的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
變式2. （2023上·江蘇揚州·九年級統考期中）【特例感知】（1）如圖1，是的圓周角，為直徑，平分交于點D，，若，則 ， ．
【類比遷移】（2）如圖2，是的圓周角，為的弦，平分交于點D，過點D作，垂足為F，探索線段之間的數量關系，并說明理由．
【問題解決】（3）如圖3，是的圓周角，為的弦，平分交于點D，若，，，則的內心與外心之間的距離為______．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·江蘇連云港·九年級校考期中）如圖，，是的切線，，為切點，是的直徑，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖南湘西·九年級統考階段練習）如圖，P為外一點，、分別切于點A、B，切于點E，分別交、于點C、D，若，則的周長為（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
3．（2023上·北京海淀·九年級校考階段練習）如圖，過點作的切線，，切點分別是，，連接．過上一點作的切線，交，于點，．若，的周長為4，則的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2023上·山東濰坊·九年級統考期中）如圖，在中，，則內切圓的半徑是（ ）

A．1 B． C．2 D．3
5．（2022上·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，中，，，，點是的內心，則的長度為（ ）

A．2 B．3 C． D．
6．（2023·遼寧盤錦·九年級校考階段練習）中，，，，則的外接圓和內切圓的半徑分別（ ）
A．，1 B．5，2 C．，2.4 D．，2
7．（2022上·新疆烏魯木齊·九年級校考階段練習）如圖，的內切圓與，，分別相切于點，，，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022上·河北邯鄲·九年級校考期中）如圖，是四邊形的內切圓．若，則（ ）

A． B． C． D．
9．（2023上·福建廈門·九年級校考期中）如圖，在中，，，于點，點是上一點，連接，交于點，若，則下列說法正確的為（ ）
A．點為的外心 B．點為的內心
C．點、、在以為圓心的同一個圓上 D．點為中點
10．（2022下·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，在中，，于， 為的內切圓，設 的半徑為，的長為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·新疆·九年級校考階段練習）如圖，分別與相切于點A，B，連接，若，，則的半徑等于 ．

12．（2023上·江蘇南京·九年級校考期中）如圖，半徑為4的與含有角的直角三角板的邊切于點A，將直角三角板沿邊所在的直線向左平移，當平移到與相切時，該直角三角板平移的距離為 ．
13．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第十七中學校考期中）如圖，，分別與相切于，，切于，已知，的半徑為，則的周長是 ．
14．（2023上·江蘇南京·九年級統考期中）如圖，四邊形的各邊都與相切，若，則四邊形的周長為 ．

15．（2023上·山西呂梁·九年級校聯考階段練習）如圖，是的內切圓，D，E分別為邊，上的點，且為的切線．若的周長為32，的周長為12，則的長為 ．

16．（2023上·湖北隨州·九年級校聯考階段練習）如圖，的內切圓與、、、分別相切于點、、，且，，，則圖中由線段、及組成的陰影部分的面積是 ．

17．（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期中）如圖，正方形的邊長是，，E是邊的中點．將該正方形沿折疊，點C落在點處，分別與，，相切，切點分別為F、G、H，則的半徑為 ．

18．（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，點是的內心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結論：①；②連接，，若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的序號是 ；

三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·河南漯河·九年級統考期中）已知，如圖，在中，，請根據下列要求解決問題：(1)利用尺規作出的內切圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)若，內切圓的半徑為1，求的周長．

20．（2022上·福建泉州·九年級校考期末）作圖題：如圖，在矩形中，已知，，
(1)用直尺和圓規在上找一點E，使平分，（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)求內切圓半徑r的值．
21．（2023上·廣東廣州·九年級校考期中）如圖，的直徑，和是它的兩條切線，與相切于點E，并與，分別相交于D，C兩點．設，．
(1)點O到直線的距離為 ；(2)求y與x的函數解析式．

22．（2023上·山東德州·九年級校聯考期中）如圖，在中．．
(1)用直尺和圓規作出，使圓心在邊上，并與其他兩邊都相切，與邊相切于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)通過作圖，試說明與相切的理由；(3)求的半徑．
23．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考期中）[數學概念]我們把存在內切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形．例如，如圖，四邊形內接于．且每條邊均與相切，切點分別為、、、．因此該四邊形是雙圓四邊形．
[性質初探]（1）雙圓四邊形的對角的數量關系是 ：雙圓四邊形的邊的性質：對邊之和相等即．
[特例研究]（2）已知、分別是雙圓四邊形的內切圓和外接圓的圓心，如圖，若，，．求邊的長；
①的半徑為 ，②的半徑為 ；③的長為 ．
24．（2023·山東濟寧·中考模擬）閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,內切圓O的半徑為r連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形．
∴．

（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內切圓（與各邊都相切的圓），如圖（2），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內切圓半徑r；
（2）理解應用：如圖(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內切圓，設它們的半徑分別為r1和r2，求的值.
25．（2023上·江蘇南京·九年級校考階段練習）（1）發現：如圖1，在平面內，已知的半徑為r，B為外一點，且，P為上一動點，連接，易得的最大值為___________，最小值為___________；（用含a，r的代數式表示）
（2）應用：①如圖2，在矩形中，，E為邊中點，F為邊上一動點，在平面內沿將翻折得到，連接，則的最小值為___________；
②如圖3，點P為線段外一動點，分別以為直角邊，P為直角頂點，作等腰和等腰，連接．若，則最大值為___________；
（3）拓展：如圖4，已知以為直徑的半圓O，C為弧上一點，，P為弧上任意一點，交于D，連接，若，則的最小值為___________．

21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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