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專題2.5 圓中的外接圓和內切圓模型
模塊1：知識儲備
內切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是該多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它是該多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。
三角形內切圓圓心：在三角形中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。正多邊形必有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。
外接圓：與多邊形各頂點都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。
三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點）。
模塊2：核心模型點與典例
模型1、內切圓模型
1）三角形的內切圓模型
條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。
結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。
圖1 圖2 圖3
2）直角三角形的內切圓模型
條件：如圖2，⊙O為Rt的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。
結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；
3）四邊形的內切圓模型
條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內切圓。
結論：。
例1．（2023春·云南德宏·九年級統考期中）如圖，在中，，是的內切圓，連接，交于點D、E，已知，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據角A的度數和內切圓的性質，求得圓心角的度數，然后根據扇形的面積公式即可解答．
【詳解】解：∵，是的內切圓，∴分別平分和，
∴，
∴．故選：B．
【點睛】本題考查三角形內切圓的知識，熟練掌握三角形內切圓的性質及扇形面積的計算是解題關鍵．
例2．（2023·浙江金華·九年級統考期中）如圖，截三邊所得的弦長相等，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用截的三條邊所得的弦長相等，得出即是的內心，由三角形內角和定理可得出答案．
【詳解】解：截的三條邊所得的弦長相等，
到三角形三條邊的距離相等，即是的內心，，，
，，
，故選：C．
【點睛】本題考查的是內心的性質，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．
例3．（2023秋·河南漯河·九年級統考期末）如圖，是的內切圓，切點分別為，且，，，則的半徑是 ．

【答案】1
【分析】先根據勾股定理求出，由切線長定理得，，，設，則，，然后根據，求解即可．
【詳解】解：在中，∵，，，∴，
∵為的內切圓，切點分別為D，E，F，
∴，，，如圖，連接，，

∵為的內切圓，∴，
∴，∴四邊形是正方形，
設，則，，
∵，∴，∴，則的半徑為1．故答案為：1．
【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，勾股定理，正方形的判定與性質，切線長定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握切線長定理．
例4．（2023秋·浙江九年級課時練習）已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內切圓的半徑為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】設內切圓的半徑為r，根據公式：，列出方程即可求出該三角形內切圓的半徑．
【詳解】解：設內切圓的半徑為r解得：r=1故選D．
【點睛】此題考查的是根據三角形的周長和面積，求內切圓的半徑，掌握公式：是解決此題的關鍵．
例5．（2023·福建福州·九年級校考期末）如圖，的內切圓與兩直角邊、分別相切于點D、E，過劣弧（不包括端點D、E）上任一點P作的切線，與、分別交于點M、N，，，則的周長為 ．
【答案】4
【分析】首先利用勾股定理求出斜邊的長度，再判斷四邊形為正方形，然后利用切線長定理求出內切圓半徑，進而求出周長．
【詳解】如圖，連接、，
在中，，
設內切圓半徑為r，、為的切線，∴，，
∵，，∴四邊形為正方形，∴，
由切線長定理得，，，，，
∴，解得，
則的周長為．
故答案為：4．
【點睛】本題考查了三角形的內切圓，切線的性質定理，切線長定理，解題關鍵是判斷四邊形為正方形，再依據切線長定理把三角形的周長化為兩條切線長，再轉化為半徑進行求解．
例6．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，在直角坐標系中，一直線經過點，與軸、軸分別交于、兩點，且，若是的內切圓，與、、軸分別相切，與、、軸分別相切，……按此規律，則的半徑 ．
【答案】
【分析】連接、、，作于，于，于，將三角形分解成三個三角形，再根據三個三角形的面積之和等于的面積，即可得出半徑的值，再根據題意依次列出，…的半徑大小，找出規律即可．
【詳解】解：如圖所示，連接、、，作于，于，于，
則，過點作軸于，∴軸，
∵，，即點是的中點，∴點是的中點，是的中位線，
∴，，∴，，，
∴，，，，
∵，∴，
同理可得：，，…，∴，
依此類推可得：的半徑，故答案為：．
【點睛】本題考查三角形的內切圓，勾股定理，三角形的中位線，規律型．根據題意列出等式，適當地對圖形進行分解，總結出規律是解題的關鍵．
例7．（2023·廣東東莞·九年級校考期中）如圖，在內切圓半徑為1的直角三角形ABC中，，，內切圓與BC邊切于點D，則A到D的距離AD（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取內切圓的圓心O，連接圓心與切點，由，可得∠BAC=60°，再根據內切圓的圓心的是三角形三條角平分線的交點，可知∠OAE=30°，從而得到AE=，CE=1， CD=1，再用勾股定理即可求解．
【詳解】解：取內切圓的圓心O，與AC，AB的切點E、F，連接OD、OE、OF．
∵，，∴∠BAC=60°，
∵內切圓的圓心的是三角形三條角平分線的交點，∴
又∵OE=1，OE⊥AC（切線的性質），∴AE=，
∵OE⊥AC，OD⊥BC，，∴四邊形CDOE是矩形，
又∵OD=OE，∴四邊形CDOE是正方形，∴CE=CD=OE=1， ∴AC= AE+CE=+1，
在Rt△ACD中，，∴，
∴，故選：D．
【點睛】本題考查勾股定理，正方形的判定與性質，三角形的內切圓，切線的性質等知識，根據題意正確畫出的輔助線是解題的關鍵．
模型2、多邊形的外接圓模型
1）三角形的外接圓模型
條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。
結論：①OA=OB=OC；②。
圖1 圖2 圖3
2）等邊三角形的外接圓模型
條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。
結論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
3）四邊形的外接圓模型
條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形。
結論：①；；②。
例1．（2022春·浙江·九年級專題練習）如圖，點 O 是△ABC 的內心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，則∠D 的度數是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
【答案】B
【分析】利用三角形內心的性質得OB，OC分別是角平分線，進而求出的大小，再利用三角形外心的性質得出等于的一半，即可得出答案．
【詳解】解：連接OB，OC，如圖，
點 O 是△ABC 的內心，，，
，
，
點 O是△DBC 的外心，，故選：B．
【點睛】本題主要考查了三角形的內心和三角形外心的性質，牢記以上知識點得出各角之間的關系是做出本題的關鍵．
例2．（2023·山東聊城·統考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內心，連接，．若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形內心的定義可得的度數，然后由圓周角定理求出，再根據三角形內角和定理以及等腰三角形的性質得出答案．
【詳解】解：連接，∵點I是的內心，，
∴，∴，
∵，∴，故選：C．

【點睛】本題主要考查了三角形內心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內心是三角形三個內角平分線的交點是解題的關鍵．
例3．（2023·江蘇無錫·九年級校考階段練習）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，則它的外接圓半徑R＝ ，內切圓半徑r＝ ．
【答案】
【分析】根據等腰三角形的性質得出內心和外心都在底邊的高AD上，根據勾股定理得出方程，即可求出外接圓的半徑，根據三角形的面積公式即可求出內切圓的半徑．
【詳解】解：如圖，
∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，
∴過A作AD⊥BC于D，則外接圓的圓心O在AD上，連接OB、OC，
∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如圖，過A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC的外心I在AD上，過I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，連接OA、OB、OC，
則IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI，
∴由三角形的面積公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=，
即三角形ABC的外接圓半徑R=，內切圓半徑r=，故答案為：，．
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，三角形的外接圓和內切圓等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
例4．（2023·江蘇泰州·九年級統考期中）如圖，在中，，，，點M，N分別是的內心和外心，則 ．
【答案】
【分析】連接，過點M作于點D，作于點E，作于點F，根據勾股定理求得，根據三角形的外心性質求得，由三角形的內心性質得，再根據三角形的面積公式，由的邊長求得，進而證明四邊形為正方形，求得，再證明得，進而求得，最后由勾股定理求得．
【詳解】解：連接，過點M作于點D，作于點E，作于點，
∵，，，∴，
∵N為的外心，∴，∵M為的內心，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴四邊形為正方形，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形的內心與外心性質，三角形的面積公式，全等三角形的性質與判定，正方形的判定與性質，勾股定理，關鍵是作輔助線，利用三角形的內心與外心性質求得、．
例5．（2022秋·浙江衢州·九年級統考期末）如圖，在中，，以為直徑的半圓分別交，于點，，連結，，．(1)求證：．(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)8
【分析】（1）由等腰三角形的性質得出，，進而得出，可證明，由圓周角定理得出，則，根據平行線的性質可得；
（2）由，是的中點，得出是的中點，由圓周角定理，直角三角形的性質結合，得出，繼而證明，由相似三角形性質得出，進而得出的長度．
【詳解】（1）證明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵為直徑，∴，∴，∴，∴；
（2）如圖，
∵，是的中點，∴，即，∴是的中點，
∵為直徑，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴，
∴．
【點睛】本題考查圓周角定理，平行線的性質、等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
例6．（2023湖北武漢九年級上期中）如圖，點A、P、B、C為⊙O上四點，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判斷△ABC形狀并證明；（2）將△APB繞點B順時針旋轉60°至△CMB，請畫出圖形，直接寫出PA，PB，PC三者之間的數量關系 　 　．
【答案】（1）△ABC是等邊三角形；證明見解析；（2）PC＝PB+PA．
【分析】（1）結論：△ABC是等邊三角形．證明三個內角都是60°即可；
（2）證明△PBM是等邊三角形，可得結論．
【詳解】解：（1）結論：△ABC是等邊三角形．
理由：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．
（2）圖形如圖所示，由圓周角定理可知∠BAP=∠BCP，
由旋轉的性質可知∠BAP=∠BCM，∠PBM＝60°，∴點M恰好在CP上，
∵∠BPM＝∠PBM＝60°，∴△PBM是等邊三角形，
∴PB＝PM，∴PC＝PM+CM＝PB+PA，故答案為：PC＝PB+PA．
【點睛】本題考查作圖-旋轉變換，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵掌握圓周角定理，靈活運用所學知識解決問題．
例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點．（1）求∠BPC的度數；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設PA，BC交于點M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．
【答案】（1）∠BPC=120°，（2）證明見解析；（3）CM=．
【分析】（1）由圓周角定理得∠BPC與∠BAC互補；
（2）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；
（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，設DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．
【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，
∵點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點，
∴四邊形ABPC是圓的內接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，
（2）證明：連結CD．在PA上截取PD=PC，
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；
（3）∵△PCD和△ABC都為等邊三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，
又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，
∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，
設DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x
∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，
∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，
解得x=（舍去負值），∴CM=．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、圓周角定理以及等邊三角形的性質，是一個綜合題，難度較大．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·湖北恩施·九年級統考期末）如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，則△ABC的周長為（ ）
A．10 B．10 C．14 D．16
【答案】C
【分析】根據切線長定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根據三角形的周長公式計算即可．
【詳解】解：∵△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，
∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3∴BC=BE+CE =5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5，
∴△ABC的周長=2+2+5+5=14．故答案為C．
【點睛】本題考查的是三角形的內切圓與內心、切線長定理等知識點，靈活利用切線長定理是解題答本題的關鍵．
2．（2023春·湖北九年級課時練習）已知的內切圓的半徑為，且，的周長為16，則的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據題意，畫出圖形，，過點作，，，連接，根據內切圓的性質，可得，求得線段，再根據切線長定理求解即可．
【詳解】解：根據題意，作出圖形，過點作，，，連接，如下圖：
由切線長定理可得：，，，，，，
∵，∴，
∴，∴，即，
在中，，，∴，由勾股定理可得：，
的周長為16，可得：解得，故選：C．
【點睛】此題考查了圓與三角形的綜合應用，涉及了切線長定理，勾股定理，直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．
4．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕．將再次折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，，交于點．則以下結論一定成立的是（ ）
A． B．
C．點到三邊的距離相等 D．點到三個頂點的距離相等
【答案】C
【分析】根據是折痕，可知平分，平分，點為的內接圓的圓心，由此即可求解．
【詳解】解：∵是折痕，
∴平分，平分，點為的內接圓的圓心，如圖所示，
于，于，于，
選項， 的度數無法確定，與的數量關系也不確定，故選項不符合題意；
選項， 的長度不確定，的數量關系也不確定，故選項不符合題意；
選項，根據角平分的性質可得，，即點到三邊的距離相等，故選項符合題意；
選項， ，故選項不符合題意；故選：．
【點睛】本題考查三角形與圓的知識的綜合，理解并掌握角平分線的性質，內切圓的知識是解題的關鍵．
4．（2022春·綿陽市九年級課時練習）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BD，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的大小為（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
【答案】C
【分析】根據圓周角定理可求∠CAD=32°，再根據三角形內心的定義可求∠BAC，再根據三角形內角和定理和三角形內心的定義可求∠EBC+∠ECB，再根據三角形內角和定理可求∠BEC的度數．
【詳解】在⊙O中，∵∠CBD=32°，∴∠CAD=32°，∵點E是△ABC的內心，∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的內心，圓周角定理，三角形內角和定理，關鍵是得到∠EBC+∠ECB的度數．
5．（2023·山西太原·校考模擬預測）如圖，截的三條邊所得的弦長相等，若，則的度數為(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用截的三條邊所得的弦長相等，得出即是的內心，從而∠1=∠2，∠3=∠4，進一步求出的度數．
【詳解】解：過點分別作、、，垂足分別為、、，連接、、、、、、、，如圖：
∵，∴
∴∴點是三條角平分線的交點，即三角形的內心∴，
∵∴
∴．故選：C
【點睛】本題考查的是三角形的內心、角平分線的性質、全等三角形的判定和性質以及三角形內角和定理，比較簡單．
6．（2023·河北邢臺·九年級校考階段練習）如圖，在中，點為的內心，點在邊上，且⊥，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】中，點為的內心，可求出的度數，根據四邊形的內角和即可得出結論．
【詳解】解：在中，，
點為的內心，
四邊形的內角和，且
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形內心的定義及多邊形的內角和，牢固掌握相關概念是解題的關鍵．
7．（2023春·湖北九年級期中）點I是的內心，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】先根據內心的定義得到，再根據作答即可．
【詳解】如圖，
∵點I是的內心，∴，
∵，∴；
∴；∴．故選：A．
【點睛】本題考查了三角形的內心，熟練掌握定義是解答本題的關鍵．三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形角平分線的交點．
8．（2023·重慶九年級期中）已知三角形三邊長分別為5cm、5cm、6cm，則這個三角形內切圓的半徑是（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．3cm
【答案】B
【分析】由⊙O是△ABC的內切圓，⊙O切AB于E，切BC 于D，根據切線長定理得到AB=AC，A，O，D三點共線，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解．
【詳解】如圖∵⊙O是△ABC的內切圓，⊙O切AB于E，切BC 于D，
∵AB=AC=5，∴A，O，D三點共線，∴BD=BC=3，∴AD= =4，
∴BE=BD=3，∴AE=2， 設三角形內切圓的半徑為r，
∴（4-r）2=22+r2，∴r=cm，∴三角形內切圓的半徑為cm．故選B．
【點睛】考查對三角形的內切圓與內心，切線長定理，切線的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．
9．（2023·廣東廣州·統考中考真題）如圖，的內切圓與，，分別相切于點D，E，F，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即可．
【詳解】解：如圖，連接．
∵的內切圓與，，分別相切于點D，E，F，
∴，
∴，，
∴，∴．故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，圓周角定理，切線的性質等知識，解題的關鍵是掌握切線的性質，屬于中考常考題型．
10．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，點I為的內心，連接并延長交的外接圓于點D，若，點E為弦的中點，連接，若，則的長為（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由已知條件可得到，過點D作于F，連接，可得四邊形為平行四邊形，可得，即可求出IE的長．
【詳解】解：連接，如圖，∵I為的內心，∴，∴，
又∵，，
∴，∴， ∴，
∵，∴，過點D作于F，連接，∴，
在中，由勾股定理得，，
∵點E為弦的中點∴為的中位線，
∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，故選C．
【點睛】本題是三角形外接圓和內切圓綜合，考查了平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質與判定，內心等等，正確作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023秋·山東泰安·九年級統考期末）如圖，中，點是內心，若，則的度數為 ．
【答案】/115度
【分析】根據三角形內角和定理即可求得的度數，再根據內心的定義即可求得，然后根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：∵，∴，
∵點是的內心，∴，
∴，故．故答案是：．
【點睛】本題主要考查了三角形的內心以及三角形內角和定理的知識，理解三角形內心的定義是解題關鍵．
12．（2023浙江年級上期中）在△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，則它的外接圓半徑R = cm，內切圓半徑r = cm.
【答案】 6.5， 2.
【分析】根據勾股定理求出斜邊AB的長，根據直角三角形外接圓半徑=斜邊的一半，即可得出結果．內切圓半徑則通過三角形的面積去切入即可.
【詳解】解：(1)∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，∴AB===13(cm)，
∴△ABC的外接圓的半徑=AB=6.5cm，故答案為6.5cm.
(2)S△ABC=(AC+AB+BC)××r內=C△ABC=30，則△ABC的內切圓的半徑為2cm.故答案為：2.
【點睛】本題考查了內切圓的定義與三角形的外接圓與外心，解題的關鍵是熟悉內切圓與外接圓的概念以及運用.
13．（2023·廣東廣州·校考二模）如圖，是的弦，點是上一點，與點關于對稱，直線交于點， 交于點，直線交于點，且連接給出下面四個結論：①；②平分；③平分；④點為的內心．其中，所有正確結論的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】連接、，根據軸對稱的性質得垂直平分，可知正確，錯誤；再利用等腰三角形的性質和圓周角定理可知平分，同理，平分，進而判斷正確．
【詳解】解：連接、，
點與關于對稱，垂直平分，故正確，錯誤；
，，，
，，，
平分，同理，平分，平分，
點為的內心，故正確，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，三角形內心的性質等知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
14．（2023·貴州遵義·統考二模）已知內接于，它的內心為點D，連接交弦于點E，交于點F，已知，，，則線段的長為 ．

【答案】/
【分析】連接，，通過證明得到，求得線段，利用三角形的內心是三角形的三個內角平分線的交點，根據圓周角定理和相似三角形的判定與性質求得的長，再利用三角形的外角的性質和等腰三角形的判定與性質得到，則．
【詳解】解：連接，，

∵，∴，
∴，∴，∴，
∵點為的內心，∴，分別為，的平分線，
∴，，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，
∴，∴∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了三角形的內角的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，三角形內角和定理及其推論，等腰三角形的判定與性質，充分利用相似三角形的判定與性質求得相應線段的長度是解題的關鍵．
15．（2023·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，點B的坐標為（4，0），以O點為圓心，以OB為半徑的圓交y軸于點A，點C為第一象限內圓上一動點，CD⊥x軸于D點，點I為△OCD的內心，則AI的最小值為 ．
【答案】
【分析】連接，作的外接圓，圓心為P，連接證明，求出，，求出點B的坐標為，當三點共線時，取得最小值，
【詳解】解：如圖，連接，作的外接圓，圓心為P，連接
∵點I為的內心，∴，
在和中，，
∴，∴∠OIC＝∠OIB，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵點B的坐標為，∴，∴，∴，
當三點共線時，取得最小值，
此時．故答案為：．
【點睛】此題考查了圓和三角形的綜合，解題的關鍵是熟悉圓和三角形的相關知識．
16．（2022秋·江蘇泰州·九年級統考期中）如圖，在中，，，，點M，N分別是的內心和外心，則 ．
【答案】
【分析】連接，過點M作于點D，作于點E，作于點F，根據勾股定理求得，根據三角形的外心性質求得，由三角形的內心性質得，再根據三角形的面積公式，由的邊長求得，進而證明四邊形為正方形，求得，再證明得，進而求得，最后由勾股定理求得．
【詳解】解：連接，過點M作于點D，作于點E，作于點，
∵，，，∴，
∵N為的外心，∴，∵M為的內心，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴四邊形為正方形，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形的內心與外心性質，三角形的面積公式，全等三角形的性質與判定，正方形的判定與性質，勾股定理，關鍵是作輔助線，利用三角形的內心與外心性質求得、．
17．（2023·北京·九年級校考階段練習）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若點O為△ABC的外心，則∠AOC的度數是 ；若點P為△ABC的內心，則∠APC的度數是 ．
【答案】 80°/80度 110°/110度
【分析】先根據三角形內角和計算出∠ABC=40°，若點O為ABC的外心，利用圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC；若點P為ABC的內心，利用角平分線的性質和三角形內角和得到．
【詳解】解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-60°=40°，
若點O為ABC的外心，如圖1所示，則∠AOC=2∠ABC=80°；
∵點P為ABC的內心，如圖2所示，，
∴．故答案為80°，110°．
【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了三角形的外心．
18．（2023·山東泰安·九年級統考期末）如圖，點I和O分別是△ABC的內心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數為 ．
【答案】140°
【分析】分別作出△ABC的外接圓⊙O，△ABC的內切圓⊙I，首先根據三角形內心的性質以及三角形內角和定理求出∠IAB+∠IBA＝55°，進而求出∠CAB+∠CBA＝110°，然后根據三角形內角和定理求出∠ACB＝70°，最后根據圓周角定理即可求出∠AOB的度數．
【詳解】解：分別作出△ABC的外接圓⊙O，△ABC的內切圓⊙I，
∵點I是△ABC的內心，∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝180°-∠AIB＝55°，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°，
∴∠ACB＝180°-（∠CAB+∠CBA）＝70°，
∵點O是△ACB是外心，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，故答案為：140°．
【點睛】此題考查三角形的內心和外心的性質，圓周角定理，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是根據題意做出△ABC的外接圓⊙O，△ABC的內切圓⊙I，進而利用三角形內心和外心的性質求解．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·天津北辰·九年級校考階段練習）（1）尺規作圖，如圖作出△ABC 的外接圓⊙O；
（2）若AB=AC=10,BC=12,則△ABC 的外接圓半徑R= ,△ABC 的內切圓半徑r= ．
【答案】（1）見詳解；（2）；3．
【分析】（1）分別作BC和AC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點O，然后以點O為圓心，OC為半徑作圓即可；
（2）過A作AD⊥BC于D，連接OB，可知O在直線AD上，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求出外接圓半徑R；過A作AM⊥BC于M，由條件可知內心P在直線AM上，過P作PN⊥AB于N，利用△ANP∽△AMB，對應邊成比例即可求出△ABC 的內切圓半徑．
【詳解】解：（1）如圖所示，⊙O為所作，
（2）如圖，過A作AD⊥BC于D，
由AB=AC=10可知，AD垂直平分BC，BD=CD=BC=6，
又∵圓心O在BC的垂直平分線上，∴O在直線AD上，
在Rt△ABD中，，
連接OB，設OA=OB=R，則OD=8-R，在Rt△OBD中，∵OD2+BD2=OB2，
∴（8-R）2+62=R2，解得，即△ABC外接圓的半徑為；
如下圖，過A作AM⊥BC于M，
由于AB=AC=10，BC=12，∴BM=CM=6，AM為∠BAC的角平分線上，
∴△ABC的內心在直線AM上，取點P為△ABC的內心，過P作PN⊥AB于N，
可知，PN=PM，在Rt△ABM中，，
設PN=PM =r，則AP=8-r，∵∠AMB=∠ANP=90°，∠NAP=∠MAB，∴△ANP∽△AMB，
∴，即，∴即△ABC內切圓的半徑為3；答案為：；3．
【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．也考查了三角形的外心和內心，題目比較綜合．
20．（2023秋·成都市九年級上期中）如圖，⊙O是GDP的內切圓，切點分別為A、B、H，切線EF與⊙O相切于點C，分別交PA、PB于點E、F．
（1）若△PEF的周長為12，求線段PA的長；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．
【答案】（1）6；（2）1
【分析】（1）由切線長定理可得，，，再由△PEF的周長為12，即可得到，由此即可得到答案；
（2）連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設圓的半徑為r，由，可以得到，再利用勾股定理求出，由此進行求解即可．
【詳解】解：（1）由題意得，AP，BP，EF都是圓O的切線，
∴由切線長定理可得，，，
∵△PEF的周長為12，∴，∴；
（2）如圖所示，連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設圓的半徑為r，
∴OA=OB=OH=r，
由切線的性質可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，
∴，
∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，∴，，
∴即，∴，∴⊙O的半徑為1．
【點睛】本題主要考查了切線長定理，切線的性質，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握切線長定理和切線的性質．
21．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知，如圖，為⊙O的直徑，內接于⊙O，，點P是的內心，延長交⊙O于點D，連接．
(1)求證：；(2)已知⊙O的半徑是3，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)4
【分析】（1）由圓周角定理得出，由內心得出，，，由三角形的外角性質得出，即可得出結論；
（2）連接，由圓周角定理得出，證出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的長，即可得出結果．
【詳解】（1）證明：∵為直徑，∴，
∵點P是的內心，∴，，∴，
∵，，
∴，∴；
（2）解：連接，過點B作于H，如圖所示：
∵是直徑，，
∴，是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
【點睛】本題考查圓周角定理，等腰直角三形，勾股定理，內心的定義；添加輔助線構造特殊角直角三角形是解題的關鍵．
22．（2023·湖北荊門·中考模擬）已知銳角的外接圓圓心為，半徑為．
（1）求證：；（2）若中，求的長及的值．
【答案】（1）見解析；（2）BC= ,sinC=；
【分析】（1）如圖1，連接并延長交于，連接，于是得到，根據三角函數的定義即可得到結論；
（2）由，同理可得：，于是得到，即可得到，如圖2，過作于，解直角三角形即可得到結論．
【詳解】（1）如圖1，連接并延長交于，連接，
則，
，；
（2），同理可得：，
，，如圖2，過作于，
，，
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
23．（2023·北京·校考三模）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理，下面是歐拉發現的一個定理：在△ABC 中，R 和 r 分別為外接圓和內切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內心，則OI R2Rr .
下面是該定理的證明過程（借助了第(2)問的結論）：
延長AI 交⊙O 于點 D，過點 I 作⊙O 的直徑 MN，連接 DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①
如圖②，在圖 1（隱去 MD，AN）的基礎上作⊙O 的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF
∵DE 是⊙O 的直徑，∴∠DBE=90°.
∵⊙I 與 AB 相切于點 F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴，∴②，
由（2）知：，
∴
又∵，
∴ 2Rr(R d )(R d ) ，
∴ R d 2Rr
∴ d R 2Rr
任務：（1）觀察發現： IM R d ， IN （用含R，d 的代數式表示）；
（2）請判斷 BD 和 ID 的數量關系，并說明理由.（請利用圖 1 證明）
（3）應用：若△ABC 的外接圓的半徑為 6cm，內切圓的半徑為 2cm，則△ABC 的外心與內心之間的距離為 　　cm．
【答案】（1） （2），證明見解析 （3）
【分析】（1）根據線段的差求解即可；
（2）根據點I是△ABC的內心，推出，進而根據外角性質以及圓周角定理得到，即可得證；
（3）利用（1）和（2）的結論可得，進而得出，再代入求值即可．
【詳解】（1）∵IM R d∴；
（2）∵點I是△ABC的內心∴
∵
∴∴；
（3）由（2）知∴
∵∴∴
∴∴∴．
【點睛】本題考查了圓的綜合問題，掌握線段的和差關系、內心的性質、外角的性質、圓周角定理是解題的關鍵．
24．（2023山東德州九年級期中）如圖，等邊三角形ABC內接于圓O，點P是劣弧BC上任意一點（不與C重合），連接，求證：．
【初步探索】小明同學思考如下：如圖1，將繞點A順時針旋轉到，使點C與點B重合，可得P、B、Q三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據提示，解答下列問題：(1)根據小明的思路，請你完成證明；(2)若圓的半徑為4，則的最大值為__________；
(3)【類比遷移】如圖2，等腰內接于圓O，，點P是弧BC上任一點（不與B、C重合），連接，若圓的半徑為4，試求周長的最大值．
【答案】(1)見解析(2)8(3)
【分析】（1）可證得P、B、Q三點在同一條直線上，進而證得是等邊三角形，進一步得出結論；（2）當是的直徑時，的值最大，即最大，進而求得結果；
（3）將繞點A順時針旋轉90°到，使點C與點B重合，P、B、Q三點在同一條直線上，進而證明是等腰直角三角形，類比（2）可得出結果．
【詳解】（1）證明：由旋轉得，，，，
，，
、、三點在同一條直線上，，
是等邊三角形，，
，是等邊三角形，，；
（2）解：是的弦，且的半徑為4，
當經過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，的最大值是8；
（3）解：如圖2，，，
∵BC是的直徑，且圓心在BC上，∴，，
將繞點順時針旋轉到，使點與點重合，
則，，，
，，
、、三點在同一條直線上，，
，
當經過圓心，即是的直徑時，，此時的值最大，
，的最大值是，
，周長的最大值是．
【點睛】本題考查了等邊三角形性質，旋轉性質，圓內接四邊形性質等知識，解決問題的關鍵是類比證明和計算．
25．（2023年廣東省深圳市寶安區中考三模數學試題）綜合與實踐
數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動，第四只螞蟻在上的移動，并始終保持．
(1)請判斷的形狀；“數學希望小組”很快得出結論，請你回答這個結論：是______三角形；
(2)“數學智慧小組”繼續研究發現：當第四只螞蟻在上的移動時，線段、、三者之間存在一種數量關系：請你寫出這種數量關系：______，并加以證明；
(3)“數學攀峰小組”突發奇想，深入探究發現：若第五只螞蟻同時隨著螞蟻的移動而移動，且始終位于線段的中點，在這個運動過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段的最小值是______（不寫解答過程，直接寫出結果）．
【答案】(1)等邊(2)；證明見解析(3)
【分析】（1）根據圓周角定理可得對應的圓周角為，即、，說明為等邊三角形即可；（2）如圖，在上截取，連接，先說明為等邊三角形可得，，，進而證明可得，最后根據等量代換即可解答；（3）如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設圓心為，連接，過作于，過作，，根據題意可得，然后說明是三角形的中位線，進而得到；再根據中點的定義可得，利用勾股定理可得，最后根據線段的和差即可解答．
【詳解】（1）解：，對應的圓周角為，
，，，
為等邊三角形．故答案為：等邊．
（2）解：如圖，在上截取，連接，
，為等邊三角形，
，，，
，，
在和中，，，，
，．故答案為：．
（3）解：根據題意可知，如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設圓心為，連接，過作于，過作，，
，，，，
是的中點，是三角形的中位線，為的中點，，
又是的中點，，，
，．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、三角形中位線等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．
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專題2.5 圓中的外接圓和內切圓模型
模塊1：知識儲備
內切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是該多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它是該多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。
三角形內切圓圓心：在三角形中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。正多邊形必有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。
外接圓：與多邊形各頂點都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。
三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點）。
模塊2：核心模型點與典例
模型1、內切圓模型
1）三角形的內切圓模型
條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。
結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。
圖1 圖2 圖3
2）直角三角形的內切圓模型
條件：如圖2，⊙O為Rt的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。
結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；
3）四邊形的內切圓模型
條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內切圓。
結論：。
例1．（2023春·云南德宏·九年級統考期中）如圖，在中，，是的內切圓，連接，交于點D、E，已知，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023·浙江金華·九年級統考期中）如圖，截三邊所得的弦長相等，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023秋·河南漯河·九年級統考期末）如圖，是的內切圓，切點分別為，且，，，則的半徑是 ．

例4．（2023秋·浙江九年級課時練習）已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內切圓的半徑為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例5．（2023·福建福州·九年級校考期末）如圖，的內切圓與兩直角邊、分別相切于點D、E，過劣弧（不包括端點D、E）上任一點P作的切線，與、分別交于點M、N，，，則的周長為 ．
例6．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，在直角坐標系中，一直線經過點，與軸、軸分別交于、兩點，且，若是的內切圓，與、、軸分別相切，與、、軸分別相切，……按此規律，則的半徑 ．
例7．（2023·廣東東莞·九年級校考期中）如圖，在內切圓半徑為1的直角三角形ABC中，，，內切圓與BC邊切于點D，則A到D的距離AD（ ）
A． B． C． D．
模型2、多邊形的外接圓模型
1）三角形的外接圓模型
條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。
結論：①OA=OB=OC；②。
圖1 圖2 圖3
2）等邊三角形的外接圓模型
條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。
結論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
3）四邊形的外接圓模型
條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形。
結論：①；；②。
例1．（2022春·浙江·九年級專題練習）如圖，點 O 是△ABC 的內心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，則∠D 的度數是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
例2．（2023·山東聊城·統考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內心，連接，．若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
例3．（2023·江蘇無錫·九年級校考階段練習）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，則它的外接圓半徑R＝ ，內切圓半徑r＝ ．
例4．（2023·江蘇泰州·九年級統考期中）如圖，在中，，，，點M，N分別是的內心和外心，則 ．
例5．（2022秋·浙江衢州·九年級統考期末）如圖，在中，，以為直徑的半圓分別交，于點，，連結，，．(1)求證：．(2)若，，求的長．
例6．（2023湖北武漢九年級上期中）如圖，點A、P、B、C為⊙O上四點，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判斷△ABC形狀并證明；（2）將△APB繞點B順時針旋轉60°至△CMB，請畫出圖形，直接寫出PA，PB，PC三者之間的數量關系 　 　．
例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點．（1）求∠BPC的度數；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設PA，BC交于點M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·湖北恩施·九年級統考期末）如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，則△ABC的周長為（ ）
A．10 B．10 C．14 D．16
2．（2023春·湖北九年級課時練習）已知的內切圓的半徑為，且，的周長為16，則的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕．將再次折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，，交于點．則以下結論一定成立的是（ ）
A． B．
C．點到三邊的距離相等 D．點到三個頂點的距離相等
4．（2022春·綿陽市九年級課時練習）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BD，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的大小為（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
5．（2023·山西太原·校考模擬預測）如圖，截的三條邊所得的弦長相等，若，則的度數為(　　)
A． B． C． D．
6．（2023·河北邢臺·九年級校考階段練習）如圖，在中，點為的內心，點在邊上，且⊥，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·湖北九年級期中）點I是的內心，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．或
8．（2023·重慶九年級期中）已知三角形三邊長分別為5cm、5cm、6cm，則這個三角形內切圓的半徑是（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．3cm
9．（2023·廣東廣州·統考中考真題）如圖，的內切圓與，，分別相切于點D，E，F，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
10．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，點I為的內心，連接并延長交的外接圓于點D，若，點E為弦的中點，連接，若，則的長為（　　）
A．5 B． C．4 D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023秋·山東泰安·九年級統考期末）如圖，中，點是內心，若，則的度數為 ．
12．（2023浙江年級上期中）在△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，則它的外接圓半徑R = cm，內切圓半徑r = cm.
13．（2023·廣東廣州·校考二模）如圖，是的弦，點是上一點，與點關于對稱，直線交于點， 交于點，直線交于點，且連接給出下面四個結論：①；②平分；③平分；④點為的內心．其中，所有正確結論的序號是 ．
14．（2023·貴州遵義·統考二模）已知內接于，它的內心為點D，連接交弦于點E，交于點F，已知，，，則線段的長為 ．

15．（2023·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，點B的坐標為（4，0），以O點為圓心，以OB為半徑的圓交y軸于點A，點C為第一象限內圓上一動點，CD⊥x軸于D點，點I為△OCD的內心，則AI的最小值為 ．
16．（2022秋·江蘇泰州·九年級統考期中）如圖，在中，，，，點M，N分別是的內心和外心，則 ．
17．（2023·北京·九年級校考階段練習）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若點O為△ABC的外心，則∠AOC的度數是 ；若點P為△ABC的內心，則∠APC的度數是 ．
18．（2023·山東泰安·九年級統考期末）如圖，點I和O分別是△ABC的內心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·天津北辰·九年級校考階段練習）（1）尺規作圖，如圖作出△ABC 的外接圓⊙O；
（2）若AB=AC=10,BC=12,則△ABC 的外接圓半徑R= ,△ABC 的內切圓半徑r= ．
20．（2023秋·成都市九年級上期中）如圖，⊙O是GDP的內切圓，切點分別為A、B、H，切線EF與⊙O相切于點C，分別交PA、PB于點E、F．
（1）若△PEF的周長為12，求線段PA的長；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．
21．（2023·江蘇·九年級假期作業）已知，如圖，為⊙O的直徑，內接于⊙O，，點P是的內心，延長交⊙O于點D，連接．
(1)求證：；(2)已知⊙O的半徑是3，，求的長．
22．（2023·湖北荊門·中考模擬）已知銳角的外接圓圓心為，半徑為．
（1）求證：；（2）若中，求的長及的值．
23．（2023·北京·校考三模）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理，下面是歐拉發現的一個定理：在△ABC 中，R 和 r 分別為外接圓和內切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內心，則OI R2Rr .
下面是該定理的證明過程（借助了第(2)問的結論）：
延長AI 交⊙O 于點 D，過點 I 作⊙O 的直徑 MN，連接 DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①
如圖②，在圖 1（隱去 MD，AN）的基礎上作⊙O 的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF
∵DE 是⊙O 的直徑，∴∠DBE=90°.
∵⊙I 與 AB 相切于點 F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴，∴②，
由（2）知：，
∴
又∵，
∴ 2Rr(R d )(R d ) ，
∴ R d 2Rr
∴ d R 2Rr
任務：（1）觀察發現： IM R d ， IN （用含R，d 的代數式表示）；
（2）請判斷 BD 和 ID 的數量關系，并說明理由.（請利用圖 1 證明）
（3）應用：若△ABC 的外接圓的半徑為 6cm，內切圓的半徑為 2cm，則△ABC 的外心與內心之間的距離為 　　cm．
24．（2023山東德州九年級期中）如圖，等邊三角形ABC內接于圓O，點P是劣弧BC上任意一點（不與C重合），連接，求證：．
【初步探索】小明同學思考如下：如圖1，將繞點A順時針旋轉到，使點C與點B重合，可得P、B、Q三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據提示，解答下列問題：(1)根據小明的思路，請你完成證明；(2)若圓的半徑為4，則的最大值為__________；
(3)【類比遷移】如圖2，等腰內接于圓O，，點P是弧BC上任一點（不與B、C重合），連接，若圓的半徑為4，試求周長的最大值．
25．（2023年廣東省深圳市寶安區中考三模數學試題）綜合與實踐
數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動，第四只螞蟻在上的移動，并始終保持．
(1)請判斷的形狀；“數學希望小組”很快得出結論，請你回答這個結論：是______三角形；
(2)“數學智慧小組”繼續研究發現：當第四只螞蟻在上的移動時，線段、、三者之間存在一種數量關系：請你寫出這種數量關系：______，并加以證明；
(3)“數學攀峰小組”突發奇想，深入探究發現：若第五只螞蟻同時隨著螞蟻的移動而移動，且始終位于線段的中點，在這個運動過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段的最小值是______（不寫解答過程，直接寫出結果）．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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