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專題2.6 阿氏圓模型（最值模型）
模塊1：模型簡介及知識儲備
【模型背景】已知平面上兩點A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。
模塊2：核心模型點與典例
例1．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，根據切線的性質得BH為⊙B的半徑，再根據等腰直角三角形的性質得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA的最小值．
【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，
∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），
而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．解決問題的關鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質．
例2．（2022·湖北·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．
【答案】5
【詳解】分析: 由PD PC＝PD PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD PC的值最大，最大值為DG＝5．
詳解: 在BC上取一點G，使得BG＝1，如圖，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
當點P在DG的延長線上時，PD PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5
點睛: 本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．
例3．（2022·浙江·舟山九年級期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點E，點P是弧上的一個動點，連結，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接BP，取BE的中點G，連接PG，通過兩組對應邊成比例且夾角相等，證明，得到，則，當P、D、G三點共線時，取最小值，求出DG的長得到最小值．
【詳解】解：如圖，連接BP，取BE的中點G，連接PG，
∵，，∴，
∵G是BE的中點，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
則，當P、D、G三點共線時，取最小值，即DG長，
．故選：C．
【點睛】本題考查矩形和圓的基本性質，相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是構造相似三角形將轉換成，再根據三點共線求出最小值．
例4．（2022·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為 ___．
【答案】
【分析】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC, 根據，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，當B,C,P三點共線時，3PA+PB的值最小為BC，利用勾股定理求出BC的長即可得答案．
【詳解】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC,
∵⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴當B,C,P三點共線時，3PA+PB最小值為BC,
∴BC===，∴3PA+PB的最小值為．故答案為：
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質及最小值問題，正確理解C、P、B三點在同一條直線上時3PA+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．
例5．（2023·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠　 　
△　 　∽△　 　
∴ ∴PD＝BP ∴AP+BP＝AP+PD
∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為　 　．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為　 　．(請在圖3中添加相應的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作圖與求解過程見解析，2PA+PB的最小值為．
【分析】(1)連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即可求解；
(2)在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，證明△ABP∽△PBF，當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，即可求解；
(3)延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，確定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，即可求解．
【詳解】解：(1)如圖1，
連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，
∴AP+BP的最小值為；故答案為：；
(2)如圖2，
在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，
∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，
∴CF＝，
∴AP+PC的值最小值為2，故答案為：2；
(3)如圖3，延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，
∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，
∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝，∴2PA+PB的最小值為．
【點睛】本題主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解本題的關鍵是根據材料中的思路構造出相似三角形..
例6．（2022·湖北·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值
【答案】見詳解
【分析】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD-PC的值最大（如圖2中），最大值為DG=5；可以把轉化為4（），這樣只需求出的最小值，問題即可解決。
（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．解法類似（1）；
（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法類似（1）；
【詳解】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG==5．
當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=5．
如圖，連接BD，在BD上取一點F，使得BF=，作EF⊥BC
∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，
∴當C、F、P三點共線時會有FP+CP的最小值即PD+PC，
由圖可知，△BEF為等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，
∴最小值為FC===
∴的最小值為：．
（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG== ．
當點P在DG的延長線上時，的值最大，最大值為DG=．
（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG．
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG，
當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=
【點睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．
例7．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為 _____．
【答案】5
【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據三角形三邊關系，得出BI是其最小值
【詳解】解：如圖，
在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，
在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴當B、G、I共線時，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關鍵．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023春·浙江九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【詳解】思路引領：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．
答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．
2．（2023·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP，BP，則2AP+BP的最小值為（　　）
A．2 B．12 C． D．8
【答案】A
【分析】首先連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，則有；然后根據相似三角形判定的方法，判斷出△PCD∽△BCP，即可推得，AP+BP=AP+PD，即2AP+BP=2(AP+PD)，再應用勾股定理，求出AP+BP的最小值為多少即可．
【詳解】解： 如圖，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，
，
∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，∴2AP+BP=2(AP+PD)
要使2AP+BP最小，只要AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，
即：AP+BP=AP+PD最小值為AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，
∴AD==，2AP+BP的最小值為2，故選：A．
【點睛】此題主要考查了最短路線問題，圓周角定理的應用，以及勾股定理的應用，要熟練掌握.
3．（2022·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點，以點A為圓心，4個單位長度為半徑作圓，點C是⊙上的一個動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取E（-10，0），證明△AEC∽△ACD，得到CE=CD，則可將BC+CD的最小值轉化為BE的長，再利用勾股定理計算即可．
【詳解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0），∴OA=12，OD=4，則AD=8，AC=4，
取E（-10，0），則AE=2，DE=6，在△AEC和△ACD中，∠CAE=∠DAC，，
∴△AEC∽△ACD，∴，即CE=CD，則BC+CD=BC+CE≥BE，
即BC+CD的最小值為BE的長，即為=，故選A．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、兩點之間線段最短原理，值得強調的是，本題是一類典型幾何最值問題，構造“子母型相似”是解答此問題的關鍵．
4．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校聯考期末）如圖，在中，，，，以為圓心，4為半徑作圓，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則最小值為（ ）．
A．13 B． C． D．
【答案】B
【分析】當在一條直線時值最小，連接，取的中點E，證明，求出即可解得．
【詳解】解：連接，取的中點E，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
當在一條直線時值最小，，
∴最小值為，故選：B．
5．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長AB=8，E為平面內一動點，且AE=4，F為CD上一點，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
【答案】A
【分析】如圖（見解析），在AD邊上取點H，使得，連接EH、FH，先根據正方形的性質得出，，再根據相似三角形的判定與性質得出，從而可得，然后利用三角形的三邊關系定理、兩點之間線段最短可得取得最小值時，點E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．
【詳解】如圖，在AD邊上取點H，使得，連接EH、FH
四邊形ABCD是正方形，
，，即
又，即
由三角形的三邊關系定理得：
由題意得：點E的軌跡是在以點A為圓心，AE長為半徑的圓上
由兩點之間線段最短可知，當點E位于FH與圓A的交點時，取得最小值，最小值為
，
在中，由勾股定理得即的最小值為故選：A．
【點睛】本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、三角形的三邊關系定理、兩點之間線段最短等知識點，通過作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．
二、填空題（本大題共13小題，每小題3分，共39分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6．（2023·廣西·南寧市一模）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限內一動點，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是_____．
【答案】
【分析】如圖，取一點T（1，0），連接OP，PT，TD．首先利用四點共圓證明OP=2，再利用相似三角形的性質證明PT=PC，推出2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），根據PD+PT≥DT，求出DT即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取一點T（1，0），連接OP，PT，TD．
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O為圓心OA為半徑作⊙O，在優弧AB上取一點Q，連接QB，QA，
∵∠Q=∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=180°，
∴A，P，B，Q四點共圓，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC OT，
∴，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，
∴，∴PT=PC，∴2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT=，∴2PD+PC≥，
∴2PD+PC的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查幾何問題的最值，相似三角形的判定和性質，四點共圓等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．
7．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半徑為2，點P是上一動點，則的最小值______________的最小值_______
【答案】
【分析】①在BC上取點D，使CD=BC=1，利用相似三角形的判定和性質推出，得到，即可求得的最小值AD的長；
②在AC上取點E，使CE=，同①的方法即可求得的最小值BE的長．
【詳解】①在BC上取點D，使CD=BC=1，連接AD，PD，PC，由題意知：PC=2，
∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴，
且，∴，
∴的最小值為，故答案為：；
②在AC上取點E，使CE=，連接PE，BE，PC，
∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質，極值的確定，解本題的關鍵是根據材料中的思路構造出相似三角形，也是解本題的難點．
8．（2023·廣西·九年級專題練習）如圖，已知菱形的邊長為4，，的半徑為2，P為上一動點，則的最小值 ．的最小值
【答案】
【分析】①在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性質推出，得到，由，推出當D、P、G共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG，再利用特殊角的三角函數值以及勾股定理求解即可；
②連接BD，在BD上取一點M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性質推出，當M、P、C共線時，的值最小，最小值為CM，再利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求解即可．
【詳解】①如圖，在BC上取一點G，使得BG=1，連接PB、PG、GD，
作DF⊥BC交BC延長線于F．
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴當D、P、G共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG，故答案為：；
②如圖，連接BD，在BD上取一點M，使得BM=，連接PB、PM、MC，過M作MN⊥BC于N．
∵四邊形ABCD是菱形，且，∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，
∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，
∴，，∴，
且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，
∴，∴，
∴當M、P、C共線時，的值最小，最小值為CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，
∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-，
∴MC=，∴的最小值為．
【點睛】本題考查了圓綜合題、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．
9．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】延長到，使得，連接，，利用相似三角形的性質證明，求的最小值問題轉化為求的最小值．求出即可判斷．
【詳解】解：延長到，使得，連接，．
，，，，，
，，，，
，又在中，，，，
，，
的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．
10．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內一動點，，連接、，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】取點，連接，．根據，有，即可證明，即有，進而可得，則有，利用勾股定理可得，則有，問題得解．
【詳解】解：如圖，取點，連接，．
，，，，，，
，，，
，，，
，，，，
，（當B、P、T三點共線時取等號）
的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．
11．（2022·四川瀘州·校考一模）如圖，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】連接，先利用勾股定理求得，，在上截取，過作于，于，求得，，，進而求得，證明求得，利用兩點之間線段最短得到，當共線時取等號，即可求解．
【詳解】解：連接，∵為的直徑，，∴，
∵在中，，∴，，
在上截取，過作于，于，連接、，
∴四邊形是矩形，，
∴，，∴，
在中，，
∵，是公共角，∴，
∴，則， ∴，當共線時取等號，
故的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質、勾股定理、圓的基本概念、相似三角形的判定與性質、兩點之間線段最短等知識，解答的關鍵是截取在上截取，構造相似三角形求得是關鍵．
12．（2022·廣西·一模）圖所示，在半徑為 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，點 D ，E 分別在半徑 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，點F 是弧BC 上的動點，連接DF，EF，則DF＋EF 的最小值為 ．
【答案】
【分析】連結AF，延長AC到G使CG=3，連結GF，過G作AH⊥AB于H，先證△FAE∽△GAF，得出，根據兩點間距離最短得出FG+FD≥GD，即，當點G，F,D三點在同一直線上時GF+FD最短即最短=DG，然后利用30°直角三角形先證求出AH=，利用銳角三角函數求出GH=AG·cos30°=，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：連結AF，延長AC到G使CG=3，連結GF，過G作AH⊥AB于H，
∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，
∵，，∴，
∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，
∴，∴，∴FG+FD≥GD，即
當點G，F,D三點在同一直線上時GF+FD最短即最短=DG，
在Rt△GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，
∴AH=，GH=AG·cos30°=，
∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=，
∴GD=，∴．故答案為．
【點睛】本題考查圓與相似，解直角三角形聯合應用，最短路徑問題，勾股定理，利用輔助線構造三角形相似是解題關鍵．
13．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知菱形的邊長為8，，圓的半徑為4，點是圓上的一個動點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】連接，在上取一點，使得，連接，，過點作交的延長線于．先證明，即有，可得，再根據，（當P、G、D三點共線時取等號）即可求解．
【詳解】解：連接，在上取一點，使得，連接，，過點作交的延長線于．
，，，，，，
，，，，
四邊形是菱形，，，
，，即，
，，，
，（當P、G、D三點共線時取等號）
，的最大值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了圓的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，構造是解題的關鍵．
14．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖所示，，半徑為2的圓內切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據題意，本題屬于動點最值問題-“阿氏圓”模型，首先作于，作于，如圖所示，通過代換，將轉化為，得到當與相切時，取得最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數形結合解直角三角形即可得到相應最值，進而得到取值范圍．
【詳解】解：作于，作于，如圖所示：
，，，
，，
，，
，當與相切時，取得最大和最小，
①連接，，，如圖1所示：
可得：四邊形是正方形，，
在中，，，
在中，，
，即；
②連接，，，如圖2所示：
可得：四邊形是正方形，，
由上同理可知：在中，，，
在中，，
，即，
．故答案為：．
【點睛】本題考查動點最值模型-“阿氏圓”，難度較大，掌握解決動點最值問題的方法，熟記相關幾何知識，尤其是圓的相關知識是解決問題的關鍵．
15．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為 ．
【答案】5
【分析】連接AC、AQ，先證明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，證明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【詳解】解：如圖，連接AC、AQ，
∵四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴
∵BP＝，∴AQ＝2，∴Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，連接CE，
∴，∴DQ+CQ的最小值為5．故答案為：5．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，三角函數，解題的關鍵在于能夠連接AC、AQ，證明兩對相似三角形求解.
16．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是 .

【答案】
【分析】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4，先證△DCE∽△ACD，將轉化為DE，從而求得的最小距離，進而得出2AD+3BD的最小值．
【詳解】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4 ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴

∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD ∴∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小為EB，即ED+DB=EB
∴ 在Rt△ECB中，EB=
∴∴2AD+3DB=故答案為：．
【點睛】本題考查求最值問題，解題關鍵是構造出△DCE∽△ACD．
17．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是 ．
【答案】．
【分析】在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據PC+PT≥TC，求出CT即可解決問題．
【詳解】解：在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT AB，∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．
【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的三邊關系，圓的基本性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
18．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，根據切線的性質得BH為⊙B的半徑，再根據等腰直角三角形的性質得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA的最小值．
【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，
∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），而AD，
∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．解決問題的關鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·江蘇揚州·校聯考二模）請認真閱讀下列材料：
如圖①，給定一個以點O為圓心，r為半徑的圓，設點A是不同于點O的任意一點，則點A的反演點定義為射線上一點，滿足．
顯然點A也是點的反演點．即點A與點互為反演點，點O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點A到點的變換或從點到點A的變換稱為反演變換．
例如：如圖②，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點B；C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為；若C關于的反演點分別為．
（1）求點的坐標；（2）連接、，求的最小值．
解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．
∴，故點的坐標為；
（2）如圖③，連接、，由反演變換知，
即，而，∴．
∴，即．
∴．故的最小值為13.
請根據上面的閱讀材料，解決下列問題：
如圖④，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點B，C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為．
（1）點D關于的反演點的坐標為________；（2）連接、，求的最小值；
（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點（點O除外）關于的反演點組成的圖形具有的特征是__________________．
【答案】（1）；（2）13；（3）過點A且與x軸垂直的一條直線
【分析】（1）根據反演變換的定義即可求出結論；
（2）連接，根據相似三角形的判定定理證出，列出比例式即可求出，然后代入所求關系式并根據兩點之間線段最短即可求出結論；
（3）在上任取一點P，連接OP并延長至點P關于的反演點，連接AP和，根據相似三角形的判定定理證出，根據相似三角形的性質可得，然后根據直徑所對的圓周角是直角即可求出=90°，從而得出結論．
【詳解】解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．
∴，∴點D關于的反演點的坐標為 故答案為：；
（2）連接，
由反演變換知，即，而，
∴．∴，即．
∴．故的最小值13．
（3）在上任取一點P，連接OP并延長至點P關于的反演點，連接AP和
由反演變換知，即，而，
∴，∴
∵OA為的直徑∴90°∴=90°∴⊥x軸
∴上所有的點（點O除外）關于的反演點組成的圖形具有的特征是過點A且與x軸垂直的一條直線
故答案為：過點A且與x軸垂直的一條直線．
【點睛】此題考查的是圓的綜合題型和相似三角形的判定及性質，掌握直徑所對的圓周角是直角、相似三角形的判定及性質和反演變換的定義是解題關鍵．
20．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．根據作圖結合題意易證，即可得出，從而推出，說明當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出AD的長即可；
②由，即可求出結果；③在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．根據作圖結合題意易證，即可得出，從而推出，說明當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出BE的長即可；
④由，即可求出結果．
【詳解】解：①如圖，在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．
∵，，，∴．
又∵，∴，∴，即，∴，
∴當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．
∵在中，．∴的最小值為；
②∵，∴的最小值為；
③如圖，在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．
∵，，，∴．
又∵，∴，
∴，即，∴，
∴當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．
∵在中，．∴的最小值為；
④∵，∴的最小值為．
【點睛】本題考查圓的基本性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點共線時線段最短是解答本題的關鍵．
21．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉動，且CD＝，連接AF，BD
（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋AD的值；
（3）直接寫出正方形CDEF旋轉過程中，BD＋AD的最小值．
【答案】（1）見解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可證明△FCA≌△DCB；（2）分兩種情況當點D，E在AB邊上時和當點E，F在邊AB上時，討論即可求解；（3）取AC的中點M．連接DM，BM．則CM＝1，可證得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，從而得到當B，D，M共線時，BD+AD的值最小，即可求解．
【詳解】（1）證明： ∵四邊形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如圖2中，當點D，E在AB邊上時，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴，
∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝；
②如圖3中，當點E，F在邊AB上時．
BD＝CF＝，AD＝＝，
∴BD+AD＝，綜上所述，BD＋AD的值或；
（3）如圖4中．取AC的中點M．連接DM，BM．則CM＝1，
∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM CA，∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，
∴當B，D，M共線時，BD+AD的值最小，最小值．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，銳角三角函數，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
22．（2022·廣東·統考二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC PB的最大值．
【答案】（1）見解析；（2）10；（3）
【分析】（1）證明△PAQ∽△BAP，根據相似三角形的性質即可證明PB=2PQ；
（2）在AB上取一點Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；
（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC PB的最大值．
【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．
（3）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長CQ交⊙A于點P′，過點C作CH垂直AB的延長線于點H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC PB=2PC 2PQ=2(PC PQ) ，
∵PC PQ≤QC，∴當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC PB=2(PC PQ)≤2．∴2PC PB的最大值為2．
【點睛】本題考查了圓有關的性質，正方形的性質，菱形的性質，相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決．
23．（2023·山東濟寧·校考三模）已知：拋物線經過，，．

(1)求拋物線解析式．(2)在線段下方拋物線上一點，連接、，當面積最大時，求：點坐標及面積最大值．(3)如圖2，直線交軸于點，取點，取線段的中點，以原點為圓心，長為半徑做，點是上的動點，連接、．求：的最小值．
【答案】(1)(2)；面積最大值為4(3)
【分析】（1）用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）點做軸，根據題意求出和的橫坐標，再利用和的橫坐標表示出面積，轉化成二次函數，利用二次函數的最值情況即可求出最大面積．
（3）根據為中點，取的中點，連接，建構，證明推出，要想滿足最小，只能是、、在同一直線，轉化，利用點坐標求出點坐標，最后根據點到點之間的公式求出最小值．
【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，
將，，代入解析式得：，解得：，
拋物線解析式為．故答案為：．
（2）解：過點做軸交于點，

設，，，直線的解析式為：．
在直線上，在拋物線上，則，
，
，
．
，時，，．
故答案為：；面積最大值為4．
（3）解：取的中點，連接，，如圖所示，

，，，
為線段的中點，，
，，，
．，
當、、在同一直線上時最小．
是中點，是中點，，，．
．故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數和面積問題，圓的綜合題．涉及到三角形相似判定，解題的關鍵在于利用參數表達面積轉化成二次函數最值問題，利用三角形相似判定轉化對應線段相等，利用點到點之間的距離公式求出線段長．
24.（2022春·浙江·九年級期末）問題提出：
如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連接AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠　 　
△　 　∽△　 　
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為　 　．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為　 　．(請在圖3中添加相應的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作圖與求解過程見解析，2PA+PB的最小值為．
【分析】(1)連接AD，過點A作AF⊥CB于點F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即可求解；
(2)在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，證明△ABP∽△PBF，當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，即可求解；
(3)延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，確定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，即可求解．
【詳解】解：
(1)如圖1，
連接AD，過點A作AF⊥CB于點F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，∴AP+BP的最小值為；故答案為：；
(2)如圖2，
在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，
∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴，且∠ABP＝∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，
∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，
∴CF＝，∴AP+PC的值最小值為2，故答案為：2；
(3)如圖3，
延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，
∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，
∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝，∴2PA+PB的最小值為．
【點睛】本題主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解本題的關鍵是根據材料中的思路構造出相似三角形..
25．（2022春·浙江寧波·九年級統考階段練習）【根底鞏固】
（1）如圖，在中，為上一點，．求證：．
【嘗試應用】（2）如圖2，在菱形中，分別為上的點，且，射線交的延長線與點，射線交的延長線于點．若．求：①CM的長；②FN的長．
【拓展進步】（3）如圖3，在菱形中，，以點為圓心作半徑為3的圓，其中點是圓上的動點，請直接寫出的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）①；②；（3）
【分析】（1）由，，可得，進而有，根據比例的基本性質即可得出結論成立；（2）①連結，由菱形可得，進而證明，得即可求出的長；②由得，再證明得，求得，從而求得；（3）如圖4，過點D作DM垂直BC的延長線于點M，在BC上取一點Q，使得BQ=，連接PB，DQ，先利用勾股定理求出，，再證明得出
，從而得出即可得出最小值．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，∴，∴．
（2）解：①連結，
在菱形中，，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
②∵，∴，∴，
又∵，∴，
又因為，∴，∴，∴，∴．
（3）解：如圖4，過點D作DM垂直BC的延長線于點M，在BC上取一點Q，使得BQ=，連接PB，DQ，
菱形中，，，，
，，CM=，
，，
，BQ=，，，，
，，，，
即，，最小值為 ．
【點睛】本題主要考查了圓的概念、三角形的兩邊之和大于第三邊、勾股定理、相似三角形的性質和判定及菱形的性質，構造輔助線將求和的兩條線段轉入同一三角形中利用三角形的兩邊之和大于第三邊求最小值是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題2.6 阿氏圓模型（最值模型）
模塊1：模型簡介及知識儲備
【模型背景】已知平面上兩點A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變為圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。
模塊2：核心模型點與典例
例1．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．
例2．（2022·湖北·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．
例3．（2022·浙江·舟山九年級期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點E，點P是弧上的一個動點，連結，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為 ___．
例5．（2023·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠　 　
△　 　∽△　 　
∴ ∴PD＝BP ∴AP+BP＝AP+PD
∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為　 　．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為　 　．(請在圖3中添加相應的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
例6．（2022·湖北·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值
例7．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為 _____．
模塊3：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023春·浙江九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7 B．5 C． D．
2．（2023·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP，BP，則2AP+BP的最小值為（　　）
A．2 B．12 C． D．8
3．（2022·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點，以點A為圓心，4個單位長度為半徑作圓，點C是⊙上的一個動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校聯考期末）如圖，在中，，，，以為圓心，4為半徑作圓，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則最小值為（ ）．
A．13 B． C． D．
5．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長AB=8，E為平面內一動點，且AE=4，F為CD上一點，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
二、填空題（本大題共13小題，每小題3分，共39分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6．（2023·廣西·南寧市一模）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限內一動點，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是_____．
7．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半徑為2，點P是上一動點，則的最小值______________的最小值_______
8．（2023·廣西·九年級專題練習）如圖，已知菱形的邊長為4，，的半徑為2，P為上一動點，則的最小值 ．的最小值
9．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為 ．
10．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內一動點，，連接、，則的最小值是 ．
11．（2022·四川瀘州·校考一模）如圖，為的直徑，，點C與點D在的同側，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為 ．
12．（2022·廣西·一模）圖所示，在半徑為 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，點 D ，E 分別在半徑 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，點F 是弧BC 上的動點，連接DF，EF，則DF＋EF 的最小值為 ．
13．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知菱形的邊長為8，，圓的半徑為4，點是圓上的一個動點，則的最大值為 ．
14．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖所示，，半徑為2的圓內切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為 ．
15．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為 ．
16．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是 .

17．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是 ．
18．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·江蘇揚州·校聯考二模）請認真閱讀下列材料：
如圖①，給定一個以點O為圓心，r為半徑的圓，設點A是不同于點O的任意一點，則點A的反演點定義為射線上一點，滿足．
顯然點A也是點的反演點．即點A與點互為反演點，點O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點A到點的變換或從點到點A的變換稱為反演變換．
例如：如圖②，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點B；C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為；若C關于的反演點分別為．
（1）求點的坐標；（2）連接、，求的最小值．
解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．
∴，故點的坐標為；
（2）如圖③，連接、，由反演變換知，
即，而，∴．
∴，即．
∴．故的最小值為13.
請根據上面的閱讀材料，解決下列問題：
如圖④，在平面直角坐標系中，點，以點O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點B，C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標為．
（1）點D關于的反演點的坐標為________；（2）連接、，求的最小值；
（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點（點O除外）關于的反演點組成的圖形具有的特征是__________________．
20．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
21．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉動，且CD＝，連接AF，BD
（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉過程中，BD＋AD的最小值．
22．（2022·廣東·統考二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC PB的最大值．
23．（2023·山東濟寧·校考三模）已知：拋物線經過，，．

(1)求拋物線解析式．(2)在線段下方拋物線上一點，連接、，當面積最大時，求：點坐標及面積最大值．(3)如圖2，直線交軸于點，取點，取線段的中點，以原點為圓心，長為半徑做，點是上的動點，連接、．求：的最小值．
24.（2022春·浙江·九年級期末）問題提出：
如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連接AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠　 　
△　 　∽△　 　
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為　 　．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為　 　．(請在圖3中添加相應的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
25．（2022春·浙江寧波·九年級統考階段練習）【根底鞏固】
（1）如圖，在中，為上一點，．求證：．
【嘗試應用】（2）如圖2，在菱形中，分別為上的點，且，射線交的延長線與點，射線交的延長線于點．若．求：①CM的長；②FN的長．
【拓展進步】（3）如圖3，在菱形中，，以點為圓心作半徑為3的圓，其中點是圓上的動點，請直接寫出的最小值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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