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專題2.7 瓜豆模型（曲線軌跡類） （最值模型）
模塊1：模型簡介
瓜豆原理（模型）：
模型1-1. 如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？
如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-2. 如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？
如圖，連結AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-3. 定義型：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。
如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，（常見于動態翻折中）
則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。
模型1-4. 定邊對定角（或直角）模型
1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．
如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。
2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧．
如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧。
【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質求解。
模塊2：核心模型點與典例
例1．（2023.江蘇九年級期中）如圖， 中， 于點 是半徑為2的上一動點， 連結 ， 若是的中點， 連結， 則長的最大值為 （ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，可知P在BA延長線與的交點時此時長的最大，證明如下：
連接BP,∵,∴BD=DC,
∵是的中點，∴DE//BP, ,所以當BP的長最大時，長的最大，
由題意可知P在BA延長線與的交點時BP的長最大此時長的最大，
∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,
∵的半徑為2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故選：B.
例2.（2023.湖北九年級期末）如圖，A是⊙B上任意一點，點C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
【答案】A
【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，
∵，∴，即
在和中，，∴，∴，
∴點D的運動軌跡是以點M為圓心，DM長為半徑的圓，
要使面積最大，則求出點D到線段BC的最大距離，
∵是邊長為4的等邊三角形，∴點M到BC的距離是，
∴點D到BC的最大距離是，∴的面積最大值是．故選：A．
例3.（2023.浙江九年級期中）如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．
【解析】E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓．
考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓．直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最小．可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．答案為
例4．（2022·山東·二模）如圖，中，，，，點是上的點，將沿翻折，得到，過點作交的平分線于點，連接，則長度的最小值為______．
【答案】
【分析】先求出AC=，AB=，由平行線的性質和角平分線的性質可求AB=BF=，由勾股定理可求CF的長，由點A'在以點C為圓心，AC為半徑的圓上，則當點A'在FC上時，A'F有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，
，，，，
，，，
平分，，
，，，
，，
將沿翻折，得到，，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，則當點在上時，有最小值，
最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查翻折變換，銳角三角函數，直角三角形的性質等知識，求出CF的長是本題的關鍵．
例5．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，為的直徑，C為上一點，其中，，D為上的動點，連接，取中點M，連接，則線段的最大值為 ．
【答案】
【分析】連接，首先證明點的運動軌跡為以為直徑的，連接，當點在的延長線上時，的值最大，利用勾股定理求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，
∵點是的中點，，∴，∴，
∴點的運動軌跡為以為直徑的，連接，
當點在的延長線上時，的值最大，
在中，∵，，∴，
∴，∴的最大值為，故答案為：．
【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是正確尋找點的運動軌跡，學會構造輔助圓解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
例6．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．的最小值為
【答案】D
【分析】先證明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，得DF=CE，判斷A項答案正確，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判斷B項答案正確，證△BEG△CEB得 ，即可判斷C項答案正確，由，BC=1，得點G在以線段BC為弦的弧BC上，易得當點G在等邊△ABC的內心處時，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判斷D項錯誤．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，故A項答案正確，∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項答案正確，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，
∴ ，∴，∵，∴，故C項答案正確，
∵，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，
∴當點G在等邊△ABC的內心處時，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D項錯誤，故應選：D
【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質、等邊三角形的判定及性質、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
模塊3：同步培優題庫
全卷共23題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（2023秋·河北唐山·九年級統考期末）如圖，點是正六邊形內一點，，當時，連接，則線段的最小值是（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】由正六邊形可知，，，，由，，可知在以為直徑的圓上運動，作以為直徑的，連接，與交點即為，連接，則，過作于，則，，則，，，勾股定理得，，根據的最小值為，計算求解即可．
【詳解】解：由正六邊形可知，，，，
∵，，∴在以為直徑的圓上運動，
如圖，作以為直徑的，連接，與交點即為，連接，則，
過作于，則，，

∴，，∴，
由勾股定理得，，∴的最小值為，故選：B．
【點睛】本題考查了正多邊形的性質，等邊對等角，正弦，勾股定理，的圓周角所對的弦為直徑．解題的關鍵在于確定點的運動軌跡．
2．（2023·山東臨沂·統考二模）如圖，C在以為直徑半圓上，，，點D是弧上的一動點，，連接，則的長的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】在點D移動過程中，點E在以為直徑的圓上運動，如圖所示，該圓的圓心為，可知當，E，B三點共線時，有最小值，連接，根據已知條件求出，，即可求出答案．
【詳解】解：

∵，∴，
在點D移動過程中，點E在以為直徑的一段圓弧上運動，如圖所示，該圓的圓心為，
可知當，E，B三點共線時，有最小值，如圖，連接，
∵為直徑，∴，∵，，
∴，∴，∴在中，
∴，∴，
∴的長的最小值是；故選：D．
【點睛】本題考查了圓上的線段最小值問題，能夠想到做出點E的運動軌跡是關鍵．
3．（2023春·廣東·九年級專題練習）如圖，正方形中，，點為邊上一個動點，連接，點為上一點，且，在上截取點使，交于點，連接，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖所示，過點作于，當點運動時，點在以為直徑的半圓上，即點在圓心為的半圓上運動，當點運動到連線上時，的值最小，根據題意可證，由此可證是直角三角形，可得點在以為直徑的半圓上運動，可求出半圓的半徑，在中，可求出的長，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于，連接，如圖所示：

∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，∴四邊形是矩形，則，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，即是直角三角形，
∴當點P運動時，點在以為直徑的半圓上運動，設圓心為，當點M運動到連線上時，的值最小，∵，∴，則半圓的半徑，
在中，，
當點運動到連線上時，的值最小，∴的最小值為，故C正確．故選：C．
【點睛】本題主要考查正方形與圓的結合求最值，理解動點的運動規律，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識是解題的關鍵．
4．（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示，以為斜邊，在右側作等腰直角，過點O作交延長線于E，連接，則，，先證明點B在以O為圓心，為半徑的圓周上運動（右側），故當點O在線段上時，最大，再求出的長，進而利用勾股定理求出的長即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，以為斜邊，在右側作等腰直角，過點O作交延長線于E，連接，∴，，
∵，∴點B在以O為圓心，為半徑的圓周上運動（右側），
∴當點O在線段上時，最大，∵是以為邊的等腰直角三角形，
∴，，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，在中，由勾股定理得，
∴的最大值，故選D．
【點睛】不能退主要考查了圓外一點到圓上一點距離的最大值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，正確作出輔助線確定點B的軌跡是解題的關鍵．
5．（2023春·浙江寧波·九年級校考階段練習）如圖，直徑，的夾角為，為上的一個動點（不與點，，，重合）．，分別垂直于，，垂足分別為，．若的半徑長為，則的長（　　）
A．隨點運動而變化，最大值為 B．等于
C．隨點運動而變化，最小值為 D．隨點運動而變化，沒有最值
【答案】B
【分析】延長，，分別與圓交于點，，連接，作，垂足為，與圓交于點，根據垂徑定理得：為的中點，為的中點，為的中點，繼而得到為的中位線，則有，由于點在運動的過程中，、的大小保持不變，根據弦所對的圓周角不變，可以得出的長度保持不變，即的長度為定值，不隨點運動而變化，求出長度，即可確定的長．
【詳解】解：延長，，分別與圓交于點，，連接，作，垂足為，與圓交于點，

∵，，∴由垂徑定理得：為的中點，為的中點，
∴為的中位線，∴，∵，∴，
又∵，，∴，∴，
∵點在運動的過程中，的大小保持不變，
∴的長度保持不變，即的長度為定值，不隨點運動而變化，
∵，，∴，
又∵，∴，由垂徑定理得，
∴，∴，∴，故選：B．
【點睛】本題考查了垂徑定理、三角形的中位線的性質、圓周角定理和勾股定理，根據弦所對的圓周角不變，得出弦長不變是解答本題的關鍵．
6．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，中，，，則邊的最大值為（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】D
【分析】作的外接圓O，當經過點O時，邊的最大，連接，，利用圓周角定理求出，結合條件求出的值即可．
【詳解】解：作的外接圓O，當經過點O時，邊的最大，連接，，
，
∵，∴，
又，，∴，∴邊的最大值為．故選：D．
【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質，作輔助圓是解題的關鍵．
7．（2022·廣東·潮州市一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是邊AC上一動點，連接BD，以CD為直徑的圓交BD于點E．若AB長為4，則線段AE長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖，取BC的中點F，連接EF，CE，AF．解直角三角形可以求出AC和BC的長度，以及AF，EF的長度，因為AE≥AF-EF，可以得出AE的最小值．
【詳解】如圖所示，取BC的中點F，連接EF，CE，AF．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4∴AC＝BC＝
∵F是BC的中點∴CF＝∴AF＝
∵CD是直徑∴∠CED＝∠CEB ＝90°∴△CEB是直角三角形∵F是BC的中點
∴∵AE≥AF-EF=故選D．
【點睛】此題考查了圓與三角形結合的綜合性問題，考查了線段的最值問題，找到取BC的中點F，得出AE≥AF-EF是本題的關鍵．
8．（2022春·廣東·九年級專題練習）已知：如圖，在中，，，面積的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作的外接圓，連接，當的邊上的高經過點O時，面積的最大，此時是等邊三角形，進而即可求解．
【詳解】解：作的外接圓，連接，當的邊上的高經過點O時，面積的最大，如圖，過點O作，并延長交于點，連接，
∵，∴，∵，∴是等邊三角形，
∴，∴，∴，故選A．
【點睛】本題主要考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，找出面積的最大時點A的位置時關鍵.
9．（2022秋·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】以為邊向上作等邊三角形，連接，證明得到，分析出點D的運動軌跡是以點M為圓心，長為半徑的圓，在求出點D到線段的最大距離，即可求出面積的最大值．
【詳解】解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，
∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，
∴點D的運動軌跡是以點M為圓心，長為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點D到線段的最大距離，∵是邊長為4的等邊三角形，∴點M到的距離為，
∴點D到的最大距離為，∴的面積最大值是，故選A．
【點睛】本題考查了動點軌跡是圓的問題，解決本題的關鍵是利用構造全等三角形找到動點D的軌跡圓，再求出圓上一點到定線段距離的最大值．
10．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC與△ABC關于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為( )
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】連接BD，證明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的長確定，則點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，當點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值．
【詳解】解：連接AD，因為∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因為CB＝CD，所以△CBD是等邊三角形，所以BD＝DC
因為DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因為∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以點P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2
當點A，P，C在一條直線上時，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2故選D．
【點睛】求一個動點到定點的最小值，一般先要確定動點在一個確定的圓或圓弧上運動，當動點與圓心及定點在一條直線上時，取最小值．
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·陜西渭南·三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點E在BC上，且，點M為矩形內一動點，使得，連接AM，則線段AM的最小值為______．
【答案】##
【分析】作的外接圓，得到點M的軌跡是矩形內以O為圓心，OE為半徑的，連接OA、OE、OC，OA交于，分析得到當M與重合時，AM取得最小值．分別過點O作于點H，過點O作于點G，根據圓的性質和矩形的性質即可求解．
【詳解】∵，∴，
如圖，作的外接圓，點M的軌跡是矩形內以O為圓心，OE為半徑的，連接OA、OE、OC，OA交于，
當M與重合時，AM取得最小值．過點O作于點H，
∵∴，∴，，
過點O作于點G，∴，，AG=6-2=4，
∴，則．故答案為：．
【點睛】本題考查動點問題．涉及圓的性質、矩形的性質和勾股定理．解題關鍵是找到點M的軌跡．
12．如圖，在中，，，，點在以為直徑的半圓上運動，由點運動到點，連接，點是的中點，則點經過的路徑長為 　　．
解：，，，，
連接，，是直徑，，即，
取，的中點和，連接，，，
在中，，為、的中點，，，
在中，點、為、的中點，，，
，即，點在以為直徑的半圓上，
，點的運動路徑長為，故答案為：．
13．（2022·江蘇揚州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉一周，則線段AF的最小值是______．
【答案】
【分析】過點F作GF∥CD，過點C作GC∥DF，二線交于點G，根據平行四邊形的性質，得到點F在以G為圓心，以CD長為半徑的圓上，利用圓的性質，確定最小值即可．
【詳解】如圖，過點F作GF∥CD，過點C作GC∥DF，二線交于點G，
∴ 四邊形DFGC是平行四邊形，∴GF=CD=4,
∴點F在以G為圓心，以CD長為半徑的圓上，∴當A、F、G三點共線時，AF最小，
∵四邊形DFGC是平行四邊形，四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四邊形ABGC是平行四邊形，
∵AB=AC，∴四邊形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，設交點為H，
∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=，
∴AG=2AH=，∴AF=AG-FG=故答案為：．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，圓的最值性，特殊角的三角函數值，熟練菱形的判定和性質，圓的性質是解題的關鍵．
14．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為____________．
【答案】
【分析】根據題意可知：點C在半徑為的⊙B上．在x軸上取OD=OA=6，連接CD，易證明OM是△ACD的中位線，即得出OM=CD，即當OM最大時，CD最大，由D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大，根據勾股定理求出BD的長，從而可求出CD的長，最后即可求出OM的最大值．
【詳解】解：如圖，∵點C為坐標平面內一點，，
∴C在⊙B上，且半徑為，在x軸上取OD=OA=6，連接CD，
∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線∴OM=CD，
∴即當OM最大時，CD最大，而D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值為，
∵M是AC的中點，則M（4,4），故答案為：（4,4）．
【點睛】本題考查坐標和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識．確定OM為最大值時點C的位置是解題關鍵，也是難點．
15．（2022·廣東·二模）如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點E，點D為的中點，點G為平面內一動點，且，則AG的最小值為__________．
【答案】##
【分析】連接AC，以BE為直徑作，先證明點G在上，連接AM，當AM于交于點G時，此時AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，則MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．
【詳解】解：連接AC，以BE為直徑作，
∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴點G在上，
連接AM，當AM于交于點G時，此時AG最短，如圖，
∵AD＝BC，∴，∵點D為的中點，∴，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，
∵AB為的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，
∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，
∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，
即AG的最小值為，故答案為：
【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等知識，作輔助圓是解題的關鍵．
16．（2023·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，矩形中，，，點E是對角線上的動點，點F是邊上的動點，點P是半徑為1的上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】先根據兩點之間線段最短及垂線段最短作出輔助線，確定點P，E，F的位置，再根據勾股定理及相似三角形的判定及性質進行計算即可．
【詳解】解：如圖，連接BP，BE，則BP=1，
則要求的最小值，就是要求，
當點B、P、E共線時，BP+PE=BE，當點B、P、E不共線時，BP+PE＞BE，
∴如圖，當點B、P、E共線時，BP+PE才會取得最小值，最小值為BE的長，
則，如圖，作點B關于AC的對稱點，連接，，
則，∴，
當點、E、F共線時，，當點、E、F共線時，，
∴當點、E、F共線時，才會取得最小值，最小值為的長，如圖所示
又∵點F為BC上的一動點，∴如圖，當⊥BC時，取得最小值，
連接，交AC于點H，∵，，∠ABC=90°，∴，
∵，∴，∴，
∵∠BHC=∠BF=90°，∴，∴，
又∵，∴，∴，
即，解得，∴的最小值為，
∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理，圓的定義以及相似三角形的判定及性質，根據兩點之間線段最短及垂線段最短作出輔助線，確定點P，E，F的位置是解答此題的關鍵．
17．（2022·山東泰安·統考一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點，于點F，已知，過C、D、F的與邊AD交于點G，則 ．
【答案】
【分析】連接FG、FC，由可得正方形邊長，再由即可求得DG的值．
【詳解】解：連接CF、GF，如圖：
在正方形ABCD中，，，AD=CD
∵，，∴，∴，即
∵，∴EF=1，DF=4，DE=DF+DE=5，∴，
在中，則勾股定理得，，
∵，，∴，
∵四邊形GFCD是的內接四邊形，∴ ，
∵∴，∴，
∴，即∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查圓的性質及應用，以及正方形的性質、相似三角形的性質及判定等知識，解題的關鍵是證明．
18．（2021·廣東·中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．
【答案】
【分析】由已知，，根據定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知，點在以為圓心為半徑的圓上，線段長度的最小值為．
【詳解】如圖： 以為半徑作圓，過圓心作，
以為圓心為半徑作圓，則點在圓上，
,
線段長度的最小值為: ．故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角與圓心角的關系，圓外一點到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．
19．（2022·安徽·蕪湖市二模）如圖，在中，，，．點F為射線CB上一動點，過點C作于M，交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是______
【答案】1
【分析】取AC的中點T，連接DT、MT，利用三角形的中位線定理求出DT的值，再由直角三角形斜邊上中線的性質求出MT，并確定點M的運動軌跡，然后由即可獲得結論．
【詳解】解：如圖，取AC的中點T，連接DT、MT，
∵D是AB的中點，T是AC的中點，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵點F為射線CB上一動點， ，即，
∴點M的運動軌跡是以T為圓心，TM為半徑的圓，
∴，∴DM的最小值為1．故答案為：1．
【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上中線的性質等知識，解題關鍵是正確作出輔助線，構造三角形中位線，直角三角形斜邊上的中線解決問題．
20．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發沿向點運動，同時，動點從點出發沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．
【答案】
【分析】連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，由于，而PG=3，所以當GQ最大時PQ最大，由題意可得當P、A重合時GQ最大，據此即可求出PQ的最大值；設EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，易證△FQM∽△EPM，則根據相似三角形的性質可得EM為定值2，于是BM的長度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，于是當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，最小值為DO－OH，為此只需連接DO，求出DO的長即可，可過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，構建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的長，進而可得答案．
【詳解】解：連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，則PE=GF，PG=AD=3，
設FQ=t，則GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，
∴當t最大即EP最大時，PQ最大，
由題意知：當點P、A重合時，EP最大，此時EP=2，則t=1，∴PQ的最大值=；
設EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，
∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，∴，
∴當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，
連接DO，過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，則OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，則在Rt△DON中，，
∴DH的最小值=DO－OH=．故答案為：，．
【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、四點共圓以及線段的最值等知識，涉及的知識點多、綜合性強、具有相當的難度，屬于中考壓軸題，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共3小題，共40分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
21．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）【實驗操作】
已知線段BC＝2，用量角器作，合作學習小組通過操作、觀察、討論后發現：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），小麗同學畫出了符合要求的一條圓弧（圖1）．
(1)請你幫助解決小麗同學提出的問題：①該弧所在圓的半徑長為____；②面積的最大值為____；
(2)【類比探究】小亮同學所畫的角的頂點在圖1所示的弓形內部，記為，請你證明；
(3)【問題拓展】結合以上探究活動經驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標系的第一象限內有一點，過點B作軸，軸，垂足分別為A、C，若點P在線段上滑動（點P可以與點A、B重合），使得的位置有兩個，求m的取值范圍．
【答案】(1)①；②(2)見解析(3)
【分析】（1）①由圓周角定理可得,可證是等邊三角形，即可求解；②由題意可得當點到距離最大時，的面積最大，即可求解；
（2）由同弧所對圓周角相等可得，由三角形的外角的性質可得結論；
（3）以邊作等腰直角三角形，以點為圓心，為半徑作圓，可得當點在上方的圓上時，，分別求出點在圓和線段與圓相切時，的值，即可求解．
【詳解】（1）解：①如圖1，設為圓心，連接，，
∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，
∴，即半徑為，故答案為：
②∵以為底邊，，
∴當點到的距離最大時，的面積最大，
如圖1，過點作的垂線，垂足為，延長，交圓于，
∴，，∴
∴，∴的最大面積為故答案為：
（2）解：如圖，延長，交圓于點，連接，
∵，∴，
∵，∴，
∴，即；
（3）解：如圖2，以為邊作等腰直角三角形，以點為圓心，為半徑作圓，
（，），∴，，
∴當點在上方的圓上時，，
當點或點在圓上時，，即，
當與圓相切時，，∴．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，三角形的外角的性質，圓的有關知識，解題關鍵是理解題意，正確尋找點的運動軌跡．
22．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．
(1)如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．
①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：
(2)的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）①先根據定義和求出點的坐標，再根據點關于點的對稱點為求出點Q的坐標；②延長ON至點，連接AQ，利用AAS證明，得到，再計算出OA，OM，ON，即可求出；（2）連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，結合對稱的性質得出NM為的中位線，推出，得出，則．
(1)解：①點Q如下圖所示．
∵點，∴點向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點，∴，
∵點關于點的對稱點為，，∴點的橫坐標為：，縱坐標為：，
∴點，在坐標系內找出該點即可；
②證明：如圖延長ON至點，連接AQ，
∵ ，∴，在與中，
，∴，∴，
∵ ，，，∴，，，
∴，∴，∴；
(2)解：如圖所示，連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，
∵，點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，∴，
∵點關于點的對稱點為，∴，又∵，∴OM∥ST，
∴NM為的中位線，∴，，
∵，∴，∴，
在中，，結合題意，，，
∴，即長的最大值與最小值的差為．
【點睛】本題考查點的平移，對稱的性質，全等三角形的判定，兩點間距離，中位線的性質及線段的最值問題，第2問難度較大，根據題意，畫出點Q和點的軌跡是解題的關鍵．
23．（2023·山西·太原一模）綜合與實踐：
如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB上的一個動點（點E與點A，B不重合），連接CE，過點B作于點G，交AD于點F．
(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當點E運動到AB中點時，連接DG，求證：；
(3)如圖3，若，連接AG，當點E在邊AB上運動的過程中．AG是否存在最小值，若存在，請直接寫出AG最小值，及此時AE的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，；
【分析】（1）由“”可證，可得；
（2）由“”可證，可得，可得，由“”可證，可得，由直角三角形的性質可得結論；
（3）以為直徑作，連接，，由題意可得點在以為直徑的上，則當點在上時，有最小值，由勾股定理可求的長，可得，由等腰三角形的性質和全等三角形的性質可得，即可求解．
(1)證明：，，，
∵四邊形ABCD是正方形，，，
，，
在和中，，；
(2)證明：延長CD，BF交于點H，如圖所示：
∵點E是AB的中點，，
∵四邊形ABCD是正方形，，，，
，，，，
又，，，，
，，，，
在和中，，
，，，
又，，；
(3)；．
理由如下：以BC為直徑作，連接AO，OG，如圖所示：
，，∴點G在以BC為直徑的上，
∵在中，，∴當點G在AO上時，AG有最小值，
此時，如圖所示：
，點O是BC中點，，
，，
，，，，
，，
由（2）可得，．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，圓的有關知識，三角形三邊關系等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
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專題2.7 瓜豆模型（曲線軌跡類） （最值模型）
模塊1：模型簡介
瓜豆原理（模型）：
模型1-1. 如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？
如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-2. 如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？
如圖，連結AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。
則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-3. 定義型：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。
如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，（常見于動態翻折中）
則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。
模型1-4. 定邊對定角（或直角）模型
1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．
如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。
2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧．
如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧。
【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質求解。
模塊2：核心模型點與典例
例1．（2023.江蘇九年級期中）如圖， 中， 于點 是半徑為2的上一動點， 連結 ， 若是的中點， 連結， 則長的最大值為 （ ）
A．3 B． C．4 D．
例2.（2023.湖北九年級期末）如圖，A是⊙B上任意一點，點C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6
例3.（2023.浙江九年級期中）如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．
例4．（2022·山東·二模）如圖，中，，，，點是上的點，將沿翻折，得到，過點作交的平分線于點，連接，則長度的最小值為______．
例5．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，為的直徑，C為上一點，其中，，D為上的動點，連接，取中點M，連接，則線段的最大值為 ．
例6．（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．的最小值為
模塊3：同步培優題庫
全卷共23題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（2023秋·河北唐山·九年級統考期末）如圖，點是正六邊形內一點，，當時，連接，則線段的最小值是（ ）

A． B． C．6 D．
2．（2023·山東臨沂·統考二模）如圖，C在以為直徑半圓上，，，點D是弧上的一動點，，連接，則的長的最小值是（ ）

A． B．1 C． D．
3．（2023春·廣東·九年級專題練習）如圖，正方形中，，點為邊上一個動點，連接，點為上一點，且，在上截取點使，交于點，連接，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，在中，，，以為邊作等腰直角，連，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江寧波·九年級校考階段練習）如圖，直徑，的夾角為，為上的一個動點（不與點，，，重合）．，分別垂直于，，垂足分別為，．若的半徑長為，則的長（　　）
A．隨點運動而變化，最大值為 B．等于
C．隨點運動而變化，最小值為 D．隨點運動而變化，沒有最值
6．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，中，，，則邊的最大值為（ ）
A． B． C．8 D．
7．（2022·廣東·潮州市一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是邊AC上一動點，連接BD，以CD為直徑的圓交BD于點E．若AB長為4，則線段AE長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·廣東·九年級專題練習）已知：如圖，在中，，，面積的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022秋·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
10．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC與△ABC關于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為( )
A．1 B． C． D．2
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022·陜西渭南·三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點E在BC上，且，點M為矩形內一動點，使得，連接AM，則線段AM的最小值為______．
12．如圖，在中，，，，點在以為直徑的半圓上運動，由點運動到點，連接，點是的中點，則點經過的路徑長為 　　．
13．（2022·江蘇揚州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉一周，則線段AF的最小值是______．
14．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為____________．
15．（2022·廣東·二模）如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點E，點D為的中點，點G為平面內一動點，且，則AG的最小值為__________．
16．（2023·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，矩形中，，，點E是對角線上的動點，點F是邊上的動點，點P是半徑為1的上的動點，則的最小值為 ．
17．（2022·山東泰安·統考一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點，于點F，已知，過C、D、F的與邊AD交于點G，則 ．
18．（2021·廣東·中考真題）在中，．點D為平面上一個動點，，則線段長度的最小值為_____．
19．（2022·安徽·蕪湖市二模）如圖，在中，，，．點F為射線CB上一動點，過點C作于M，交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是______
20．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發沿向點運動，同時，動點從點出發沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．
三、解答題（本大題共3小題，共40分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）【實驗操作】
已知線段BC＝2，用量角器作，合作學習小組通過操作、觀察、討論后發現：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），小麗同學畫出了符合要求的一條圓弧（圖1）．
(1)請你幫助解決小麗同學提出的問題：①該弧所在圓的半徑長為____；②面積的最大值為____；
(2)【類比探究】小亮同學所畫的角的頂點在圖1所示的弓形內部，記為，請你證明；
(3)【問題拓展】結合以上探究活動經驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標系的第一象限內有一點，過點B作軸，軸，垂足分別為A、C，若點P在線段上滑動（點P可以與點A、B重合），使得的位置有兩個，求m的取值范圍．
22．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關于點的對稱點為，稱點為點的“對應點”．
(1)如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應點”．
①在圖中畫出點；②連接交線段于點求證：
(2)的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應點”，連接當點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）
23．（2023·山西·太原一模）綜合與實踐：
如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB上的一個動點（點E與點A，B不重合），連接CE，過點B作于點G，交AD于點F．
(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當點E運動到AB中點時，連接DG，求證：；
(3)如圖3，若，連接AG，當點E在邊AB上運動的過程中．AG是否存在最小值，若存在，請直接寫出AG最小值，及此時AE的值；若不存在，請說明理由．
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