資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題2.8 定角定高模型、米勒最大角模型
模塊1：模型簡(jiǎn)介
近幾年一些中考幾何問(wèn)題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問(wèn)題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問(wèn)題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來(lái)求解。實(shí)際上，這樣的問(wèn)題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來(lái)探究最值情形。而軌跡問(wèn)題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。
模塊2：核心模型點(diǎn)與典例
模型1.米勒最大張角（視角）模型
【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問(wèn)題在初中最值的考察過(guò)程中，也成為最大張角或最大視角問(wèn)題。
米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。
【模型證明】
如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
【解題關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問(wèn)題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題順利解決。否則這類問(wèn)題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。
例1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）足球射門(mén)，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角大小時(shí)，張角越大，射門(mén)越好．如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（ ）
A．點(diǎn)C B．點(diǎn)D或點(diǎn)E C．線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) D．線段CD(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn)
【答案】C
【詳解】解：如圖，記過(guò)測(cè)量可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)設(shè)點(diǎn)在DE上時(shí)，張角最大． 故選C．
例2．（2023·廣東廣州·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上兩點(diǎn)、，C為x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（ ）

A．5 B．2 C．21 D．
【答案】D
【分析】當(dāng)以為弦的圓與軸正半軸相切時(shí)，最大，根據(jù)圓周角定理得出對(duì)應(yīng)的最大，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，當(dāng)以為弦的圓與軸正半軸相切時(shí)，最大，
∵∴此時(shí)的最大，作軸于，連接、．

∵、，∴，
與軸相切于點(diǎn)C，軸，
在直角中，，
∴，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理，正確理解當(dāng)以為弦的圓與軸相切時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大是關(guān)鍵，解題時(shí)注意結(jié)合圖形分析．
例3．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°，（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出結(jié)論；
（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF，根據(jù)∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四點(diǎn)共圓，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AED＝∠AFD，
∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE ∴，∴，∴，
∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最大．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，根據(jù)題意得出⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大是解題的關(guān)鍵．
例4．（2022春·浙江金華·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）足球射門(mén)時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角越大，射門(mén)越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門(mén)點(diǎn)．通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，一學(xué)生帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得∠CQA=∠ABQ（此時(shí)也有∠DQB=∠QAB）時(shí)，恰好能使球門(mén)AB的張角∠AQB達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門(mén)點(diǎn)．如圖2所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場(chǎng)，AB為球門(mén)一部分，CD⊥AB于點(diǎn)，AB=6米，BD=2米．某球員沿CD向球門(mén)AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)Q．
（1）tan∠AQB =_____．（2）已知對(duì)方守門(mén)員伸開(kāi)雙臂后，成功防守的范圍為米，若此時(shí)守門(mén)員站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂張開(kāi)MN垂直于AQ進(jìn)行防守，為了確保防守成功，MN中點(diǎn)與AB的距離至少為_(kāi)__ 米．
【答案】
【分析】（1）證明△BDQ∽△QDA，利用相似三角形的性質(zhì)求出QD，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AQ于點(diǎn)H．利用面積法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得結(jié)論；
（2）如圖，設(shè)NM的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥AD于點(diǎn)K，根點(diǎn)O作OJ⊥NK于點(diǎn)J．解直角三角形求出NJ，NK，可得結(jié)論．
【詳解】（1）由題意，∠BQD=∠QAD，
∵∠BDQ=∠QDA，∴△BDQ∽△QDA，∴，∴QD2=DB DA，
∵AB=6，BD=2，∴DA=8，∴QD=4，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AQ于點(diǎn)H．
∵CD⊥AD，∴∠ADQ=90°，∵AD=8．DQ=4，∴AQ=，
∵×6×4=×4×BH，∴BH=，∵BQ=，
∴HQ=，∴tan∠AQB==；故答案為：；
（2）如圖，設(shè)NM的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥AD于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)O作OJ⊥NK于點(diǎn)J．
∵M(jìn)N∥BH ∴，∴BN==，∴NK=BN sin∠QBD=×=，
∵M(jìn)N⊥AQ，NK⊥AD，∴∠AMN+∠AKN=180°，∴∠QAD+∠MNK=180°，
∵∠MNK+∠ONJ=180°，∴∠ONJ=∠QAD，∴cos∠ONJ=cos∠QAD=，
∴JN=ON cos∠ONJ=×=，∴JK=NJ+NK=+=，
∴MN中點(diǎn)與AB的距離至少為米時(shí)才能確保防守成功．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
例5．（2023·四川宜賓·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，的面積為．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方，當(dāng)面積的最大值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)外接圓的圓心為，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫(xiě)答案）．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】（1）根據(jù)平移可求，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求，從而可求，再由面積求出的坐標(biāo)，即可求解的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于，設(shè)，可求，由可求解；（3）是的中點(diǎn)，在直線上運(yùn)動(dòng)，可得，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最大，由此可得：當(dāng)垂直直線時(shí)，取得最小值，進(jìn)而可求解．
【詳解】（1）解：將二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到的拋物線解析式為，
，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式得，，，
拋物線的解析式為，即．
令，則，解得：，，；，
的面積為，，，
，解得：，，∴．
設(shè)直線的解析式為，則有
，解得：，直線的解析式為．
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸交于，

設(shè)，則，，
．
∴當(dāng)此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為．
（3）解：如圖，是的中點(diǎn)，在直線上運(yùn)動(dòng)，

，，
當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最大，
，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最大，
當(dāng)垂直直線時(shí)，取得最小值，
此時(shí)、在二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線上，，
根據(jù)對(duì)稱性，存在，故：或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的外心，三角函數(shù)定義，二次函數(shù)與三角形面積計(jì)算，二次函數(shù)與圓的綜合等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．
模型2. 定角定高模型（探照燈模型）
定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢簦砸步刑秸諢裟Ｐ汀！?br/>條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。
結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長(zhǎng)最小；△ABC的面積最小；△ABC的周長(zhǎng)最小。
證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，
過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcosa≥h，
.當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長(zhǎng)最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；
△ABC的周長(zhǎng)最小:2rsin+ADrsin。
例1．（2023·陜西西安·校考一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，則BD的最大值為 ．

【答案】
【分析】如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OA，OC，OE，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H．解直角三角形求出OE，OB，求出BE的最大值即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OA，OC，OE，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H．

∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，
∵EC＝2AE＝4，∴AE＝2，∴AC＝AE+EC＝6，
∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，
∵∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OH＝AH tan30°＝，
∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，∴OB＝OA＝2，
∵BE≤OB+OE，∴BE≤2+2，∴BE的最大值為2+2，
∵BE＝2DE，∴DE的最大值為1+，
∴BD的最大值為3+3．故答案為3+3．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，綜合性比較強(qiáng)，能夠轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·江蘇南通·校考一模）已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終交x軸于A、B兩點(diǎn)，為y軸上一點(diǎn)，連接，，則四邊形面積的最小值為 ．
【答案】6
【分析】取的中點(diǎn)E，連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，當(dāng)時(shí)，最小，推出四邊形面積的最小，根據(jù)點(diǎn)在直線上，得到，推出，，根據(jù)，得到，根據(jù)即可得到答案．
【詳解】取的中點(diǎn)E，連接，∵，∴，
當(dāng)時(shí)，最小，就最小，與都最小，就最小，
∵點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，∴，
∴，∴，∴，∵，∴，
∴．故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，直角三角形，垂線段，三角形面積等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)適合解析式，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，垂線段最短等性質(zhì)，三角形面積計(jì)算公式．
例3．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）問(wèn)題探究
（1）如圖1．在中，，為上一點(diǎn)，．則面積的最大值是_______．
（2）如圖2，在中，，為邊上的高，為的外接圓，若，試判斷是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決：如圖3，王老先生有一塊矩形地，，，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個(gè)四邊形魚(yú)塘，且滿足點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，這個(gè)四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】問(wèn)題探究：（1）24；（2）存在，的最小值為；問(wèn)題解決：存在，144
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）如圖2中，連接，，，作于．設(shè)．求出的最小值即可解決問(wèn)題；
（3）如圖3中，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作的外接圓．由（2）可知，當(dāng)?shù)耐饨訄A的圓心在線段上時(shí)，的面積最小，此時(shí)四邊形的面積最大．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，面積的最大，
則面積的最大值是，故答案為：24；
（2）如圖中，連接，，，作于．設(shè)，
∵，，，
∴，，∴，．
∵，∴，∴，∴的最小值為1，
∵，∴的最小值為；
（3）如圖中，連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，作的外接交于，連接，
∵，，，∴，∴，
∵，∵，，∴，∴，
由（2）可知，當(dāng)?shù)耐饨訄A的圓心在線段上時(shí)，的面積最小，此時(shí)四邊形的面積最大，設(shè)，則，
∴，∴，∴，
∴四邊形的面積的最大值．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角形，最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．
例4．（2022·江蘇連云港·校考三模）（1）[問(wèn)題提出]如圖1，為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，連接，若，則面積的最大值為　．
（2）[問(wèn)題探究]如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)分別在邊上．且，若，求的長(zhǎng)；
（3）[問(wèn)題解決]為進(jìn)一步落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富學(xué)生的校園生活，某校計(jì)劃為同學(xué)們開(kāi)設(shè)實(shí)踐探究課.按規(guī)劃要求，需設(shè)計(jì)一個(gè)正方形的研學(xué)基地，如圖3．點(diǎn)分別在正方形的邊上，將區(qū)域修建為種植采摘區(qū)，基地內(nèi)其余部分為研學(xué)探究區(qū)，的長(zhǎng)為40m，．為了讓更多的學(xué)生能夠同時(shí)進(jìn)行種植，要求種植采摘區(qū)（）的面積盡可能大，則種植采摘區(qū)的面積的最大值為_(kāi)______m2，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______m．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)作，由題意可得：，即可求解；
（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，即可求解；
（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，由（1）可得，當(dāng)垂直平分時(shí)，面積最大，即可求解．
【詳解】（1）如圖1中，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
∵，∴，∵，∴，
∴的最大值為3，此時(shí)垂直平分，∴的面積的最大值為．
（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
則，∵，∴，∴共線，
∵，∴
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如下圖：
則，，，，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
由（1）可得，當(dāng)垂直平分時(shí)，最大，此時(shí)面積也最大，則，
設(shè)，則，由勾股定理可得：，
即，解得，（負(fù)值舍去），
，故答案為：；
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形．
例5．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）【問(wèn)題初探】：（1）如圖①，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，∥，．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；
【問(wèn)題深入】：（2）如圖②，在扇形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，，求四邊形的面積的最大值；
【拓展應(yīng)用】：（3）為進(jìn)一步促進(jìn)西安市文化和旅游高質(zhì)量發(fā)展，推動(dòng)全市文明旅游創(chuàng)建工作，結(jié)合年陜西省文明旅游示范單位申報(bào)工作，一并開(kāi)展年西安市文明旅游示范單位評(píng)選工作某地為參加評(píng)選積極改善環(huán)境，擬建一個(gè)四邊形休閑廣場(chǎng)，其大致示意圖如圖③所示，其中∥，米．點(diǎn)處設(shè)立一個(gè)自動(dòng)售貨機(jī)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)，連接，沿修建一條石子小路（寬度不計(jì)），將和進(jìn)行綠化．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，．為倡導(dǎo)綠色新風(fēng)尚，現(xiàn)要使綠化的面積盡可能的大，請(qǐng)問(wèn)和的面積之和是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出和面積之和的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為平方米
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意得，，通過(guò)平行推三角形相似，得出，推比例線段，得出的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得出，由圖可得，兩個(gè)式子結(jié)合得出四邊形的最大值是；
（3）作的外接圓，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，
由，推出，得出，推出，，得出，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得出，，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，，推出，，得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由圖可得，得出的最大值為，進(jìn)而求出和面積之和的最大值．
【詳解】解：（1）設(shè)，，，，
，，
，，，故答案為：；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
，，，
，，，
根據(jù)勾股定理得，，，，
由圖可得，，即，
，
，，四邊形的最大值是；
（3）點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，，，，
，，
，．
，
作的外接圓，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
連接，，，，如圖，
則，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，
，，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由圖可得，
的最大值為，，
的最大值為：，
和的面積之和存在最大值，和面積之和的最大值為平方米．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．
模塊3：同步培優(yōu)題庫(kù)
全卷共23題 測(cè)試時(shí)間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，，得出的軌跡是圓，取點(diǎn)，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，
則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴，
取點(diǎn)，則是的中位線，∴，
∵，∴點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，
∵是的中位線，∴，
∴，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，
在中，，
過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 則
∵與相切，∴，∴，
∴，∴，∴
設(shè)，,則∴∴
∴解得：∴
∴的最大值為，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，等邊三角形的性質(zhì)。圓周角定理，得出點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，A、B表示足球門(mén)邊框（不考慮球門(mén)的高度）的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)C表示射門(mén)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB就是射門(mén)角，在不考慮其它因素的情況下，一般射門(mén)角越大，射門(mén)進(jìn)球的可能性就越大，球員甲帶球線路ED與球門(mén)AB垂直，D為垂足，點(diǎn)C在ED上，當(dāng)∠ACB最大時(shí)就是帶球線路ED上的最佳射門(mén)角，若AB=4，BD=1，則當(dāng)球員甲在此次帶球中獲得最佳射門(mén)角時(shí)DC的長(zhǎng)度為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造△ABC的外接圓O，當(dāng)DE為圓O的切線時(shí)，∠ACB的角度最大，易證OCDF為矩形，再通過(guò)圓周角和圓心角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為∠AOF，通過(guò)勾股定理求得OF的長(zhǎng)度，從而得到結(jié)果．
【詳解】解：如圖所示，圓O為△ABC的外接圓，當(dāng)DE為圓O的切線時(shí)，∠ACB的角度最大，（備注：弧所對(duì)的角中，圓周角>圓外角） 過(guò)O點(diǎn)作OF⊥AB，則AF=BF，
∵AB=4，BD=1，∴AF=2，DF=3，∵OC⊥AC，∠D=90°，∴四邊形OCDF為矩形，∴OC=DF=OA，
∴OF=，∴CD=故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查角度的最值問(wèn)題，矩形的判定，圓的基本性質(zhì)，通過(guò)角度構(gòu)造圓是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．（2022上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）矩形ABCD的對(duì)角線BD=4，DE⊥AC于點(diǎn)E，則當(dāng)∠DBE最大時(shí)，BE的長(zhǎng)度為（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)可得，若固定不動(dòng)，則E隨的位置變動(dòng)而變化，因，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)該圓圓心為O，不難知道，當(dāng)時(shí)，即為⊙O的切線時(shí)，最大，利用勾股定理即可求出答案．
【詳解】設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)可得，
，點(diǎn)在以為直徑的上，如下圖，
∵當(dāng)是⊙O的切線時(shí)，最大，∴當(dāng)最大時(shí)，，
∵，∴，
∴．故答案為D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵在于確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，有一定難度．
4．（2022上·江蘇南京·九年級(jí)校考期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，若最大，則t的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過(guò)A、B作與y軸相切的圓，設(shè)圓心為M，切點(diǎn)為C，連接AC、BC，取C1為y軸上相異于C的一點(diǎn)，連接C1A、C1B，設(shè)C1B交圓于D，利用圓周角定理和三角形外角性質(zhì)可證得∠ACB最大，過(guò)M作MN⊥AB于N，根據(jù)垂徑定理證得AN=BN=AB，可證明四邊形MNOC為矩形，則有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答．
【詳解】解：過(guò)A、B作與y軸相切的圓，設(shè)圓心為M，切點(diǎn)為C，連接AC、BC，取C1為y軸上相異于C的一點(diǎn)，連接C1A、C1B，設(shè)C1B交圓于D，如圖，則∠ADB=∠ACB，
∵∠ADB是△ADC1的外角，∴∠ADB＞∠AC1B，∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角，
過(guò)M作MN⊥AB于N，連接MC、MA，則MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y軸，
∴四邊形MNOC為矩形， ∴MC=ON，OC=MN，
∵，，，t＞0，∴AB=4，OC=t，OA=1，∴AN=AB=2，
∴MC=ON=OA+AN=3，在Rt△AMN中，MA=MC =3，
由勾股定理得：，∴OC=MN=，即t=，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì)、圓周角定理、三角形外角性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、坐標(biāo)與圖形、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，得出過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓與y軸相切時(shí)∠ACB最大是解答的關(guān)鍵．
5．（2023·廣東廣州·九年級(jí)校考期中）如圖，已知正方形和直角三角形，，，連接，．若繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的面積是（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】作于H，由題意知繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F在以A為圓心，4為半徑的圓上，當(dāng)為此圓的切線時(shí)，最大，即，利用勾股定理計(jì)算出，接著證明得到，然后根據(jù)三角形面積公式求解．
【詳解】解：作于H，如圖，
∵，∴當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F在以A為圓心，4為半徑的圓上，
∴當(dāng)為此圓的切線時(shí)，最大，即，此時(shí)，
∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、圓的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）
6．（2023·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，CD是⊙O直徑，E是BC的中點(diǎn)，P是直線AE上任意一點(diǎn)，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于點(diǎn)M、N，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，PM的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】連接OP，OM，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知，因?yàn)椋十?dāng)OP最小（即OP垂直AC時(shí)），最大，此時(shí)最大，由此得到P點(diǎn)，再求出OP長(zhǎng)，在Rt△PMO中求出PM即可解答．
【詳解】解：連接OP，OM，
∵PM、PN相切于點(diǎn)M、N，∴，，∴，
又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直徑，∴，
∴故當(dāng)OP最小（即OP垂直AC時(shí)），最大，
延長(zhǎng)DC交直線AE于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，BC=6，∴BE=EC=3,
∵在矩形ABCD中，，∴，
∵在矩形ABCD中，，∴，∴，
∴EG=5，CG=3，∴OG=OC+CG=2+4=6，
又∵OP垂直AC時(shí)，最大，∴，
在Rt△PMO中，，故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何的最值問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，涉及了圓的切線性質(zhì)，矩形性質(zhì)、解三角形、點(diǎn)到直線的距離垂線段最小等知識(shí)，解題關(guān)鍵是切線長(zhǎng)定理可知，然后關(guān)鍵在Rt△PMO中最大，此時(shí)最大，得出OP垂直AC時(shí)，最大．
7．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，找到當(dāng)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，作出相應(yīng)輔助線，可得出，，再由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，根據(jù)切線定理確定四邊形PCOH為矩形，最后根據(jù)勾股定理即可得出．
【詳解】過(guò)點(diǎn)A、B作⊙P，⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，
連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，
∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），∴，，
∵PH⊥AB，∴，∴，
∵點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C，∴PC⊥x軸，∴四邊形PCOH為矩形，
∴，∴，在中，，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為．
【點(diǎn)睛】題目考查隱圓模型，涉及知識(shí)點(diǎn)包括直線與圓的位置關(guān)系、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等，理解題意，找準(zhǔn)當(dāng)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，最大，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．
8．（2023·河南鶴壁·九年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于 ．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，根據(jù)三角形的面積 公式得到AD＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝，由此三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
∵△ADE∽△ABC，∴，即
∴，∴，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，
∴此時(shí)有 ∴AD＝，
∴△ADE的最小面積；故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
9.（2023浙江·九年級(jí)校考期中）為了迎接新年的到來(lái)某市舉辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個(gè)鐳射燈距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交點(diǎn)的連接的線段(BC)看作一個(gè)三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_(kāi)______平方米，其周長(zhǎng)最小值為_(kāi)______米。
【解析】通過(guò)“距地面30米”，“光線夾角60°”，得到∠BAC=60°（定角），AD=30米（定高），
可識(shí)別出定角定高模型，因此當(dāng)△ABC為等腰三角形，邊BC有最小值，此時(shí)△ABC為等邊三角形，
解直角三角形求出BC=米，
進(jìn)而求出面積最小值為平分米，周長(zhǎng)最小值為米。
可求答案：；。
10.（2023·重慶·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，則△AEF面積的最小值為_(kāi)_______.
【解析】“大角含半角+有相等且共端點(diǎn)的邊”識(shí)別出“半角模型”，通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造△AEF的全等三角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB為定高，通過(guò)定角定高模型結(jié)論求出最值。
延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，易證△ABE≌△ADG(SAS) ∴BE=DG，∠BAE=∠DAG
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF則△AEF'≌△AGF(SAS)，
作△AGF的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OF，過(guò)得O作OH⊥GF于H，
則∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，設(shè)△AGF的外接圓的半徑為R，
則GF＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AD，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，
∴△AGF的面積≥××（8﹣）×4＝16﹣16，
∴△AFE的面積的最小值為16-16．
11．（2022·遼寧沈陽(yáng)·校考三模）如圖是一個(gè)矩形足球球場(chǎng)，為球門(mén)，于點(diǎn)D，米．某球員沿帶球向球門(mén)進(jìn)攻，在Q處準(zhǔn)備射門(mén)，已知米，米，對(duì)方門(mén)將伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍大約為米；此時(shí)門(mén)將站在張角內(nèi)，雙臂伸開(kāi)且垂直于進(jìn)行防守，中點(diǎn)與距離 米時(shí)，剛好能成功防守．
【答案】/
【分析】過(guò)點(diǎn)B作，證明，作，依次證明，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，
，，
又，，，
，
，，，
，
如圖，作，
，，，
，，
，
，，，
，，
，，，，
，，
，，
，，，，
，，故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，的長(zhǎng)為 ．

【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)A、M作與相切于點(diǎn),記的中點(diǎn)為N,與交于點(diǎn)Q,連接,則，證明四邊形是矩形, 再求出圓的半徑，利用勾股定理和矩形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】：過(guò)點(diǎn)A、M作與相切于點(diǎn),記的中點(diǎn)為N,與交于點(diǎn)Q,連接,

則，
∵四邊形是正方形，，∴，，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，
∵過(guò)點(diǎn)A、M作與相切于點(diǎn)，∴，
∵的中點(diǎn)為N,∴，，
∴，∴四邊形是矩形, ∴,
在中,，∴,
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了最大張角問(wèn)題，涉及到了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、矩形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是理解當(dāng)P點(diǎn)在與相切且經(jīng)過(guò)D點(diǎn)和M點(diǎn)的圓上且位于切點(diǎn)處時(shí)張角最大．
13．（2023·四川涼山·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE∽△ABC，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接NE，當(dāng)線段NE最短時(shí)，線段CD的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】如圖，連接EC，作AH⊥BC于H．首先證明EC⊥BC，推出EN⊥EC時(shí)，EN的值最小，解直角三角形求出CH，DH即可解決問(wèn)題；
【詳解】解：如圖，連接EC，作AH⊥BC于H．
∵△ABC∽△ADE，∴∠AED=∠ACD，∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAE=90°，∴EC⊥BC，∴NE⊥EC時(shí)，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于G．
在Rt△ABC中，∵BC=5，AB=3，∴AC=4，
∵△ENC∽△△ACB，∴，∴，∴EC=，∴AH=CG=，
∵NE∥AG，AN=NC，∴GE=EC=，∵∠HAG=∠DAE，∴∠DAH=∠EAG，
∵∠AHD=∠G=90°，∴△AHD∽△AGE，
∴，∴，∴DH=，∴CD=DH+CH=．故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考填空題中的壓軸題．
14．（2023·廣東·一模）已知點(diǎn)O為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線距離為4，點(diǎn)A、B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB＝30°。則△ABO的面積最小值為 　　．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作直線l′∥直線l，則直線l與直線l′之間的距離為4，作點(diǎn)B關(guān)于直線l′的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OB′，AB′，AB′交直線l′于點(diǎn)T，連接BT，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BT于H，過(guò)點(diǎn)T作TW⊥AB于W．
在Rt△ABB′中，AB＝＝，∴AB′的值最小時(shí)，AB的值最小，
∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴當(dāng)A，O，B′共線時(shí)，AB′的值最小，此時(shí)AB的值最小，
∵直線l垂直平分線段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B，
∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB，
∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴＝，∴可以假設(shè)TH＝k，AT＝TB＝2k，
∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝＝2k，
∵S△TAB＝ AB TW＝ TB AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4，
∴△ABO的面積最小值為＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案為：64﹣16．
15．（2022上·北京東城·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點(diǎn)．已知點(diǎn)，，為的外接圓．
（1）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ；（2）當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】 4
【分析】（1）根據(jù)三角形外心的定義，可得出的外接圓圓心在線段的垂直平分線上，即可求解；（2）點(diǎn)P在切點(diǎn)處時(shí)，最大，而四邊形是矩形，由勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）∵，，∴線段的垂直平分線為直線，
∵點(diǎn)M在的垂直平分線上，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，
（2）過(guò)點(diǎn)，，作與x軸相切，則點(diǎn)P在切點(diǎn)處時(shí)，最大，理由：
如上圖，若點(diǎn)是x軸正半軸上異于切點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，
設(shè)交于點(diǎn)E，連接，則，
∵是的外角，∴，∴，即點(diǎn)P在切點(diǎn)處時(shí)，最大，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴點(diǎn)M在線段的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線上，
∵與x軸相切于點(diǎn)P，軸，從而，即的半徑為4，
設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接，如上圖，則， ，，
∵，軸，，∴四邊形是矩形，從而，
由勾股定理，得，
∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故答案為：4，．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定及勾股定理，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
16．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【生活問(wèn)題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接近球門(mén)，他在哪里射門(mén)時(shí)射門(mén)角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球員P對(duì)球門(mén)的張角時(shí)，在上取一點(diǎn)Q，過(guò)A、B、Q三點(diǎn)作圓，發(fā)現(xiàn)直線與該圓相交或相切．如果直線與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小______：（填序號(hào)）
①逐漸變大；②逐漸變小；③先變大后變小；④先變小后變大
【猜想驗(yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點(diǎn)Q，那么球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．
【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，某球員P沿垂直于方向的路線帶球，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在上找出球員P的位置，使最大．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
【答案】操作感知：③；猜想驗(yàn)證：見(jiàn)解析；實(shí)際應(yīng)用：見(jiàn)解析
【分析】操作感知：如圖所示，設(shè)直線與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，分別在射線，射線上取一點(diǎn)F，E，連接交的外接圓于H，連接交的外接圓于G，連接，利用圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)證明即可得到結(jié)論；
猜想驗(yàn)證：如圖所示，在上任取一點(diǎn)G（不與Q重合），連接交的外接圓于H，連接，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；
實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，作線段的垂直平分線交于E，延長(zhǎng)交于F，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線于O，以O(shè)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線于P，點(diǎn)P即為所求．
【詳解】解：操作感知：如圖所示，設(shè)直線與的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，分別在射線，射線上取一點(diǎn)F，E，連接交的外接圓于H，連接交的外接圓于G，連接，
∴；∵，∴，
∵，∴；
在上取一點(diǎn)T，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于S，連接，∴，
∵，∴，
∴球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是先變大后變小，故答案為：③；
猜想驗(yàn)證：如圖所示，在上任取一點(diǎn)G（不與Q重合），連接交的外接圓于H，連接，
∴，
∵，∴，即，
∴上異于點(diǎn)Q的其他所有點(diǎn)對(duì)的張角都小于，∴球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大；
實(shí)際應(yīng)用：如圖所示，作線段的垂直平分線交于E，延長(zhǎng)交于F，以點(diǎn)A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線于O，以O(shè)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交直線于P，點(diǎn)P即為所求；
理由如下：∵，∴，
∵，且，即是兩條平行線間的距離，
∴也是這兩條平行線間的距離，∴，∴ 直線與相切，
∴由“猜想驗(yàn)證”可知，當(dāng)直線與相切于點(diǎn)P時(shí)，最大．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)于判定，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，確定圓心，線段垂直平分線的尺規(guī) 作圖，平行線間間距相等等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·廣東深圳·校考一模）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？
【解決問(wèn)題】（1）數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：
如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，
∵是的外角，
∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”），
∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）；
【問(wèn)題探究】（2）如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過(guò)A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接、，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【問(wèn)題拓展】（3）一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門(mén)米，米，米，，．該球員在射門(mén)角度最大時(shí)射門(mén)，球員在上的何處射門(mén)？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）

【答案】（1）＜，＜；（2），理由見(jiàn)解析；（3）15米
【分析】（1）由三角形的外角的性質(zhì)可得，從而可得答案；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，證明，可得，則．
（3）如圖所示，由（2）可得，當(dāng)經(jīng)過(guò)A，B的與相切時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，證明四邊形是矩形，可得，，，，證明，設(shè)的半徑，表示，，，建立方程，再解方程可得答案．
【詳解】解：（1）如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴，∴，
（2），理由如下：如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，

∵，∴，
∵是的外角，∴，∴．
（3）如圖所示，由（2）可得，當(dāng)經(jīng)過(guò)A，B的與相切時(shí)，最大，

過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，
∴，∴，
∵，，，∴四邊形是矩形，∴，
∵，∴，，∴，
∵，∴，∵，設(shè)的半徑，
∴，即，∴，
∴，∴在中，，
∴，整理得：，
解得：，（不合題意，舍去）∴，
∴．答：的長(zhǎng)度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，本題的難度很大，計(jì)算非常復(fù)雜，準(zhǔn)確細(xì)心的計(jì)算是解答的前提．
18．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）最佳視點(diǎn)
如圖1，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距底面a米，最低處的點(diǎn)Q距底面b米，站在何處觀賞最理想？所謂觀賞理想是指看展品的視角最大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點(diǎn)．
如圖2，當(dāng)過(guò)三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角最大，站在此處觀管最理想，小明同學(xué)想這是為什么呢？他在過(guò)點(diǎn)E的水平線上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連接，…

任務(wù)一：請(qǐng)按照小明的思路，說(shuō)明在點(diǎn)E時(shí)視角最大；
任務(wù)二：若，觀察者的眼睛距地面的距離為米，最大視角為，求觀察者應(yīng)該站在距離多遠(yuǎn)的地方最理想(結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù))．
【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析；任務(wù)二：觀察者應(yīng)該站在距離0.87米的地方最理想
【分析】任務(wù)一：見(jiàn)詳解作圖，由圓周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此在點(diǎn)E時(shí)視角最大．
任務(wù)二：由圓心角定理知，可證是等邊三角形，再由切線定理可證，從而可證，于是可證四邊形是平行四邊形，則，推得．最后解可求得的長(zhǎng)．
【詳解】任務(wù)一：過(guò)點(diǎn)E的水平線上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連接，
∵是的外角，∴，
又∵與都是弧所對(duì)的圓周角， ∴，
∴，∴在點(diǎn)E時(shí)視角最大．
任務(wù)二：∵，∴，
又∵，∴是等邊三角形，．如圖2，連接，

∵是的切線，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴．
由題意得，(米)，
在中，(米)．
答：觀察者應(yīng)該站在距離米的地方最理想．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)與解直角三角形，涉及到圓周角定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理．
19．（2023·廣東深圳·校考一模）船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？

(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，
是的外角，
　 　（填“”，“”或“”），
　 　（填“”，“”或“”）；
(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過(guò)A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接、，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門(mén)米，米，米，，．該球員在射門(mén)角度（）最大時(shí)射門(mén)，球員在上的何處射門(mén)？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）
【答案】(1)，(2)，理由見(jiàn)解析(3)
【分析】（1）由是的外角，可得，即可求解；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，可證，從而可證，即可求證；
（3）當(dāng)經(jīng)過(guò)A，B的與相切時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，四邊形是矩形， 可求，可證是等腰直角三角形，設(shè)的半徑，，由此即可求解．
【詳解】（1）解：是的外角，
，，故答案為：，．
（2）解：，理由如下：
如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)G，連接，

，，
是的外角，，．
（3）解：如圖所示，由（2）可得，當(dāng)經(jīng)過(guò)A，B的與相切時(shí)，最大，

過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，
，，
，，AD⊥DF，四邊形是矩形，，
，，，
，，，，
，是等腰直角三角形，
設(shè)的半徑，，，
在中，，，
解得：或（舍去），
，．
答：的長(zhǎng)度為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出最大角的條件是解題的關(guān)鍵
20．（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到 ，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，則的值是 　 　；
【問(wèn)題探究】（2）如圖2，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上任一點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)N，若，，求四邊形面積的最大值；
【問(wèn)題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃?xì)夤艿罁屝蓿柙诿祝椎木匦纹矫骈_(kāi)挖一個(gè)的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對(duì)市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證，即可求得；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證，設(shè)，分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況討論，分別求出關(guān)于的一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得和的比值，然后根據(jù)三角形外接圓性質(zhì)得，，最后根據(jù)三角形面積公式可得答案．
【詳解】（1）是等腰直角三角形，，
，，；
，，也是等腰直角三角形，
，，，
，，，
，故答案為：，；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
四邊形是矩形，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，
，，，，
，，
，，，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為6，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
，四邊形面積的最大值；

（3）四邊形是矩形，，，
如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并把邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的，得到，
，，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，四邊形是矩形，且，
，設(shè)的外接圓半徑為，，，
由題意得，即，，
，的面積最小值為，
的面積最小值為．

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．
21．（2023·廣東深圳·校考二模）【定義1】如圖1所示，像這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角；
【定義2】站在某一位置觀察測(cè)物體時(shí)，視線范圍所成的角度稱為視角，如圖2，在M和N點(diǎn)對(duì)矩形觀測(cè)，會(huì)有不同的視角．(1)【判斷】如圖3，連接，_____．（，，）
(2)【問(wèn)題解決】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線，P為直線l上一點(diǎn)，連接，求的最大值．
(3)【拓展應(yīng)用】學(xué)校計(jì)劃組織學(xué)生春游，一條北偏東走向的路上經(jīng)過(guò)紫色大廈時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)在觀察紫色大廈時(shí)的最大視角為，小明認(rèn)為，可以通過(guò)將公路和建筑物放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，可以計(jì)算出此時(shí)公路距離紫色大廈的最近距離的長(zhǎng)度．請(qǐng)你協(xié)助小明完成計(jì)算，直接寫(xiě)出答案．

【答案】(1)＜(2)的最大值為(3)
【分析】（1）由圖可得，即可得到答案；
（2）當(dāng)以為弦的圓，與直線l相切時(shí)．P即為切點(diǎn)時(shí)，最大，根據(jù)，即可求解；（3）當(dāng)以為弦的圓P與直線相切時(shí)，切點(diǎn)（H）處觀察紫色大廈的視角最大，令，根據(jù)條件可證為等腰直角三角形，從而求出邊長(zhǎng)，同理可證為等腰直角三角形，從而求出，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，∴．
（2）解：當(dāng)以為弦的圓，與直線l相切時(shí)．P即為切點(diǎn)時(shí)，最大．
因?yàn)榇藭r(shí)只有點(diǎn)P在圓上，直線上的其它點(diǎn)都在圓外．如圖所示：

令直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)記為E，F(xiàn)，
因?yàn)橹本€，則，與x軸夾角是，
將這個(gè)圓記為，令，則，即．
又，．所以，
解得，（舍去）．所以．
在中，，所以，則．
所以．即的最大值為．
（3）解：令公路與x軸，y軸的交點(diǎn)記為E，F(xiàn)；與y軸交點(diǎn)為Q．如圖所示：

當(dāng)以為弦的圓P與直線相切時(shí)，切點(diǎn)（H）處觀察紫色大廈的視角最大．
令，則．又，所以．則，
所以為等腰直角三角形．所以，則．
又為等腰直角三角形，所以．故．所以．
過(guò)點(diǎn)作垂線，則垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且垂線段的長(zhǎng)為，
所以最近距離的長(zhǎng)為：．
【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)應(yīng)用的綜合題，同時(shí)考查了圓的相關(guān)知識(shí)及解一元二次方程．
22．（2023·江蘇鹽城·八年級(jí)校考期末）（1）問(wèn)題提出：如圖①，已知線段AB，請(qǐng)以AB為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；
（2）如圖②，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；
（3）問(wèn)題解決：如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）；（3）存在面積最大值，最大值為144m2，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）以AB為直徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）C，連接AC、BC，由圓周角定理得∠ACB=90°，即可得出結(jié)論；
（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，先由圓周角定理和垂徑定理得∠BOC=2∠BAC，BE=CE=BC，則∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，設(shè)OA=OB=OC=r，則OE=r，BC=2BE=，再由AO+OE≥AD，得r≥，則BC=，即可解決問(wèn)題；
（3）分別延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，則三點(diǎn)共線，由S四邊形AECF=S四邊形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四邊形ABCD-，當(dāng)取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值，求出的最小值，即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）解：以AB為直徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）C，連接AC、BC，
如圖①所示：則∠ACB=90°，∴Rt△ACB即為所求；
（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，如圖②所示：
則∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，
∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，
設(shè) OA=OB=OC=r，則OE=，BC=2BE=，
∵AO+OE≥AD，AD=4，∴，解得：r≥，
∴BC=，∴BC最小值為，
∵S△ABC=BC AD，∴△ABC面積的最小值為：；
（3）四邊形AECF的面積存在最大值，理由如下：分別延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，如圖③所示：則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，
∵CB=CD=m，∴BM=m，m，AD=DM=m，
∴S四邊形ABCD=S△ADM-S△CBM=，
∵∠BCD=360°-∠A-∠CDA-∠CBA=360°-45°-90°-90°=135°，
∴將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，則三點(diǎn)共線，
∴S四邊形AECF=S四邊形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四邊形ABCD-，
∵S四邊形ABCD為定值，∴當(dāng)取得最小值時(shí)，S四邊形AECF取得最大值，
∵135°-90°=45°，
∴以為斜邊作等腰，則的外接圓是以點(diǎn)O為圓心，OF長(zhǎng)為半徑的圓，
設(shè)的外接圓半徑為rm，則m，
又∵OC+OD≥CD，∴，∴，
當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí)，最短，此時(shí)，
∴的面積最小值=，
∴四邊形AECF的面積最大值（m2）．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了四邊形的面積、圓周角定理、垂徑定理、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積以及最值問(wèn)題等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
23．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）足球射門(mén)時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角越大，射門(mén)越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門(mén)點(diǎn)．通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，運(yùn)動(dòng)員帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得（此時(shí)也有）時(shí)，恰好能使球門(mén)AB的張角達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門(mén)點(diǎn)．
(1)如圖2所示，AB為球門(mén)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿CD行進(jìn)時(shí)，，，為其中的三個(gè)射門(mén)點(diǎn)，則在這三個(gè)射門(mén)點(diǎn)中，最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)______；
(2)如圖3所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場(chǎng)，AB為球門(mén)，于點(diǎn)D，，．某球員沿CD向球門(mén)AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)Q．①用含a的代數(shù)式表示DQ的長(zhǎng)度并求出的值；
②已知對(duì)方守門(mén)員伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍為，若此時(shí)守門(mén)員站在張角內(nèi)，雙臂張開(kāi)MN垂直于AQ進(jìn)行防守，求MN中點(diǎn)與AB的距離至少為多少時(shí)才能確保防守成功．（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）
【答案】(1) (2)①；；②．
【分析】（1）連接、，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可判斷；（2）①根據(jù)最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)Q，可證△ADQ∽△QDB，列出比例式即可求出DQ的長(zhǎng)度，作BE⊥AQ于E，求出線段長(zhǎng)，利用三角函數(shù)求解即可；②根據(jù)題意可知，過(guò)MN中點(diǎn)O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性質(zhì)求出EM，再解直角三角形求出MP、PF、PO即可．
（1）解：連接、，∵CD∥AB，∴，∵，，∴，∴，∴，∴最佳射門(mén)點(diǎn)為故答案為：．
（2）解：①作BE⊥AQ于E，∵最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴，∵，∴，∴△ADQ∽△QDB，∴，∵，，∴，代入比例式得，，解得，（負(fù)值舍去）；，∴，，∴，，∴，，則，；②過(guò)MN中點(diǎn)O作OF⊥AB于F，交AQ于P，∵守門(mén)員伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍為，∴當(dāng)時(shí)才能確保防守成功．∵M(jìn)N⊥AQ，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∵，∴，，∵，∴，；MN中點(diǎn)與AB的距離至少為時(shí)才能確保防守成功．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵恰當(dāng)構(gòu)建直角三角形，熟練運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)求解．
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專題2.8 定角定高模型、米勒最大角模型
模塊1：模型簡(jiǎn)介
近幾年一些中考幾何問(wèn)題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問(wèn)題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問(wèn)題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來(lái)求解。實(shí)際上，這樣的問(wèn)題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來(lái)探究最值情形。而軌跡問(wèn)題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。
模塊2：核心模型點(diǎn)與典例
模型1.米勒最大張角（視角）模型
【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問(wèn)題在初中最值的考察過(guò)程中，也成為最大張角或最大視角問(wèn)題。
米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。
【模型證明】
如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
【解題關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問(wèn)題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題順利解決。否則這類問(wèn)題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。
例1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）足球射門(mén)，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角大小時(shí)，張角越大，射門(mén)越好．如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（ ）
A．點(diǎn)C B．點(diǎn)D或點(diǎn)E C．線段DE(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn) D．線段CD(異于端點(diǎn)) 上一點(diǎn)
例2．（2023·廣東廣州·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上兩點(diǎn)、，C為x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（ ）

A．5 B．2 C．21 D．
例3．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°，（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．
例4．（2022春·浙江金華·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）足球射門(mén)時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角越大，射門(mén)越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門(mén)點(diǎn)．通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，一學(xué)生帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得∠CQA=∠ABQ（此時(shí)也有∠DQB=∠QAB）時(shí)，恰好能使球門(mén)AB的張角∠AQB達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門(mén)點(diǎn)．如圖2所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場(chǎng)，AB為球門(mén)一部分，CD⊥AB于點(diǎn)，AB=6米，BD=2米．某球員沿CD向球門(mén)AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)Q．（1）tan∠AQB =_____．（2）已知對(duì)方守門(mén)員伸開(kāi)雙臂后，成功防守的范圍為米，若此時(shí)守門(mén)員站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂張開(kāi)MN垂直于AQ進(jìn)行防守，為了確保防守成功，MN中點(diǎn)與AB的距離至少為_(kāi)__ 米．
例5．（2023·四川宜賓·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，的面積為．(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方，當(dāng)面積的最大值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)外接圓的圓心為，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫(xiě)答案）．

模型2. 定角定高模型（探照燈模型）
定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢簦砸步刑秸諢裟Ｐ汀！?br/>條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。
結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長(zhǎng)最小；△ABC的面積最小；△ABC的周長(zhǎng)最小。
證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，
過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcosa≥h，
.當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值，此時(shí)BC的長(zhǎng)最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；
△ABC的周長(zhǎng)最小:2rsin+ADrsin。
例1．（2023·陜西西安·校考一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，則BD的最大值為 ．

例2．（2023·江蘇南通·校考一模）已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終交x軸于A、B兩點(diǎn)，為y軸上一點(diǎn)，連接，，則四邊形面積的最小值為 ．
例3．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）問(wèn)題探究
（1）如圖1．在中，，為上一點(diǎn)，．則面積的最大值是_______．
（2）如圖2，在中，，為邊上的高，為的外接圓，若，試判斷是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決：如圖3，王老先生有一塊矩形地，，，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個(gè)四邊形魚(yú)塘，且滿足點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，這個(gè)四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例4．（2022·江蘇連云港·校考三模）（1）[問(wèn)題提出]如圖1，為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，連接，若，則面積的最大值為　．
（2）[問(wèn)題探究]如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)分別在邊上．且，若，求的長(zhǎng)；
（3）[問(wèn)題解決]為進(jìn)一步落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，豐富學(xué)生的校園生活，某校計(jì)劃為同學(xué)們開(kāi)設(shè)實(shí)踐探究課.按規(guī)劃要求，需設(shè)計(jì)一個(gè)正方形的研學(xué)基地，如圖3．點(diǎn)分別在正方形的邊上，將區(qū)域修建為種植采摘區(qū)，基地內(nèi)其余部分為研學(xué)探究區(qū)，的長(zhǎng)為40m，．為了讓更多的學(xué)生能夠同時(shí)進(jìn)行種植，要求種植采摘區(qū)（）的面積盡可能大，則種植采摘區(qū)的面積的最大值為_(kāi)______m2，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)______m．
例5．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）【問(wèn)題初探】：（1）如圖①，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，∥，．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；
【問(wèn)題深入】：（2）如圖②，在扇形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，，求四邊形的面積的最大值；
【拓展應(yīng)用】：（3）為進(jìn)一步促進(jìn)西安市文化和旅游高質(zhì)量發(fā)展，推動(dòng)全市文明旅游創(chuàng)建工作，結(jié)合年陜西省文明旅游示范單位申報(bào)工作，一并開(kāi)展年西安市文明旅游示范單位評(píng)選工作某地為參加評(píng)選積極改善環(huán)境，擬建一個(gè)四邊形休閑廣場(chǎng)，其大致示意圖如圖③所示，其中∥，米．點(diǎn)處設(shè)立一個(gè)自動(dòng)售貨機(jī)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)，連接，沿修建一條石子小路（寬度不計(jì)），將和進(jìn)行綠化．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，．為倡導(dǎo)綠色新風(fēng)尚，現(xiàn)要使綠化的面積盡可能的大，請(qǐng)問(wèn)和的面積之和是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出和面積之和的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
模塊3：同步培優(yōu)題庫(kù)
全卷共23題 測(cè)試時(shí)間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，A、B表示足球門(mén)邊框（不考慮球門(mén)的高度）的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)C表示射門(mén)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB就是射門(mén)角，在不考慮其它因素的情況下，一般射門(mén)角越大，射門(mén)進(jìn)球的可能性就越大，球員甲帶球線路ED與球門(mén)AB垂直，D為垂足，點(diǎn)C在ED上，當(dāng)∠ACB最大時(shí)就是帶球線路ED上的最佳射門(mén)角，若AB=4，BD=1，則當(dāng)球員甲在此次帶球中獲得最佳射門(mén)角時(shí)DC的長(zhǎng)度為（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2022上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）矩形ABCD的對(duì)角線BD=4，DE⊥AC于點(diǎn)E，則當(dāng)∠DBE最大時(shí)，BE的長(zhǎng)度為（　　）
A． B． C． D．2
4．（2022上·江蘇南京·九年級(jí)校考期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，若最大，則t的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·廣東廣州·九年級(jí)校考期中）如圖，已知正方形和直角三角形，，，連接，．若繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的面積是（ ）
A． B．6 C．8 D．10
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）
6．（2023·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，CD是⊙O直徑，E是BC的中點(diǎn)，P是直線AE上任意一點(diǎn)，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于點(diǎn)M、N，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，PM的長(zhǎng)為 ．
7．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ．
8．（2023·河南鶴壁·九年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于 ．
9.（2023浙江·九年級(jí)校考期中）為了迎接新年的到來(lái)某市舉辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個(gè)鐳射燈距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交點(diǎn)的連接的線段(BC)看作一個(gè)三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_(kāi)______平方米，其周長(zhǎng)最小值為_(kāi)______米。
10.（2023·重慶·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，則△AEF面積的最小值為_(kāi)_______.
11．（2022·遼寧沈陽(yáng)·校考三模）如圖是一個(gè)矩形足球球場(chǎng)，為球門(mén)，于點(diǎn)D，米．某球員沿帶球向球門(mén)進(jìn)攻，在Q處準(zhǔn)備射門(mén)，已知米，米，對(duì)方門(mén)將伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍大約為米；此時(shí)門(mén)將站在張角內(nèi)，雙臂伸開(kāi)且垂直于進(jìn)行防守，中點(diǎn)與距離 米時(shí)，剛好能成功防守．
12．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，的長(zhǎng)為 ．

13．（2023·四川涼山·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE∽△ABC，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接NE，當(dāng)線段NE最短時(shí)，線段CD的長(zhǎng)為 ．
14．（2023·廣東·一模）已知點(diǎn)O為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線距離為4，點(diǎn)A、B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB＝30°。則△ABO的面積最小值為 　　．
15．（2022上·北京東城·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點(diǎn)．已知點(diǎn)，，為的外接圓．
（1）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ；（2）當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
16．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【生活問(wèn)題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接近球門(mén)，他在哪里射門(mén)時(shí)射門(mén)角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球員P對(duì)球門(mén)的張角時(shí)，在上取一點(diǎn)Q，過(guò)A、B、Q三點(diǎn)作圓，發(fā)現(xiàn)直線與該圓相交或相切．如果直線與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小______：（填序號(hào)）
①逐漸變大；②逐漸變小；③先變大后變小；④先變小后變大
【猜想驗(yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點(diǎn)Q，那么球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．
【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，某球員P沿垂直于方向的路線帶球，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在上找出球員P的位置，使最大．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
17．（2023·廣東深圳·校考一模）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？
【解決問(wèn)題】（1）數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：
如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，
∵是的外角，
∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”），
∴　 　（填“＞”，“=”或“＜”）；
【問(wèn)題探究】（2）如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過(guò)A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接、，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【問(wèn)題拓展】（3）一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門(mén)米，米，米，，．該球員在射門(mén)角度最大時(shí)射門(mén)，球員在上的何處射門(mén)？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）

18．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）最佳視點(diǎn)
如圖1，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距底面a米，最低處的點(diǎn)Q距底面b米，站在何處觀賞最理想？所謂觀賞理想是指看展品的視角最大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點(diǎn)．
如圖2，當(dāng)過(guò)三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時(shí)，視角最大，站在此處觀管最理想，小明同學(xué)想這是為什么呢？他在過(guò)點(diǎn)E的水平線上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連接，…

任務(wù)一：請(qǐng)按照小明的思路，說(shuō)明在點(diǎn)E時(shí)視角最大；
任務(wù)二：若，觀察者的眼睛距地面的距離為米，最大視角為，求觀察者應(yīng)該站在距離多遠(yuǎn)的地方最理想(結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù))．
19．（2023·廣東深圳·校考一模）船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？

(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，
是的外角，
　 　（填“”，“”或“”），
　 　（填“”，“”或“”）；
(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過(guò)A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接、，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門(mén)米，米，米，，．該球員在射門(mén)角度（）最大時(shí)射門(mén)，球員在上的何處射門(mén)？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）
20．（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到 ，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，則的值是 　 　；
【問(wèn)題探究】（2）如圖2，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上任一點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)N，若，，求四邊形面積的最大值；
【問(wèn)題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃?xì)夤艿罁屝蓿柙诿祝椎木匦纹矫骈_(kāi)挖一個(gè)的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對(duì)市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．
21．（2023·廣東深圳·校考二模）【定義1】如圖1所示，像這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角；
【定義2】站在某一位置觀察測(cè)物體時(shí)，視線范圍所成的角度稱為視角，如圖2，在M和N點(diǎn)對(duì)矩形觀測(cè)，會(huì)有不同的視角．(1)【判斷】如圖3，連接，_____．（，，）
(2)【問(wèn)題解決】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線，P為直線l上一點(diǎn)，連接，求的最大值．
(3)【拓展應(yīng)用】學(xué)校計(jì)劃組織學(xué)生春游，一條北偏東走向的路上經(jīng)過(guò)紫色大廈時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)在觀察紫色大廈時(shí)的最大視角為，小明認(rèn)為，可以通過(guò)將公路和建筑物放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，可以計(jì)算出此時(shí)公路距離紫色大廈的最近距離的長(zhǎng)度．請(qǐng)你協(xié)助小明完成計(jì)算，直接寫(xiě)出答案．

22．（2023·江蘇鹽城·八年級(jí)校考期末）（1）問(wèn)題提出：如圖①，已知線段AB，請(qǐng)以AB為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；
（2）如圖②，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；
（3）問(wèn)題解決：如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
23．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）足球射門(mén)時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角越大，射門(mén)越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門(mén)點(diǎn)．通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，運(yùn)動(dòng)員帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得（此時(shí)也有）時(shí)，恰好能使球門(mén)AB的張角達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門(mén)點(diǎn)．
(1)如圖2所示，AB為球門(mén)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿CD行進(jìn)時(shí)，，，為其中的三個(gè)射門(mén)點(diǎn)，則在這三個(gè)射門(mén)點(diǎn)中，最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)______；
(2)如圖3所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場(chǎng)，AB為球門(mén)，于點(diǎn)D，，．某球員沿CD向球門(mén)AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)Q．①用含a的代數(shù)式表示DQ的長(zhǎng)度并求出的值；②已知對(duì)方守門(mén)員伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍為，若此時(shí)守門(mén)員站在張角內(nèi)，雙臂張開(kāi)MN垂直于AQ進(jìn)行防守，求MN中點(diǎn)與AB的距離至少為多少時(shí)才能確保防守成功．（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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