資源簡介

第18講、3.2.1.2函數的單調性的應用
知識點一、增函數、減函數變形
(
1、
增函數：
若對于定義域
內的某個區間
上的任意兩個自變量
、
，當
時，都有
，那么就說函數
在區間
上是
增函數
；
對任意
、
，且
，若
或
，則函數
在區間
為單調增函數
2、減函數：
若對于定義域
內的某個區間
上的任意兩個自變量
、
，當
時，都有
，那么就說函數
在區間
上是
減函數
.
對任意
、
，且
，若
或
，則函數
在區間
為單調減函數.
口訣：同增異減
)
知識點二、單調性的性質
(1)增函數增函數增函數，減函數減函數減函數
(2)增函數-減函數增函數，減函數-增函數減函數
(3)函數與函數的單調性相反；
(4)倒數關系
時，函數與的單調性相反（）；
時，函數與的單調性相同（）
(
知識點三、單調性的三種應用
有定義我們可以得到單調性的三個重要要素：
①
x
1
＞
x
2
（
x
1
＜
x
2
）
；
②
f
(
x
1
)
＞
f
(
x
2
)
（
f
(
x
1
)
＜
f
(
x
2
)
）
；
③
f
(
x
)
是增函數（減函數）
.
那么，我們只要知道其中的兩個，都可以去推導第三個，這樣我們就得到了如下三種題型：
)題型一、證明函數單調性（①②③）
例1、根據定義，請研究函數f(x)=kx+b的單調性.
題型二、比較函數值的大小（①③②）
例2、若函數在上是增函數，比較與.
【變式1】、已知函數在(0，+∞)上是減函數，比較與的大小.
【變式2】、已知函數f (x)= x2－2x＋2，那么f (1)，f (－1)，f ()之間的大小關系為 .
題型三、解不等式（②③①）
例3、（1）已知f(2x－3)>f(5x－6)，若函數f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，則實數x的取值范圍為________．
（2）若函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數，則實數x的取值范圍為______．
【變式4】、已知是定義在上的增函數，且，求的取值范圍
【跟蹤訓練】已知函數，若，則實數的取值范圍是________．
知識點四、單調性求參數取值范圍
例6、若函數f(x)＝是定義在R上的減函數，則a的取值范圍為(　　)
A. B. C. D.∪
【跟蹤訓練】
1、函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為________．
2、已知函數是上的增函數，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
知識點五、定義法證明抽象函數單調性
例5、已知函數f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－.
（1）求證：f(x)在R上是減函數；
（2）求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
【跟蹤訓練】
已知函數的定義域為R，對任意實數、均有，且，又當時，有.
求的值；
（2）求證：是單調遞增函數.
1．若函數f(x)在R上是減函數，則有(　　)
A．f(3)f(5) D．f(3)≥f(5)
2．已知f(x)是定義在R上的增函數，且f(x2－2)3．如果函數f(x)在[a，b]上單調遞增，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結論中不正確的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x10
4．函數在和都是增函數，若，且那么（ ）
A． B． C． D．無法確定
6．已知函數f（x）、g（x）定義在同一區間D上，f（x）是增函數，g（x）是減函數，且g（x）≠0,則在D上 ( )
A、f(x)+g(x)一定是減函數 B、f(x)-g(x)一定是增函數
C、f(x)·g(x)一定是增函數 D、一定是減函數
6．已知在實數集上是減函數，若，則下列正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．已知函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，且f(2)＝－1，則滿足f(2x－4)>－1的實數x的取值范圍是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[2,3) D．[0,3)
8．已知f(x)為R上的減函數，則滿足的實數x的取值范圍是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
9．已知函數y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數，且f(1－a)10．已知函數f(x)＝若f(4－a)>f(a)，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
11．已知定義域為R的函數f(x)在(4，＋∞)上單調遞減，且函數y＝f(x)的對稱軸為x＝4，則(　　)
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
12．已知函數f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函數，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．[－3,0) D．[－3，－2]
13．若函數f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上單調遞減，則實數a的取值范圍是________．
14．在實數集R上定義一種運算“*”，使其具有下列性質：
(1)對任意a，b∈R，a*b＝b*a.
(2)對任意a∈R，a*0＝a.
(3)對任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c，則函數f(x)＝x*的單調遞減區間是(　　)
A. B. C. D.
15．設函數f(x)的定義域為{x|x>0}，且滿足條件f(4)＝1，對于任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當x1≠x2時，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范圍．

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