資源簡介

第20講、3.2.2.1奇偶性的概念
知識點一、函數奇偶性的概念
問題1、觀察下列函數圖象，你能發現這兩個函數圖象有什么共同特征嗎？
問題2、結合上圖，請完成表格，思考如何利用符號語言精確地描述“函數圖象關于y軸對稱”呢？
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
f(x)＝x2 … …
g(x)＝2－|x| … …
問題3、觀察函數f(x)＝x和g(x)＝的圖象，你能發現這兩個函數圖象有什么共同特征嗎？你能用符號語言精確地描述這一特征嗎？并自主探究結果．
(
知識梳理
偶函數的定義
：一般地，設函數
f
(
x
)
的定義域為
D
，
如果

x
∈
D
，
都有
－
x
∈
D
，
且
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，
那么函數
f
(
x
)
就叫做
偶函數
．
奇函數的定義
：一般地，設函數
f
(
x
)
的定義域為
D
，
如果

x
∈
D
，
都有
－
x
∈
D
，
且
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
那么函數
f
(
x
)
就叫做
奇函數
．
)
(
注意點
：
(1)
函數的奇偶性是函數的整體性質．
(2)
先判斷定義域是否關于原點對稱，對于

x
∈
D
，
都有
－
x
∈
D
，
即便
定義域關于原點對稱
，還需判斷
f
(
－
x
)
與
f
(
x
)
的關系
，
若
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，
則函數是偶函數，若
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
則函數是奇函數，若
f
(
－
x
)
≠
±
f
(
x
)
，
則函數為非奇非偶函數．
(3)
偶函數圖象關于
y
軸對稱
，
奇函數圖象關于原點對稱
．
(4)
若奇函數在原點處有意義，則必有
f
(0)
＝
0
.
(5)
若
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
且
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
，
則
f
(
x
)
既是奇函數又是偶函數，既奇又偶的函數有且只有一類，即
f
(
x
)
＝
0
，
x
∈
D
，
D
是關于原點對稱的實數集，但有無數個既奇又偶的函數
．
)
二、函數奇偶性的判斷
例1、判斷下列函數的奇偶性．
(1)f(x)＝－|x|； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝x－.
(
反思感悟　
判斷函數奇偶性的方法
(1)
定義法：
(2)
圖象法：
)【跟蹤訓練】
1、判斷下列函數的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝x4；
(4)f(x)＝x3；
(5)f(x)＝x+；
(6)f(x)＝0．
2、判斷下列函數的奇偶性．
；
；
； （4）．
3、函數的奇偶性是 （ ）
A．奇函數 B. 偶函數 C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
三、奇、偶函數的圖象及應用
例2、已知函數y＝f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現已畫出函數y＝f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示．
(1)請補全函數y＝f(x)的圖象；
(2)根據圖象寫出函數y＝f(x)的單調遞增區間；
(3)根據圖象寫出使f(x)<0的x的取值集合．
延伸探究　若將本例中的“偶函數”改為“奇函數”，其他條件不變，如何解答本題？
【跟蹤訓練】定義在[－3，－1]∪[1,3]上的函數f(x)是奇函數，其部分圖象如圖所示．
(1)請在坐標系中補全函數f(x)的圖象；
(2)比較f(1)與f(3)的大?。?br/>四、利用函數的奇偶性求值
例3、(1)若函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－1,2a]，則a＝________，b＝________.
(2)已知函數f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，則f(3)＝________.
(3)已知函數是偶函數，則實數的值 　　
(
反思感悟　
利用奇偶性求值的常見類型
(1)
求參數值：
若解析式含參數，則根據
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
或
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
列式，比較系數利用待定系數法求解；若定義域含參數，則根據定義域關于原點對稱，利用區間的端點和為
0
求參數．
(2)
求函數值：
利用
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
或
f
(
－
x
)
＝
f
(
x
)
求解，有時需要構造奇函數或偶函數以便于求值．
)【跟蹤訓練】
1、已知函數f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12為偶函數，則m的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2、設函數f(x)＝為奇函數，則a＝________.
3、已知函數是定義在區間上的奇函數，則f(m)＝________．
4、函數為偶函數,則a等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5、若函數是偶函數，則是（ ）
A．奇函數 B. 偶函數 C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
1．函數y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數，則a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．無法確定
2．下列圖象表示的函數中具有奇偶性的是(　　)
3．(多選)下列函數是奇函數的是(　　)
A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x|
4．已知函數y＝f(x)為偶函數，其圖象與x軸有四個交點，則方程f(x)＝0的所有實根之和是________．
1．下列函數中為偶函數的是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
2．若f(x)＝3x3＋5x＋a－1為R上的奇函數，則a的值為(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
3．若函數f(x)滿足＝1，則f(x)的圖象的對稱軸是(　　)
A．x軸 B．y軸 C．直線y＝x D．不能確定
4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是(　　)
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數
5．已知f(x)是R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝2x－，若f(2)＋f(0)＝1，則f(－3)等于(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．1
6．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．偶函數的圖象一定與y軸相交
B．奇函數的圖象一定通過原點
C．若奇函數f(x)在x＝0處有定義，則恒有f(0)＝0
D．若函數f(x)為偶函數，則有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
7.設偶函數f(x)的定義域為[－5，5]，若當x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集是________________．
8.已知函數f(x)是定義在[－3,0)∪(0,3]上的奇函數，當x>0時，f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的值域是________．
9．判斷下列函數的奇偶性．
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝
10．(1)如圖①，給出奇函數y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側的圖象并求出f(3)的值；
(2)如圖②，給出偶函數y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側的圖象并比較f(1)與f(3)的大?。?br/>11．若函數f(x)(x∈R)是奇函數，則下列坐標表示的點一定在函數y＝f(x)的圖象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
12．函數f(x)＝是(　　)
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數
13．(多選)對于定義在R上的函數f(x)，下列判斷正確的是(　　)
A．若函數f(x)滿足f(－2)＝f(2)，則f(x)是偶函數
B．若函數f(x)滿足f(－2)≠f(2)，則f(x)不是偶函數
C．若函數f(x)滿足f(2)>f(1)，則f(x)是R上的增函數
D．若函數f(x)滿足f(2)>f(1)，則f(x)不是R上的減函數
14．已知定義域為[a－4,2a－2]的奇函數f(x)＝2 023x3－5x＋b＋2，則f(a)＋f(b)的值為__________．
15．已知函數f(x)＝，若f(a)＝，則f(－a)＝________.
16．已知函數f(x)對一切實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求證：f(x)是奇函數；
(2)若f(－3)＝a，試用a表示f(12)．

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