資源簡介

4．2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
一、學習目標
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的關系.
2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行與垂直的關系．
二、課前引入
旗桿底部的平臺和地面平行，旗桿所在的直線和護旗戰士所在的直線平行．而且旗桿所在的直線和水平地面垂直，旗桿所在直線的方向向量和護旗戰士所在直線的方向向量及水平地面的法向量有什么關系？
問題1　設直線l，m的方向向量分別為l，m，平面α，平面β的法向量分別為n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量與法向量具有怎樣的關系？
提示　l∥m l∥m，
l∥α l⊥n1，
α∥β n1∥n2.
問題2　能否用向量法證明平行關系？應注意什么？
提示　可以．l∥m且l與m不重合 l∥m；l⊥n1，且l α l∥α；n1∥n2且α與β不重合 α∥β.
教學過程
1知識點新課講解
知識點①
設向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則
l∥m或l與m重合 l∥m； l∥α或l α l⊥n1； α∥β或α與β重合 n1∥n2.
(1)利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：
方法一：證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一組基表示．
方法二：證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．
方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
若證面面平行，則證兩平面的法向量平行．
知識點②
三垂線定理及其逆定理
(1)三垂線定理：若平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的投影垂直，則它也和這條斜線垂直．
(2)三垂線定理的逆定理：若平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在這個平面內的投影垂直．
2課堂例題講解一直線與平面的平行
例1　在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．證明：PA∥平面EDB.
證明　如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a.
連接AC，交BD于點G，連接EG，
依題意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，B(a，a,0)．
方法一　設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
又＝，＝，
則
即
即
令z＝1，則x＝1，y＝－1，
所以n＝(1，－1,1)，
又＝(a,0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因為四邊形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故點G的坐標為，所以＝.
又＝(a,0，－a)，
所以＝2，即PA∥EG.
又EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假設存在實數λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a,0，－a)＝λ＋μ，
則
解得
所以＝－＋，又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
教師點評 ‘
利用向量法證明平行問題的兩種途徑
(1)利用三角形法則和平面向量基本定理實現向量間的相互轉化，得到向量的共線關系．
(2)通過建立空間直角坐標系，借助直線的方向向量和平面的法向量進行平行關系的證明．
3.課堂例題講解二------------垂直關系
例2　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC.
證明　設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(－1，－1,1)，＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)．
設平面B1AC的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令x＝1，則y＝1，z＝－1，
∴n＝(1,1，－1)，
又＝－n，
∴EF∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
教師點評
利用向量法證明線、面垂直的策略
(1)用向量法判定線面垂直，只需直線的方向向量與平面的法向量平行或直線的方向向量與平面內兩相交直線的方向向量垂直．
(2)用向量法判定兩個平面垂直，只需求出這兩個平面的法向量，再看它們的數量積是否為0即可．
4課堂例題講解三-----------------平行與垂直的綜合應用
例3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F分別是AB，PB的中點．
(1)求證：EF⊥CD；
(2)在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論．
(1)證明　如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
設AD＝a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
E，P(0,0，a)，F.
＝，＝(0，a,0)，
∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解　設G(x,0，z)，則＝，
若使GF⊥平面PCB，則需·＝0且·＝0，
由·＝·(a,0,0)
＝a＝0，
得x＝，
由·＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，
得z＝0.
∴G點坐標為，即G為AD的中點時，GF⊥平面PCB.
教師點評
立體幾何中的探索性問題的常用方法
(1)猜想法：即先通過對空間圖形的理解猜想點、線面在某種特殊位置時可能會滿足條件，然后再嘗試證明．
(2)向量法：假設存在，利用參數標記位置，然后根據要滿足的條件求出參數值，從而判定是否存在．
5分組練習
1組．若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．無法確定
答案　B
解析　a·b＝－2＋2＋0＝0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
2組．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
答案　D
解析　由題意得，＝＝，
∴x＝6，y＝.
3組．(多選)若直線l的方向向量為a，l不在平面α內，平面α的法向量為n，能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案　AD
解析　若l∥α，則a·n＝0.A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0，故選AD.
6課堂小結
1.用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的關系.
2.用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行與垂直的關系．
7課后作業：
1．設l1的一個方向向量為a＝(1,3，－2)，l2的一個方向向量為b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，則m等于(　　)
A．1 B. C. D．3
2．設直線l的方向向量是a，平面α的法向量是n，則“a⊥n”是“l∥α”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關系是(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l α
4．(多選)下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的是(　　)
A．兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，則l1∥l2
B．直線l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，則l⊥α
C．兩個不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，則α⊥β
D．直線l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，則l∥α
作業答案
1 2 3 4
B B D AC

展開更多......

收起↑