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專題5.1 任意角的概念以及弧度制
（一）任意角的三角函數
要點 定義 說明
任意角的概念 角是由平面內一條射線繞其端點旋轉而成的圖形； 分類：①正角：射線按逆時針方向旋轉而成的角； ②負角：射線按順時針方向旋轉而成的角； ③零角：當射線沒有旋轉時，也看成一個角，叫零角； /
終邊相同的角 與角α終邊相同的角構成的集合是： β={β｜β=α+k·360o，k∈Z} ； 也可表示為α+2kπ，k∈Z
弧度制 弧長等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角 弧度用rad表示
弧度與角度的換算：π弧度= 180°；
弧長公式：l = |α|·r ； 角α為弧度制
例1．下列說法中正確的是（ ）
A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等
C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【分析】利用角的定義一一判定即可.
【詳解】銳角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正確；
選項B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差整數倍，故錯誤；
選項C．小于的角不一定在第一象限，也可以為負角，故錯誤；
選項D．根據任意角的定義，第二象限角可以為負角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一象限角，故錯誤.
故選：A
例2．是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】利用終邊相同的角計算即可.
【詳解】因為是第三象限角，所以是第三象限角．
故選：C
例3．在平面直角坐標系中，下列與角 終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用終邊相同的角的定義計算即可.
【詳解】由題意可知，所以與 終邊相同.
故選：B
例4．已知角終邊上有一點，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】根據角終邊上的點所在象限判斷即可.
【詳解】因為點在第四象限，
所以角為第四象限角.
故選：D.
例5．在半徑為的圓上，有一條弧的長是，則該弧所對的圓心角（正角）的弧度數為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】直接利用弧長公式計算得到答案.
【詳解】該弧所對的圓心角（正角）的弧度數為.
故選：A
例6．半徑為1，圓心角為的扇形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面積公式即可得解.
【詳解】因為扇形的半徑為1，圓心角為，
所以扇形的面積為.
故選：D.
例7．時間經過1小時50分鐘，則分針轉過的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據任意角的概念求得正確答案.
【詳解】，則，
因為時針都是順時針旋轉，
所以時間經過1小時50分鐘，分針轉過的角度是.
故選：A
例8.將下列各角度化成弧度，弧度化成角度.
；
；
；
.
【答案】
【分析】根據角度制與弧度制之間的互化即可逐一求解
【詳解】
例9.已知角.
(1)將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；
(2)在區間上找出與終邊相同的角．
【答案】(1)，第三象限的角．
(2)，，
【分析】（1）利用角度制和弧度制之間的互化可得；
（2）根據終邊相同的角的表達式，結合的取值范圍即可求出結果.
【詳解】（1），
又，所以
所以與的終邊相同，又，
因此是第三象限的角．
（2）與終邊相同的角可以寫成，又，
所以當時，；
當時，；
當時，；
所以在區間上與終邊相同的角為，，
例10.一個扇形所在圓的半徑為，該扇形的周長為.
(1)求該扇形圓心角的弧度數；
(2)求該扇形的面積.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）計算出扇形的弧長，可求得扇形的圓心角的弧度數；
（2）利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.
【詳解】（1）解：由題意可知，該扇形的弧長為，故該扇形圓心角的弧度數為.
（2）解：由題意可知，該扇形的面積為.
例11.已知弓形的弦長為，對應的圓心角為，求此弓形的面積.
【答案】
【解析】根據余弦定理，求出扇形半徑，進而求出扇形面積和面積，即可求解.
【詳解】設扇形的半徑為，在中，由余弦定理得，
，
，
，
弓形的面積為.
例12.直徑是的輪子每秒旋轉45弧度，輪周上一點經過3秒鐘所旋轉的弧長是多少？
【答案】
【分析】由弧長公式可求得每秒旋轉的弧長，即可求出.
【詳解】每秒旋轉的弧長為，所以經過3秒鐘所旋轉的弧長為.
故答案為：.
1．下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】AC項角度與弧度混用，排除AC；D項終邊在第三象限，排除D.
【詳解】因為，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，
故與的終邊相同的角的集合
即選項B正確；
選項AC書寫不規范，選項D表示角終邊在第三象限.
故選：B.
2．在平面直角坐標系中，以下命題中所表述的角都是頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合的角.
①小于的角一定是銳角；
②第二象限的角一定是鈍角；
③終邊重合的角一定相等；
④相等的角終邊一定重合.
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】對于①②③舉例判斷，對于④利用角的定義分析判斷
【詳解】對于①，的角是小于的角，但不是銳角，所以①錯誤，
對于②，的角是第二象限的角，但不是鈍角，所以②錯誤，
對于③，的角和的角終邊相同，但不相等，所以③錯誤，
對于④，因為角都是頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合的角，所以若角相等，則終邊一定重合，所以④正確，
所以真命題的個數是1，
故選：A
3．已知為第三象限角，則為第（ ）象限角.
A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三
【答案】A
【分析】根據為第三象限角得到的取值范圍，進而可得的范圍，即可求解.
【詳解】因為為第三象限角，
所以
所以
當為偶數時，記,
所以
所以為第二象限角，
當為奇數時，記,
所以
所以為第四象限角，
所以為第二或第四象限角，
故選:A.
4．手表走過2小時，時針轉過的角度為（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
【答案】B
【分析】根據任意角的知識確定正確答案.
【詳解】時針每小時轉過的角度為30°，由于時針順時針旋轉，
因此時針轉過的角度為負數.
所以手表走過2小時，時針轉過的角度為.
故選：B
5.（1）600°角的弧度數是 .
（2）角的弧度數是 .
（3）角的角度數是 .
（4）角的角度數是 .
【答案】
【分析】根據弧度與角度換算求解即可；
【詳解】根據弧度與角度的換算式以及，可以得到：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案為：；；；
6．已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數是 ．
【答案】4
【分析】根據題意結合扇形的面積公式先求出半徑，再利用弧長公式可求得結果.
【詳解】因為扇形的弧長為4，面積為2，
所以扇形的面積為，解得，
則扇形的圓心角的弧度數為．
故答案為：4
7．已知
(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角
(2)求與終邊相同的角，滿足．
【答案】(1)，它是第三象限的角：
(2)，
【分析】（1）利用，將角度制化為弧度制，并得到所在象限；
（2）由求出當，滿足要求.
【詳解】（1）因為，故，
∵，，
∴將寫成（，）的形式為，
它是第三象限的角．
（2）∵與的終邊相同，
∴令，，
當，滿足題意，故，．
8．已知弧長為cm，扇形的面積是，求：
(1)扇形的半徑r.
(2)扇形圓心角的弧度數.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據扇形面積與弧長的關系可求出半徑；
（2）利用弧長公式求解
【詳解】（1）因為弧長為cm，扇形的面積是，
所以，解得，
（2）由題意得扇形圓心角
9．已知扇形的圓心角為,.
（1）求扇形的弧長;
（2）求圖中陰影部分的面積.
【答案】（1）；（2）
【分析】根據圖象,作于,則.再由扇形的圓心角為,
得出,則,有弧長公式可得.
（2）由（1）可得,扇形的半徑為,弧長為,利用扇形面積公式求出扇形面積,再求出的面積,相減即得陰影部分的面積.
【詳解】解:（1）如圖,作于,則.
因為扇形的圓心角為,
所以,則,
故扇形的弧長.
（2）由（1）可得,扇形的半徑為,
弧長為,則扇形的面積為
的面積為,
故圖中陰影部分的面積為.
10．如圖所示，有一段圓弧形公路，彎道半徑為，圓弧的圓心角為60°.
（1）求的長；（精確到）
（2）求圖中扇形的面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根據扇形的弧長公式，可得到答案；.
（2）根據扇形的面積公式，可得到答案.
【詳解】（1）根據扇形的弧長公式，可得.
（2）根據扇形的面積公式，可得.專題5.1 任意角的概念以及弧度制
（一）任意角的三角函數
要點 定義 說明
任意角的概念 角是由平面內一條射線繞其端點旋轉而成的圖形； 分類：①正角：射線按逆時針方向旋轉而成的角； ②負角：射線按順時針方向旋轉而成的角； ③零角：當射線沒有旋轉時，也看成一個角，叫零角； /
終邊相同的角 與角α終邊相同的角構成的集合是： β={β｜β=α+k·360o，k∈Z} ； 也可表示為α+2kπ，k∈Z
弧度制 弧長等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角 弧度用rad表示
弧度與角度的換算：π弧度= 180°；
弧長公式：l = |α|·r ； 角α為弧度制
例1．下列說法中正確的是（ ）
A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等
C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
例2．是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例3．在平面直角坐標系中，下列與角 終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
例4．已知角終邊上有一點，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例5．在半徑為的圓上，有一條弧的長是，則該弧所對的圓心角（正角）的弧度數為（ ）
A． B． C． D．2
例6．半徑為1，圓心角為的扇形的面積是（ ）
A． B． C． D．
例7．時間經過1小時50分鐘，則分針轉過的角度是（ ）
A． B． C． D．
例8.將下列各角度化成弧度，弧度化成角度.
；
；
；
.
例9.已知角.
(1)將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；
(2)在區間上找出與終邊相同的角．
例10.一個扇形所在圓的半徑為，該扇形的周長為.
(1)求該扇形圓心角的弧度數；
(2)求該扇形的面積.
例11.已知弓形的弦長為，對應的圓心角為，求此弓形的面積.
例12.直徑是的輪子每秒旋轉45弧度，輪周上一點經過3秒鐘所旋轉的弧長是多少？
1．下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐標系中，以下命題中所表述的角都是頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合的角.
①小于的角一定是銳角；
②第二象限的角一定是鈍角；
③終邊重合的角一定相等；
④相等的角終邊一定重合.
其中真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知為第三象限角，則為第（ ）象限角.
A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三
4．手表走過2小時，時針轉過的角度為（ ）
A．60° B．-60° C．30° D．-30°
5.（1）600°角的弧度數是 .
（2）角的弧度數是 .
（3）角的角度數是 .
（4）角的角度數是 .
6．已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數是 ．
7．已知
(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角
(2)求與終邊相同的角，滿足．
8．已知弧長為cm，扇形的面積是，求：
(1)扇形的半徑r.
(2)扇形圓心角的弧度數.
9．已知扇形的圓心角為,.
（1）求扇形的弧長;
（2）求圖中陰影部分的面積.
10．如圖所示，有一段圓弧形公路，彎道半徑為，圓弧的圓心角為60°.
（1）求的長；（精確到）
（2）求圖中扇形的面積.

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