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專題5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
①正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù) y=sinx
圖像
五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)
性質(zhì) 定義域 R
值域 [-1,1] 當(dāng)x=+2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax=1；當(dāng)x=-+2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 在[- +2kπ, +2kπ]上為增函數(shù)；在[ +2kπ, +2kπ]上為減函數(shù).
正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖像與性質(zhì)
圖像 “五點(diǎn)法”畫正弦型函數(shù)圖像的步驟：①列表；②建系、描點(diǎn)；③平滑曲線成圖； ④標(biāo)識(shí)函數(shù)解析式.
性質(zhì) 定義域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
②余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù) y=sinx
圖像
五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)
性質(zhì) 定義域 R
值域 [-1,1] 當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax=1；當(dāng)x=-π+2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 偶函數(shù)
單調(diào)性 在[-π+2kπ,2kπ]上為增函數(shù)；在[2kπ,π+2kπ]上為減函數(shù).
例1．直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．無數(shù)個(gè)
【答案】A
【分析】利用余弦函數(shù)的有界性可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋手本€與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，
故選：A.
例2．函數(shù)，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由的圖像，即可得出時(shí)的最小值．
【詳解】由的圖像可知，時(shí)，，
所以，
故選：D．
例3．函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】畫出以及的圖象，由此確定正確答案.
【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和直線的圖象(如圖所示)，可得兩圖象的交點(diǎn)共有4個(gè).
故選：D
例4．用“五點(diǎn)法”作y＝2sin2x的圖象，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)“五點(diǎn)法”作圖，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案.
【詳解】由“五點(diǎn)法”作圖知：令2x＝0，，π，，2π，
解得x＝0，，，，π，即為五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
故選：B.
例5．函數(shù)最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件直接利用正余弦型函數(shù)周期公式計(jì)算即得.
【詳解】因函數(shù)，則，，
所以函數(shù)最小正周期為
故選：D
例6．要想得到正弦曲線，只需將余弦曲線（ ）
A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位
【答案】A
【分析】由誘導(dǎo)公式及函數(shù)圖象平移規(guī)則即得.
【詳解】因?yàn)?,
所以將余弦曲線向右移個(gè)單位可得．
故選：A．
例7．函數(shù)在區(qū)間的簡(jiǎn)圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，先取特殊值，再通過求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷
【詳解】解：因?yàn)?，所以排除AC，
由得，
所以可知函數(shù)在上遞減，上遞增，所以排除B，
故選：D
例8．函數(shù)，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性直接求解即可.
【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)圖象可知在區(qū)間上，函數(shù)先增后減，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)在指定區(qū)間上的范圍問題，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
例9．在上，滿足的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)的函數(shù)圖象結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，或，
數(shù)形結(jié)合可知：
當(dāng)，得．
故選：.
例10．函數(shù)的最大值為（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解.
【詳解】當(dāng)?shù)扔跁r(shí)，有最大值.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.
例11．已知，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)分段函數(shù)直接求值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>故答案為: .
例12．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)的最大值和最小值以及取得最大值和最小值時(shí)的集合.
【答案】(1)
(2)最大值為，取得最大值時(shí)的集合是，最小值為，取得最小值時(shí)的集合是.
【分析】（1）利用周期公式直接求解即可；
（2）利用余弦型函數(shù)的最值的性質(zhì)即可直接求解.
【詳解】（1）
，
的最小正周期.
（2）當(dāng)，即時(shí)，
有最大值，且；
當(dāng)，即時(shí)，
有最小值，且.
綜上，最大值為，取得最大值時(shí)的集合是，
最小值為，取得最小值時(shí)的集合是.
例13．下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)
(2)奇函數(shù)
(3)偶函數(shù)
(4)偶函數(shù)
【分析】先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】（1）定義域?yàn)镽，
又，且，
故既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；
（2）的定義域?yàn)镽，
又，故為奇函數(shù)；
（3）定義域?yàn)镽，
且，故為偶函數(shù)；
（4）定義域?yàn)镽，
且，故為偶函數(shù).
例14．求下列函數(shù)的周期：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的周期公式即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)的周期為.
（2）函數(shù)的周期為.
（3）函數(shù)的周期為.
（4）函數(shù)的周期為.
例15．已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由周期求出，即可求出函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）由題可知，，又，所以，
所以，
所以.
（2）令，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
1．在上，滿足的的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像求得不等式的解集.
【詳解】如圖所示，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出在上的圖像和的圖像.由圖可知：滿足的的取值范圍是.
故選C.
2．函數(shù)，的大致圖像是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用五點(diǎn)作圖法，判斷出正確的圖像.
【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可知B正確.
故選B.
3．函數(shù)的最大值與最小值分別是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可得.
【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，，
所以，所以，
所以，函數(shù)的最大值是，最小值是.
故選：C
4．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，
對(duì)于B，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且，故為偶函數(shù)，
對(duì)于C，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)，
對(duì)于D，的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，但是，故為奇函數(shù)，
故選：B
5．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將各項(xiàng)對(duì)應(yīng)自變量代入解析式求函數(shù)值，判斷是否成立即可.
【詳解】時(shí)，不是對(duì)稱軸；
時(shí)，不是對(duì)稱軸；
時(shí)，是對(duì)稱軸；
時(shí)，不是對(duì)稱軸；
故選：C
6．函數(shù)，，則y的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.
【詳解】由的單調(diào)性知，在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上函數(shù)單調(diào)遞減，
又，，，
故.
故選：B
7．函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通過函數(shù)得出，即可求出函數(shù)的最小正周期.
【詳解】由題意，
在中，，
∴，
故選：D.
8．已知函數(shù)的最小正周期為
(1)求的值；
(2)求該函數(shù)的遞調(diào)增區(qū)間
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用周期公式列方程求解即可；
（2）由可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，
所以，得，
（2）由（1）得，
由，
得
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
9．已知函數(shù)的最小值為，最大值為2，求、的值.
【答案】.
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由題意得，解得.
10．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)．
【答案】(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)
【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的奇偶性確定正確答案.
（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性確定正確答案.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?br/>所以為偶函數(shù).
（2）的定義域?yàn)?，?br/>所以是奇函數(shù).
11．用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解
【分析】（1）（2）（3）在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的五點(diǎn)，在用平滑的曲線連起來.
【詳解】（1）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表
描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

（2）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表
描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

（3）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表
描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖
專題5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
①正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù) y=sinx
圖像
五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)
性質(zhì) 定義域 R
值域 [-1,1] 當(dāng)x=+2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax=1；當(dāng)x=-+2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)性 在[- +2kπ, +2kπ]上為增函數(shù)；在[ +2kπ, +2kπ]上為減函數(shù).
正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖像與性質(zhì)
圖像 “五點(diǎn)法”畫正弦型函數(shù)圖像的步驟：①列表；②建系、描點(diǎn)；③平滑曲線成圖； ④標(biāo)識(shí)函數(shù)解析式.
性質(zhì) 定義域 R
值域 [-A,A]
周期性 T=
②余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù) y=sinx
圖像
五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1)
性質(zhì) 定義域 R
值域 [-1,1] 當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax=1；當(dāng)x=-π+2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin=-1.
周期性 2π
奇偶性 偶函數(shù)
單調(diào)性 在[-π+2kπ,2kπ]上為增函數(shù)；在[2kπ,π+2kπ]上為減函數(shù).
例1．直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．無數(shù)個(gè)
例2．函數(shù)，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例3．函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例4．用“五點(diǎn)法”作y＝2sin2x的圖象，首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）
A． B．
C． D．
例5．函數(shù)最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
例6．要想得到正弦曲線，只需將余弦曲線（ ）
A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位
例7．函數(shù)在區(qū)間的簡(jiǎn)圖是（ ）
A． B．
C． D．
例8．函數(shù)，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
例9．在上，滿足的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例10．函數(shù)的最大值為（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
例11．已知，則 ．
例12．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)的最大值和最小值以及取得最大值和最小值時(shí)的集合.
例13．下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例14．求下列函數(shù)的周期：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例15．已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
1．在上，滿足的的取值范圍是
A． B． C． D．
2．函數(shù)，的大致圖像是
A． B．
C． D．
3．函數(shù)的最大值與最小值分別是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
4．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
5．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（ ）
A． B． C． D．
6．函數(shù)，，則y的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
7．函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)的最小正周期為
(1)求的值；
(2)求該函數(shù)的遞調(diào)增區(qū)間
9．已知函數(shù)的最小值為，最大值為2，求、的值.
10．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)．
11．用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：
(1)，；
(2)，；
(3)，．

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