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不等式與不等式組
3.1 不等式與不等式組
初中要求 理解一元一次不等式（組）的概念，能解一元一次不等式（組），不等式含參、不等式相關(guān)的應(yīng)用題.
高中要求 在學(xué)習(xí)解不等式時解決涉及到的不等式（組）問題.
一. 一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1（注意不等號方向是否改變）．
二、一元一次不等式組的概念
1.由幾個含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式，叫做一元一次不等式組
2.組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當(dāng)它們沒有公共部分時，這個不等式組無解.
三、 由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解的四種基本情況
不等式組 不等式組的解在數(shù)軸上表示 不等式組的解 口訣
同大取大
同小取小
大小小大中間找
無解 大大小小無解了
注意：
對界點(diǎn)取得到時的情況(“≥”“≤”)仍成立.
【題型1】一元一次不等式的解集及數(shù)軸表示
例1、解不等式，下列在數(shù)軸上表示的解集正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按去分母、去括號、移項、合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為的步驟求出解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來，注意包含端點(diǎn)值用實心圓點(diǎn)，不包含端點(diǎn)值用空心圓點(diǎn)，即可求解．
【詳解】解：
，
解集在數(shù)軸上表示為
故選：D．
例2、已知關(guān)于的不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則的值為 ．
【答案】2
【分析】直接利用已知不等式的解集得出關(guān)于的等式進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：，
解得，
由圖可知：解集為：，
∴，
．
故答案為：．
【變式探究】1. 不等式的解集為 ．
【答案】
【提示】根據(jù)解一元一次不等式的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得答案．
【詳解】解：
去分母，得x-3≥2，
移項，得x≥2+3，
合并同類項，系數(shù)化1，得，x≥5，
故答案為：x≥5．
2. 不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先將不等式移項、合并同類項、系數(shù)化為1求得其解集，再根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點(diǎn)用實心，不包括端點(diǎn)用空心”的原則即可判斷答案．
【解析】解：解不等式：，移項得： 合并同類項得：
系數(shù)化為1得：，數(shù)軸上表示如圖所示，故選：A．
【題型2】一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示
例1、不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
故選：A．
例2、解不等式組：，并把解表示在數(shù)軸上．

【答案】，見解析
【分析】本題主要考查一元一次不等式組的解法，熟練掌握其解法是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)一元一次不等式組的解法可進(jìn)行求解，然后再把解集表示在數(shù)軸上即可．
【詳解】解：
由①式解得，，
由②式解得，，

不等式組的解集為：．
例3、計算下列不等式：
(1) ．
(2)
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）去分母，得：，
去括號，得：，
移項及合并同類項，得：，
系數(shù)化為1，得：；
（2）去分母，得：，
去括號，得：，
移項及合并同類項，得：，
系數(shù)化為1，得：；
【變式探究】1. 一元一次不等式組的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】解出不等式組的解集，再把不等式的解集在數(shù)軸表示出來即可求解．
【詳解】解：不等式，
移項得：，
∴不等式組的解集為：，
故選：D．
2. 解不等式組：
【答案】
【提示】分別解兩個一元一次不等式，再求交集即可．
【詳解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
故所給不等式組的解集為：．
3. 解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．
【答案】，不等式組的正整數(shù)解為：1，2，3
【提示】分別求出每個不等式的解集，進(jìn)而求出不等式組的解集，再求出不等式組的正整數(shù)解即可．
【詳解】解：解不等式得．
解不等式得，
∴不等式組的解集為：．
∴不等式組的正整數(shù)解為：1，2，3．
【題型3】一元一次不等式組的應(yīng)用
例1、某搬運(yùn)公司計劃購買A，B兩種型號的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺A型機(jī)器比每臺B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．
(1)求每臺A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
(2)每臺A型機(jī)器售價1.5萬元，每臺B型機(jī)器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機(jī)器共30臺，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．
【答案】(1)每臺A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物90噸和100噸；(2)當(dāng)購買A型機(jī)器人12臺，B型機(jī)器人18臺時，購買總金額最低是54萬元．
【分析】（1）設(shè)每臺B型機(jī)器每天搬運(yùn)x噸，則每臺A型機(jī)器每天搬運(yùn)噸，根據(jù)題意列出分式方程，解方程、檢驗后即可解答；
（2設(shè)公司計劃采購A型機(jī)器m臺，則采購B型機(jī)器臺，再題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再列出公司計劃采購A型機(jī)器m臺與采購支出金額w的函數(shù)關(guān)系式，最后利用一次函數(shù)的增減性求最值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)每臺B型機(jī)器每天搬運(yùn)x噸，則每臺A型機(jī)器每天搬運(yùn)噸,
由題意可得：，解得：
經(jīng)檢驗，是分式方程的解
每臺A型機(jī)器每天搬運(yùn)噸
答：每臺A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物90噸和100噸
（2）解：設(shè)公司計劃采購A型機(jī)器m臺，則采購B型機(jī)器臺
由題意可得：,解得：，
公司采購金額：
∵
∴w隨m的增大而減小
∴當(dāng)時，公司采購金額w有最小值，即，
∴當(dāng)購買A型機(jī)器人12臺，B型機(jī)器人18臺時，購買總金額最低是54萬元．
【變式探究】2022年8月金華輕軌的開通極大方便了居民的出行，全線實行按里程分段計程票制，起步價2元，不足1元按1元計算，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：
里程范圍 8公里以內(nèi) （含8公里） 8至28公里 （含28公里） 28至64公里以內(nèi) （含64公里） 64公里以上
收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元
(1)若上車站點(diǎn)與下車站點(diǎn)的里程數(shù)為6公里，則乘坐輕軌的車費(fèi)為______元．
(2)已知金華站距金華南站的里程數(shù)是14.5公里，金華站距義亭站的里程是45公里，請計算乘坐輕軌從金華站到金華南站、金華站到義亭站的費(fèi)用分別是多少元？
(3)已知某人乘輕軌從一個站點(diǎn)到另一個站點(diǎn)，中途沒下車，費(fèi)用為12元，這兩個站點(diǎn)之間的里程數(shù)為s公里，請直接寫出s的范圍．
【答案】(1)2；
(2)金華站到金華南費(fèi)用為4元，金華站到義亭站費(fèi)用為10元；
(3)．
【詳解】（1）解：由表格可得乘坐輕軌的車費(fèi)為2元，
故答案為：2；
（2）解： 元，
根據(jù)不足1元按1元計算，可得金華站到金華南站的費(fèi)用為4元；
，
根據(jù)不足1元按1元計算，可得金華站到金華南站的費(fèi)用為10元
（3）解：由費(fèi)用可得公里數(shù)為第三檔，
根據(jù)不足1元按1元計算，算出的價格在大于11元，小于等于12元，
故可得不等式，
解得．
1．一元一次不等式組的解集為（　　）
A． B． C． D．無解
【答案】C
【分析】首先分別計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組解集的規(guī)律：大小小大中間找確定不等
【詳解】式組的解集即可．
解：解不等式，得，
故一元一次不等式組的解集為．
故選：C
2．關(guān)于的不等式組，恰好只有兩個整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別求出兩個不等式的解集，然后根據(jù)有個整數(shù)解，求出的取值范圍．
【詳解】解：解得：，
解得：，
故不等式組的解集為：，
關(guān)于的不等式組恰好只有兩個整數(shù)解，
兩個整數(shù)為：，，
，
解得：．
故選：A．
3. 下列變形中正確的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【提示】求出一元一次不等式的解集，逐項提示判斷即可求解．
【詳解】解：A. 由，得，故該選項錯誤；
B. 由 ，得，故該選項錯誤；
C. 由 ，得，故該選項錯誤；
D. 由，得，故該選項正確．
故選：D．
4．不等式3x＋1＜2x的解在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】先解不等式，得到不等式的解集，再在數(shù)軸上表示即可．
【詳解】解：3x＋1＜2x
解得：
在數(shù)軸上表示其解集如下：
故選B
5. 解不等式，并在數(shù)軸上表示解集．
【答案】，在數(shù)軸上表示解集見解析
【提示】通過去分母，去括號，移項，系數(shù)化為1求得，在數(shù)軸上表示解集即可．
【詳解】解：
去分母，得，
去括號，得，
移項，合并同類項得，
系數(shù)化為1，得，
在數(shù)軸上表示解集如圖：
6. 不等式組的解集為（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C． D．無解
【思路點(diǎn)撥】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解析】解：由4x+1＞2得：x，
由1﹣2x＜7得：x＞﹣3，
則不等式組的解集為x，
故選：C．
7. 求不等式組：的最大整數(shù)解．
【答案】0．
【解答】解：解第一個不等式得：x＜；
解第二個不等式得：x≥﹣1
∴不等式組的正整數(shù)解是：﹣1≤x＜．
則最大整數(shù)解是0．
8. 一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式組的解集，然后根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點(diǎn)用實心，不包括端點(diǎn)用空心”的原則將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，即可選擇．
【詳解】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
所以不等式組的解集為：．
在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：
故選：D．
9. 八年級某小組同學(xué)去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到2棵．設(shè)同學(xué)人數(shù)為x人，植樹的棵數(shù)為棵，下列能準(zhǔn)確的求出同學(xué)人數(shù)與種植棵數(shù)的不等關(guān)系是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】不到2棵意思是植樹棵數(shù)在0棵和2棵之間，包括0棵，不包括2棵，關(guān)系式為：植樹的總棵數(shù)，植樹的總棵數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【詳解】解：位同學(xué)植樹棵數(shù)為，
∵有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到2棵．植樹的總棵數(shù)為棵，
∴可列不等式組為．
故選：D．
10．解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．
【答案】，整數(shù)解為1，2
【提示】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進(jìn)而確定出整數(shù)解即可．
【詳解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集
原不等式組的解集是，
∴整數(shù)解為1，2．
11. 解不等式組的解集為 　﹣3＜x＜　．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元一次不等式組的解法即可求出答案．
【解析】解：，
由①得：x＜，
由②得：x＞﹣3，
∴一元一次不等式的解集為：﹣3＜x＜，
故答案為：﹣3＜x＜．
12. 解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來：
【解析】解：解不等式3（x﹣2）≤x﹣4，得：x≤1，
解不等式﹣＜0，得：x＞﹣3，
∴不等式組的解集為﹣3＜x≤1，
；
13. 關(guān)于x的不等式組有且只有三個整數(shù)解，求a的最大值是 　　．
【答案】5
【解答】解：，
解①得x＞1，
解②得，x＜a，
依題意得不等式組的解集為1＜x＜a，
又∵此不等式組有且只有三個整數(shù)解，整數(shù)解只能是x＝2，3，4，
∴4＜a≤5，
∴a的最大值為5，
故答案為：5．
14. 若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)＞2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≤2
【思路點(diǎn)撥】解含參的不等式組，然后結(jié)合題意，根據(jù)一元一次不等式組的解集的定義求得a的取值范圍即可．
【解析】解：
由第一個不等式可得：x＞a，
由第二個不等式可得：x≤2，
∵原不等式組無解，
∴a≥2，
故選：C．
15. 小明同學(xué)在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算了一個內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是800°，則少算了這個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
【答案】100°
【提示】n邊形的內(nèi)角和是（n-2） 180°，少計算了一個內(nèi)角，結(jié)果得800度．則內(nèi)角和是（n-2） 180°與800°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2） 180°≥800°，多邊形的邊數(shù)n一定是最小的整數(shù)值，從而求出多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而求出少計算的內(nèi)角．
【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n．
依題意有（n-2） 180°≥800°，
解得：n≥，
則多邊形的邊數(shù)n=7；
多邊形的內(nèi)角和是（7-2） 180=900度；
則未計算的內(nèi)角的大小為900°-800°=100°．
故答案為：100°．不等式與不等式組
3.1 不等式與不等式組
初中要求 理解一元一次不等式（組）的概念，能解一元一次不等式（組），不等式含參、不等式相關(guān)的應(yīng)用題.
高中要求 在學(xué)習(xí)解不等式時解決涉及到的不等式（組）問題.
一. 一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1（注意不等號方向是否改變）．
二、一元一次不等式組的概念
1.由幾個含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式，叫做一元一次不等式組
2.組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解.當(dāng)它們沒有公共部分時，這個不等式組無解.
三、 由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解的四種基本情況
不等式組 不等式組的解在數(shù)軸上表示 不等式組的解 口訣
同大取大
同小取小
大小小大中間找
無解 大大小小無解了
注意：
對界點(diǎn)取得到時的情況(“≥”“≤”)仍成立.
【題型1】一元一次不等式的解集及數(shù)軸表示
例1、解不等式，下列在數(shù)軸上表示的解集正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
例2、已知關(guān)于的不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則的值為 ．
【變式探究】1. 不等式的解集為 ．
2. 不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2】一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示
例1、不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
例2、解不等式組：，并把解表示在數(shù)軸上．

例3、計算下列不等式：
(1) ．
(2)
【變式探究】1. 一元一次不等式組的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2. 解不等式組：
3. 解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．
【題型3】一元一次不等式組的應(yīng)用
例1、某搬運(yùn)公司計劃購買A，B兩種型號的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺A型機(jī)器比每臺B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．
(1)求每臺A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
(2)每臺A型機(jī)器售價1.5萬元，每臺B型機(jī)器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機(jī)器共30臺，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．
【變式探究】2022年8月金華輕軌的開通極大方便了居民的出行，全線實行按里程分段計程票制，起步價2元，不足1元按1元計算，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：
里程范圍 8公里以內(nèi) （含8公里） 8至28公里 （含28公里） 28至64公里以內(nèi) （含64公里） 64公里以上
收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元
(1)若上車站點(diǎn)與下車站點(diǎn)的里程數(shù)為6公里，則乘坐輕軌的車費(fèi)為______元．
(2)已知金華站距金華南站的里程數(shù)是14.5公里，金華站距義亭站的里程是45公里，請計算乘坐輕軌從金華站到金華南站、金華站到義亭站的費(fèi)用分別是多少元？
(3)已知某人乘輕軌從一個站點(diǎn)到另一個站點(diǎn)，中途沒下車，費(fèi)用為12元，這兩個站點(diǎn)之間的里程數(shù)為s公里，請直接寫出s的范圍．
1．一元一次不等式組的解集為（　　）
A． B． C． D．無解
2．關(guān)于的不等式組，恰好只有兩個整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列變形中正確的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．不等式3x＋1＜2x的解在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5. 解不等式，并在數(shù)軸上表示解集．
6. 不等式組的解集為（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C． D．無解
7. 求不等式組：的最大整數(shù)解．
8. 一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9. 八年級某小組同學(xué)去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到2棵．設(shè)同學(xué)人數(shù)為x人，植樹的棵數(shù)為棵，下列能準(zhǔn)確的求出同學(xué)人數(shù)與種植棵數(shù)的不等關(guān)系是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．
11. 解不等式組的解集為 　 　．
12. 解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來：
13. 關(guān)于x的不等式組有且只有三個整數(shù)解，求a的最大值是 　　．
14. 若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)＞2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≤2
15. 小明同學(xué)在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算了一個內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是800°，則少算了這個內(nèi)角的度數(shù)為 ．

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