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專題6.1 平面向量
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的長度(或稱模).的模記作．
(2)零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量.是一個與a同向的單位向量．－是一個與a方向相反的單位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向線段表示；用坐標表示．
2．向量的加法和減法
(1)向量的加法
①三角形法則：以第一個向量a的終點A為起點作第二個向量b，則以第一個向量a的起點O為起點以第二個向量b的終點B為終點的向量就是a與b的和(如圖1)．
推廣：＋＋…＋＝.
圖1 圖2
②平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作 ABCD，則以A為起點的對角線 就是a與b的和(如圖2)．在圖2中，＝＝b，因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式．
③加法的運算性質： a＋b＝b＋a (交換律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (結合律)； a＋0＝0＋a＝a.
(2)向量的減法
已知向量a，b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b表示從向量b的終點指向向量a(被減向量)的終點的向量(如圖)．
3．向量的數乘及其幾何意義
(1)定義：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規定如下：
①＝|λ||a|；②當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.
(2)運算律：設λ，μ∈R，則：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．兩個向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa．
5．平面向量的坐標運算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
6．數量積的概念
已知兩個非零向量a與b，我們把數量cosθ叫做a與b的數量積(或內積)，記作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的幾何意義：數量積a·b等于a的長度與b在a的方向上的投影cosθ的乘積．
7．數量積的運算律及常用結論
(1)數量積的運算律①交換律：a·b＝b·a；②數乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(2)常用結論①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0 a＝0且b＝0；
8．數量積的性質
設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則
① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b a·b＝0. ③當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|
特別地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝
9．數量積的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝.
② a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
1．下列說法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】利用向量的相關性質逐項判斷即可.
【詳解】對于A，單位向量的模長都相等，但方向不一定相同，所以選項A錯誤；
對于B，若，說明兩個向量的模長相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以選項B錯誤；
對于C，向量的相等條件為方向相同且模長相等，所以，則，所以選項C正確；
對于D，此時若，但兩向量的方向不同，滿足，但與選項D題干矛盾，所以選項D錯誤.
故選：C.
2．已知空間向量，滿足，，，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】目標式平方，利用轉化法求解可得
【詳解】因為，，，
所以，
所以.
故選：C
3．已知平面向量，，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用平面向量平行的坐標公式計算即可.
【詳解】由題意知，，解得：.
故選：A.
4．已知，則的中點坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量共線的坐標表示代入計算即可求得結果.
【詳解】設的中點坐標是，
由三點共線可知，即，解得；
所以中點坐標為.
故選：B
5．已知點，則 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
【答案】B
【分析】計算平面向量的模，一般先算向量的坐標，再計算模長.
【詳解】由可得,則.
故選：B.
6.已知向量與的夾角為，且，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)12
【分析】(1)利用向量數量積的定義直接求解即可.
(2)利用向量數量積的運算律，求解即可.
【詳解】（1）由已知得
（2）．
7.設，為不共線的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)共線
(2)共線
(3)不共線
【分析】根據向量共線定理即可判斷.
【詳解】（1），則有，即共線；
（2），則有，即共線；
（3）設，共線，則由共線向量基本定理，得存在，使，
即，所以，所以共線，
這與已知條件不共線矛盾，不共線.
8.已知.
(1)若∥，求；
(2)若，求；
(3)若，夾角為60°，求.
【答案】(1)10或(2)0(3)5
【分析】（1）若∥，說明夾角180°或者0°，然后利用向量數量積的公式即可；
（2），說明夾角90°，然后利用向量數量積的公式即可；
（3）利用向量數量積的公式即可.
【詳解】（1）當∥時，若，同向，則它們的夾角為0°，
所以；
若，反向，則它們的夾角為180°.
所以.
（2）當時，夾角為90°，
所以.
（3）當，夾角為60°時，
.
9.已知，兩點的坐標，求，的坐標．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】由終點坐標減去起點坐標，即得所求向量的坐標.
【詳解】（1）因為，，
所以，.
（2）因為，，
所以，.
（3）因為，，
所以，.
（4）因為，，
所以，.
10.化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】根據平面向量加減的運算法則，化簡各線性表達式即可.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
11.已知向量，滿足，．
(1)若，的夾角為，求；
(2)若，求與的夾角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出 ，再按照數量積的公式計算即可
（1）根據得到，計算出，再根據 即可
【詳解】（1），所以，
所以
（2）因為，所以，
所以，所以 ，
令
所以，
因為，所以
故與的夾角為．
1．給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則. 其中的正確命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據向量的概念及零向量，平行向量的概念進行判斷.
【詳解】對于①，前一個零是實數，后一個應是零向量，故①錯誤；
對于②，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定，故②錯誤；
對于③，兩個向量平行，它們的方向相同或相反，模未必相等，③錯誤；
對于④，若，則，④正確.
故選：A.
2．已知，且，則等于（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量垂直得出其數量積為0，即可根據向量的模長求法得出答案.
【詳解】，
，
，
故選：A.
3．已知向量，且，則實數（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根據向量平行列方程，化簡求得的值.
【詳解】由于，所以.
故選：D
4．已知向量，，若，則（ ）
A．10 B．40 C． D．
【答案】D
【分析】根據向量平行性質求出，根據向量坐標模的計算公式即可.
【詳解】因為，所以，則．
故選；.
5．已知，，與的夾角是.
(1)計算；
(2)當k為何值時，？
【答案】(1)(2)
【分析】根據數量積的計算規則計算.
【詳解】（1），，與的夾角是，
則，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.則當k為時，；、
綜上，（1），（2）.
6．已知，在下列條件下求
(1)向量與平行時；
(2)向量與的夾角為﹔
(3)向量與垂直時．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）（2）（3）利用向量平行、垂直得出夾角，利用數量積公式可求答案；
【詳解】（1）當向量與平行時，向量與的夾角為或，
由向量數量積的定義得或.
所以.
（2）當向量與的夾角為，由向量數量積的定義得，
所以.
（3）當向量與垂直時，向量與的夾角為，由向量數量積的定義得.
所以.
7．已知向量，的坐標，求．
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）由數量積的坐標表示計算；
（2）由數量積的坐標表示計算．
【詳解】（1）由已知；
（2）由已知．
8．化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】利用向量的加減法則，結合相反向量的概念，化簡向量線性表達式.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
9．已知，，求證，，三點共線.
【答案】證明見解析.
【分析】利用共線向量定理即可推理作答.
【詳解】因為，，則有，
因此，而與有公共點，
所以，，三點共線.
10．已知向量的夾角為，且.
(1)求；
(2)當時，求實數m.
【答案】(1)；(2)12.
【分析】（1）利用向量數量積的運算律及已知求；
（2）由向量垂直可得，結合數量積的運算律列方程求參數值即可.
【詳解】（1）由，則.
（2）由題設，則.專題6.1 平面向量
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的長度(或稱模).的模記作．
(2)零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量.是一個與a同向的單位向量．－是一個與a方向相反的單位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向線段表示；用坐標表示．
2．向量的加法和減法
(1)向量的加法
①三角形法則：以第一個向量a的終點A為起點作第二個向量b，則以第一個向量a的起點O為起點以第二個向量b的終點B為終點的向量就是a與b的和(如圖1)．
推廣：＋＋…＋＝.
圖1 圖2
②平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作 ABCD，則以A為起點的對角線 就是a與b的和(如圖2)．在圖2中，＝＝b，因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式．
③加法的運算性質： a＋b＝b＋a (交換律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (結合律)； a＋0＝0＋a＝a.
(2)向量的減法
已知向量a，b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b表示從向量b的終點指向向量a(被減向量)的終點的向量(如圖)．
3．向量的數乘及其幾何意義
(1)定義：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規定如下：
①＝|λ||a|；②當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.
(2)運算律：設λ，μ∈R，則：①λ(μa)＝μ(λa)； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．兩個向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa．
5．平面向量的坐標運算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
6．數量積的概念
已知兩個非零向量a與b，我們把數量cosθ叫做a與b的數量積(或內積)，記作 a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的幾何意義：數量積a·b等于a的長度與b在a的方向上的投影cosθ的乘積．
7．數量積的運算律及常用結論
(1)數量積的運算律①交換律：a·b＝b·a；②數乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(2)常用結論①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③ a2＋b2＝0 a＝0且b＝0；
8．數量積的性質
設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則
① e·a＝ |a|cosθ ② a⊥b a·b＝0. ③當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|
特別地，a·a＝|a|2或＝. ④ cosθ＝
9．數量積的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 ① a·b＝x1x2＋y1y2； a2＝x＋y； ＝.
② a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
例1．下列說法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
例2．已知空間向量，滿足，，，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．4
例3．已知平面向量，，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
例4．已知，則的中點坐標是（ ）
A． B． C． D．
例5．已知點，則 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
例6.已知向量與的夾角為，且，求：
(1)；
(2)．
例7.設，為不共線的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
例8.已知.
(1)若∥，求；
(2)若，求；
(3)若，夾角為60°，求.
例9.已知，兩點的坐標，求，的坐標．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
例10.化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
例11.已知向量，滿足，．
(1)若，的夾角為，求；
(2)若，求與的夾角．
1．給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則. 其中的正確命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．已知，且，則等于（ ）
A．5 B． C． D．
3．已知向量，且，則實數（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知向量，，若，則（ ）
A．10 B．40 C． D．
5．已知，，與的夾角是.
(1)計算；
(2)當k為何值時，？
6．已知，在下列條件下求
(1)向量與平行時；
(2)向量與的夾角為﹔
(3)向量與垂直時．
7．已知向量，的坐標，求．
(1)，；
(2)，．
8．化簡：
(1)；
(2)；
(3)．
9．已知，，求證，，三點共線.
10．已知向量的夾角為，且.
(1)求；
(2)當時，求實數m.

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