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專題7.1 等差數列
1.數列與數列的項　“順序”是數列最根本的性質
（1）數列：按照確定的順序排列的一列數稱為數列.
（2）數列的項：數列中的每一個數叫做這個數列的項.
數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用an表示.其中第1項也叫做首項.
2.數列的一般形式　與集合的表示方法不同！
數列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為{an}.
3.數列的表示方法
（1）表示方法：解析式法、表格法、圖象法.
（2）數列的通項公式：如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式.
4.等差數列的概念　等差數列的定義中的幾個關鍵詞是“從第2項起”，“同一個常數”
條件 從第2項起
每一項與它的前一項的差都等于同一個常數
結論 這個數列就叫做等差數列
有關概念 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示
5.等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列，這時A叫做a與b的等差中項，根據等差數列的定義可以知道，2A＝a＋b.
6.等差數列的通項公式　一般形式：an＝am＋(n－m)d
(1)通項公式：首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.
（2）.等差數列通項公式的變形及推廣
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n).
7.等差數列的前n項和公式
求Sn的條件：已知n，a1，an或n，a1，d
(1)等差數列的前n項和公式
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
(2)兩個公式的關系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.
例1．已知數列的前n項和為，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用，求出即可.
【詳解】因為，所以.
故選：B.
例2．已知數列滿足，，則（ ）
A．2 B． C．-1 D．2023
【答案】A
【分析】由遞推公式可得，數列的奇數項構成一個周期為3的周期數列，從而求出答案.
【詳解】由題意得，，，，……，
故數列的奇數項構成一個周期為3的周期數列，
故.
故選：A
例3．已知數列，則該數列的第項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知各項可知數列的通項公式，代入即可.
【詳解】由題意知：該數列的通項公式為，.
故選：A.
例4．已知等差數列中，，，求（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
【答案】A
【分析】根據等差中項的應用列式即可解出答案.
【詳解】由已知得，，
則，解得.
故選：A.
例5．已知首項為2的等差數列，的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出該等差數列的公差，即可得出該數列的通項公式.
【詳解】由題意，，
在等差數列中，首項，
設公差為 ,前 30 項中奇數項的和為 , 偶數項的和為 , 且 ,
∴，解得：，
∴，
即，
故選：B.
例6．已知等差數列的通項公式，則等差數列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據題意，分別求得，即可得到公差.
【詳解】因為等差數列的通項公式，則，
則公差.
故選：A
例7．（1）求等差數列8，5，2，…的第20項；
（2）是否為等差數列，，，…的項？如果是，是該數列的第幾項？如果不是，說明理由．
【答案】（1）；（2）是等差數列，，，…的第100項，理由見解析
【分析】（1）求出公差，進而得到第20項；
（2）求出公差，得到通項公式，得到方程，求出，得到答案.
【詳解】（1）可以得到公差，故第20項為
（2）可以得到公差，故通項公式為，
令，解得，
故是等差數列，，，…的第100項.
例8．已知等差數列滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和為.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意求出首項與公差，再根據等差數列的通項公式即可得解；
（2）根據等差數列的前項和公式計算即可.
【詳解】（1）設公差為，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
例9．一個“V”形鉛筆架(如圖)的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支鉛筆，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？
【答案】7260支
【分析】由等差數列求和公式進行求解.
【詳解】由題意知這個V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數成等差數列，記為{an}，其中a1＝1，，公差為1.
根據等差數列的前n項和公式，得S120＝.
故V形架上共放著7260支鉛筆．
例10．記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)數列滿足，，求數列的前21項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等差數列通項公式、前n項和公式求基本量，即可寫出通項公式；
（2）由，應用等差數列前n項和公式求和即可.
【詳解】（1）設公差為，由題設有，解得，，
所以.
（2）由題設，
.
所以數列的前21項和為211.
1．已知數列是等差數列，且，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據等差數列的下標和性質即可求得答案.
【詳解】由于數列是等差數列，故，
故選：B
2．等差數列3，11，19，27，…的通項公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得到首項與公差，即可求出通項公式.
【詳解】因為等差數列的首項，公差，
所以通項公式為.
故選：B
3．已知等差數列共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
【答案】A
【分析】等差數列前n項和公式的應用
【詳解】由，有，偶數項的和為100．
故選：A
4．已知數列，通項公式為，那么的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，推導出數列是首項為，公差為2的等差數列，由此求出，再由配方法能夠求出當前項和取到最小值時，的值．
【詳解】，，
，
數列是首項為，公差為2的等差數列，
，
前項和取到最小值時，，
故選：B
5．已知數列為等差數列，是其前項的和，且，公差為2.
(1)求，及；
(2)求通項公式.
【答案】(1)，，；(2)
【分析】（1）根據等差數列定義求出，，兩者與相加求出；
（2）利用等差數列通項公式求出答案.
【詳解】（1），，
（2）由題意得：.
6.某商店的售貨員想在貨架上用三角形排列方式展示一種罐頭飲料，底層放置15個罐頭，第2層放置14個罐頭，第3層放置13個罐頭……頂層放置1個罐頭，這樣的擺法需要多少個罐頭？
【答案】.
【分析】利用等差數列的定義，結合等差數列前項和公式進行求解即可.
【詳解】由這樣的擺法可以判斷從底層開始，每層的罐頭數成等差數列，
所以這樣的擺法需要罐頭數為：，
這樣的擺法需要個罐頭.
7.已知是等差數列的前項和，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據等差數列回到基本量，解出首項和公差即可求解；
（2）先求前項和，再建立方程求解即可.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，
所以.
解得.
所以.
（2）.
因為，所以，解得或.
因為，所以.
8.已知數列中，且.
(1)求；
(2)求數列{}的前n項和的最大值.
【答案】(1)＝﹣4n+17；(2)28.
【分析】(1)根據等差數列的定義判斷為等差數列即可求其通項公式；
(2)根據等比數列前n項和的性質即可求其最值.
【詳解】（1）由﹣4，可知，﹣＝﹣4，
∴數列{}是以13為首項，以﹣4為公差的等差數列，
∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；
（2）由(1)可知，數列{}單調遞減，且a4＞0，a5＜0，
∴當n＝4時，{}的前n項和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.專題7.1 等差數列
1.數列與數列的項　“順序”是數列最根本的性質
（1）數列：按照確定的順序排列的一列數稱為數列.
（2）數列的項：數列中的每一個數叫做這個數列的項.
數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用an表示.其中第1項也叫做首項.
2.數列的一般形式　與集合的表示方法不同！
數列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為{an}.
3.數列的表示方法
（1）表示方法：解析式法、表格法、圖象法.
（2）數列的通項公式：如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式.
4.等差數列的概念　等差數列的定義中的幾個關鍵詞是“從第2項起”，“同一個常數”
條件 從第2項起
每一項與它的前一項的差都等于同一個常數
結論 這個數列就叫做等差數列
有關概念 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示
5.等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列，這時A叫做a與b的等差中項，根據等差數列的定義可以知道，2A＝a＋b.
6.等差數列的通項公式　一般形式：an＝am＋(n－m)d
(1)通項公式：首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.
（2）.等差數列通項公式的變形及推廣
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n).
7.等差數列的前n項和公式
求Sn的條件：已知n，a1，an或n，a1，d
(1)等差數列的前n項和公式
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
(2)兩個公式的關系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d.
例1．已知數列的前n項和為，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例2．已知數列滿足，，則（ ）
A．2 B． C．-1 D．2023
例3．已知數列，則該數列的第項為（ ）
A． B． C． D．
例4．已知等差數列中，，，求（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
例5．已知首項為2的等差數列，的前30項中奇數項的和為A，偶數項的和為B，且，則（ ）
A． B． C． D．
例6．已知等差數列的通項公式，則等差數列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
例7．（1）求等差數列8，5，2，…的第20項；
（2）是否為等差數列，，，…的項？如果是，是該數列的第幾項？如果不是，說明理由．
例8．已知等差數列滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和為.
例9．一個“V”形鉛筆架(如圖)的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支鉛筆，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？
例10．記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)數列滿足，，求數列的前21項和
1．已知數列是等差數列，且，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．等差數列3，11，19，27，…的通項公式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差數列共有21項，若奇數項的和為110，則偶數項的和為（ ）
A．100 B．105 C．90 D．95
4．已知數列，通項公式為，那么的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知數列為等差數列，是其前項的和，且，公差為2.
(1)求，及；
(2)求通項公式.
6.某商店的售貨員想在貨架上用三角形排列方式展示一種罐頭飲料，底層放置15個罐頭，第2層放置14個罐頭，第3層放置13個罐頭……頂層放置1個罐頭，這樣的擺法需要多少個罐頭？
7.已知是等差數列的前項和，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的值.
8.已知數列中，且.
(1)求；
(2)求數列{}的前n項和的最大值.

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