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專題7.2 等比數列
1.等比數列的定義及通項公式
(1)等比數列的定義和通項公式
(2)通項公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N*，q≠0).
2.等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時G2＝ab.
3.常用等比數列的性質
（1）如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，則有am·an＝ak·al.
（2）如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則有am·an＝
（3）若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數列，則am，an，ap成等比數列.
4.等比數列的前n項和公式
應用公式求和，首先要判斷公比是否為1，再選擇公式
已知量 首項、公比和項數 首項、末項和公比
公式 Sn＝ Sn＝
例1．已知等比數列中，，，則（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據等比數列的性質計算即可.
【詳解】設公比為，
則，
因為，，
所以，所以.
故選：C.
例2．已知等比數列中，，，則公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據等比數列的知識求得正確答案.
【詳解】依題意.
故選：D
例3．已知3，，27三個數成等比數列，則（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
【答案】C
【分析】根據等比數列的知識列方程，從而求得.
【詳解】由于成等比數列，所以，
解得或.
故選：C
例4．如果某地某天某病毒患者的確診數量為，且每個患者的傳染力為2（即一人可以造成2人感染），則3天后的患者人數將會是原來的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
【答案】B
【分析】根據題意表示出3天后患者人數，即可得答案.
【詳解】解：由題意可得，1天后患者人數為，2天后患者人數為，3天后患者人數為，
所以3天后的患者人數將會是原來的15倍.
故選：B.
例5．已知等比數列{an}的首項，公比，則等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
【答案】A
【分析】由等比數列前n項和公式可得答案.
【詳解】
故選：A
例6．設為公比為的等比數列的前項和，且，則（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
【答案】D
【分析】利用等比數列的性質得到，求出公比.
【詳解】由題意得：，因為，所以，
所以，解得或．
故選：D
例7．在等比數列{an}中，
(1)已知，求前4項和；
(2)已知公比，前5項和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等比數列的通項公式求出公比，再根據等比數列前項和公式即可得解；
（2）根據等比數列前項和公式求出首項，再根據等比數列的通項公式即可得解.
【詳解】（1）設公比為，由，
得，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
例8．在遞增的等比數列中，，，其中.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，求出的首項、公比即可作答.
（2）利用分組求和法及等比數列前n項和公式求和作答.
【詳解】（1）由，等比數列是遞增數列，得，
因此數列的公比，則，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）得，，
.
例9．等比數列的公比為2，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)運用等差中項求出 ，再根據等比數列的通項公式求出 ；
(2)根據條件求出 的通項公式，再分組求和.
【詳解】（1）已知等比數列的公比為2，且成等差數列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
綜上，
例10．設是等比數列，其前項的和為，且，.
（1）求的通項公式；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意易得，根據等比數列的定義，可求出的公比為，由此即可求出的通項公式；
（2）由（1）可求，進而求出的表達式，再根據，列出關于不等式，解不等式，即可求出結果.
【詳解】（1）設的公比為q，因為，所以，所以，
又，所以，所以.
（2）因為，所以，
由，得，即，解得，
所以n的最小值為6.
1．已知等比數列中，，則（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】C
【分析】根據等比數列的性質求得正確答案.
【詳解】依題意.
故選：C
2．已知實數是2、8的等比中項，則（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】由等比中項的定義列方程求解即可.
【詳解】因為實數是2、8的等比中項，
所以，得，
故選：A
3．如果某地某天某病毒患者的確診數量為，且每個患者的傳染力為2（即一人可以造成2人感染），則3天后的患者人數將會是原來的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
【答案】B
【分析】根據題意表示出3天后患者人數，即可得答案.
【詳解】解：由題意可得，1天后患者人數為，2天后患者人數為，3天后患者人數為，
所以3天后的患者人數將會是原來的15倍.
故選：B.
4．在等比數列中，，，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】已知條件作商可求得，然后根據等比數列性質可得.
【詳解】因為，，所以，解得，則．
故選：B
5．已知等比數列的公比為q，前n項和為．若，，則（ ）
A．－24 B．－28 C．－30 D．－32
【答案】C
【分析】由等比數列的基本量運算求得后求得，從而易得．
【詳解】由題意，則，又，所以，，
，
所以．
故選：C．
6．在等比數列中，，則16是中的（ ）
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
【答案】B
【分析】利用等比數列的通項公式結合條件即可得出．
【詳解】設等比數列{an}的公比為q，因為，
∴，解得．
則該數列的通項，由，可得，
即16是中的第7項.
故選：B．
7．已知等比數列，若，，則（ ）
A．0 B．2
C．-2 D．-2或2
【答案】D
【分析】根據等比數列的通項公式的基本量的運算，即可求解.
【詳解】由題意知，等比數列中，因為，，可得，所以.
故選：D.
8．某工廠去年產值為，計劃今后五年內每年比上一年產值增長，從今年起到第五年，這個工廠的總產值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等比數列的概念、通項公式及前n項求和公式求解即可
【詳解】該工廠5年內每年的產值構成等比數列，首項為，公比是1.1，
所以從今年起五年內這個工廠的總產值為．
故選：D．
故選：C.
9．在等比數列{an}中，
(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8項和S8；
(2)已知a1＝－， a4＝96，求前4項和S4；
(3)已知公比q＝，前5項和S5＝，求a1， a5.
【答案】(1)－85
(2)
(3)
【分析】按照等比數列的定義，求出首項和公比即可.
(1)S8＝；
(2)由a4＝a1q3，即96＝·q3，得q＝－4，所以S4＝；
(3)由S5＝，得a1＝2，所以a5＝a1q4＝；
故答案為：-85，，.
10．已知數列為等差數列，是公比為2的等比數列，且滿足
(1)求數列和的通項公式；
(2)令求數列的前n項和；
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據等差數列和等比數列的通項公式得到，根據通項公式的求法得到結果；
（2）分組求和即可.
【詳解】（1）設的公差為,
由已知,有解得，
所以的通項公式為, 的通項公式為.
（2），分組求和，分別根據等比數列求和公式與等差數列求和公式得到：.專題7.2 等比數列
1.等比數列的定義及通項公式
(1)等比數列的定義和通項公式
(2)通項公式的拓展：an＝amqn－m(n，m∈N*，q≠0).
2.等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，此時G2＝ab.
3.常用等比數列的性質
（1）如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，則有am·an＝ak·al.
（2）如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則有am·an＝
（3）若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數列，則am，an，ap成等比數列.
4.等比數列的前n項和公式
應用公式求和，首先要判斷公比是否為1，再選擇公式
已知量 首項、公比和項數 首項、末項和公比
公式 Sn＝ Sn＝
例1．已知等比數列中，，，則（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
例2．已知等比數列中，，，則公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
例3．已知3，，27三個數成等比數列，則（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
例4．如果某地某天某病毒患者的確診數量為，且每個患者的傳染力為2（即一人可以造成2人感染），則3天后的患者人數將會是原來的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
例5．已知等比數列{an}的首項，公比，則等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
例6．設為公比為的等比數列的前項和，且，則（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
例7．在等比數列{an}中，
(1)已知，求前4項和；
(2)已知公比，前5項和，求.
例8．在遞增的等比數列中，，，其中.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
例9．等比數列的公比為2，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
例10．設是等比數列，其前項的和為，且，.
（1）求的通項公式；
（2）若，求的最小值.
1．已知等比數列中，，則（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
2．已知實數是2、8的等比中項，則（ ）
A． B． C．4 D．5
3．如果某地某天某病毒患者的確診數量為，且每個患者的傳染力為2（即一人可以造成2人感染），則3天后的患者人數將會是原來的（ ）
A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍
4．在等比數列中，，，則（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
5．已知等比數列的公比為q，前n項和為．若，，則（ ）
A．－24 B．－28 C．－30 D．－32
6．在等比數列中，，則16是中的（ ）
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
7．已知等比數列，若，，則（ ）
A．0 B．2
C．-2 D．-2或2
8．某工廠去年產值為，計劃今后五年內每年比上一年產值增長，從今年起到第五年，這個工廠的總產值是（ ）
A． B． C． D．
9．在等比數列{an}中，
(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8項和S8；
(2)已知a1＝－， a4＝96，求前4項和S4；
(3)已知公比q＝，前5項和S5＝，求a1， a5.
10．已知數列為等差數列，是公比為2的等比數列，且滿足
(1)求數列和的通項公式；
(2)令求數列的前n項和；

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