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第12講　電磁感應
目標要求　
1.熟練應用楞次定律與法拉第電磁感應定律解決問題。
2.會分析電磁感應中的圖像問題。
3.會分析電磁感應中的動力學與能量問題。
考點一　楞次定律與法拉第電磁感應定律的應用
1．感應電流方向的判斷
(1)線圈面積不變、磁感應強度發生變化的情形，往往用楞次定律。
(2)導體棒切割磁感線的情形往往用右手定則。
2．楞次定律中“阻礙”的主要表現形式
(1)阻礙原磁通量的變化——“增反減同”；
(2)阻礙物體間的相對運動——“來拒去留”；
(3)使線圈面積有擴大或縮小的趨勢——一般情況下為“增縮減擴”；
(4)阻礙原電流的變化(自感現象)——一般情況下為“增反減同”。
3．求感應電動勢的方法
(1)法拉第電磁感應定律：
E＝n
(2)導體棒垂直切割磁感線：E＝Blv。
(3)導體棒以一端為圓心在垂直勻強磁場的平面內勻速轉動：E＝Bl2ω。
(4)線圈繞與磁場垂直的軸勻速轉動(從線圈位于中性面開始計時)：e＝nBSωsin ωt。
4．通過回路橫截面的電荷量q＝Δt＝Δt＝。q僅與n、ΔΦ和回路總電阻R總有關，與時間長短無關，與Φ是否均勻變化無關。
例1　某同學設想的減小電梯墜落時造成傷害的一種應急安全裝置如圖所示，在電梯轎廂底部安裝永久強磁鐵，磁鐵N極朝上，電梯井道內壁上鋪設若干金屬線圈，線圈在電梯轎廂墜落時能自動閉合，從而減小對廂內人員的傷害。當電梯轎廂墜落到圖示位置時，下列說法正確的是(　　)
A．從上往下看，金屬線圈A中的感應電流沿逆時針方向
B．從上往下看，金屬線圈B中的感應電流沿逆時針方向
C．金屬線圈B對電梯轎廂下落有阻礙作用，A沒有阻礙作用
D．金屬線圈B有擴張的趨勢，A有收縮的趨勢
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例2　在如圖甲所示的電路中，電阻R1＝R，R2＝2R，單匝、圓形金屬線圈的半徑為r1，電阻為R，半徑為r2(r2A．流過電阻R1的電流方向自下向上
B．電阻R1兩端的電壓為
C．0～t0時間內，通過電阻R2的電荷量為
D．0～t0時間內，電阻R2上產生的焦耳熱為
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考點二　電磁感應中的圖像問題
例3　如圖a所示，兩個環形導線圈平行放置。規定從上往下看順時針方向的電流為正值，上方導線圈中的電流i1隨時間t的變化情況如圖b所示，則下方導線圈中產生的感應電流i2隨時間t的變化情況為(　　)
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例4　如圖所示，絕緣水平面內有一足夠長平行金屬導軌，導軌光滑且電阻不計。勻強磁場與導軌平面垂直。有效阻值為R的導體棒垂直于導軌靜止放置，且與導軌接觸良好。開關S由1擲到2時開始計時，q、i、v和a分別表示電容器所帶的電荷量、棒中的電流、棒的速度和加速度。下列圖像不可能正確的是(　　)
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1．電磁感應中常見的圖像
常見的有磁感應強度、磁通量、感應電動勢、感應電流、速度、安培力等隨時間或位移的變化圖像。
2．解答此類問題的兩個常用方法
(1)排除法：定性分析電磁感應過程中某個物理量的變化情況，把握三個關注，快速排除錯誤的選項。這種方法能快速解決問題，但不一定對所有問題都適用。
―→
↓
―→
↓
―→
(2)函數關系法：根據題目所給的條件寫出物理量之間的函數關系，再對圖像作出判斷，這種方法得到的結果準確、詳細，但不夠簡捷。
考點三　電磁感應中的動力學與能量問題
1．電磁感應綜合問題的解題思路
2．求解焦耳熱Q的三種方法
(1)焦耳定律：Q＝I2Rt，適用于電流恒定的情況；
(2)功能關系：Q＝W克安(W克安為克服安培力做的功)；
(3)能量轉化：Q＝ΔE(其他能的減少量)。
例5　(2023·江蘇省模擬)如圖所示，水平絕緣地面上固定一足夠長的光滑U形導軌，空間存在垂直導軌平面向下的勻強磁場。將金屬棒ab垂直放置在導軌上，在垂直于棒的拉力F作用下，金屬棒由靜止開始向右運動。若拉力F的大小保持不變，金屬棒的速度達到最大速度的時，加速度大小為a1；若拉力F的功率保持不變，金屬棒的速度達到最大速度的時，加速度大小為a2。已知上述兩種情況下金屬棒的最大速度相同，金屬棒運動過程中始終與導軌接觸良好，電路中除金屬棒以外的電阻均不計，則等于(　　)
A．1 B. C. D.
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例6　(2022·全國甲卷·20改編)如圖，兩根相互平行的光滑長直金屬導軌固定在水平絕緣桌面上，在導軌的左端接入電容為C的電容器和阻值為R的電阻。質量為m、阻值也為R的導體棒MN靜止于導軌上，與導軌垂直，且接觸良好，導軌電阻忽略不計，整個系統處于方向豎直向下的勻強磁場中。開始時，電容器所帶的電荷量為Q，合上開關S后(　　)
A．通過導體棒MN電流的最大值為
B．導體棒MN向右先加速、后勻速運動
C．導體棒MN速度最大時所受的安培力也最大
D．電阻R上產生的焦耳熱等于導體棒MN上產生的焦耳熱
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例7　(2023·江蘇省南京師大附中模擬)如圖所示，在豎直平面內的虛線下方存在范圍足夠大、方向水平的勻強磁場，同一高度處磁感應強度大小相等，豎直方向上磁感應強度與距離的關系滿足B＝kh，k為常量，將一豎直放置、邊長為L的單匝正方形金屬線圈abcd從圖示位置由靜止釋放，線圈質量為m、電阻為R，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：
(1)線圈中的最大電流Im和電流的方向；
(2)線圈下落高度h(已達最大電流)的過程中線圈中產生的焦耳熱Q。
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1．(2023·江蘇蘇錫常鎮四市二模)如圖甲所示，一條南北走向的小路，路口設有出入道閘，每側道閘金屬桿長L，當有車輛通過時桿會從水平位置勻速轉過90°直到豎起，所用時間為t。此處地磁場方向如圖乙所示，B為地磁場總量，BH為地磁場水平分量，Bx、By、Bz分別為地磁場在x、y、z三個方向上的分量大小。則桿在轉動升起的過程中，兩端電勢差的大小計算表達式為(　　)
A. B. C. D.
2．如圖甲所示，水平面內有一“∠”形光滑金屬導軌，Oa與Ob夾角為45°，將質量為m的長直導體棒MN擱在導軌上并與Oa垂直，除了兩軌連接點O的電阻為R，其他電阻均不計。棒與O點距離為L，空間存在垂直于導軌平面的勻強磁場，磁感應強度為B。在外力作用下，棒以初速度v0向右做直線運動。其速度的倒數隨位移x變化的關系如圖乙所示，在導體棒運動L距離到PQ的過程中(　　)
A．導體棒做勻減速直線運動B．導體棒運動的時間為
C．流過導體棒的電流恒為D．外力做功為＋
第12講　電磁感應
例1　A　[當電梯墜落至題圖位置時，閉合線圈A中向上的磁場減弱，感應電流的方向從上往下看是逆時針方向，B中向上的磁場增強，感應電流的方向從上往下看是順時針方向，故A正確，B錯誤；結合上述的分析可知，當電梯墜落至題圖位置時，閉合線圈A、B都在阻礙電梯下落，故C錯誤；閉合線圈A中向上的磁場減弱，B中向上的磁場增強，根據楞次定律可知，線圈B有收縮的趨勢，A有擴張的趨勢，故D錯誤。]
例2　D　[由題圖乙可知磁感應強度增大，根據楞次定律可判斷出線圈中感應電流方向為逆時針，則通過電阻R1的電流方向為自上向下，故A錯誤；根據法拉第電磁感應定律有E＝，其中S＝πr22，＝＝，解得E＝，根據閉合電路歐姆定律可得電阻R1兩端的電壓U1＝E＝，故B錯誤；根據閉合電路歐姆定律可得電路的電流為I＝＝，根據電流的定義式，在0～t0時間內通過電阻R2的電荷量q＝It0＝，故C錯誤；根據焦耳定律，在0～t0時間內，電阻R2上產生的焦耳熱為Q2＝I2·2Rt0＝，故D正確。]
例3　D　[由題圖乙可知，在0～t1時間內，上方導線圈中的電流i1隨時間t逐漸增大，產生的磁場逐漸增強，穿過下方導線圈中的磁通量逐漸增大，由楞次定律可知，下方導線圈中的感應電流i2方向從上往下看沿逆時針方向，是負值，由題圖b可知，上方導線圈產生的磁場中先增大后減小，則|i2|先增大后減小；在 t1～t2時間內，上方導線圈中的電流i1隨時間t不變，產生的磁場不變化，下方導線圈中沒有感應電流；在 t2～t3時間內，上方導線圈中的電流i1隨時間t逐漸減小，產生的磁場逐漸減弱，穿過下方導線圈中的磁通量逐漸減少，由楞次定律可知，下方導線圈中的感應電流i2方向從上往下看沿順時針方向，是正值，由題圖b可知，上方導線圈產生的磁場中||先增大后減小，則i2先增大后減小，因此A、B、C錯誤，D正確。]
例4　B　[開關S由1擲到2，電容器放電后會在電路中產生電流且開始計時時電流最大，導體棒通有電流后會受到安培力的作用產生加速度而加速運動，導體棒切割磁感線產生感應電動勢，導體棒速度增大，則感應電動勢E＝BLv增大，則實際電流減小，安培力F＝BIL減小，加速度a＝減小，因導軌光滑，所以在有電流通過棒的過程中，棒是一直做加速度減小的加速運動(變加速)，故a－t圖像即選項D是正確的；導體棒運動產生感應電動勢會給電容器充電，當充電和放電達到平衡時，導體棒做勻速運動，因此最終電容器兩端的電壓能穩定在某個不為0的數值，即電容器的電荷量應穩定在某個不為0的數值(不會減少到0)，電路中無電流，故B錯誤，A、C正確。]
例5　D　[設金屬棒的最大速度為v，勻強磁場的磁感應強度大小為B，金屬棒的電阻為R，導軌間距為L，當拉力F的大小保持不變，金屬棒的速度達到最大速度的時有－＝ma1，當拉力F的功率保持不變時有P＝，金屬棒的速度達到最大速度的時有－＝ma2，解得＝，故選D。]
例6　A　[開始時電容器兩極板間的電壓U＝，合上開關瞬間，通過導體棒的電流I＝＝，隨著電容器放電，通過電阻、導體棒的電流不斷減小，所以在開關閉合瞬間，導體棒所受安培力最大，此時速度為零，A項正確，C項錯誤；由于回路中有電阻與導體棒，最終電能完全轉化為焦耳熱，故導體棒最終必定靜止，B項錯誤；由于導體棒切割磁感線，產生感應電動勢，所以通過導體棒的電流始終小于通過電阻的電流，由焦耳定律可知，電阻R上產生的焦耳熱大于導體棒MN上產生的焦耳熱，D項錯誤。]
例7　(1)　順時針方向
(2)mgh－
解析　(1)當線圈受到的安培力等于重力時，線圈的豎直方向速度達到最大，即此時線圈中的電流最大，設此時線圈下落高度為h0，則ad邊所處位置的磁感應強度為B1＝kh0，
bc邊所處位置的磁感應強度為
B2＝k(h0＋L)，
mg＝B2ImL－B1ImL，
解得線圈中的最大電流為Im＝
根據楞次定律可知電流方向為順時針方向。
(2)設線圈中電流最大時線圈的速度為v，則線圈下落高度h時，ad邊切割磁感線產生的感應電動勢為E1＝B1′Lv＝khLv，
bc邊切割磁感線產生的感應電動勢為E2＝B2′Lv＝k(h＋L)Lv，
線圈的感應電動勢為E＝E2－E1＝kL2v，
根據閉合電路歐姆定律有E＝ImR，
解得線圈下落高度h時，線圈速度為v＝，
根據能量守恒定律有Q＝mgh－mv2，
解得線圈下落高度h(已達最大電流)的過程中線圈中產生的焦耳熱為Q＝mgh－。
高考預測
1．A　[桿從水平位置勻速轉過90°直到豎起，所用時間為t，可知金屬桿的角速度為ω＝，由于小路沿南北方向，則金屬桿轉動過程切割沿x軸的磁場分量，則金屬桿兩端電勢差的大小為U＝BxL＝BxL＝BxL2ω，聯立解得U＝，故選A。]
2．C　[由題圖乙知，圖線的斜率為k＝＝，則有＝x＋，得v＝v0，可見導體棒做的不是勻減速直線運動，A錯誤；由題圖甲知，導體棒向右運動時產生的感應電動勢為E＝Blv＝B(x＋L)v0＝BLv0，感應電動勢大小不變，流過導體棒的電流恒為I＝＝，根據法拉第電磁感應定律有E＝，ΔS＝(L＋2L)L，又E＝BLv0，解得Δt＝，B錯誤，C正確；克服安培力做的功等于電阻R上產生的焦耳熱Q＝I2Rt＝()2R·＝，對導體棒由動能定理有W外－W克安＝m()2－mv02，解得W外＝－，D錯誤。]

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