資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一章 數與式
第一節 實數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 實數的相關概念 ☆☆ 廣東數學中考中實數內容考查以選擇題、填空形式為主，考查的知識點較為單一，實數運算類的題綜合性稍強一點，會結合特殊三角函數值、0次冪以及算術平方根等一起考，但總體難度依舊不大，屬于較易得分題。
考點2 實數的分類 ☆☆
考點3 科學記數法和近似數 ☆☆☆
考點4 平方根、算術平方根、立方根 ☆☆
考點5 實數大小比較 ☆
考點6 實數的運算 ☆☆☆
考點1：實數的相關概念
1.數軸：數軸是規定了___________________的一條直線。
原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；
同一數軸上的單位長度要統一；
數軸上所有的點與全體實數一一對應。
2.相反數：符號________________，數字相同的兩個數，即只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
特別注意：
數軸上表示相反數的兩個點在原點兩邊，且到遠點的距離相等，這兩個點關于原點對稱。
0的相反數還是0。
相反數的和為0 a+b=0 a、b互為相反數.
相反數的非零兩數商為-1，即a，b互為相反數，則== -1(a0,b0)
3.倒數：乘積是_________________的兩個數互為倒數。
特別注意：
0沒有倒數；若a≠0，那么的倒數是；
若ab=1 a、b互為倒數；
若ab=-1 a、b互為負倒數。
4.絕對值：
一個數的絕對值就是表示這個數的點與__________________的距離，|a|≥0。
零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，
若|a|=a，則a≥0；
若|a|=-a，則a≤0。
考點2：實數的分類
__________________統稱為有理數，__________________統稱為實數，實數的分類如下：
⑴按有理數的意義分類 ⑵按正、負來分
正整數 正整數
整數 0 正有理數 正分數
有理數 負整數 有理數 0 負整數
分數 正分數 負有理數
負分數 負分數
特別注意：
在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一關鍵，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數，如等；
（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如等；
（3）有特定結構的數，有規律但不循環的小數，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函數，如cos45o等；
考點3 科學記數法和近似數
1.科學記數法：把一個數寫成____________的形式，其中，n是整數，這種記數法叫做科學記數法。
2.近似數的精確位：一個近似數，____________到哪一位，就說這個近似數的精確到哪一位。
考點4 平方根、算術平方根、立方根
1.算術平方根：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“”。
0的算術平方根為__________；從定義可知，只有當a_____0時,a才有算術平方根。
2.平方根：如果一個數x的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，則x叫做a的平方根。
3.立方根：正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；0的立方根是0.
考點5 實數大小比較
實數大小比較的幾種常用方法：
（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數____________。
（2）求差比較：設a、b是實數，
（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，
（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。
（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。
（6）類別比較法：正數0負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。
考點6 實數運算
1.常見的幾種實數運算
運算 法則
乘方 （n個a相乘）
0次冪 1（）.
負整數指數冪
去絕對值符號 , 當a大于b時，=a-b; 當a等于b時，=0, 當a小于b時，=b-a
-1的奇偶次冪 -1的奇數次冪為-1，-1的偶數次冪為1.
常見的開方
2.四則運算法則
（1）有理數加法法則：
①同號兩數相加，取____________的符號，并把絕對值相加；
②異號兩數相加，取__________較大加數的符號，并用較大的絕對值________較小的絕對值；
③一個數與0相加，仍得這個數.
④相反兩數相加得______。
有理數加法的運算律：
①加法的交換律：a+b=b+a ；
②加法的結合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的____________；即a-b=a+（-b）.
（3）有理數乘法法則：
①兩數相乘，同號為____________，異號為____________，并把____________相乘；
②任何數同零相乘都得零；
③幾個數相乘，有一個因式為零，積為零；各個因式都不為零，積的符號由負因式的個數決定。當負因式的個數為奇數時，乘積為負；當負因式的個數為偶數時，乘積為正。
有理數乘法的運算律：
①乘法的交換律：ab=ba；
②乘法的結合律：（ab）c=a（bc）；
③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
（4）有理數除法法則：除以一個不為0數，等于乘以這個數的______；注意：零不能做除數，.
（5）乘方：求n個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，a叫底數，n叫次數。
有理數乘方的法則：
①正數的任何次冪都是正數；
②負數的奇次冪是負數；
③負數的偶次冪是正數；
④0的任何正整數次冪都是0。
3.有理數的混合運算法則：
先____________，后____________，最后____________，如果有____________，先算括號里面的。
考點1：實數的相關概念
◇例題1．是的（ ）
A．倒數 B．相反數 C．絕對值 D．平方
◇例題2．下列圖形是四位同學畫的數軸，其中正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
◇例題3．如圖，數軸上雪容融所在點表示的數可能為（ ）

A．3 B．1 C． D．
◇例題4．的絕對值是 ．
◇例題5．已知互為相反數，則的值為 ．
◆變式訓練
1．的相反數是（　　）
A．2 B． C． D．
2．的倒數是（ ）
A． B． C．3 D．
3．已知a，b都是實數，若，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
4．如圖，數軸上點分別對應實數，下列各式的值最小的是（ ）

A． B． C． D．
考點2：實數的分類
◇例題1．把符合條件的數填在相應的大括號內．
整數{ …}；無理數{ …}；
正有理數{ …}；負分數{ …}．
◇例題2．請把下列各數填入相應的集合中．
，，，，，，，．
非負數集合：__；
分數集合：__；
無理數集合：__．
◆變式訓練
1．下列四個選項中，為負整數的是（ ）
A．0 B． C． D．
2．在中，是無理數的是（ ）
A． B． C． D．2
3．小赫制作了如圖所示的實數分類導圖，下列選項能按序正確填入兩個空格的是（　　）

A．； B．； C．； D．；
4．在，，，，這五個數中，有理數有 個
考點3 科學記數法和近似數
◇例題1．2023年常州市人口總數萬人．人口總數用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
◇例題2．長城的總長用科學記數法表示約為米，則它的原數為（ ）
A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米
◇例題3．用四舍五入法取近似值，將數精確到的結果是 ．
◆變式訓練
1．第七次全國人口普查結果顯示，我國人口受教育水平明顯提高，具有大學文化程度的人數約為218360000，將218360000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
2．已知圓周率，小學階段我們經常使用的3.14是將精確到（ ）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001
3．用四舍五入法把某數取近似值為，精確度正確的是（ ）
A．精確到0.01 B．精確到0.1 C．精確到萬分位 D．精確到千分位
4．下列說法正確的是（ ）
A．4.6萬精確到個位 B．0.730精確到百分位
C．精確到千分位 D．精確到千位
考點4 平方根、算術平方根、立方根
◇例題1．實數9的算術平方根為（ ）
A．3 B． C． D．
◇例題2．16的平方根是（ ）
A．8 B．4 C． D．
◇例題3．的立方根是（ ）
A．0.1 B． C． D．0.01
◆變式訓練
1．的平方根是( )
A． B． C． D．
2．的算術平方根是 ．
3．的立方根是 ．
4．一個正數a的兩個平方根是和，則的立方根為 ．
考點5 實數大小比較
◇例題1．四個實數，0，2，中，最大的數是（ ）
A． B．0 C．2 D．
◇例題2．請寫出一個比大且比10小的無理數： ．
◇例題3．比較大小： （填“”，“”或“”）．
◆變式訓練
1．比較大小： 5（選填“”、“ ”、“ ” ）．
2．在四個數中，最小的實數是 ．
考點6 實數運算
◇例題1．定義一種新的運算：如果．則有，那么的值是（ ）
A． B．5 C． D．
◇例題2．計算：等于（ ）
A． B． C．2 D．0
◇例題3．計算： ．
◇例題4．計算：．
◆變式訓練
5．計算 ．
6．計算：．
7．計算：．
1．（2021·廣東·統考中考真題）下列實數中，最大的數是（ ）
A． B． C． D．3
2．（2022·廣東深圳·統考中考真題）下列互為倒數的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
3．（2022·廣東·統考中考真題）計算的結果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（2023·廣東·統考中考真題）負數的概念最早出現在我國古代著名的數學專著《九章算術》中，如果把收入5元記作元，那么支出5元記作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
5．（2023·廣東深圳·統考中考真題）深中通道是世界級“橋、島、隧、水下互通”跨海集群工程，總計用了320000萬噸鋼材，320000這個數用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·廣東深圳·二模）光年是天文學上的一種距離單位，一光年是指光在一年內走過的路程，約等于．下列正確的是（ ）
A． B．
C．是一個12位數 D．是一個13位數
7．（2024·廣東·統考中考模擬）若a、b互為相反數，c為8的立方根，則 ．
8．（2018·廣東·統考中考真題）一個正數的平方根分別是和，則 ．
9．（2018·廣東·統考中考真題）已知，則 ．
10．（2020·廣東·統考中考真題）若，則 ．
11．（2023·廣東·統考中考真題）（1）計算：
1．﹣3的倒數是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
2．據統計我國每年浪費的糧食約35000000噸，我們要勤儉節約，反對浪費，積極的加入“光盤行動”中來．用科學記數法表示35000000是（　　）
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
3．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
4．在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是（　　）
A．3.14 B．﹣ C． D．0
5．實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（　　）
A．b＜a B．a＜﹣2 C．a+b＞0 D．﹣a＞b
6．生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，請你推算22023的個位數字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．比較大小：3 　 　（填寫“＜”或“＞”）．
8．與最接近的整數是 　 　．
9．如果，那么x+2y的算術平方根為 　 　．
10．對于有理數a，b，定義一種新運算“⊙”，規定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．則計算3⊙（﹣4）的值為 　 　．
11．計算：．
12．計算：．
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第一章 數與式
第一節 實數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 實數的相關概念 ☆☆ 廣東數學中考中實數內容考查以選擇題、填空形式為主，考查的知識點較為單一，實數運算類的題綜合性稍強一點，會結合特殊三角函數值、0次冪以及算術平方根等一起考，但總體難度依舊不大，屬于較易得分題。
考點2 實數的分類 ☆☆
考點3 科學記數法和近似數 ☆☆☆
考點4 平方根、算術平方根、立方根 ☆☆
考點5 實數大小比較 ☆
考點6 實數的運算 ☆☆☆
考點1：實數的相關概念
1.數軸：數軸是規定了原點、正方向、單位長度的一條直線。
原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；
同一數軸上的單位長度要統一；
數軸上所有的點與全體實數一一對應。
2.相反數：符號相反，數字相同的兩個數，即只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
特別注意：
數軸上表示相反數的兩個點在原點兩邊，且到遠點的距離相等，這兩個點關于原點對稱。
0的相反數還是0。
相反數的和為0 a+b=0 a、b互為相反數.
相反數的非零兩數商為-1，即a，b互為相反數，則== -1(a0,b0)
3.倒數：乘積是1的兩個數互為倒數。
特別注意：
0沒有倒數；若a≠0，那么的倒數是；
若ab=1 a、b互為倒數；
若ab=-1 a、b互為負倒數。
4.絕對值：
一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。
零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，
若|a|=a，則a≥0；
若|a|=-a，則a≤0。
考點2：實數的分類
整數和分數統稱為有理數，有理數和無理數統稱為實數，實數的分類如下：
⑴按有理數的意義分類 ⑵按正、負來分
正整數 正整數
整數 0 正有理數 正分數
有理數 負整數 有理數 0 負整數
分數 正分數 負有理數
負分數 負分數
特別注意：
在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一關鍵，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數，如等；
（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如等；
（3）有特定結構的數，有規律但不循環的小數，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函數，如cos45o等；
考點3 科學記數法和近似數
1.科學記數法：把一個數寫成的形式，其中，n是整數，這種記數法叫做科學記數法。
2.近似數的精確位：一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數的精確到哪一位。
考點4 平方根、算術平方根、立方根
1.算術平方根：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“”。
0的算術平方根為0；從定義可知，只有當a≥0時,a才有算術平方根。
2.平方根：如果一個數x的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，則x叫做a的平方根。
3.立方根：正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；0的立方根是0.
考點5 實數大小比較
實數大小比較的幾種常用方法：
（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
（2）求差比較：設a、b是實數，
（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，
（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。
（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。
（6）類別比較法：正數0負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。
考點6 實數運算
1.常見的幾種實數運算
運算 法則
乘方 （n個a相乘）
0次冪 1（）.
負整數指數冪
去絕對值符號 , 當a大于b時，=a-b; 當a等于b時，=0, 當a小于b時，=b-a
-1的奇偶次冪 -1的奇數次冪為-1，-1的偶數次冪為1.
常見的開方
2.四則運算法則
（1）有理數加法法則：
①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
②異號兩數相加，取絕對值較大加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
③一個數與0相加，仍得這個數.
④相反兩數相加得0。
有理數加法的運算律：
①加法的交換律：a+b=b+a ；
②加法的結合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數；即a-b=a+（-b）.
（3）有理數乘法法則：
①兩數相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘；
②任何數同零相乘都得零；
③幾個數相乘，有一個因式為零，積為零；各個因式都不為零，積的符號由負因式的個數決定。當負因式的個數為奇數時，乘積為負；當負因式的個數為偶數時，乘積為正。
有理數乘法的運算律：
①乘法的交換律：ab=ba；
②乘法的結合律：（ab）c=a（bc）；
③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
（4）有理數除法法則：除以一個不為0數，等于乘以這個數的倒數；注意：零不能做除數，.
（5）乘方：求n個相同因數a的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，a叫底數，n叫次數。
有理數乘方的法則：
①正數的任何次冪都是正數；
②負數的奇次冪是負數；
③負數的偶次冪是正數；
④0的任何正整數次冪都是0。
3.有理數的混合運算法則：
先乘方，后乘除，最后加減，如果有括號，先算括號里面的。
考點1：實數的相關概念
◇例題1．是的（ ）
A．倒數 B．相反數 C．絕對值 D．平方
【答案】A
【點撥】本題主要考查倒數的定義，掌握兩個數的乘積等于1，那么這兩數互為倒數，是解題的關鍵．根據倒數的定義即可求解．
【詳解】解：∵，
∴是的倒數．
故選：A．
◇例題2．下列圖形是四位同學畫的數軸，其中正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【點撥】根據數軸的三要素：原點，正方向，單位長度即可判斷所給出的四個數軸哪個正確．
【詳解】由數軸三要素：單位長度、正方向和原點可知，
、無正方向，錯誤，故不符合題意；
、符合數軸三要素，正確，故符合題意；
、單位長度不統一，錯誤，故不符合題意；
、無原點，錯誤，故不符合題意；．
故選：．
◇例題3．如圖，數軸上雪容融所在點表示的數可能為（ ）

A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【點撥】直接利用數軸得出結果即可．
【詳解】解：數軸上蝴蝶所在點表示的數可能為，
故選：C．
◇例題4．的絕對值是 ．
【答案】
【點撥】根據絕對值的意義，實數的絕對值永遠是非負數，負數的絕對值是它的相反數，即可得解．
【詳解】解：根據負數的絕對值是它的相反數，得
．
故答案為：．
◇例題5．已知互為相反數，則的值為 ．
【答案】0
【點撥】根據相反數的性質即可求解．
【詳解】解：∵互為相反數，
∴．
故答案為：0．
◆變式訓練
1．的相反數是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【點撥】本題考查了相反數的定義，只有符號不同的兩個數互為相反數，據此作答即可．
【詳解】解：依題意，的相反數是2，
故選：A．
2．的倒數是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【點撥】先求出，再求倒數．
【詳解】因為，
所以的倒數是．
故選：D．
3．已知a，b都是實數，若，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
【答案】B
【點撥】根據絕對值和偶次方的非負性可求解a，b的值，再代入計算可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
解得，
∴．
故選：B．
4．如圖，數軸上點分別對應實數，下列各式的值最小的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】根據數軸可直接進行求解．
【詳解】解：由數軸可知點C離原點最近，所以在、、、中最小的是；
故選C．
考點2：實數的分類
◇例題1．把符合條件的數填在相應的大括號內．
整數{ …}；無理數{ …}；
正有理數{ …}；負分數{ …}．
【點撥】根據整數的定義、無理數的定義、正有理數的定義和負分數的定義分類即可．
【詳解】解：整數{…}；
無理數{…}；
正有理數{…}；
負分數{…}．
◇例題2．請把下列各數填入相應的集合中．
，，，，，，，．
非負數集合：__；
分數集合：__；
無理數集合：__．
【點撥】由于實數包括有理數和無理數，有理數包括整數和分數，無限不循環小數是無理數；實數還可分為正實數、負實數和利用這些結論即可求解．
【詳解】解：非負數集合：；
分數集合：；
無理數集合：．
故答案為：，，，，；，，，；，．
◆變式訓練
1．下列四個選項中，為負整數的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【點撥】根據整數的概念可以解答本題．
【詳解】解：A、0既不是正數，也不是負數，故選項A不符合題意；
B、 0.5是負分數，故選項B不符合題意；
C、不是負整數，故選項C不符合題意；
D、-2是負整數，符合題意．
故選：D．
2．在中，是無理數的是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【點撥】根據無理數的定義判斷即可；
【詳解】解：∵-2，，2是有理數，是無理數，
故選： C．
3．小赫制作了如圖所示的實數分類導圖，下列選項能按序正確填入兩個空格的是（　　）

A．； B．； C．； D．；
【答案】A
【點撥】根據實數的分類判斷各項，即可得到答案．
【詳解】解：A．是負整數，是負無理數，故A選項符合題意；
B．是正整數，是負無理數，故B選項不符合題意；
C．是負整數，是負整數，故C選項不符合題意；
D．是正整數，是負整數，故D選項不符合題意；
故選：A．
4．在，，，，這五個數中，有理數有 個
【點撥】根據有理數和無理數的定義進行判斷即可得.
【詳解】根據題意可得有理數有，，，
，為無理數，
所以有理數有3個，
故答案為3．
考點3 科學記數法和近似數
◇例題1．2023年常州市人口總數萬人．人口總數用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】絕對值大于1的數可以用科學記數法表示．本題考查用科學記數法表示較小的數，熟練掌握一般形式為，其中，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定是解題的關鍵．
【詳解】解：萬．
故選：A
◇例題2．長城的總長用科學記數法表示約為米，則它的原數為（ ）
A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米
【答案】B
【點撥】本題考查了科學記數法，解題的關鍵是掌握科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．本題根據已知科學記數法的結果再判斷原數，先確定原數的整數數位即可．
【詳解】解：米對應的原數為6700000米，
故選B
◇例題3．用四舍五入法取近似值，將數精確到的結果是 ．
【答案】
【點撥】本題考查了求近似數，掌握四舍五入法是解題的關鍵．
將萬分位的，四舍五入即可求解．
【詳解】解：用四舍五入法將精確到的近似值是，
故答案為：．
◆變式訓練
1．第七次全國人口普查結果顯示，我國人口受教育水平明顯提高，具有大學文化程度的人數約為218360000，將218360000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】此題考查了正整數指數科學記數法，對于一個絕對值大于10的數，科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為比原數的整數位數少的正整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
【詳解】解：．
故選D．
2．已知圓周率，小學階段我們經常使用的3.14是將精確到（ ）
A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001
【答案】C
【點撥】此題考查了精確度，理解精確度的確定方法：根據保留的數位的下一位，利用四舍五入得到精確數．
【詳解】將精確到百分位，即精確度0.01得到，
故選：C．
3．用四舍五入法把某數取近似值為，精確度正確的是（ ）
A．精確到0.01 B．精確到0.1 C．精確到萬分位 D．精確到千分位
【答案】D
【點撥】將數還原后，原數最后一個數字2所在的位置即是該數精確的位置．
【詳解】解：=0.052，
故選：D．
4．下列說法正確的是（ ）
A．4.6萬精確到個位 B．0.730精確到百分位
C．精確到千分位 D．精確到千位
【答案】D
【點撥】本題主要考查近似數及科學記數法，熟練掌握近似數及科學記數法是解題的關鍵；因此此題可根據近似數及科學記數法進行求解．
【詳解】解：A、4.6萬，所以4.6萬精確到千位，故該選項錯誤；
B、0.730精確到千分位，故該選項錯誤；
C、，所以精確到十位，故該選項錯誤；
D、，所以精確到千位，故該選項正確；
故選D．
考點4 平方根、算術平方根、立方根
◇例題1．實數9的算術平方根為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【點撥】本題主要考查了求一個數的算術平方根，若實數a、b滿足，當a為非負數時，a就叫做b的算術平方根，據此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴實數9的算術平方根為3，
故選：A．
◇例題2．16的平方根是（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】C
【點撥】根據平方根的定義進行計算．
【詳解】解：16的平方根是，
故答案選：C．
◇例題3．的立方根是（ ）
A．0.1 B． C． D．0.01
【答案】A
【點撥】本題考查立方根，掌握開立方的法則是解題的關鍵．
【詳解】解：，
故選A．
◆變式訓練
1．的平方根是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】根據平方根的定義求解即可．
【詳解】解：，
的平方根是，
故選：．
2．的算術平方根是 ．
【答案】2
【點撥】根據算術平方根的運算法則，直接計算即可．
【詳解】解：∵，4的算術平方根是2，
∴的算術平方根是2．
故答案為：2．
3．的立方根是 ．
【答案】
【點撥】根據立方根的定義即可求解．
【詳解】解：∵，
∴的立方根是；
故答案為：．
4．一個正數a的兩個平方根是和，則的立方根為 ．
【答案】2
【點撥】根據一個正數的平方根互為相反數，將和相加等于0，列出方程，解出b，再將b代入任意一個平方根中，進行平方運算求出這個正數a，將算出后，求立方根即可．
【詳解】∵和是正數a的平方根，
∴，
解得 ，
將b代入，
∴正數 ，
∴，
∴的立方根為：，
故填：2．
考點5 實數大小比較
◇例題1．四個實數，0，2，中，最大的數是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【點撥】根據實數的大小比較法則，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴最大的數是2．
故選：C
◇例題2．請寫出一個比大且比10小的無理數： ．
【答案】（答案不唯一）
【點撥】根據實數的大小比較即可求出答案．
【詳解】解：∵5＜7＜100，
∴<<10
∴比大且比10小的無理數為，
故答案為：（答案不唯一）．
◇例題3．比較大小： （填“”，“”或“”）．
【答案】
【點撥】根據實數大小比較解答即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
故答案為：．
◆變式訓練
1．比較大小： 5（選填“”、“ ”、“ ” ）．
【答案】＜
【點撥】先把兩數值化成帶根號的形式，再根據實數的大小比較方法即可求解．
【詳解】解：∵，，
而24＜25，
∴＜5．
故答案為：＜．
2．在四個數中，最小的實數是 ．
【答案】
【點撥】先計算出，再根據比較實數的大小法則即可．
【詳解】解：，，
故，
故答案為：．
考點6 實數運算
◇例題1．定義一種新的運算：如果．則有，那么的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【點撥】根據題意列出算式，求解即可
【詳解】
．
故選B．
◇例題2．計算：等于（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】C
【點撥】先化簡絕對值，求解特殊角的三角函數，負整數指數冪，零次冪，再進行加減運算即可．
【詳解】解：
=2，
故選C．
◇例題3．計算： ．
【答案】
【點撥】根據零次冪、負整數指數冪和立方根的性質化簡，然后計算即可．
【詳解】解：原式，
故答案為：．
◇例題4．計算：．
【點撥】計算乘方、化簡絕對值、計算零指數冪，再進行加減運算即可得到答案．
【詳解】解：原式
.
◆變式訓練
5．計算 ．
【點撥】根據零指數冪、二次根式的性質進行計算即可．
【詳解】
．
故答案為：．
6．計算：．
【點撥】先化簡絕對值，計算二次根式的乘方運算，有理數的乘法運算，再合并即可．
【詳解】解：
．
7．計算：．
【點撥】根據實數的混合運算法則即可求解．
【詳解】原式
1．（2021·廣東·統考中考真題）下列實數中，最大的數是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【點撥】直接根據實數的大小比較法則比較數的大小即可．
【詳解】解：，，，
∴，
故選：A．
2．（2022·廣東深圳·統考中考真題）下列互為倒數的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【點撥】根據互為倒數的意義，找出乘積為1的兩個數即可．
【詳解】解：A．因為，所以3和是互為倒數，因此選項符合題意；
B．因為，所以與2不是互為倒數，因此選項不符合題意；
C．因為，所以3和不是互為倒數，因此選項不符合題意；
D．因為，所以和不是互為倒數，因此選項不符合題意；
故選：A．
3．（2022·廣東·統考中考真題）計算的結果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【點撥】利用乘方的意義計算即可．
【詳解】解：
故選：D．
4．（2023·廣東·統考中考真題）負數的概念最早出現在我國古代著名的數學專著《九章算術》中，如果把收入5元記作元，那么支出5元記作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
【答案】A
【分析】根據相反數的意義可進行求解．
【詳解】解：由把收入5元記作元，可知支出5元記作元；故選A．
【點睛】本題主要考查相反數的意義，熟練掌握相反數的意義是解題的關鍵．
5．（2023·廣東深圳·統考中考真題）深中通道是世界級“橋、島、隧、水下互通”跨海集群工程，總計用了320000萬噸鋼材，320000這個數用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】根據科學記數法的表示方法求解即可．
【詳解】．
故選：B．
6．（2023·廣東深圳·二模）光年是天文學上的一種距離單位，一光年是指光在一年內走過的路程，約等于．下列正確的是（ ）
A． B．
C．是一個12位數 D．是一個13位數
【答案】D
【分析】根據科學記數法、同底數冪乘法和除法逐項分析即可解答．
【詳解】解：A. ，故該選項錯誤，不符合題意；
B. ，故該選項錯誤，不符合題意；
C. 是一個13位數，故該選項錯誤，不符合題意；
D. 是一個13位數,正確，符合題意．故選D．
【點睛】本題主要考查了科學記數法、同底數冪乘法和除法等知識點，理解相關定義和運算法則是解答本題的關鍵．
7．（2024·廣東·統考中考模擬）若a、b互為相反數，c為8的立方根，則 ．
【答案】
【分析】利用相反數，立方根的性質求出及c的值，代入原式計算即可得到結果．
【詳解】解：根據題意得：，，故答案為：
【點睛】此題考查了代數式求值，相反數、立方根的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
8．（2018·廣東·統考中考真題）一個正數的平方根分別是和，則 ．
【答案】2．
【點撥】根據正數的兩個平方根互為相反數可得關于x的方程，解方程即可得．
【詳解】根據題意可得：x+1+x﹣5=0，解得：x=2，
故答案為2．
9．（2018·廣東·統考中考真題）已知，則 ．
【答案】2．
【點撥】利用非負數的性質結合絕對值與二次根式的性質即可求出a，b的值，進而即可得出答案．
【詳解】∵+|b﹣1|=0，
又∵，，
∴a﹣b=0且b﹣1=0，
解得：a=b=1，
∴a+1=2.
故答案為2．
10．（2020·廣東·統考中考真題）若，則 ．
【答案】1
【點撥】根據絕對值的非負性和二次根式的非負性得出a，b的值，即可求出答案．
【詳解】∵
∴，，
∴，
故答案為：1．
11．（2023·廣東·統考中考真題）（1）計算：；
【點撥】（1）先求出立方根及有理數的乘方運算，絕對值的化簡，然后計算加減法即可；
【詳解】解：（1）
；
1．﹣3的倒數是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】乘積是1的兩數互為倒數，依據倒數的定義解答即可．
【解答】解：﹣3的倒數是﹣．
故選：B．
2．據統計我國每年浪費的糧食約35000000噸，我們要勤儉節約，反對浪費，積極的加入“光盤行動”中來．用科學記數法表示35000000是（　　）
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
【解答】解：將35000000用科學記數法表示為：3.5×107．
故選：B．
3．9的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
【分析】根據一個正數有兩個平方根，它們互為相反數進行解答即可．
【解答】解：±＝±3
故選：A．
4．在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是（　　）
A．3.14 B．﹣ C． D．0
【分析】根據無理數的定義判斷即可．
【解答】解：在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是．
故選：C．
5．實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（　　）
A．b＜a B．a＜﹣2 C．a+b＞0 D．﹣a＞b
【分析】由數軸可得﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，|a|＞|b|，再利用實數的加法法則進行判斷即可．
【解答】解：由數軸可得﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，
則A，B均不符合題意，
∵|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
即﹣a＞b，
則C不符合題意，D符合題意，
故選：D．
6．生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，請你推算22023的個位數字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根據尾數的循環性得出結論即可．
【解答】解：由題意知，2n個位數字每四個數按2，4，8，6循環出現，
∵2023÷4＝505…3，
∴22023的個位數字與23相同，為8，
故選：D．
7．比較大小：3 　 　（填寫“＜”或“＞”）．
【分析】將3轉化為，然后比較被開方數即可得到答案．
【解答】解：∵3＝，且9＞7，
∴3＞，
故答案為：＞．
8．與最接近的整數是 　 　．
【分析】先估算出的范圍，再將其與3.5進行比較、求解．
【解答】解：∵3＜＜4，且3.52＝12.25，
∴3.5＜＜4，
∴與最接近的整數是4，
故答案為：4．
9．如果，那么x+2y的算術平方根為 　　．
【分析】先根據非負數的性質求出x，y的值，再代入x+2y求值，根據算術平方根的定義即可得出結論．
【解答】解：由題意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算術平方根為．
故答案為：．
10．對于有理數a，b，定義一種新運算“⊙”，規定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．則計算3⊙（﹣4）的值為 　 　．
【分析】根據題中的新定義進行計算即可得．
【解答】解：根據題中的新定義得：3⊙（﹣4）＝|3+（﹣4）|+|3﹣（﹣4）|＝1+7＝8，
故答案為：8．
11．計算：．
【分析】先根據絕對值意義，零指數冪和負整數指數冪運算法則進行化簡，然后再計算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
12．計算：．
【分析】先計算負整數指數冪，零指數冪，特殊角的三角函數值，化簡絕對值，再進行計算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣2．
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