資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
第四節 一元一次不等式（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式及不等式的基本性質 ☆☆ 本節內容以考查依據題意列不等式并解決問題、不等式（組）的解法為主，體現了不等式的工具性，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右。預計2024年各地中考還將繼續考查這些知識點，重要題型有解不等式（組）、不等式含參、不等式相關的應用題以及不等式的性質，為避免丟分，學生應扎實掌握。
考點2 一元一次不等式 ☆☆☆
考點3 一元一次不等式組 ☆☆☆
考點4 不等式（組）的實際應用 ☆☆☆
■考點一　不等式及不等式的基本性質
1.不等式：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解．
2.不等式的基本性質
理論依據 式子表示
性質1 不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變 若，則
性質2 不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變 若，，則或
性質3 不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變 若，，則或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解是一個范圍，這個范圍就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示：不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個解．
■考點二　一元一次不等式
1.一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1次，這樣的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1（注意不等號方向是否改變）．
■考點三　一元一次不等式組
1）一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．
2）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過程，叫做解不等式組．
3）一元一次不等式組的解法：先分別求出每個不等式的解集，再利用數軸求出這些一元一次不等式的解集的公共部分即可，如果沒有公共部分，則該不等式組無解．
4）幾種常見的不等式組的解集：設，，是常數，關于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號取不到時在數軸上用空心圓點表示）：
不等式組 （其中） 數軸表示 解集 口訣
同大取大
同小取小
大小、小大中間找
無解 大大、小小取不了
■考點四　不等式（組）的實際應用
列不等式（組）解應用題的基本步驟如下：①審題；②設未知數；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗并寫出答案．
注意：列不等式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數等綜合考查，涉及的題型常與方案設計型問題相聯系，如最大利潤、最優方案等。列不等式時，要抓住關鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接．
■易錯提示
1.不等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數或分母．
2.運用不等式的性質進行不等式變形時,要特別注意性質2和性質3的區別,在乘(或除以)同一個數時,必須先弄清楚這個數是正數還是負數,如果是負數,不等號要改變方向.
3. 一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是1.
4. 利用數軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分.
■考點一　不等式及不等式的基本性質
◇典例1：（2023·河北中考模擬）語句“的與的和不超過”可以表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】x的即x，不超過5是小于或等于5的數，由此列出式子即可．
【解析】 “x的與x的和不超過5”用不等式表示為x+x≤5．故選A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式．
◆變式訓練
1．（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為，通過燈泡的電流強度的最大限度不得超過．設選用燈泡的電阻為，下列說法正確的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
【答案】A
【分析】根據U=IR，代入公式，列不等式計算即可．
【詳解】解：由題意，得，解得．故選：A．
【點睛】本題結合物理知識，列不等式進而求解，解決問題的關鍵是理解題意，列出不等式．
◇典例2：（2023·四川德陽·統考中考真題）如果，那么下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據不等式的性質對各選項進行判斷．
【詳解】解：∵，∴，，，，
∴A，B，C不符合題意，D符合題意；故選D
【點睛】本題考查了不等式的性質：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
◆變式訓練
1.（2023年北京市中考數學真題）已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，則，根據不等式的性質求解即可．
【詳解】解：得，則，∴，∴，故選：B．
【點睛】本題考查不等式的性質，注意：當不等式兩邊同時乘以一個負數，則不等式的符號需要改變．
2．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據不等式的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：A、由x＜y可得：，故選項成立；
B、由x＜y可得：，故選項不成立；
由x＜y可得：，故選項不成立；
D、由x＜y可得：，故選項不成立；故選A.
【點睛】本題考查了不等式的性質：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
◇典例3：（2023·廣西·中考模擬）如圖，在數軸上表示x的取值范圍是________．
【答案】
【分析】根據數軸可知，表示x的數在數2的右邊，且不等于2，因此即可判斷x的取值范圍 ．
【詳解】由數軸知：，故答案為：x>2．
【點睛】本題考查用不等式表示數軸上的數的范圍，體現了數與形的結合，要注意是實心點還是空心圓圈．
◆變式訓練
1．（2023·重慶一模）不等式在數軸上表示正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓圈表示，把已知解集表示在數軸上即可．
【詳解】解：不等式在數軸上表示為： ．故選：D．
【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，熟悉相關性質是解題的關鍵．
2. （2021·四川南充·統考中考真題）滿足的最大整數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】逐項分析，求出滿足題意的最大整數即可．
【詳解】A選項，，但不是滿足的最大整數，故該選項不符合題意，
B選項，，但不是滿足的最大整數，故該選項不符合題意，
C選項，，滿足的最大整數，故該選項符合題意，
D選項，，不滿足，故該選項不符合題意，故選：C．
【點睛】本題較為簡單，主要是對不等式的理解和最大整數的理解．
■考點二　一元一次不等式
◇典例4：（2023·浙江·九年級專題練習）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據一元一次不等式的定義：形如或或或（其中a是不等于0的常數，b為常數），由此進行判斷即可．
【詳解】解：（1）即是一元一次不等式；（2）是二元二次整式，不是不等式；（3）是二元一次不等式（4）不是一元一次不等式；（5）是一元一次不等式 ；（6）不是一元一次不等式，故選B．
【點睛】本題考查一元一次不等式的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握一元一次不等式的定義．
◆變式訓練
1．（2022·黑龍江·九年級期中）若是關于x的一元一次不等式，則m的值為________．
【答案】1
【分析】根據一元一次不等式的定義可得：且，求解即可．
【詳解】解：根據一元一次不等式的定義可得：且解得答案為1
【點睛】此題考查了一元一次不等式的定義，解題的關鍵是掌握一元一次不等式的概念．
2．（2022·山西忻州·九年級期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整數解有無數個
C．不等式的整數解是0 D．是不等式的一個解
【答案】C
【分析】解出不等式的解集，根據不等式的解的定義，是能使不等式成立的未知數的值，就可以作出判斷．
【詳解】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正確，不符合題意；
B、由于整數包括負整數、0、正整數，所以不等式x＜3的整數解有無數個，正確，不符合題意；
C、不等式x＋3＜3的解集為x＜0，所以不等式x＋3＜3的整數解不能是0，錯誤，符合題意；
D、由于不等式2x＜3的解集為x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一個解，正確，不符合題意．
選：C．
【點睛】本題考查了不等式的解集，解答此題關鍵是掌握解不等式的方法，及整數的分類．
◇典例5：（2023·綿陽市·中考模擬）解不等式．
【答案】
【分析】不等式去分母，去括號，移項合并，把x系數化為1，即可求出解．
【詳解】解：，
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數化成1，得．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解此題的關鍵點是能正確根據不等式的性質進行變形，注意：移項要變號．
◆變式訓練
1．（2022·四川攀枝花·統考中考真題）解不等式： ．
【答案】
【分析】按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1的步驟解答即可．
【詳解】解：
去分母，得，
去括號，得，
移項、合并同類項，得．
化系數為1，得．
【點睛】此題考查了一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關鍵．
2．（2023·四川眉山·一模）若關于的不等式只有3個正整數解，則的取值范
圍是______．
【答案】
【分析】首先解關于的不等式，然后根據只有3個正整數解，來確定關于的不等式組的取值范圍，再進行求解即可．
【詳解】解：解不等式，得：，
由題意只有3個正整數解，則分別為：1，2，3，
故：，解得：，故答案是：．
【點睛】本題考查了關于不等式的正整數解及解一元一次不等式組的解集問題，解題的關鍵是：根據關于不等式的正整數解的情況來確定關于的不等式組的取值范圍，其過程需要熟練掌解不等式的步驟．
■考點三　一元一次不等式組
◇典例6：（2023年廣東廣州中考數學真題）不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】先解出不等式組的解集，然后將解集表示在數軸上即可．
【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，
∴不等式組的解集為，在數軸上表示為：
故選：B．
【點睛】此題考查不等式組的解法，解題關鍵是將解集表示在數軸上時，有等號即為實心點，無等號則為空心點．
◆變式訓練
1．（2023年四川省德陽市中考數學真題）不等式組，的解集是（ ）
A． B． C． D．無解
【答案】A
【分析】先求出每個不等式的解集，再根據 “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
【詳解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，故選A．
【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵．
2.（2023·四川涼山·統考中考真題）不等式組的所有整數解的和是_________．
【答案】7
【分析】先分別解不等式組中的兩個不等式，得到不等式組的解集，再確定整數解，最后求和即可．
【詳解】解：，由①得：，∴，解得：；
由②得：，整理得：，解得：，
∴不等式組的解集為：，∴不等式組的整數解為：，，0，1，2，3，4；
∴，故答案為：7
【點睛】本題考查的是求解一元一次不等式組的整數解，熟悉解一元一次不等式組的方法與步驟是解本題的關鍵．
3．（2023·四川成都·統考中考真題）（1）計算：．
（2）解不等式組：
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）先計算算術平方根、特殊角的三角函數值、零指數冪和絕對值，再加減運算即可求解；
（2）先求得每個不等式的解集，再求得它們的公共部分即可求解；
【詳解】解：（1）；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式組的解集為．
【點睛】本題主要考查實數的混合運算和解一元一次不等式組，涉及到特殊角的三角函數值、零指數冪、絕對值、二次根式的加減等知識，熟練掌握相關運算法則并正確求解是解答的關鍵．
◇典例7：（2023年四川省宜賓中考數學真題）若關于x的不等式組所有整數解的和為，則整數的值為 ．
【答案】或
【分析】根據題意可求不等式組的解集為，再分情況判斷出的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：由①得：，由②得：，不等式組的解集為：，
所有整數解的和為，
①整數解為：、、、，，解得：，為整數，．
②整數解為：，，，、、、，，解得：，為整數，．
綜上，整數的值為或故答案為：或．
【點睛】本題考查了含參數的一元一次不等式組的整數解問題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數的意義是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）已知不等式組的解集是，則（　　）
A．0 B． C．1 D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，可得，再結合已知可得，，然后進行計算可求出，的值，最后代入式子中進行計算即可解答．
【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∴原不等式組的解集為：，
∵不等式組的解集是，∴，，∴，，
∴，故選：B．
【點睛】本題考查了根據一元一次不等式組的解集求參數，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
2．（2023年四川省眉山市中考數學真題）關于x的不等式組的整數解僅有4個，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據整數解共有4個，確定出m的范圍即可．
【詳解】解：，由②得：，解集為，
由不等式組的整數解只有4個，得到整數解為2，1，0，，
∴，∴；故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數解等知識點的理解和掌握，能根據不等式組的解集得到是解此題的關鍵．
3．（2023年四川省遂寧市中考數學真題）若關于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別求出各不等式的解集，再根據不等式組的解集是求出a的取值范圍即可．
【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∵關于的不等式組的解集為，∴，故選：D．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
◇典例8：（2022·九龍縣九年級期末）已知關于x，y的方程組的解滿足不等式2x+y>8，則m的值是_____．
【答案】m＜-6．
【分析】先解方程組，然后將x、y的值代入不等式解答．
【詳解】解：①+②得，，解得，x=2m-1，
把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m，
將x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，故答案為：m＜-6．
【點睛】本題考查了方程組與不等式，熟練解方程組與不等式是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·浙江杭州市·九年級模擬）已知方程組的解為正數，求a的取值范圍是_______．
【答案】－＜＜4
【分析】先解方程組用含a的式子表示方程組的解，根據方程組的解是正數，列出關于a的不等式組，再求解．
【詳解】解：，①＋②得：，，
①－②得：，，所以，原方程組的解為：，
∵ 方程組的解為正，∴＞0且＞0，解得：－＜＜4，故填：－＜＜4．
【點睛】本題考查了方程組的解法，以及一元一次不等式組的解法，解此類問題要先用字母a表示方程組的解，再根據題意，列不等式組，最后求解．
2．（2023·浙江金華市·九年級期中）若不等式組有解，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出不等式組的解集，與已知解集比較，可求出n的取值范圍．
【詳解】∵不等式組有解，∴n＜x＜8，∴n＜8，n的取值范圍為：n＜8．故選：C．
【點睛】考查了不等式的解集，本題是已知不等式組的解集，求不等式中參數范圍的問題．可以先將參數當作常數處理，求出解集與已知解集比較，進而即可求解．
3．（2023·安岳縣九年級期中）已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
【答案】B
【分析】首先解不等式，然后根據不等式組無解確定a的范圍．
【詳解】解：解不等式①，得；解不等式②，得；
∵不等式組無解，∴；故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
◇典例9：（2023·遼寧九年級期末）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：
例題：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”
有①或②
解不等式組①得x＞3，解不等式組②得x＜﹣3
故原不等式的解集為：x＞3或x＜﹣3
問題：求不等式的解集．
【答案】
【分析】根據有理數的除法法則得出兩個不等式組,求出每個不等式組的解集,集求出答案
【解析】解：由有理數的除法法則“兩數相除，異號得負“，
有① 或② ，解不等式組①，得 ，
解不等式組②，得不等式組②無解，故原不等式組的解集為：，
【點睛】此題考查解一元一次不等式組，解題關鍵在于利用有理數的除法法則
◆變式訓練
1．（2023·寧夏·石嘴山九年級階段練習）閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式時，是這樣思考的：根據兩數相除，同號得正，異號得負．原分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：
①或②
解不等式組①得，
解不等式組②得．
所以原不等式的解集為或．
請你參考小亮思考問題的方法，解分式不等式．
【答案】
【分析】根據題意，由材料中的解不等式的方法進行解不等式，即可求出答案.
【詳解】解：根據題意，∵，則；
∵，分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：
①或②
解不等式組①，得：，
解不等式組②，得：無解，
∴原不等式的解集為：.
【點睛】本題考查了解不等式組，以及解分式不等式，解題的關鍵是熟練掌握材料，利用材料的方法進行解題.
2．（2023·四川九年級期末）先閱讀理解下列例題：
例題：解一元二次不等式
由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”可得有：①或 ②
解不等式組①得；解不等式組②得
∴一元二次不等式的解集是或
根據以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）由有理數的乘法法則“兩數相乘，異號得負”得出兩個不等式組，然后求出每個不等式組的解集，進而可得答案；（2）由有理數的除法法則“兩數相除，同號得正” 得出兩個不等式組，然后求出每個不等式組的解集，進而可得答案．
【詳解】解：（1）由有理數的乘法法則“兩數相乘，異號得負”可得：
①或②，解不等式組①，得；解不等式組②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理數的除法法則“兩數相除，同號得正”可得：
①或②，解不等式組①，得；解不等式組②，無解；
故不等式的解集為．
【點睛】本題是閱讀理解題，主要考查了一元一次不等式組的解法和有理數乘除法則的理解與運用，正確理解題意、熟練掌握解一元一次不等式組的方法是解題關鍵．
■考點四　不等式（組）的實際應用
◇典例11：（2023·北京石景山·七年級期末）按照下面給定的計算程序，當時，輸出的結果是_____；使代數式的值小于20的最大整數x是__________．
【答案】 1 7
【分析】當時，代數式的值，根據1＜20，可確定輸出的值為1，列不等式，求解即可得答案．
【詳解】解：當時，，
∵，∴當時，輸出的值為1，
，移項合并得，系數化1得，∴x最大整數=7．故1；7．
【點睛】本題考查流程圖與代數式求值，列不等式，不等式的最大整數解，掌握代數式求值，列不等式是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·湖北黃陂·九年級期末）如圖是一個數據轉換器，按該程序進行運算，若輸入，則該程序需要運行________次才停止；若該程序只運行了次就停止了，則的取值范圍是________．
【答案】 3
【分析】①分別求出程序運行1次、2次、3次得出的結果，將其與16比較后即可得出結論；②根據該程序只運行了2次就停止了，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍．
【詳解】解：①輸入3，得：，輸入4，得：，
輸入7，得：，∴若x=3，該程序需要運行3次才停止，
②依題意得：，解得：．
x的取值范圍為，故答案為：3；．
【點睛】本題考查一元一次不等式的應用以及一元一次不等式組的應用，列出不等式組是解題的關鍵．
◇典例12：（2023·射陽縣九年級期中）有學生若干人，住若干間宿舍，若每間住5人，則有14人無法安排住宿，若每間住8人，則最后有一間宿舍不滿也不空，則學生人數為_____．
【答案】39或44或49
【分析】設共有x間宿舍，則學生數有（5x＋14）人，列出不等式組為0＜5x＋14 8（x 1）＜8解出即可．
【詳解】設共有x間宿舍，則學生數有（5x＋14）人，
根據題意得：0＜5x＋14 8（x 1）＜8，解得＜x＜，
∵x為整數，∴x＝5或6或7，即學生有5x＋14＝39或5x＋14＝44或5x＋14＝49．
即，學生人數是39或44人或49；故答案為：39或44或49．
【點睛】本題考查一元一次不等式組的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀懂題列出不等式關系式即可求解．準確的解不等式組是需要掌握的基本能力．
◆變式訓練
1.（2022·寧波市鄞州區九年級期中）一次生活常識知識競賽一共有20道題，答對一題得5分，不答得0分，答錯扣2分，小聰有1道題沒答，競賽成績超過80分，則小聰至少答對了_______道題．
【答案】17
【分析】設小聰答對了x道題，根據“答對題數×5 答錯題數×2＞80分”列出不等式，解之可得．
【詳解】設小聰答對了x道題，根據題意，得：5x 2（19 x）＞80，解得x＞16，
∵x為整數，∴x＝17，即小聰至少答對了17道題，故答案為：17．
【點睛】本題主要考查一元一次不等式的應用，列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵．
2．（2023年湖南省長沙市中考數學真題）為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神．某校利用課后服務時間，在九年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個班級參加．(1)比賽積分規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積分，負一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負場數分別是多少？(2)投籃得分規則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個分球？
【答案】(1)該班級勝負場數分別是場和場；(2)該班級這場比賽中至少投中了個分球．
【分析】（1）設勝了場，負了場，根據場比賽中獲得總積分為分可列方程組，求解即可．
（2）設班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，根據所得總分不少于分，列出相應的不等式，從而可以求出答案．
【詳解】（1）解：設勝了場，負了場，
根據題意得：，解得，
答：該班級勝負場數分別是場和場；
（2）設班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，
根據題意得：，解得，
答：該班級這場比賽中至少投中了個分球．
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和不等式．
◇典例13：（2023·山東濟寧市·九年級期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超過18分鐘的時間內到達，已知他每分鐘走90米．若跑步每分鐘可跑210米，問這人完成這段路程，至少要跑(　　)
A．3分鐘 B．4分鐘 C．4.5分鐘 D．5分鐘
【答案】B
【分析】設這人跑了x分鐘，則走了（18-x）分鐘，根據速度×時間=路程結合要在18分鐘內到達，即可得出關于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，取其中的最小值即可得出結論．
【詳解】解：設這人跑了x分鐘，則走了（18-x）分鐘，
根據題意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：這人完成這段路程，至少要跑4分鐘．故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）端午節是我國傳統節日，端午節前夕，某商家出售粽子的標價比成本高25%，當粽子降價出售時，為了不虧本，降價幅度最多為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設粽子的成本為a元，設降價幅度為x，根據降價出售后不虧本即售價不低于進價列出不等式，解不等式即可得到答案．
【詳解】解：設粽子的成本為a（a是常數且）元，設降價幅度為x，
則，解得，
即為了不虧本，降價幅度最多為．故選：A．
【點睛】此題考查了一元一次不等式的應用，根據題意正確列出不等式是解題的關鍵．
2.（2023·浙江紹興市·九年級模擬）某家庭投資3.5萬元資金建造屋頂光伏發電塔，遇到晴天平均每天可發電30度，其他天氣平均每天可發電5度，已知某月（按30天計）共發電600度．
信息鏈接：根據國家相關規定，凡是屋頂光伏發電站生產的電，家庭用電后剩余部分可以0.45元/度賣給電力公司，同時可獲得政府補貼0.52元/度．（1）求這個月晴天的天數；（2）已知該家庭每月平均用電150度，若按每月發電600度計算，問至少需要幾年才能收回成本？（不計其他費用，結果取整數）
【答案】（1）18天；（2）7年
【分析】（1）設這個月晴天的天數為x，根據“某月（按30天計）共發電600度”列出關于x的方程，解之可得；（2）設需要y年才能收回成本，據家庭共投資3.5萬元列出關于y的不等式，解之可得．
【詳解】解：（1）設這個月晴天的天數為x，由題意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，∴這個月晴天的天數為18．
（2）設需要y年才能收回成本，由題意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，5238y≥35 000，y≥6.7，
∵y取整數，∴至少需要7年才能收回成本．
【點睛】本題考查一元一次不等式、一元一次方程等知識，熟練應用方程或不等式解決實際問題是解題的關鍵，屬于中考常考題型．
◇典例14：（2023·四川達州·統考中考真題）某縣著名傳統土特產品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽全國，深受廣大消費者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進貨價為240元，3件豆筍和4件豆干進貨價為340元．(1)分別求出每件豆筍、豆干的進價；(2)某特產店計劃用不超過元購進豆筍、豆干共件，且豆筍的數量不低于豆干數量的，該特產店有哪幾種進貨方案？
(3)若該特產店每件豆筍售價為80元，每件豆干售價為55元，在（2）的條件下，怎樣進貨可使該特產店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？
【答案】(1)豆筍、豆干的進價分別是60元/件，40元/件
(2)有3種進貨方案：豆干購進件，則豆筍購進件；豆干購進件，則豆筍購進件；豆干購進件，則豆筍購進件(3)購進豆干購進件，則豆筍購進件，獲得最大利潤為元
【分析】（1）設豆筍、豆干的進價分別是a元/件、b元/件，根據等量關系列出方程組，解方程組即可；（2）設豆干購進n件，則豆筍購進件，根據不等關系列出不等式組，解不等式組，再根據n取整數，即可求得進貨方案；（3）設總利潤為W元，豆干購進n件，求得W關于x的函數關系式為，根據一次函數的性質即可求得總利潤最大的進貨方案．
【詳解】（1）解：設豆筍、豆干的進價分別是a元/件、b元/件，
則，解得，
故豆筍、豆干的進價分別是60元/件，40元/件．
（2）設豆干購進n件，則豆筍購進件，
，解得，
∴時，，即豆干購進件，則豆筍購進件，
時，，即豆干購進件，則豆筍購進件，
時，，即豆干購進件，則豆筍購進件．
（3）設總利潤為W元，豆干購進n件，
則（且n為整數），
∵，當時，W隨n的增大而減小，
∴當時，W取最大值，為．
此時，購進豆干購進件，則豆筍購進件，獲得最大利潤為元．
【點睛】本題是方程、不等式及函數的綜合題，考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，一次函數的性質等知識，涉及分類討論思想，屬于常考題型．
◆變式訓練
1．（2021·四川攀枝花·統考中考真題）某學校準備購進單價分別為5元和7元的A、B兩種筆記本共50本作為獎品發放給學生，要求A種筆記本的數量不多于B種筆記本數量的3倍，不少于B種筆記本數量的2倍，則不同的購買方案種數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】設購進A種筆記本為x本，則購進B種筆記本為（50﹣x）本，根據題意列出一元一次不等式組，然后求整數解即可．
【詳解】解：設購進A種筆記本為x本，則購進B種筆記本為（50﹣x）本，
由題意得：，解得：33≤x≤37，
∵x為正整數，∴x的取值為34、35、36、37，則不同的購買方案種數為4種，故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，根據題意列出不等式組是解題的關鍵．
2．（2023·四川廣安·統考中考真題）“廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優特產，某超市銷售兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱種鹽皮蛋和6箱種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱種鹽皮蛋和8箱種鹽皮蛋共需310元．(1)種鹽皮蛋、種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？
(2)若某公司購買兩種鹽皮蛋共30箱，且種的數量至少比種的數量多5箱，又不超過種的2倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用．
【答案】(1)種鹽皮蛋每箱價格是30元，種鹽皮蛋每箱價格是20元
(2)購買種鹽皮蛋18箱，種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元
【分析】（1）設種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，根據題意建立方程組，解方程組即可得；（2）設購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，根據題意建立不等式組，解不等式組可得的取值范圍，再結合為正整數可得所有可能的取值，然后根據（1）的結果逐個計算總費用，找出總費用最少的購買方案即可．
【詳解】（1）解：設種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，
由題意得：，解得，
答：種鹽皮蛋每箱價格是30元，種鹽皮蛋每箱價格是20元．
（2）解：設購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，
購買種的數量至少比種的數量多5箱，又不超過種的2倍，
，解得，
又為正整數，所有可能的取值為18，19，20，
①當，時，購買總費用為（元），
②當，時，購買總費用為（元），
③當，時，購買總費用為（元），
所以購買種鹽皮蛋18箱，種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，正確建立方程組和不等式組是解題關鍵．
1．（2023·四川雅安·統考中考真題）不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別求解兩個不等式，得到不等式組的解集，然后判斷即可．
【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：，故選：D．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
2．（2022年山東省聊城市中考數學真題）關于，的方程組的解中與的和不小于5，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由兩式相減，得到，再根據x 與 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【詳解】解：把兩個方程相減，可得，
根據題意得：，解得：．所以的取值范圍是．故選：A．
【點睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關鍵．
3．（2023·四川遂寧·統考中考真題）若關于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別求出各不等式的解集，再根據不等式組的解集是求出a的取值范圍即可．
【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∵關于的不等式組的解集為，∴，故選：D．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
4．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）若關于的不等式組有三個整數解，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】首先解不等式組求得解集，然后根據不等式組有三個整數解，確定整數解，則可以得到一個關于的不等式組求得的范圍．
【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式組有三個整數解，不等式組的整數解為，0、1，
則，解得．故答案為：．
【點睛】本題考查不等式組的解法及整數解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
5．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）若實數使關于的不等式組的解集為，則實數的取值范圍為 ．
【答案】/
【分析】根據不等式的性質解一元一次不等組，再根據不等式組的取值方法即可且求解．
【詳解】解：，由①得，；由②得，；
∵解集為，∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查解不等式組，求不等式組解集，掌握解不等式組的方法，不等組的取值方法等知識是解題的關鍵．
6．（2023年山東省聊城市中考數學真題）若不等式組的解集為，則m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】分別求出兩個不等式的解集，根據不等式組的解集即可求解．
【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∵不等式組的解集為：，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據不等式的解求參數的取值范圍，熟練掌握解不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關鍵．
7．（2023·四川成都·統考中考真題）年月日至月日，第屆世界大學生運動會將在成都舉行．“當好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買，兩種食材制作小吃．已知購買千克種食材和千克種食材共需元，購買千克種食材和千克種食材共需元．
(1)求，兩種食材的單價；
(2)該小吃店計劃購買兩種食材共千克，其中購買種食材千克數不少于種食材千克數的倍，當，兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．
【答案】(1)種食材單價是每千克元，種食材單價是每千克元
(2)種食材購買千克，種食材購買千克時，總費用最少，為元
【分析】（1）設種食材的單價為元，種食材的單價為元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設種食材購買千克，則種食材購買千克，根據題意列出不等式，得出，進而設總費用為元，根據題意，，根據一次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：設種食材的單價為元，種食材的單價為元，根據題意得，
，解得：，
答：種食材的單價為元，種食材的單價為元；
（2）解：設種食材購買千克，則種食材購買千克，根據題意，
解得：，
設總費用為元，根據題意，
∵，隨的增大而增大，∴當時，最小，
∴最少總費用為（元）
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，根據題意列出方程組，不等式以及一次函數關系式是解題的關鍵．
8．（2023年湖北省恩施州中考數學真題）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．
(1)男裝、女裝的單價各是多少？
(2)如果參加活動的男生人數不超過女生人數的，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？
【答案】(1)男裝單價為100元，女裝單價為120元．(2)學校有11種購買方案，當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元
【分析】（1）設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意列方程組求解即可；
（2）設參加活動的女生有a人，則男生有人，列不等式組找到a的取值范圍，再設總費用為w元，得到w與a的關系，根據一次函數的性質可得當a取最小值時w有最小值，據此求解即可．
【詳解】（1）解：設男裝單價為x元，女裝單價為y元，
根據題意得：，解得：．
答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．
（2）解：設參加活動的女生有a人，則男生有人，
根據題意可得，解得：，
∵a為整數，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個數，
故一共有11種方案，設總費用為w元，則，
∵，∴當時，w有最小值，最小值為（元）．
此時，（套）．
答：當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元．
【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，找到題中的等量關系或不等關系是解題的關鍵．
9．（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）2023年“地攤經濟”成為社會關注的熱門話題，“地攤經濟”有著啟動資金少、管理成本低等優點，特別是在受到疫情沖擊后的經濟恢復期，“地攤經濟”更是成為許多創業者的首選，甲經營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元．
(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數量的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些？并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】(1)、型品牌小電器每臺進價分別為15元、20元
(2) (3)型30臺，型120臺，最大利潤是570元．
【分析】（1）列方程組即可求出兩種風扇的進價，
（2）列一元一次不等式組求出取值范圍即可，
（3）再求出利潤和自變量之間的函數關系式，根據函數的增減性確定當自變量為何值時，利潤最大，由關系式求出最大利潤．
【詳解】（1）設、型品牌小電器每臺的進價分別為元、元，根據題意得：
，解得：，
答：、型品牌小電器每臺進價分別為15元、20元．
（2）設購進型品牌小電器臺
由題意得：，解得，
答：購進A種品牌小電器數量的取值范圍．
（3）設獲利為元，由題意得：，
∵所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元
∴解得：∴
隨的增大而減小，當臺時獲利最大，最大元，
答：型30臺，型120臺，最大利潤是570元．
【點睛】考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組解法和應用以及一次函數的圖象和性質等知識，搞清這些知識之間的相互聯系是解決問題的前提和必要條件．
10．（2023·四川內江·統考中考真題）某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果．某超市看好甲、乙兩種優質水果的市場價值，經調查，這兩種水果的進價和售價如下表所示：
水果種類 進價（元千克） 售價（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于30千克，且不大于80千克．實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售．求超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數量x（千克）之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤y（元）取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率（）不低于，求m的最大值．
【答案】(1)(2)(3)1.2
【分析】（1）根據題意列出二元一次方程組求解即可；（2）設購進甲種水果的數量的數量為x千克，則購進乙種水果的數量為千克，根據題意分兩種情況：和，然后分別表示出總利潤即可；（3）首先根據題意求出y的最大值，然后根據保證利潤率（）不低于列出不等式求解即可．
【詳解】（1）由題意列方程組為：，解得；
（2）設購進甲種水果的數量的數量為x千克，則購進乙種水果的數量為千克，
∴當時，；
當時，；
綜上所述，；
（3）當時，，
∴當時，y取最大值，此時（元），
當時，，∴（元），
∴由上可得：當時，y取最大值520（元），
∴由題意可得，，∴解得．∴m的最大值為1.2．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是正確分析題目中的等量關系．
1．（2023·廣東·中考一模）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分別求出兩個不等式的解，得出不等式組的解，再在數軸上的表示出解集即可．
【詳解】解： 解不等式①得，解不等式②得，
不等式組的解集為，在數軸上表示為，故選：C．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法和解集的表示，解題關鍵是熟練運用解不等式組的方法求解，準確在數軸上表示解集．
2．（2023·浙江紹興市·九年級模擬）甲在集市上先買了3只羊，平均每只a元，稍后又買了2只，平均每只羊b元，后來他以每只元的價格把羊全賣給了乙，結果發現賠了錢．賠錢的原因是（ ）
A． B． C． D．與a、b大小無關
【答案】A
【分析】已知甲共花了3a+2b元買了5只羊．但他以每只的價格把羊賣給乙發現賠錢了．由此可列出不等式求解，就知道賠錢的原因．
【詳解】解：根據題意得到5×＜3a+2b，解得a＞b故選：A．
【點睛】此題主要考查了不等式的性質，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，聯系實際，進而找到所求的量的等量關系．
3．（2023·浙江杭州·中考模擬）已知a，b，c，d是實數，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據不等式的基本性質，即可求解．
【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選：A
【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．
4．（2023·廣西·中考模擬）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯方程．若方程是關于x的不等式組的關聯方程，則n的取值范圍是 ___________．
【答案】
【分析】解一元一次方程得出方程的解，代入不等式組可得答案．
【詳解】解：解方程得，
∵為不等式組的解，∴，解得，
即n的取值范圍為：，故答案為：．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元一次方程，解題的關鍵是理解并掌握“關聯方程”的定義和解一元一次不等式組、一元一次方程的能力．
5．（2023·湖南九年級期末）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：
例題：解不等式
解：由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，
得①或②
解不等式組①得，解不等式組②得，
所以不等式的解集為或．
問題：求不等式的解集．
【答案】.
【分析】仿造例題，將所求不等式變形為不等式組，然后進一步求取不等式組的解集最終得出答案即可.
【詳解】∵兩數相乘（或相除），異號得負，∴由不等式可得：
或 ，解不等式組①得：，解不等式組②得：該不等式組無解，
綜上所述，所以原不等式解集為：.
【點睛】本題主要考查了不等式組解集的求取，熟練掌握相關方法是解題關鍵.
6．（2023·四川樂山·中考模擬）解不等式組．請結合題意完成本題的解答（每空只需填出最后結果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來．
所以原不等式組解集為______．
【答案】；；見詳解；
【分析】分別解兩個不等式，然后在數軸上表示解集，再根據公共部分確定不等式組的解集．
【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來為：
所以原不等式組解集為：．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組并把解集在數軸上表示，熟練掌握一元一次不等式的解法是解決本題的關鍵．
7．（2023年重慶九年級期中）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？
(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【分析】（1）設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得，求解；
（2）設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,則，解得，故最小整數解為，，根據一次函數增減性，求得最小值=．
【詳解】（1）解:設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得解得，，，
答：甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
（2）解：設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,
則，解得，故最小整數解為，
，
∵，則w隨m的增大而增大，
∴時，w取最小值，最小值．
答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，一次函數的性質，一次函數的應用、一元一次不等式的應用；根據題意列出函數解析式，確定自變量取值范圍是解題的關鍵．
8．（2023·山東·九年級期中）某水果經營戶從水果批發市場批發水果進行零售，部分水果批發價格與零售價格如下表：
水果品種 梨子 菠蘿 蘋果 車厘子
批發價格（元/kg） 4 5 6 40
零售價格（元/kg） 5 6 8 50
請解答下列問題：(1)第一天，該經營戶用1700元批發了菠蘿和蘋果共300kg，當日全部售出，求這兩種水果獲得的總利潤？(2)第二天，該經營戶依然用1700元批發了菠蘿和蘋果，當日銷售結束清點盤存時發現進貨單丟失，只記得這兩種水果的批發量均為正整數且菠蘿的進貨量不低于88kg，這兩種水果已全部售出且總利潤高于第一天這兩種水果的總利潤，請通過計算說明該經營戶第二天批發這兩種水果可能的方案有哪些？
【答案】(1)500元；(2)方案一購進88kg菠蘿，210kg蘋果；方案二購進94kg菠蘿，205kg蘋果．
【分析】（1）設第一天，該經營戶批發了菠蘿xkg，蘋果ykg，根據該經營戶用1700元批發了菠蘿和蘋果共300kg，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用總利潤=每千克的銷售利潤×銷售數量（購進數量），即可求出結論；
（2）設購進菠蘿mkg，則購進蘋果，根據“菠夢的進貨量不低于88kg，且這兩種水果已全部售出且總利潤高于第一天這兩種水果的總利潤”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m，均為正整數，即可得出各進貨方案．
【詳解】（1）解：設第一天，該經營戶批發菠蘿xkg，蘋果ykg，根據題意得：
，解得：，
∴元，
答：這兩種水果獲得的總利潤為500元；
（2）解：設購進菠蘿mkg，則購進蘋果，根據題意：
，解得：，
∵m，均為正整數，∴m取88，94，
∴該經營戶第二天共有2種批發水果的方案，
方案一購進88kg菠蘿，210kg蘋果；方案二購進94kg菠蘿，205kg蘋果．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．
9．（2023·湖北·九年級期末）為貫徹執行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：
甲型客車 乙型客車
載客量（人/輛） 35 30
租金（元/輛） 400 320
學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．
(1)參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？(2)每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？(3)學校租車總費用最少是多少元？
【答案】(1)參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人
(2)一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛(3)學校租車總費用最少是2800元．
【分析】（1）設參加此次勞動實踐活動的老師有x人，根據參加實踐活動的學生人數的兩種不同表示方法作為等量關系列方程；
（2）首頁判斷車輛總數為8，設租甲型客車m輛，列出不等式組求出整數解即可；
（3）列出函數解析式w＝80m+2560，結合自變量取值范圍求出最少總費用．
【詳解】（1）設參加此次勞動實踐活動的老師有x人，參加此次勞動實踐活動的學生有（30x+7）人，根據題意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：參加此次勞動實踐活動的老師有8人，參加此次勞動實踐活動的學生有247人；
（2）師生總數為247+8＝255（人），
∵每位老師負責一輛車的組織工作，∴一共租8輛車，
設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，
根據題意得：，解得3≤m≤5.5，
∵m為整數，∴m可取3、4、5，
∴一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；
（3）設租甲型客車m輛，則租乙型客車（8﹣m）輛，由（2）知：3≤m≤5.5，
設學校租車總費用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，∴w隨m的增大而增大，
∴m＝3時，w取最小值，最小值為80×3+2560＝2800（元），
答：學校租車總費用最少是2800元．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用、利用一次函數解決最小利潤問題，解決問題的關鍵是根據題意得到相等關系或不相等關系列出方程、不等式組以及函數解析式解決問題．
10．（2023·北京市九年級期末）在綜合與實踐活動中，活動小組的同學看到網上購鞋的鞋號（為正整數）與腳長（毫米）的對應關系如表1：
鞋號（正整數） 22 23 24 25 26 27 ……
腳長（毫米） ……
為了方便對問題的研究，活動小組將表1中的數據進行了編號，并對腳長的數據定義為如表2：
序號n 1 2 3 4 5 6 ……
鞋號 22 23 24 25 26 27 ……
腳長 ……
腳長 160 165 170 175 180 185 ……
定義：對于任意正整數m、n，其中．若，則．
如：表示，即．
（1）通過觀察表2，猜想出與序號n之間的關系式，與序號n之間的關系式；
（2）用含的代數式表示；計算鞋號為42的鞋適合的腳長范圍；
（3）若腳長為271毫米，那么應購鞋的鞋號為多大？
【答案】（1），；（2）鞋號為42的鞋適合的腳長范圍是；（3）應購買44號的鞋．
【分析】（1）觀察表格里的數據，可直接得出結論；（2）把n用含有an的式子表示出來，代入化簡整理，再計算鞋號為42對應的n的值，代入求解即可；
（3）首先計算，再代入求出的值即可．
【詳解】（1）
（2）由與解得：
把代入得所以
則得：，即
答：鞋號為42的鞋適合的腳長范圍是．
（3）根據可知能被5整除,而所以
將代入中得故應購買44號的鞋．
【點睛】此題主要考查了方程與不等式的應用，讀懂題意是解題的關鍵．
1．（2023·重慶·校考二模）“幾處早鶯爭暖樹，誰家新燕啄春泥”，陽春三月，春暖花開，某校決定組織該校七年級全部學生進行春游活動，需要租用甲、乙、丙三種不同型號的巴士出行．已知甲種巴士的載客人數是乙種巴士載客人數的2倍，丙種巴士每輛載客40人，且丙種巴士的載客人數不低于乙種巴士的載客人數，不超過甲種巴士的載客人數．現在學校預計租用甲、丙兩種巴士共10輛及若干輛乙種巴士，這樣七年級學生剛好能全部坐滿每輛車，且乘坐乙種巴士和丙種巴士的有440人．結果在出發前若干學生因故不能參加春游活動，這樣學校就可以少租1輛乙種巴士，且有一輛乙種巴士還空了5個位置（其余車輛仍是滿載），這樣乘坐甲種巴士和乙種巴士的共505人，則該校七年級有______學生．
【答案】740
【分析】設甲型巴士a輛，乙型巴士b輛，丙型巴士輛，乙型巴士載x人，甲型巴士載2x人，根據題意，得，求得x，b，后根據不等式的性質，取值的整數性質，討論計算即可．
【詳解】解：設甲型巴士a輛，乙型巴士b輛，丙型巴士輛，乙型巴士載x人，甲型巴士載2x人，
根據題意，得，解得，因為，所以；
因為，且a為整數，b為整數，x為整數，所以，
所以（人），故答案為：740．
【點睛】本題考查了方程組的解法，不等式組的解法，整數的性質，熟練掌握方程組的解法，不等式組的解法是解題的關鍵．
2．（2023·江蘇揚州·校考二模）已知關于x的不等式的解也是不等式的解，則常數a的取值范圍是_____．
【答案】
【分析】先把a看作常數求出兩個不等式的解集，再根據同小取小列出不等式求解即可．
【詳解】解：關于x的不等式，解得：，
關于x的不等式的解也是不等式的解，
，不等式的解集是，，解得：，
，，故答案為：．
【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，解題的關鍵是分別求出兩個不等式的解集，再根據同小取小列出關于a的不等式，注意在不等式兩邊都除以一個負數時，應只改變不等號的方向．
3．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為正數，則所有滿足條件的整數a的值之和為 ．
【答案】13
【分析】先求出一元一次不等式組中兩個不等式的解集，從而可得，再解分式方程可得且，從而可得且，然后將所有滿足條件的整數的值相加即可得．
【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∵關于的不等式組的解集為，，解得，
方程可化為，解得，
關于的分式方程的解為正數，且，
解得且，且，
則所有滿足條件的整數的值之和為，故答案為：13．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．
4．（2023年重慶市中考數學真題（A卷））若關于x的一元一次不等式組，至少有2個整數解，且關于y的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是 ．
【答案】4
【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得，由分式方程有正整數解，確定出a的值，相加即可得到答案．
【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式的解集為，
∵不等式組至少有2個整數解，∴，解得：；
∵關于y的分式方程有非負整數解，
∴解得：，即且，解得：且
∴a的取值范圍是，且∴a可以取：1，3，∴，故答案為：4．
【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
5．（2022·四川綿陽·統考中考真題）已知關于x的不等式組無解，則的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：大大小小找不到并結合不等式組的解集可得答案．
【詳解】解∶ ，解不等式①得：，解不等式②得：，
∵不等式組無解，∴，解得：，∴．故答案為：
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
6．（2022·河北滄州·統考二模）解方程組．
(1)下面給出了部分解答過程：將方程②變形：，即
把方程①代入③得：…請完成解方程組的過程；
(2)若方程的解滿足，求整數a的值．
【答案】(1)(2)2或3
【分析】（1）把方程①整體代入③得到關于y的方程，求得，再把代入①得到，從而得到方程組的解；（2）把方程組的解代入得到關于a的不等式組，解不等式組求出整數解即可．
【詳解】（1）下面給出了部分解答過程：
將方程②變形：，即
把方程①代入③得：，解得：，
把代入①得：，∴原方程組的解是；
（2）由（1）可知方程的解為，
∵方程的解滿足，
∴，解得．∴整數a為2或3．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的整數解等知識，讀懂題意，熟練掌握方程組和不等式組的解法是解題的關鍵．
7．（2023·四川瀘州·統考中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．今年端午節來臨之際，某商場預測A粽子能夠暢銷．根據預測，每千克A粽子節前的進價比節后多2元，節前用240元購進A粽子的數量比節后用相同金額購進的數量少4千克．根據以上信息，解答下列問題：
(1)該商場節后每千克A粽子的進價是多少元？(2)如果該商場在節前和節后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節前每千克20元，節后每千克16元全部售出，那么該商場節前購進多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)節后每千克A粽子的進價為10元
(2)節前購進300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤為3000元
【分析】（1）設節后每千克A粽子的進價為x元，則每千克A粽子節前的進價為元，根據節前用240元購進A粽子的數量比節后用相同金額購進的數量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）設該商場節前購進m千克A粽子，則節后購進千克A粽子，獲得的利潤為w元，根據利潤售價進價列出關系式，根據總費用不超過4600元，求出m的范圍，根據一次函數增減性，求出最大利潤即可．
【詳解】（1）解：設節后每千克A粽子的進價為x元，則每千克A粽子節前的進價為元，根據題意得：，解得：，，
經檢驗，都是原方程的解，但不符合實際舍去，
答：節后每千克A粽子的進價為10元．
（2）解：設該商場節前購進m千克A粽子，則節后購進千克A粽子，獲得的利潤為w元，根據題意得：，
∵，∴，
∵，∴w隨m的增大而增大，
∴當時，w取最大值，且最大值為：，
答：節前購進300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤為3000元．
【點睛】本題考查了分式方程和一次函數的應用，解題的關鍵是根據等量關系列出方程和關系式．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
第四節 一元一次不等式（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式及不等式的基本性質 ☆☆ 本節內容以考查依據題意列不等式并解決問題、不等式（組）的解法為主，體現了不等式的工具性，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右。預計2024年各地中考還將繼續考查這些知識點，重要題型有解不等式（組）、不等式含參、不等式相關的應用題以及不等式的性質，為避免丟分，學生應扎實掌握。
考點2 一元一次不等式 ☆☆☆
考點3 一元一次不等式組 ☆☆☆
考點4 不等式（組）的實際應用 ☆☆☆
■考點一　不等式及不等式的基本性質
1.不等式：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做 ．能使不等式成立的未知數的值，叫做 ．
2.不等式的基本性質
理論依據 式子表示
性質1 不等式的兩邊同時加上（或減去） ，不等號的方向不變 若，則
性質2 不等式兩邊同時乘以（或除以） ，不等號的方向不變 若，，則或
性質3 不等式兩邊同時乘以（或除以） ，不等號的方向改變 若，，則或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解是一個范圍，這個范圍就是不等式的 ．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示：不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個解．
■考點二　一元一次不等式
1.一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有 未知數，并且未知數的最高次數是1次，這樣的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步驟：① ；② ；③移項；④合并同類項；⑤ （注意不等號方向是否改變）．
■考點三　一元一次不等式組
1）一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，組成 ．
2）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的 ，求不等式組解集的過程，叫做 ．
3）一元一次不等式組的解法：先分別求出每個不等式的 ，再利用數軸求出這些一元一次不等式的解集的 即可，如果沒有公共部分，則該不等式組 ．
4）幾種常見的不等式組的解集：設，，是常數，關于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號取不到時在數軸上用空心圓點表示）：
不等式組 （其中） 數軸表示 解集 口訣
. 同大取大
. 同小取小
. 大小、小大中間找
. 大大、小小取不了
■考點四　不等式（組）的實際應用
列不等式（組）解應用題的基本步驟如下：①審題；②設 ；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗并寫出答案．
注意：列不等式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數等綜合考查，涉及的題型常與方案設計型問題相聯系，如最大利潤、最優方案等。列不等式時，要抓住關鍵詞，如不大于、不超過、至多用“ ”連接，不少于、不低于、至少用“ ”連接．
■易錯提示
1.不等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數或分母．
2.運用不等式的性質進行不等式變形時,要特別注意性質2和性質3的區別,在乘(或除以)同一個數時,必須先弄清楚這個數是正數還是負數,如果是負數,不等號要改變方向.
3. 一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是1.
4. 利用數軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分.
■考點一　不等式及不等式的基本性質
◇典例1：（2023·河北中考模擬）語句“的與的和不超過”可以表示為（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為，通過燈泡的電流強度的最大限度不得超過．設選用燈泡的電阻為，下列說法正確的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
◇典例2：（2023·四川德陽·統考中考真題）如果，那么下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023年北京市中考數學真題）已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如果，那么下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：（2023·廣西·中考模擬）如圖，在數軸上表示x的取值范圍是________．
◆變式訓練
1．（2023·重慶一模）不等式在數軸上表示正確的是（ ）
A．B．C．D．
2. （2021·四川南充·統考中考真題）滿足的最大整數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
■考點二　一元一次不等式
◇典例4：（2023·浙江·九年級專題練習）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
◆變式訓練
1．（2022·黑龍江·九年級期中）若是關于x的一元一次不等式，則m的值為________．
2．（2022·山西忻州·九年級期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整數解有無數個
C．不等式的整數解是0 D．是不等式的一個解
◇典例5：（2023·綿陽市·中考模擬）解不等式．
◆變式訓練
1．（2022·四川攀枝花·統考中考真題）解不等式： ．
2．（2023·四川眉山·一模）若關于的不等式只有3個正整數解，則的取值范
圍是______．
■考點三　一元一次不等式組
◇典例6：（2023年廣東廣州中考數學真題）不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A．B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年四川省德陽市中考數學真題）不等式組，的解集是（ ）
A． B． C． D．無解
2.（2023·四川涼山·統考中考真題）不等式組的所有整數解的和是_________．
3．（2023·四川成都·統考中考真題）（1）計算：．
（2）解不等式組：
◇典例7：（2023年四川省宜賓中考數學真題）若關于x的不等式組所有整數解的和為，則整數的值為 ．
◆變式訓練
1．（2023年湖北省鄂州市中考數學真題）已知不等式組的解集是，則（　　）
A．0 B． C．1 D．2023
2．（2023年四川省眉山市中考數學真題）關于x的不等式組的整數解僅有4個，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年四川省遂寧市中考數學真題）若關于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2022·九龍縣九年級期末）已知關于x，y的方程組的解滿足不等式2x+y>8，則m的值是_____．
◆變式訓練
1．（2023·浙江杭州市·九年級模擬）已知方程組的解為正數，求a的取值范圍是_______．
2．（2023·浙江金華市·九年級期中）若不等式組有解，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安岳縣九年級期中）已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
◇典例9：（2023·遼寧九年級期末）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：
例題：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”
有①或②
解不等式組①得x＞3，解不等式組②得x＜﹣3
故原不等式的解集為：x＞3或x＜﹣3
問題：求不等式的解集．
◆變式訓練
1．（2023·寧夏·石嘴山九年級階段練習）閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式時，是這樣思考的：根據兩數相除，同號得正，異號得負．原分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：
①或②
解不等式組①得，
解不等式組②得．
所以原不等式的解集為或．
請你參考小亮思考問題的方法，解分式不等式．
2．（2023·四川九年級期末）先閱讀理解下列例題：
例題：解一元二次不等式
由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”可得有：①或 ②
解不等式組①得；解不等式組②得
∴一元二次不等式的解集是或
根據以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
■考點四　不等式（組）的實際應用
◇典例11：（2023·北京石景山·七年級期末）按照下面給定的計算程序，當時，輸出的結果是_____；使代數式的值小于20的最大整數x是__________．
◆變式訓練
1．（2023·湖北黃陂·九年級期末）如圖是一個數據轉換器，按該程序進行運算，若輸入，則該程序需要運行________次才停止；若該程序只運行了次就停止了，則的取值范圍是________．
◇典例12：（2023·射陽縣九年級期中）有學生若干人，住若干間宿舍，若每間住5人，則有14人無法安排住宿，若每間住8人，則最后有一間宿舍不滿也不空，則學生人數為_____．
◆變式訓練
1.（2022·寧波市鄞州區九年級期中）一次生活常識知識競賽一共有20道題，答對一題得5分，不答得0分，答錯扣2分，小聰有1道題沒答，競賽成績超過80分，則小聰至少答對了_______道題．
2．（2023年湖南省長沙市中考數學真題）為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神．某校利用課后服務時間，在九年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個班級參加．(1)比賽積分規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積分，負一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負場數分別是多少？(2)投籃得分規則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個分球？
◇典例13：（2023·山東濟寧市·九年級期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超過18分鐘的時間內到達，已知他每分鐘走90米．若跑步每分鐘可跑210米，問這人完成這段路程，至少要跑(　　)
A．3分鐘 B．4分鐘 C．4.5分鐘 D．5分鐘
◆變式訓練
1．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）端午節是我國傳統節日，端午節前夕，某商家出售粽子的標價比成本高25%，當粽子降價出售時，為了不虧本，降價幅度最多為（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·浙江紹興市·九年級模擬）某家庭投資3.5萬元資金建造屋頂光伏發電塔，遇到晴天平均每天可發電30度，其他天氣平均每天可發電5度，已知某月（按30天計）共發電600度．
信息鏈接：根據國家相關規定，凡是屋頂光伏發電站生產的電，家庭用電后剩余部分可以0.45元/度賣給電力公司，同時可獲得政府補貼0.52元/度．（1）求這個月晴天的天數；（2）已知該家庭每月平均用電150度，若按每月發電600度計算，問至少需要幾年才能收回成本？（不計其他費用，結果取整數）
◇典例14：（2023·四川達州·統考中考真題）某縣著名傳統土特產品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽全國，深受廣大消費者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進貨價為240元，3件豆筍和4件豆干進貨價為340元．(1)分別求出每件豆筍、豆干的進價；(2)某特產店計劃用不超過元購進豆筍、豆干共件，且豆筍的數量不低于豆干數量的，該特產店有哪幾種進貨方案？
(3)若該特產店每件豆筍售價為80元，每件豆干售價為55元，在（2）的條件下，怎樣進貨可使該特產店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？
◆變式訓練
1．（2021·四川攀枝花·統考中考真題）某學校準備購進單價分別為5元和7元的A、B兩種筆記本共50本作為獎品發放給學生，要求A種筆記本的數量不多于B種筆記本數量的3倍，不少于B種筆記本數量的2倍，則不同的購買方案種數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·四川廣安·統考中考真題）“廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優特產，某超市銷售兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱種鹽皮蛋和6箱種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱種鹽皮蛋和8箱種鹽皮蛋共需310元．(1)種鹽皮蛋、種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？
(2)若某公司購買兩種鹽皮蛋共30箱，且種的數量至少比種的數量多5箱，又不超過種的2倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用．
1．（2023·四川雅安·統考中考真題）不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年山東省聊城市中考數學真題）關于，的方程組的解中與的和不小于5，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川遂寧·統考中考真題）若關于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）若關于的不等式組有三個整數解，則實數的取值范圍為 ．
5．（2023年湖北省黃石市中考數學真題）若實數使關于的不等式組的解集為，則實數的取值范圍為 ．
6．（2023年山東省聊城市中考數學真題）若不等式組的解集為，則m的取值范圍是 ．
7．（2023·四川成都·統考中考真題）年月日至月日，第屆世界大學生運動會將在成都舉行．“當好東道主，熱情迎嘉賓”，成都某知名小吃店計劃購買，兩種食材制作小吃．已知購買千克種食材和千克種食材共需元，購買千克種食材和千克種食材共需元．
(1)求，兩種食材的單價；
(2)該小吃店計劃購買兩種食材共千克，其中購買種食材千克數不少于種食材千克數的倍，當，兩種食材分別購買多少千克時，總費用最少？并求出最少總費用．
8．（2023年湖北省恩施州中考數學真題）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．
(1)男裝、女裝的單價各是多少？(2)如果參加活動的男生人數不超過女生人數的，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？
9．（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）2023年“地攤經濟”成為社會關注的熱門話題，“地攤經濟”有著啟動資金少、管理成本低等優點，特別是在受到疫情沖擊后的經濟恢復期，“地攤經濟”更是成為許多創業者的首選，甲經營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元．
(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數量的取值范圍．(3)在（2）的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些？并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
10．（2023·四川內江·統考中考真題）某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果．某超市看好甲、乙兩種優質水果的市場價值，經調查，這兩種水果的進價和售價如下表所示：
水果種類 進價（元千克） 售價（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．(1)求a，b的值；(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共100千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于30千克，且不大于80千克．實際銷售時，若甲種水果超過60千克，則超過部分按每千克降價3元銷售．求超市當天售完這兩種水果獲得的利潤y（元）與購進甲種水果的數量x（千克）之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤y（元）取得最大值時，決定售出的甲種水果每千克降價元，乙種水果每千克降價m元，若要保證利潤率（）不低于，求m的最大值．
1．（2023·廣東·中考一模）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江紹興市·九年級模擬）甲在集市上先買了3只羊，平均每只a元，稍后又買了2只，平均每只羊b元，后來他以每只元的價格把羊全賣給了乙，結果發現賠了錢．賠錢的原因是（ ）
A． B． C． D．與a、b大小無關
3．（2023·浙江杭州·中考模擬）已知a，b，c，d是實數，若，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·廣西·中考模擬）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯方程．若方程是關于x的不等式組的關聯方程，則n的取值范圍是 ___________．
5．（2023·湖南九年級期末）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：
例題：解不等式
解：由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，
得①或②
解不等式組①得，解不等式組②得，
所以不等式的解集為或．
問題：求不等式的解集．
6．（2023·四川樂山·中考模擬）解不等式組．請結合題意完成本題的解答（每空只需填出最后結果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來．
所以原不等式組解集為______．
7．（2023年重慶九年級期中）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？
(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
8．（2023·山東·九年級期中）某水果經營戶從水果批發市場批發水果進行零售，部分水果批發價格與零售價格如下表：
水果品種 梨子 菠蘿 蘋果 車厘子
批發價格（元/kg） 4 5 6 40
零售價格（元/kg） 5 6 8 50
請解答下列問題：(1)第一天，該經營戶用1700元批發了菠蘿和蘋果共300kg，當日全部售出，求這兩種水果獲得的總利潤？(2)第二天，該經營戶依然用1700元批發了菠蘿和蘋果，當日銷售結束清點盤存時發現進貨單丟失，只記得這兩種水果的批發量均為正整數且菠蘿的進貨量不低于88kg，這兩種水果已全部售出且總利潤高于第一天這兩種水果的總利潤，請通過計算說明該經營戶第二天批發這兩種水果可能的方案有哪些？
9．（2023·湖北·九年級期末）為貫徹執行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內江市某中學組織全體學生前往某勞動實踐基地開展勞動實踐活動．在此次活動中，若每位老師帶隊30名學生，則還剩7名學生沒老師帶；若每位老師帶隊31名學生，就有一位老師少帶1名學生．現有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：
甲型客車 乙型客車
載客量（人/輛） 35 30
租金（元/輛） 400 320
學校計劃此次勞動實踐活動的租金總費用不超過3000元．
(1)參加此次勞動實踐活動的老師和學生各有多少人？(2)每位老師負責一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？(3)學校租車總費用最少是多少元？
10．（2023·北京市九年級期末）在綜合與實踐活動中，活動小組的同學看到網上購鞋的鞋號（為正整數）與腳長（毫米）的對應關系如表1：
鞋號（正整數） 22 23 24 25 26 27 ……
腳長（毫米） ……
為了方便對問題的研究，活動小組將表1中的數據進行了編號，并對腳長的數據定義為如表2：
序號n 1 2 3 4 5 6 ……
鞋號 22 23 24 25 26 27 ……
腳長 ……
腳長 160 165 170 175 180 185 ……
定義：對于任意正整數m、n，其中．若，則．
如：表示，即．
（1）通過觀察表2，猜想出與序號n之間的關系式，與序號n之間的關系式；
（2）用含的代數式表示；計算鞋號為42的鞋適合的腳長范圍；
（3）若腳長為271毫米，那么應購鞋的鞋號為多大？
1．（2023·重慶·校考二模）“幾處早鶯爭暖樹，誰家新燕啄春泥”，陽春三月，春暖花開，某校決定組織該校七年級全部學生進行春游活動，需要租用甲、乙、丙三種不同型號的巴士出行．已知甲種巴士的載客人數是乙種巴士載客人數的2倍，丙種巴士每輛載客40人，且丙種巴士的載客人數不低于乙種巴士的載客人數，不超過甲種巴士的載客人數．現在學校預計租用甲、丙兩種巴士共10輛及若干輛乙種巴士，這樣七年級學生剛好能全部坐滿每輛車，且乘坐乙種巴士和丙種巴士的有440人．結果在出發前若干學生因故不能參加春游活動，這樣學校就可以少租1輛乙種巴士，且有一輛乙種巴士還空了5個位置（其余車輛仍是滿載），這樣乘坐甲種巴士和乙種巴士的共505人，則該校七年級有______學生．
2．（2023·江蘇揚州·校考二模）已知關于x的不等式的解也是不等式的解，則常數a的取值范圍是_____．
3．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為正數，則所有滿足條件的整數a的值之和為 ．
4．（2023年重慶市中考數學真題）若關于x的一元一次不等式組，至少有2個整數解，且關于y的分式方程有非負整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和是 ．
5．（2022·四川綿陽·統考中考真題）已知關于x的不等式組無解，則的取值范圍是_________．
6．（2022·河北滄州·統考二模）解方程組．
(1)下面給出了部分解答過程：將方程②變形：，即
把方程①代入③得：…請完成解方程組的過程；
(2)若方程的解滿足，求整數a的值．
7．（2023·四川瀘州·統考中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．今年端午節來臨之際，某商場預測A粽子能夠暢銷．根據預測，每千克A粽子節前的進價比節后多2元，節前用240元購進A粽子的數量比節后用相同金額購進的數量少4千克．根據以上信息，解答下列問題：
(1)該商場節后每千克A粽子的進價是多少元？(2)如果該商場在節前和節后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節前每千克20元，節后每千克16元全部售出，那么該商場節前購進多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑