資源簡介

第6章 圓周運動 第4講 第1課時 生活中的圓周運動
課前預習（看教材填空）
一、火車轉彎
1．運動特點：火車轉彎時實際是在做圓周運動，因而具有 ，由于其質量巨大，需要很大的向心力。
2．軌道設計：彎道處外軌略高(選填“高”或“低”)于內軌，火車轉彎時鐵軌對火車的支持力FN的方向是 ，它與重力G的合力水平指向 。若火車以規定的速度行駛，轉彎時所需的向心力幾乎完全由 來提供。
二、汽車過拱形橋
汽車過拱形橋 汽車過凹形路面
受力分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
對橋或凹形路 面的壓力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
結論 汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力 汽車對凹形路面的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，對凹形路面的壓力
三、航天器中的失重現象
1．向心力分析：航天員受到的地球引力與座艙對他的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得mg－FN＝m，所以FN＝mg－m。
2．完全失重狀態：當v＝ 時座艙對航天員的支持力FN＝0，航天員處于 狀態。
四、離心運動
1．定義：做圓周運動的物體沿切線飛出或做 圓心的運動。
2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的 。
3．應用：洗衣機 ，制作無縫鋼管、水泥管道、水泥電線桿等，分離血液中的血漿和紅細胞。
4．防止：汽車在公路轉彎處必須 行駛；轉動的砂輪、飛輪的轉速不能太高。
課堂講解
知識點1、火車轉彎問題
(1)火車車輪的結構特點：火車車輪有突出的輪緣，且火車在軌道上運行時，有突出輪緣的一邊在兩軌道的內側，這種結構有助于固定火車運動的軌跡．
(2)鐵路的彎道
①如果鐵路彎道的內外軌一樣高，外側車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發生彈性形變，外軌對輪緣的彈力提供火車轉彎的向心力，如圖甲所示．但是火車的質量很大，靠這種辦法得到向心力，輪緣與外軌間的相互作用太大，鐵軌和車輪極易受損．
②如果在彎道處使外軌略高于內軌(如圖乙所示)，火車轉彎時鐵軌對火車的支持力FN的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內側，與重力的合力指向圓心，為火車轉彎提供了一部分向心力，減小了輪緣與外軌的擠壓．
(3)火車轉彎時的規定速度如圖所示，若火車轉彎時只受重力和支持力作用，不受軌道側壓力，則滿足mgtanθ＝m，此時v0＝(R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為轉彎處的規定速度)。
由于鐵軌建成后，h、L、R各量是確定的，故火車轉彎時的車速應是一個定值，即規定速度．
①當火車轉彎速度v＝v0時，輪緣對內、外軌均無側壓力．
②當火車轉彎速度v>v0時，外軌道對輪緣有向里的側壓力．
③當火車轉彎速度v④向心力是水平的．
例1、 (多選)鐵路在彎道處的內外軌道高度是不同的，已知內外軌道連線與水平面夾角為θ，彎道處的圓弧半徑為R，若質量為m的火車以速度v通過某彎道時，內、外軌道均不受側壓力作用，下面分析正確的是(重力加速度大小為g)( )
A．軌道半徑R＝
B．v＝
C．火車速度小于v時，外軌將受到側壓力作用，其方向平行軌道平面向內
D．火車速度大于v時，外軌將受到側壓力作用，其方向平行軌道平面向外
變式1、(多選)火車軌道在轉彎處外軌高于內軌，其高度差由轉彎半徑與火車速度確定．若在某轉彎處規定行駛速度為v，則下列說法中正確的是(　 )
A．當以v的速度通過此彎路時，火車重力與軌道支持力的合力提供向心力
B．當以v的速度通過此彎路時，火車重力、軌道支持力和外軌對輪緣彈力的合力提供向心力
C．當速度大于v時，輪緣擠壓外軌
D．當速度小于v時，輪緣擠壓外軌
知識點2、汽車轉彎問題
1．水平面上彎道轉彎
汽車在水平路面上轉彎時，由靜摩擦力提供轉彎所需的向心力，μmg≥m，即v≤。在冰雪路面上轉彎時，為了安全起見，一要降低速度，二要增大轉彎半徑。
2．外高內低斜面式彎道轉彎
該情境跟火車墊高外軌的情境類似，轉彎時所需向心力F向由重力mg和支持力FN的合力提供。如圖所示，F向＝mgtanθ＝，可得v＝。
當車速v＞時，車輪仍將受到沿斜面向下的摩擦力(類似于外軌對火車輪緣的彈力)作用；若車速v＜，則車輪受到沿斜面向上的摩擦力(類似于內軌對火車輪緣的彈力)作用。
例2、一質量為1.0×103 kg的汽車在水平公路上行駛，當汽車經過半徑為100 m的彎道時，汽車的速度為36 km/h。(1)路面對輪胎的徑向靜摩擦力為多大？
(2)若路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為9×103 N，為保障汽車不發生側滑，汽車轉彎的速度不能超過多少？
(3)為防止汽車側滑，可以在彎道處讓路面傾斜，假設某彎道路面傾角為27°，彎道半徑為80 m，汽車速度為多大時，路面對輪胎的側向摩擦力恰好為零？(g取10 m/s2，tan27°≈0.5)
變式2、隨著我國綜合國力的提升，近幾年來我國的公路網發展迅猛．在公路轉彎處，常采用外高內低的斜面式彎道，這樣可以使車輛經過彎道時，不必大幅減速，從而提高通行能力且節約燃料．若某處有這樣的彎道，其半徑為r＝100 m，路面傾角為θ，且tanθ＝0.4，取g＝10 m/s2.
(1)求汽車的最佳通過速度，即不出現側向摩擦力時的速度；
(2)若彎道處側向動摩擦因數μ＝0.5，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求汽車的最大速度．
知識點3、汽車過拱形橋問題
(1)汽車在過拱形橋時，受到的支持力是變力，因此，汽車受到的合力也是變力，且大小、方向均變化．
(2)汽車在拱形橋的最高點和最低點時，支持力和重力在同一豎直線上，故合力也在此豎直線上．
①汽車過拱形橋的最高點時，汽車對橋的壓力小于其重力．
A．如右圖所示，此時重力mg和支持力FN的合力提供汽車在該點的向心力．由牛頓第二定律得F＝mg－FN＝m，橋面對其支持力FN＝mg－mB．由F′N＝mg－m可知，汽車的行駛速率越大，汽車對橋面的壓力越小；當汽車的速率等于時，汽車對橋面的壓力為零，這是汽車在橋頂運動的最大臨界速度，超過這個速度，汽車將飛越橋頂．
②汽車通過凹形橋的最低點時，汽車對橋面的壓力大于自身重力．
如右圖所示，重力mg和支持力FN的合力提供汽車在該點的向心力，由牛頓第二定律得F＝FN－mg＝m，橋面對其支持力FN＝mg＋m>mg.由牛頓第三定律知汽車對橋面的壓力F′N＝FN＝mg＋m>mg，方向豎直向下．可見，此位置汽車對橋面的壓力大于自身重力，且汽車行駛的速率越大，汽車對橋面的壓力就越大．
例3、一質量m＝2×103 kg的汽車，駛過半徑R＝80 m的一段圓弧形橋面，重力加速度g取10 m/s2。
(1)如圖甲，若橋面是凹形，求汽車以20 m/s的速度通過橋的最低點時，對橋面的壓力大小。
(2)如圖乙，若橋面是拱形，求汽車以10 m/s的速度通過橋的最高點時，對橋面的壓力大小。
(3)汽車以多大速度通過拱形橋頂點時，對橋面剛好無壓力？
變式3、如圖所示，質量m＝2.0×104 kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為20 m．如果橋面承受的壓力不得超過3.0×105 N，則：
(1)汽車允許的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行駛，汽車對橋面的最小壓力是多少？(g取10 m/s2)
知識點4、對離心運動的理解
1．從兩個角度理解向心力
(1)需要方面：F需＝mωv＝m＝mω2R＝mR。
(2)提供方面：F供為受力分析后沿半徑指向圓心方向的合力。
2．離心運動、近心運動的判斷
物體做圓周運動、離心運動還是近心運動，由實際提供的向心力Fn與所需向心力的大小關系決定。
(1)若Fn＝mrω2，即“提供”滿足“需要”，物體做圓周運動。
(2)若Fn＞mrω2，即“提供”大于“需要”，物體做半徑變小的近心運動。
(3)若Fn＜mrω2，即“提供”小于“需要”，物體做半徑變大的離心運動。
(4)若Fn＝0，物體沿切線方向飛出，逐漸遠離圓心。
注意 (1)產生離心運動是慣性的表現而不是物體受到了“離心力”。
(2)做離心運動的物體是做半徑越來越大的運動或沿切線方向飛出去的運動，而不是沿半徑方向飛出去的運動。
例4、下列關于離心現象的說法中正確的是(　　)
A．當物體所受的離心力大于向心力時將產生離心現象
B．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力突然消失時，它將做背離圓心的運動
C．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力突然消失時，它將沿切線方向飛出
D．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力突然消失時，它將做曲線運動
變式4、(多選)如圖所示，光滑水平面上，質量為m的小球在拉力F作用下做勻速圓周運動。若小球運動到P點時，拉力F發生變化，下列關于小球運動情況的說法正確的是( )
A．若拉力突然變大，小球將沿軌跡Pb做離心運動
B．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pb做離心運動
C．若拉力突然消失，小球將沿軌跡Pa做離心運動
D．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pc做近心運動
課后鞏固
1．若火車按規定的速率轉彎時，內、外軌對車輪皆無側壓力，則火車以較小的速率轉彎時(　 　)
A．僅內軌對車輪有側壓力 B．僅外軌對車輪有側壓力
C．內、外軌對車輪均有側壓力 D．內、外軌對車輪均無側壓力
2．火車在拐彎時，對于其向心力的分析正確的是(　 　)
A．由于火車本身作用而產生了向心力
B．主要是由于內、外軌的高度差的作用，車身略有傾斜，車身所受重力的分力產生了向心力
C．火車在拐彎時的速率小于規定速率時，內軌將給火車側壓力，側壓力就是向心力
D．火車在拐彎時的速率大于規定速率時，外軌將給火車側壓力，側壓力作為火車拐彎時向心力的一部分
3．在下列四種情況中，同一汽車對凸形橋頂部的壓力最小的是(　 　)
A．以較小的速度駛過半徑較大的橋 B．以較小的速度駛過半徑較小的橋
C．以較大的速度駛過半徑較大的橋 D．以較大的速度駛過半徑較小的橋
4．冰面對溜冰運動員的最大摩擦力為運動員重力的k倍，在水平冰面上沿半徑為R的圓周滑行的運動員，其安全速度為(g為重力加速度)(　　)
A．v＝k　 B．v≤
C．v≤ D．v≤
5．當汽車駛向一凸形橋時，為使在通過橋頂時，減小汽車對橋的壓力，司機應(　 　)
A．以盡可能小的速度通過橋頂 B．增大速度通過橋頂
C．以任何速度勻速通過橋頂 D．使通過橋頂的向心加速度盡可能小
6．(多選)有一種大型游戲器械，它是一個圓筒形大容器，筒壁豎直，游客進入容器后靠著筒壁站立，當圓筒開始轉動后，轉速加快到一定程度時，突然地板塌落，游客發現自己沒有落下去，是因為(　 　)
A．游客受到與筒壁垂直的壓力作用 B．游客處于失重狀態
C．游客受到的摩擦力等于重力 D．游客隨著轉速的增大有沿筒壁向上滑動的趨勢
7．(多選)在繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛星中，下列儀器可以使用的是(　 　)
A．彈簧秤 B．水銀氣壓計 C．水銀溫度計 D．天平
8．汽車以一定速率通過拱橋，則(　 　)
A．在最高點汽車對橋的壓力大于汽車的重力 B．在最高點汽車對橋的壓力等于汽車的重力
C．在最高點汽車對橋的壓力小于汽車的重力 D．汽車所受的合力為零
9．關于離心運動，下列說法中正確的是(　 )
A．物體一直不受外力作用時，可能做離心運動
B．在外界提供的向心力突然變大時，原來做勻速圓周運動的物體將做離心運動
C．只要向心力的數值發生變化，原來做勻速圓周運動的物體就將做離心運動
D．當外界提供的向心力突然消失或數值變小時，原來做勻速圓周運動的物體將做離心運動
10.在冬奧會短道速滑項目中，運動員繞周長僅111 m的短道競賽．運動員比賽過程中在通過彎道時如果不能很好地控制速度，將發生側滑而摔離正常比賽路線．圖中圓弧虛線Ob代表彎道，即正常運動路線，Oa為運動員在O點時的速度方向(研究時可將運動員看成質點)．下列論述正確的是(　 　)
A．發生側滑是因為運動員受到的合力方向背離圓心
B．發生側滑是因為運動員受到的合力大于所需要的向心力
C．若在O點發生側滑，則滑動的方向在Oa左側
D．若在O點發生側滑，則滑動的方向在Oa右側與Ob之間
11．鐵路轉彎處的彎道半徑r是根據地形確定的，彎道處要求外軌比內軌高，內外軌的高度差h的設計不僅與r有關，還與火車在彎道上的行駛速率有關．下表是鐵路設計人員技術手冊中彎道半徑r及與之對應的內外軌的高度差h的部分數據關系：(g取10 m/s2)
彎道半徑r/m 660 330 220 165 132 110
內外軌的高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根據表中數據，推導出h和r關系的表達式，并求出r＝550 m時h的值；
(2)鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內外軌均不向車輪施加側向壓力．已知我國鐵路內外軌的間距設計值L＝1 320 mm，結合表中的數據，算出我國火車的轉彎速率v(以km/h為單位，結果取整數)．（θ很小，根據數學關系有tanθ≈sinθ）（）
12．游樂園的小型“摩天輪”上對稱站著質量均為m的8位同學，如圖所示，“摩天輪”在豎直平面內逆時針勻速轉動，若某時刻轉到頂點a上的甲同學讓一小重物做自由落體運動，并立即通知下面的同學接住，結果重物掉落時正處在c處(如圖)的乙同學恰好在第一次到達最低點b處時接到，已知“摩天輪”半徑為R，重力加速度為g(不計人和吊籃的大小及重物的質量)．求：
(1)接住前重物下落運動的時間t；
(2)人和吊籃隨“摩天輪”運動的線速度大小v；
(3)乙同學在最低點處對吊籃的壓力F.
13.有一輛質量為800 kg的小汽車駛上圓弧半徑為50 m的拱橋，如圖所示。取g＝10 m/s2。
(1)若汽車到達橋頂時速度為5 m/s，求橋對汽車的支持力的大小；
(2)若汽車經過橋頂時恰好對橋頂沒有壓力而騰空，求汽車此時的速度大小；
(3)已知地球半徑R＝6 400 km，現設想一輛沿赤道行駛的汽車，若不考慮空氣的影響，也不考慮地球自轉，那它開到多快時就可以“飛”起來。此時駕駛員對座椅的壓力是多大？駕駛員處于什么狀態？
參考答案
課前預習
向心加速度 高 斜向彎道內側 圓心 重力與支持力的合力
越小 越大
完全失重
遠離 向心力 脫水 低速
課堂講解
答案 BD
解析　對火車轉彎時進行受力分析，如圖所示，火車轉彎的向心力由重力和支持力的合力提供，則mgtanθ＝m，故轉彎半徑R＝；轉彎時的速度v＝；火車速度小于v時，需要的向心力減小，此時內軌對車輪產生一個向外的作用力，即車輪擠壓內軌；若火車速度大于v時，需要的向心力變大，外軌對車輪產生一個向里的作用力，即車輪擠壓外軌，車輪對外軌的作用力平行軌道平面向外。故B、D正確。
變式1、答案 AC
解析：當以v的速度通過此彎路時，向心力由火車的重力和軌道的支持力的合力提供，選項A正確，B錯誤；當速度大于v時，火車的重力和軌道的支持力的合力小于向心力，外軌對輪緣有向內的彈力，輪緣擠壓外軌，選項C正確，D錯誤．
例2、答案 (1)1 000 N　(2)30 m/s　(3)20 m/s
解析　(1)由題意知v＝36 km/h＝10 m/s
由徑向靜摩擦力提供向心力得f＝m
解得f＝1 000 N。
(2)由題意得fm＝m。
解得vm＝30 m/s。
(3)當路面對輪胎的側向摩擦力恰好為零時，由重力和路面支持力的合力提供向心力，即mgtan27°＝m 解得v1＝20 m/s。
變式2、答案 (1)20 m/s　(2)15 m/s
解析 　(1)如圖甲所示，當汽車通過彎道時，做水平面內的圓周運動，不出現側向摩擦力時，汽車受到重力G和路面的支持力N′兩個力作用，兩力的合力提供汽車做圓周運動的向心力．則有mgtanθ＝m
所以v0＝＝ m/s＝20 m/s.
(2)當汽車以最大速度通過彎道時的受力分析如圖乙所示．將支持力N和摩擦力f進行正交分解，有
N1＝Ncosθ，N2＝Nsinθ，f1＝fsinθ，f2＝fcosθ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力為
F向＝mg＝mg
根據F向＝m可得
v＝＝ m/s
＝15 m/s.
例3、答案 (1)3×104 N　(2)1.75×104 N (3)20 m/s
解析　(1)若橋面為凹形，在最低點有
FN1－mg＝m，解得FN1＝3×104 N
根據牛頓第三定律知，汽車對橋面的壓力大小為3×104 N。
(2)若橋面為拱形，在最高點有
mg－FN2＝m，
解得FN2＝1.75×104 N
根據牛頓第三定律知，汽車對橋面的壓力大小為1.75×104 N。
(3)當對橋面剛好沒有壓力時，汽車只受重力，重力提供向心力，根據牛頓第二定律得
mg＝m
解得v＝20 m/s。
變式3、答案 (1)10 m/s　(2)1×105 N
解析：(1)汽車在凹形橋底部時，對橋面壓力最大，由牛頓第二定律得
FN－mg＝m，代入數據解得v＝10 m/s.
(2)汽車在凸形橋頂部時，對橋面壓力最小，由牛頓第二定律得
mg－F′N＝，代入數據解得F′N＝1×105 N，
由牛頓第三定律知汽車對橋面的最小壓力等于1×105 N.
答案 C
解析 當物體所受的合外力突然消失或不足以提供物體做圓周運動所需的向心力時，物體將做離心運動，因此產生離心現象的原因是F合變式4、答案 BC
解析　若拉力突然變大，則小球將做近心運動，不會沿軌跡Pb做離心運動，A項錯誤；若拉力突然變小，則小球將做離心運動，但由于拉力與速度有一定的夾角，故小球將做曲線運動，B項正確，D項錯誤；若拉力突然消失，則小球將沿著P點處的切線方向運動，C項正確。
課后鞏固
答案 A
解析：當火車以小于規定的速率轉彎時，有下滑趨勢，故對內軌有側壓力，由牛頓第三定律，內軌對火車有側壓力，選項A正確．
答案 D
解析：火車以規定速率拐彎時，重力和支持力的合力提供向心力，故選項A、B錯誤；當拐彎時的速率大于(小于)規定速率時，外(內)軌對火車有側壓力作用，此時，火車拐彎所需的向心力是由重力、支持力和側壓力的合力來提供的，故選項C錯誤，D正確．
答案 D
解析：汽車在凸形橋頂部時，mg－FN＝，此時壓力FN＝mg－，當v較大而r較小時，FN較小，故選項D正確．
答案 B
解析：水平冰面對運動員的摩擦力提供他做圓周運動的向心力，則運動員的安全速度v滿足：kmg≥m，解得v≤.
答案 B
解析：在橋頂時對汽車受力分析，有mg－FN＝m，得FN＝mg－m，由此可知線速度越大，汽車在橋頂受到的支持力越小，即車對橋的壓力越小．
答案 AC
解析：游客隨圓筒在水平面內做圓周運動，圓筒彈力提供向心力，A正確，B錯誤；游客在豎直方向受到的摩擦力和重力平衡，C正確，D錯誤．
答案 AC
解析：在繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛星中，人造衛星的重力完全充當向心力，處于完全失重狀態，所以利用重力原理的一切儀器都不能使用，雖然彈簧秤不能測量重力，但可以測量拉力，故選項A、C正確．
答案 C
解析：汽車過拱橋的運動是在豎直面內的圓周運動，因速率一定，故向心力大小不變，汽車所受的合力提供向心力，故汽車所受的合力不為零，選項D錯誤；在最高點時，汽車的重力與拱橋對汽車的支持力的合力提供向心力，故汽車的重力大于拱橋對汽車的支持力，由牛頓第三定律可得，汽車的重力大于汽車對橋的壓力，選項A、B錯誤，C正確．
答案 D
解析：所謂離心運動是指原來在做圓周運動的物體后來遠離圓心，所以選項A錯誤；離心運動發生的條件是：實際的合力小于做圓周運動所需要的向心力，所以選項B、C錯誤，D正確．
答案 D
解析：運動員發生側滑是因為運動員受到指向圓心的合力小于所需要的向心力，A、B錯誤；若在O點發生側滑，若向心力突然消失，則沿切線Oa運動，而實際是由于所提供的向心力小于所需要的向心力，因此滑動的方向在Oa與Ob之間，C錯誤，D正確．
11、答案 (1)hr＝33 m2　60 mm　(2)57 km/h
解析：(1)由題表中數據可知，每組的h與r之積為常數，即hr＝660×50×10－3 m2＝33 m2.所以當r＝550 m時h＝60 mm.
(2)內外軌對車輪都沒有側向壓力時，火車的受力分析如圖所示．
則F＝mgtanθ＝m
因為θ很小，根據數學關系有tanθ≈sinθ＝
所以v＝＝v＝＝≈15.8 m/s≈57 km/h..
12、答案 (1)2　(2)π (3)mg，方向豎直向下
解析：(1)由2R＝gt2，解得t＝2.
(2)由圓周運動的規律有v＝
由幾何關系得s＝　聯立解得v＝π.
(3)由牛頓第二定律有F′－mg＝m
解得F′＝mg
由牛頓第三定律可知，乙同學在最低點處對吊籃的壓力F＝F′＝mg，方向豎直向下
13、答案 　(1)7 600 N　(2)10 m/s (3)8 000 m/s　0　完全失重狀態
解析　(1)以汽車為研究對象，由牛頓第二定律得
mg－FN＝m，代入數據解得
FN＝7 600 N。
(2)當FN＝0時，有mg＝m
得v2＝＝10 m/s。
(3)當汽車速度v3＝時汽車就會“飛”起來，將R＝6.4×106 m代入得v3＝8 000 m/s，
選駕駛員為研究對象，由m′g－FN′＝m′得FN′＝0
根據牛頓第三定律知駕駛員對座椅的壓力為0，駕駛員處于完全失重狀態。

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