資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.2三角恒等變換
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 3
考點一：兩角和與差的三角函數 3
考點二：二倍角公式 9
考點三：降冪公式 12
考點四：三角恒等變換的化簡問題 16
考點五：給角求值問題 21
考點六：給值求值問題 23
考點七：給值求角問題 26
考點八：三角形與三角恒等變換 29
【真題在線】 33
【專項突破】 44
考點 考情分析 考頻
三角恒等變換 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全國甲卷T9 3年5考
三角函數的圖象與性質 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全國乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全國甲卷T11 2022年全國乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全國甲卷T16 3年9考
三角函數的圖象變換與解析式 2023年全國甲卷T10 2021年全國乙卷T7 2年2考
同角三角函數的基本關系 2023年全國甲卷T7
三角函數的誘導公式 2023年全國甲卷T13
預測：三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心.近幾年全國卷都有所考察，考察的難度整體中等偏下.二輪復習時建議做好基礎的同時適當的提升試題的靈活度.
考點一：兩角和與差的三角函數
【典例精析】（多選）（2023·河北保定·統考二模）如圖，正方形的邊長為，、分別為邊、上的動點，若的周長為定值，則（ ）

A．的大小為 B．面積的最小值為
C．長度的最小值為 D．點到的距離可以是
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·河南新鄉·統考一模），，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學校考一模）關于函數，則下列結論正確的有（ ）
A．是奇函數 B．的最小正周期為
C．的最大值為 D．在單調遞增
三、填空題
4．（2023·四川宜賓·統考一模）已知的三個內角A、B、C所對應的邊分別是a、b、c，其中A、C、B成等差數列，，，則的面積為 ．
5．（2023上·山西·高三校聯考期中）已知，，則 ．
【解題技巧】
1.三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結構與特征.
2.三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的共同點.
考點二：二倍角公式
【典例精析】（多選）（2023·吉林長春·統考一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）設，若，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川內江·統考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、多選題
3．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若，則 D．若銳角滿足，則
4．（2023·山西·校聯考模擬預測）給出下列說法，其中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．若，則的最小值為2
三、填空題
5．（2023·全國·模擬預測）已知，，則 ．
【解題技巧】
二倍角公式的關注點
(1)對“二倍角”應該有廣義的理解，如：4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α是的二倍角等.
(2)注意倍角公式的正用、逆用、活用，尤其是倍角公式的變形.
(3)看結構：掌握二倍角公式S2α，C2α，T2α中名稱和結構的特點，如系數、次數等.
考點三：降冪公式
【典例精析】（多選）
（2021·廣東珠海·統考二模）已知函數，則（ ）
A．是函數的一個周期
B．是函數的一條對稱軸
C．函數的一個增區間是
D．把函數的圖像向左平移個單位，得到函數的圖像
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·四川攀枝花·統考一模）若，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山東聊城·統考二模）已知函數滿足，若，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）若實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
4．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則的取值范圍為 ．
5．（2023·云南昭通·校聯考模擬預測）若將函數的圖象向右平移個單位后，函數圖象關于原點對稱，則 .
【解題技巧】
1.已知θ的某個三角函數值，求關于的三角函數值的步驟：
(1)根據θ的取值范圍，利用同角三角函數的基本關系式求得θ的其他三角函數值；
(2)注意的取值范圍，代入半角公式計算.
2.注意公式的選取：涉及半角公式的正切值時，常用tan＝＝，其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常先利用sin2＝，cos2＝計算.
考點四：三角恒等變換的化簡問題
【典例精析】（多選）（2023·江西景德鎮·統考一模）已知向量，，以下結論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，則下列結論錯誤的是（ ）
A．的最大值為1
B．的圖象關于點對稱
C．存在，使得恒成立
D．在上單調遞增
2．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．為奇函數
B．當時，的值域是
C．的圖象關于點對稱
D．在上單調遞減
二、多選題
3．（2023·山東濰坊·統考模擬預測）已知函數，則（ ）
A．的最小值為
B．的圖象關于點對稱
C．直線是圖象的一條對稱軸
D．在區間上單調遞減
三、填空題
4．（2023·浙江·模擬預測）已知函數在區間上恰有三個極值點和三個零點，則的取值范圍是 .
5．（2023·陜西商洛·鎮安中學?？寄M預測）在中，角的對邊分別為，若，則外接圓的面積為 .
【解題技巧】
1.觀察分析三角函數式中的各角的聯系(互余或互補)，可以利用誘導公式變角和變名，對三角函數式進行化簡.
2.觀察三角函數式的名稱和結構，靈活對公式進行正用、逆用或變形用.
3.本著“復角化單角”“異名化同名”“變換式子結構”“變量集中”等原則，設法消除差異，達到化簡與證明的目的.
考點五：給角求值問題
【典例精析】（2022上·廣東茂名·高一統考期末）的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·重慶·統考模擬預測）式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江蘇南京·高三南京市第一中學?？茧A段練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2020上·江西景德鎮·高二景德鎮一中?？计谥校┮阎?，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·廣東汕頭·統考二模）若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題技巧】
求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.
考點六：給值求值問題
【典例精析】（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）已知，則 ．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·校聯考模擬預測）若，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C．或 D．1或
3．（2023上·河南·高三校聯考階段練習）若，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2023·全國·模擬預測）若，則 ．
5．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）若，且，則 ．
【解題技巧】
注意角的取值范圍，結合角所在的范圍，準確的求解角的值.
考點七：給值求角問題
【典例精析】（多選）（2023·福建三明·統考三模）在平面直角坐標系中，、、，當時.寫出的一個值為 .
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期中）設，且，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）設，是方程的兩根，且，則（ ）．
A． B． C．或 D．
二、填空題
4．（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）設，，且，則 .
5．（2022·河北石家莊·統考一模）已知角，，則 .
【解題技巧】
在三個三角函數中合理的求解其中的某個三角函數有利于準確的求出角.
考點八：三角形與三角恒等變換
【典例精析】（多選）（2023·貴州·校聯考一模）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【變式訓練】
一、單選題
1．（2020·浙江·校聯考模擬預測）在中，內角的對邊分別為，已知，則角
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2020·廣東廣州·統考二模）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,則cosC的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江寧波·校聯考模擬預測）已知非零實數的絕對值全不相等，那么滿足“”的（ ）
A．僅有一組 B．僅有二組 C．僅有三組 D．有無窮多組
4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（2023·陜西·西安市西光中學校聯考一模）在中,如果,那么的形狀為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定
【解題技巧】
在解決與三角形有關的問題時，首先搞清楚角的限制范圍，防止求解的結果出現多根與少根的情況.
一、單選題
1．（2023·全國·統考高考真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·統考高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·統考高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·統考高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·全國·統考高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·全國·統考高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022·全國·統考高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·北京·統考高考真題）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
10．（2021·北京·統考高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
11．（2021·浙江·統考高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2021·全國·統考高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·全國·統考高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
14．（2021·全國·統考高考真題）（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全國·統考高考真題）函數的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
一、單選題
1．（2023·河南新鄉·統考一模），，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川樂山·統考一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川攀枝花·統考一模）若，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期中）設，且，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·山西臨汾·校考模擬預測）已知函數，若在區間上的值域是，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·四川內江·統考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、多選題
7．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）已知，則（ ）
A．，使得
B．若，則
C．若，則
D．若，，則的最大值為
8．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考一模）已知函數，則（ ）
A．的圖象關于直線軸對稱
B．的圖象關于點中心對稱
C．的所有零點為
D．是以為周期的函數
三、填空題
9．（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）設，，且，則 .
10．（2023·全國·模擬預測）若，則 ．
11．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量，，若的圖像是中心對稱圖形，則 ，對稱中心的坐標為 ．
四、解答題
12．（2023·四川甘孜·統考一模）已知①，②，③，從上述三個條件中任選一個補充到下面問題中，并解答問題.在中，內角的對邊分別為，并且滿足__________.
(1)求角；
(2)若為角的平分線，點在上，且，求的面積.
13．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學?？茧A段練習）已知函數的兩個相鄰的對稱中心的距離為．
(1)求在上的單調遞增區間；
(2)當時，關于x的方程有兩個不相等的實數根，求的值．
14．（2023上·四川遂寧·高三統考期中）已知．
(1)求函數在上的單調增區間；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再對圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，若函數的圖象關于直線對稱，求取最小值時的的解析式．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
3.2三角恒等變換
【備考指南】 1
【知識導圖】 2
【考點梳理】 3
考點一：兩角和與差的三角函數 3
考點二：二倍角公式 9
考點三：降冪公式 12
考點四：三角恒等變換的化簡問題 16
考點五：給角求值問題 21
考點六：給值求值問題 23
考點七：給值求角問題 26
考點八：三角形與三角恒等變換 29
【真題在線】 33
【專項突破】 44
考點 考情分析 考頻
三角恒等變換 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全國甲卷T9 3年5考
三角函數的圖象與性質 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全國乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全國甲卷T11 2022年全國乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全國甲卷T16 3年9考
三角函數的圖象變換與解析式 2023年全國甲卷T10 2021年全國乙卷T7 2年2考
同角三角函數的基本關系 2023年全國甲卷T7
三角函數的誘導公式 2023年全國甲卷T13
預測：三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心.近幾年全國卷都有所考察，考察的難度整體中等偏下.二輪復習時建議做好基礎的同時適當的提升試題的靈活度.
考點一：兩角和與差的三角函數
【典例精析】（多選）（2023·河北保定·統考二模）如圖，正方形的邊長為，、分別為邊、上的動點，若的周長為定值，則（ ）

A．的大小為 B．面積的最小值為
C．長度的最小值為 D．點到的距離可以是
【答案】BC
【分析】選項A：設線段、的長度分別為、，可得，可得，設，可得，可得；
選項B：設可得，由可得；
選項C：由，根據基本不等式可得；
選項D：根據線段、的長度分別為、，可得直線的方程為
，根據距離公式可得距離為.
【詳解】選項A：
設線段、的長度分別為、，，
則，，
因為的周長為定值，所以．
則由勾股定理得，即，
又因為，，于是
因為，所以即，故A錯誤；
選項B：
設，則，，，
因為所以，即，
故，故B正確；
選項C：由A選項的推理可知，
所以，所以，即
又因得，當且僅當即時等號成立，故C正確；
選項D：
以為軸正向，為軸正向建立平面直角坐標系，
又選項A可知：，，，，
則直線的方程為，即，
即，
則C點到直線的距離
故D錯誤．
故選：BC
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根據同角三角函數的基本關系式、兩角和與差的余弦、正弦公式求得正確答案.
【詳解】，
，
，分子分母同時除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，
即，代入①得：
，解得.
故選：B
2．（2023·河南新鄉·統考一模），，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差角的正弦公式求出，再利用同角公式計算即得.
【詳解】由，得，即，而，
所以.
故選：A
二、多選題
3．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學校考一模）關于函數，則下列結論正確的有（ ）
A．是奇函數 B．的最小正周期為
C．的最大值為 D．在單調遞增
【答案】AC
【分析】利用函數的奇偶性定義、三角函數的周期性以及函數周期的求法判斷AB；再根據周期性研究函數在區間上的最值、以及單調性，判斷CD.
【詳解】由題知，定義域為，
，
所以是奇函數，故A正確；
因
，
所以是的周期，故B錯；
，
當且僅當時，等號成立，
由得，
即，所以，故C正確；
因，
，
則，
所以在上不是單調遞增的，故D錯.
故選：AC
三、填空題
4．（2023·四川宜賓·統考一模）已知的三個內角A、B、C所對應的邊分別是a、b、c，其中A、C、B成等差數列，，，則的面積為 ．
【答案】/
【分析】由題意首先得出，結合誘導公式、兩角和差的正弦公式算出，進一步可以算出，結合以及正弦定理即可算出，最終根據三角形面積公式即可求解.
【詳解】因為A、C、B成等差數列，所以，即，
又，
所以，
解得，則，因為，即，
所以，
又，
所以由正弦定理有，即，解得，
所以的面積為.
故答案為：.
5．（2023上·山西·高三校聯考期中）已知，，則 ．
【答案】
【分析】由二倍角正切公式可求得，由，利用兩角和差正切公式可求得結果.
【詳解】，，
.
故答案為：.
【解題技巧】
1.三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結構與特征.
2.三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的共同點.
考點二：二倍角公式
【典例精析】（多選）（2023·吉林長春·統考一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先將兩邊平方，結合，得出，結合得出，再計算出，即可求出和，根據同角三角函數的商數關系，二倍角的余弦公式和正切公式，兩角的余弦公式分別計算即可判斷各選項．
【詳解】由得，，則，
因為，，
所以，所以，
由，解得，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，因為，所以，則，
，即，
解得或（舍去），故C正確；
對于D，，故D錯誤，
故選：BC．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）設，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式，結合角的范圍，即可求得答案.
【詳解】由題意，
則，
所以，即，
又因為，
所以，
則，
所以.
故選：C
2．（2023·四川內江·統考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根據條件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角轉邊即可得出結果.
【詳解】因為，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故選：B.
二、多選題
3．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．若，則 D．若銳角滿足，則
【答案】ACD
【分析】利用誘導公式化簡即可判斷A；利用二倍角公式和輔助角公式化簡等式即可判斷B；兩邊平方，結合二倍角公式可判斷C；利用基本關系式求，結合正切的兩角和公式可判斷D.
【詳解】因為，所以，A正確．
因為，所以B錯誤．
將方程兩邊平方，得，解得，C正確．
因為，所以，，
則，D正確．
故選：ACD
4．（2023·山西·校聯考模擬預測）給出下列說法，其中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．若，則的最小值為2
【答案】AC
【分析】A、B利用二倍角余弦、正切公式求值判斷；C、D根據的區間單調性求最小值即可判斷.
【詳解】A：，正確；
B：因為，所以或，錯誤；
令，易知在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，的最小值為2，當時，的最小值為，C正確，D錯誤.
故選：AC
三、填空題
5．（2023·全國·模擬預測）已知，，則 ．
【答案】
【分析】先根據二倍角公式化簡原方程，然后結合求解出結果.
【詳解】因為，
所以，
而，故，，
則，
又，得，
由，知，
故答案為：.
【解題技巧】
二倍角公式的關注點
(1)對“二倍角”應該有廣義的理解，如：4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α是的二倍角等.
(2)注意倍角公式的正用、逆用、活用，尤其是倍角公式的變形.
(3)看結構：掌握二倍角公式S2α，C2α，T2α中名稱和結構的特點，如系數、次數等.
考點三：降冪公式
【典例精析】（多選）
（2021·廣東珠?！そy考二模）已知函數，則（ ）
A．是函數的一個周期
B．是函數的一條對稱軸
C．函數的一個增區間是
D．把函數的圖像向左平移個單位，得到函數的圖像
【答案】ACD
【分析】化簡函數的表達式，再逐一驗證各選項即可得解.
【詳解】依題意：，
對于A選項：的周期，即A正確；
對于B選項：因，則不是函數的對稱軸，即B不正確；
對于C選項：得，
即單調遞增區間是，k=0時，是的一個增區間，即C正確；
對于D選項：函數的圖像向左平移個單位得，即D正確.
故選：ACD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·四川攀枝花·統考一模）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據降冪公式化簡題設可得，進而結合可得，進而結合同角三角函數關系求解即可.
【詳解】由，則，
即，即，
解得或，
因為，所以，
則，
所以.
故選：D.
2．（2023·山東聊城·統考二模）已知函數滿足，若，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得函數在時取最值，得函數的解析式，再由三角恒等變換計算的值.
【詳解】因為滿足，所以，
所以，，又，所以，
得，
因為，，
所以，所以，，
，
因為，所以.
故選：D.
二、多選題
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）若實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由，得，利用三角換元轉化為三角函數問題，從而得出結果.
【詳解】解：由，得，
令，得.
選項A：，故A正確；
選項B：因為，故B正確；
選項C：，故C錯誤；
選項D：
，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題
4．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據給定等式求出三角形的內角C，再利用正弦定理及三角恒等變換、三角函數性質求解作答.
【詳解】因，顯然，，
銳角中，，，則，
令，由得：，
由正弦定理得，，
因此，
而，則，即有，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
5．（2023·云南昭通·校聯考模擬預測）若將函數的圖象向右平移個單位后，函數圖象關于原點對稱，則 .
【答案】/
【分析】首先根據三角恒等變換得，再利用平移的原則得到解析式為，最后根據其對稱性即可得到答案.
【詳解】因為，
就函數圖象向右平移個單位后得到，
又因為函數圖象關于原點對稱，所以，，
因為，所以的值是.
故答案為：.
【解題技巧】
1.已知θ的某個三角函數值，求關于的三角函數值的步驟：
(1)根據θ的取值范圍，利用同角三角函數的基本關系式求得θ的其他三角函數值；
(2)注意的取值范圍，代入半角公式計算.
2.注意公式的選?。荷婕鞍虢枪降恼兄禃r，常用tan＝＝，其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常先利用sin2＝，cos2＝計算.
考點四：三角恒等變換的化簡問題
【典例精析】（多選）（2023·江西景德鎮·統考一模）已知向量，，以下結論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】BD
【分析】由向量垂直、平行、數量積、模長的坐標表示列方程或不等式，結合三角恒等變換及正余弦型函數的性質求值或范圍，判斷各項正誤.
【詳解】A：若，則，，則，
所以，錯；
B：若，則，而，對；
C：若，則，故，，則或，
所以或，錯；
D：若，則，可得，，
所以，故，對；
故選：BD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，則下列結論錯誤的是（ ）
A．的最大值為1
B．的圖象關于點對稱
C．存在，使得恒成立
D．在上單調遞增
【答案】C
【分析】結合函數關系得到判斷A；對賦值成化簡得到判斷B；假設成立，賦值驗證，判斷C；對在上化簡得到單調性判斷D.
【詳解】A選項： ，
當且僅當，即等號成立，故A正確．
B選項：因為
，所以的圖象關于點對稱，B正確．
C選項：若存在，使得恒成立，
取，得，即；
取，得，即．
所以，由，得，（注意的定義域為）
所以，由B選項知，得，不符合題意，
所以不存在，使得恒成立，C錯誤．
D選項：當時，單調遞增，D正確．
故選：C.
2．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．為奇函數
B．當時，的值域是
C．的圖象關于點對稱
D．在上單調遞減
【答案】B
【分析】根據三角函數的平移變換求出的表達式，然后依次判斷各個選項即可．
【詳解】因為，
所以，
由，得，，則，，又，所以，
所以，．
對于A：，所以不是奇函數，A錯誤；
對于B：當時，，，B正確；
對于C：因為，所以的圖像不關于點對稱，C錯誤；
對于D：當時，，根據函數的圖像與性質可知，在上不單調，D錯誤．
故選：B.
二、多選題
3．（2023·山東濰坊·統考模擬預測）已知函數，則（ ）
A．的最小值為
B．的圖象關于點對稱
C．直線是圖象的一條對稱軸
D．在區間上單調遞減
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式化簡可得的解析式，結合余弦函數的最值可判斷A；利用代入驗證法可判斷B，C；結合余弦函數的單調性可判斷D.
【詳解】由題意得
，
故的最小值為，A正確；
將代入中，得，
即的圖象關于點對稱，B錯誤；
將代入中，得，
即此時取到最小值，即直線是圖象的一條對稱軸，C正確；
當時，，由于在上單調遞減，
故在區間上單調遞減，D正確，
故選：ACD
三、填空題
4．（2023·浙江·模擬預測）已知函數在區間上恰有三個極值點和三個零點，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先利用三角恒等變換將化簡，再結合的圖像和性質得解.
【詳解】
，
，
，
設，，
有三個極值點和三個零點，由的性質可得，
，.
故答案為：.
5．（2023·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）在中，角的對邊分別為，若，則外接圓的面積為 .
【答案】
【分析】首先利用正弦定理，邊化角，再結合三角恒等變換，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圓的半徑和面積.
【詳解】由正弦定理得，
因為，所以，即，可得.
因為，所以，得，解得.
，化簡得，
由正弦定理 余弦定理，得，化簡得，
由正弦定理可得，得，因此外接圓的面積為.
故答案為：
【解題技巧】
1.觀察分析三角函數式中的各角的聯系(互余或互補)，可以利用誘導公式變角和變名，對三角函數式進行化簡.
2.觀察三角函數式的名稱和結構，靈活對公式進行正用、逆用或變形用.
3.本著“復角化單角”“異名化同名”“變換式子結構”“變量集中”等原則，設法消除差異，達到化簡與證明的目的.
考點五：給角求值問題
【典例精析】（2022上·廣東茂名·高一統考期末）的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據誘導公式以及倍角公式求解即可.
【詳解】原式.
故選：A
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·重慶·統考模擬預測）式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數式.
【詳解】原式
.
故選：B.
2．（2021·江蘇南京·高三南京市第一中學?？茧A段練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據三角恒等變換求的值，再利用作差法比較的大小.
【詳解】，
，
∵，則，
又∵，則
，則，即
∴
故選：C.
3．（2020上·江西景德鎮·高二景德鎮一中?？计谥校┮阎?，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數關系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結合的范圍可確定最終結果.
【詳解】且，，.
又，，.
當時，
，
，，不合題意，舍去；
當，同理可求得，符合題意.
綜上所述：.
故選：.
4．（2022·廣東汕頭·統考二模）若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導公式化簡可得的值.
【詳解】由已知可得
.
故選：A.
【解題技巧】
求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.
考點六：給值求值問題
【典例精析】（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）已知，則 ．
【答案】
【分析】由條件等式右邊含有，可聯想到中分離出來處理，設，待求表達式中用表示，結合萬能公式進行求解.
【詳解】設，于是，
整理可得，根據萬能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根據誘導公式，，
根據兩角和的正切公式，，
故.
故答案為：
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·校聯考模擬預測）若，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設則，，利用誘導公式及二倍角公式求出，即可得解.
【詳解】設，因為，則，，
所以，所以，
因為，所以，即.
故選：A
2．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C．或 D．1或
【答案】B
【分析】由二倍角公式及商數關系化已知為關于的方程，求得后，再求．
【詳解】由，及，得，
即，所以或．
若，則，沒有意義，
所以．
故選:B．
3．（2023上·河南·高三校聯考階段練習）若，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用輔助角公式得到，從而求出，再由二倍角公式求出、，再由計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，
因為，所以，所以，
所以，
.
所以
.
故選：D.
二、填空題
4．（2023·全國·模擬預測）若，則 ．
【答案】
【分析】利用誘導公式、二倍角公式和輔助角公式化簡可得，然后由可解.
【詳解】因為
，
所以，
所以．
故答案為：
5．（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）若，且，則 ．
【答案】/
【分析】結合角的范圍和同角三角函數的基本關系，先求出角的正弦與余弦，再將所求式子利用二倍角公式轉化為角的正余弦，代入求值即可.
【詳解】因為，
聯立，解得，
則．
故答案為：.
【解題技巧】
注意角的取值范圍，結合角所在的范圍，準確的求解角的值.
考點七：給值求角問題
【典例精析】（多選）（2023·福建三明·統考三模）在平面直角坐標系中，、、，當時.寫出的一個值為 .
【答案】（滿足或的其中一值）
【分析】利用平面向量數量的坐標運算結合兩角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.
【詳解】由題意可得，，
所以，，同理可得，
則
，
所以，或，
解得或，
故答案為：（滿足或的其中一值）.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期中）設，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得答案.
【詳解】因為，所以．
因為，所以，
所以，則．
故選：B.
2．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角，再利用已知條件即可求解.
【詳解】因為，
又因為，，
所以，
所以
因為，所以，
所以，
所以當為奇數時，，，
當為偶數時，，，
因為，所以，
因為，所以.
故選：C.
3．（2023·河南·校聯考模擬預測）設，是方程的兩根，且，則（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】利用兩角和的正切公式求解即可.
【詳解】因為，是方程的兩根，
所以
所以，
因為
所以且，
所以，所以，
所以，
故選:B.
二、填空題
4．（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）設，，且，則 .
【答案】
【分析】根據三角恒等變化化簡可得，再結合，，解方程即可得的值.
【詳解】因為，
所以，即
又，，所以，
則可得，則故.
故答案為：.
5．（2022·河北石家莊·統考一模）已知角，，則 .
【答案】
【分析】化簡，即可得到，再根據的范圍，即可求出結果.
【詳解】，，
，
，
，
，，
，則.
故答案為：.
【解題技巧】
在三個三角函數中合理的求解其中的某個三角函數有利于準確的求出角.
考點八：三角形與三角恒等變換
【典例精析】（多選）（2023·貴州·校聯考一模）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根據三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.
【詳解】由題知，，
所以，
所以，得，
所以，得，
所以的形狀為直角三角形，
故選：A
【變式訓練】
一、單選題
1．（2020·浙江·校聯考模擬預測）在中，內角的對邊分別為，已知，則角
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
【分析】將已知通過余弦定理化簡，得到或，同時由另一已知條件舍去，再由正弦定理進行邊角互化，通過兩角和的三角函數公式及誘導公式進行求解．
【詳解】由余弦定理，
得，
因而或．
又，所以，從而，即．
由正弦定理，得，
則，從而，
所以，所以在中，，
故選：D．
【點睛】本題考查解三角形中正弦定理、余弦定理的應用，三角恒等變換及誘導公式等三角函數公式，考查考生的基本運算能力．
2．（2020·廣東廣州·統考二模）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,則cosC的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知利用二倍角的正弦函數公式,正弦定理可得，利用兩角和的正弦函數公式,正弦定理化簡已知等式可得，進而根據余弦定理即可求解的值．
【詳解】解：，，，
由正弦定理,可得,可得，
，設的外接圓半徑為，
由正弦定理可得，
又，可得，
可得，，可得，
，則為銳角，解得．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了正余弦定理在解三角形中的運用，需要根據題意確定合適的三角函數公式互化求解，屬于中檔題.
3．（2020·浙江寧波·校聯考模擬預測）已知非零實數的絕對值全不相等，那么滿足“”的（ ）
A．僅有一組 B．僅有二組 C．僅有三組 D．有無窮多組
【答案】D
【分析】根據正切恒等式說明即可；
【詳解】解：令，，
因為
當，時， 滿足
因為，所以，
所以
所以
所以有無窮多組滿足
故選：D
【點睛】本題考查正切恒等的應用，考查轉化思想，屬于中檔題.
4．（2023·四川涼山·二模）在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．命題，命題為等腰三角形．則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】利用三角恒等變換公式和正弦定理，把中等式化為，從而，得或，然后結合充分條件和必要條件的定義進行判斷．
【詳解】根據正弦定理可得，
所以
所以，
即，
整理得，則或，
因為，，，，
則或，即或，所以由不能推出；
當為等腰三角形時，不一定為，也不一定相等，所以由不能推出，
故p是q的既不充分也不必要條件．
故選：D
5．（2023·陜西·西安市西光中學校聯考一模）在中,如果,那么的形狀為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定
【答案】D
【分析】將寫為,將寫為,代入題中式子,展開化簡,即可得均為銳角,但無法確定大小,由此選出結果.
【詳解】解:由題知,因為中,
所以
,
故,即均為銳角,
但無法確定大小,故的形狀不能確定.
故選:D
【解題技巧】
在解決與三角形有關的問題時，首先搞清楚角的限制范圍，防止求解的結果出現多根與少根的情況.
一、單選題
1．（2023·全國·統考高考真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內角和定理可得的值.
【詳解】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，
則.
故選：C.
2．（2023·全國·統考高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設,
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
3．（2023·全國·統考高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，
則：
，則
當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，
則：
，
，則
當時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
4．（2023·全國·統考高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
【點睛】方法點睛：三角函數求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數公式轉化為特殊角的三角函數．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．
（3）“給值求角”：實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
5．（2023·全國·統考高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根據切線的性質求切線長，結合倍角公式運算求解；方法二：根據切線的性質求切線長，結合余弦定理運算求解；方法三：根據切線結合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結合夾角公式運算求解.
【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設切線方程為，即，
則，整理得，且
設兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

6．（2023·全國·統考高考真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【詳解】因為，而為銳角，
解得：．
故選：D．
7．（2022·全國·統考高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數的商數關系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設β=0則sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換
所以
即
故選：C.
8．（2022·北京·統考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據數量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數的性質計算可得；
【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，
因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，
設，，
所以，，
所以
，其中，，
因為，所以，即；
故選：D
9．（2022·北京·統考高考真題）已知函數，則（ ）
A．在上單調遞減 B．在上單調遞增
C．在上單調遞減 D．在上單調遞增
【答案】C
【分析】化簡得出，利用余弦型函數的單調性逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】因為.
對于A選項，當時，，則在上單調遞增，A錯；
對于B選項，當時，，則在上不單調，B錯；
對于C選項，當時，，則在上單調遞減，C對；
對于D選項，當時，，則在上不單調，D錯.
故選：C.
10．（2021·北京·統考高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
【答案】D
【分析】由函數奇偶性的定義結合三角函數的性質可判斷奇偶性；利用二倍角公式結合二次函數的性質可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數為偶函數，
又，
所以當時，取最大值.
故選：D.
11．（2021·浙江·統考高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數的最大值.
【詳解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數的最大值為2，
故選：C.
【點睛】思路分析：代數式的大小問題，可根據代數式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據三角變換的公式特征選擇放縮的方向.
12．（2021·全國·統考高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數的基本關系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.
13．（2021·全國·統考高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．
【詳解】
過作，過作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因為，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點睛】本題關鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉化為．
14．（2021·全國·統考高考真題）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：D.
15．（2021·全國·統考高考真題）函數的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】利用輔助角公式化簡，結合三角函數周期性和值域求得函數的最小正周期和最大值.
【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.
故選：C．
一、單選題
1．（2023·河南新鄉·統考一模），，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差角的正弦公式求出，再利用同角公式計算即得.
【詳解】由，得，即，而，
所以.
故選：A
2．（2023·四川樂山·統考一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據誘導公式、同角三角函數的基本關系式、二倍角公式求得正確答案.
【詳解】，
所以.
故選：C
3．（2023·四川攀枝花·統考一模）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據降冪公式化簡題設可得，進而結合可得，進而結合同角三角函數關系求解即可.
【詳解】由，則，
即，即，
解得或，
因為，所以，
則，
所以.
故選：D.
4．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期中）設，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得答案.
【詳解】因為，所以．
因為，所以，
所以，則．
故選：B.
5．（2023·山西臨汾·?？寄M預測）已知函數，若在區間上的值域是，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據三角恒等變換化簡，即可根據整體法求解.
【詳解】由可得，
當時，，
要使在區間上的值域是，
則，解得，
故選：A
6．（2023·四川內江·統考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根據條件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角轉邊即可得出結果.
【詳解】因為，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故選：B.
二、多選題
7．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎瑒t（ ）
A．，使得
B．若，則
C．若，則
D．若，，則的最大值為
【答案】BD
【分析】根據方程無解，可判定A錯誤；根據題意求得，結合兩角差的正弦公式，可判定B正確；結合兩角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C錯誤；化簡，結合基本不等式，可判定D正確.
【詳解】對于A中，若，可得
因為，可得，解得，
又因為時，，所以方程無解，所以A錯誤；
對于B中，因為，可得，所以，
又因為，所以，
則，所以B正確；
對于C中，由，
則，所以C錯誤；
對于D中，因為，可得，且，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最大值為，所以D正確.
故選：BD.
8．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考一模）已知函數，則（ ）
A．的圖象關于直線軸對稱
B．的圖象關于點中心對稱
C．的所有零點為
D．是以為周期的函數
【答案】AC
【分析】對于A：根據對稱軸的定義分析證明；對于B：舉例說明即可；對于C：根據零點的定義結合倍角公式運算求解；對于D：舉例說明即可.
【詳解】對于A：因為，
所以的圖象關于直線軸對稱，故A正確；
對于B：因為，，所以的圖象不關于點中心對稱，B錯誤.
對于C：因為，
注意到，
令，得，即，
故的所有零點為，故C正確；
對于D：因為，所以不是的周期，故D錯誤；
故選：AC.
三、填空題
9．（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）設，，且，則 .
【答案】
【分析】根據三角恒等變化化簡可得，再結合，，解方程即可得的值.
【詳解】因為，
所以，即
又，，所以，
則可得，則故.
故答案為：.
10．（2023·全國·模擬預測）若，則 ．
【答案】
【分析】利用誘導公式、二倍角公式和輔助角公式化簡可得，然后由可解.
【詳解】因為
，
所以，
所以．
故答案為：
11．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量，，若的圖像是中心對稱圖形，則 ，對稱中心的坐標為 ．
【答案】 0 （）
【分析】先進行向量數量積運算表示出，再利用三角恒等變換將函數解析式化簡，結合函數的對稱性即可得解；根據正弦函數的對稱中心整體代換進行求解.
【詳解】因為，，
當（）時，，
此時的圖像是中心對稱圖形，
則（）．
令，則（），解得（），
所以對稱中心的坐標為（）．
故答案為：0；
四、解答題
12．（2023·四川甘孜·統考一模）已知①，②，③，從上述三個條件中任選一個補充到下面問題中，并解答問題.在中，內角的對邊分別為，并且滿足__________.
(1)求角；
(2)若為角的平分線，點在上，且，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用正弦定理或余弦定理實現邊角互化，從而求角的大小；
（2）用余弦定理結合三角形面積公式求解.
【詳解】選①：由，
得，
因為，則，
可得，
所以.
選②：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
選③：由得
則
即，
且，可知，則，
解得，即，
，故.
（2）由，得，
即.
由余弦定理得，所以.
解得（舍去）或，所以.
13．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學校考階段練習）已知函數的兩個相鄰的對稱中心的距離為．
(1)求在上的單調遞增區間；
(2)當時，關于x的方程有兩個不相等的實數根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降冪公式、輔助角公式化簡函數的解析式，結合正弦型函數的對稱性和單調性進行求解即可；
（2）根據正弦函數的對稱性，結合兩角和的余弦公式進行求解即可,
【詳解】（1）
，
由題意知，的最小正周期為，所以，解得，
∴，
令，解得
取，則取，則，
所以在上的單調遞增區間為．
（2）由（1）知，
當時，，
由的對稱性可知，解得，
所以.
14．（2023上·四川遂寧·高三統考期中）已知．
(1)求函數在上的單調增區間；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再對圖象上每個點縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，若函數的圖象關于直線對稱，求取最小值時的的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據三角恒等變換化簡函數解析式，由正弦型函數即可求函數在上的單調增區間；
（2）根據三角函數的圖象變換與函數的對稱性即可得所求.
【詳解】（1），.
因為，，所以，
故函數在單調增區間為；
（2）將向左平移個單位得到
將縱坐標不變，橫坐標變為原來的兩倍得到，
又因為的圖象關于直線對稱，則，
解得：
因為，所以當時，，
故.
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