資源簡介

2024河南中考數學備考重難專題
二次函數圖象與性質綜合題 交點問題
考情分析
年份 題號 題型 分值 解題關鍵點 設問形式
2023 22 解答題 10 (1)一次函數、二次函數圖象上點的性質 (2)一次函數與拋物線解析式聯立方程組求解（交點問題），拋物線位于直線上方部分對應的x的取值范圍（數形結合思想） (3)線段與拋物線交點問題，數形結合思想，分類討論思想 (1)求二次函數解析式的一次項系數和一次函數解析式中的常數項 (2)求交點坐標，根據圖象確定不等式解集 (3)直線與拋物線只有一個交點時，求點橫坐標的范圍
典例精講
例 (2023河南平頂山模擬卷)已知，拋物線y＝x2＋bx＋c交x軸于C，D兩點，交y軸于點E，其中點C的坐標為(－1，0)，對稱軸為直線x＝1. 點A，B為坐標平面內兩點，其坐標分別為A(，－5)，B(4，－5).
例題題圖
(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；
(2)當－1≤x≤2時，求y的取值范圍；
(3)連接AB，若拋物線y＝x2＋bx＋c向下平移k(k＞0)個單位時，與線段AB只有一個公共點，結合函數圖象，直接寫出k的取值范圍．
課堂練兵
練習題 已知：拋物線y＝x2－2x＋3a＋1(a為常數)．
(1)當a＝1時，求該拋物線的頂點坐標；
(2)若拋物線上有兩點M(－1，yM)，N(2，yN)，請比較yM與yN的大小；
(3)當x≤3時，該拋物線與直線y＝2x－3有兩個交點，求a的取值范圍．
課后小練
練習1 如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c分別交x軸、y軸于點A(－1，0)，C(0，－3)，連接AC.
練習題圖
(1)求拋物線的解析式；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是拋物線上兩點，當x1≤－2，m≤x2≤m＋1時，均有y1≥y2，求m的取值范圍；
(3)將該拋物線向左平移n(n＞0)個單位長度后，得到一條新拋物線，若新拋物線與線段AC只有一個交點，請直接寫出n的取值范圍．
練習2 (2023河南預測卷)在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象過(－2，0)，(4，0)兩點．
(1)求二次函數的解析式；
(2)當－1≤x≤5時，求函數值的取值范圍；
(3)一次函數y＝(3＋m)x＋6＋2m的圖象與二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象的交點的橫坐標分別為x1，x2，且x1＜5＜x2，求m的取值范圍．
答案
典例精講
例 解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c交x軸于C，D兩點，點C的坐標為(－1，0)，對稱軸為直線x＝1，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴拋物線的頂點坐標為(1，－4)；
(2)∵拋物線開口向上，頂點坐標為(1，－4)，－1≤x≤2，
∴函數最小值為y＝－4，對稱軸為直線x＝1，
∵|－1－1|＞|2－1|，
∴當x＝－1時，y＝1＋2－3＝0為函數最大值，
∴當－1≤x≤2時，y的取值范圍是－4≤y≤0；
(3)k＝1或＜k≤10.
【解法提示】拋物線y＝x2－2x－3向下平移k(k＞0)個單位后的解析式為y＝x2－2x－3－k，拋物線頂點坐標為(1，－4－k)，當頂點落在線段AB上時，－4－k＝－5，解得k＝1；當拋物線向下移動，經過B(4，－5)時，16－8－3－k＝－5，解得k＝10；當拋物線經過A(，－5)時，
－1－3－k＝－5，解得k＝，綜上所述，當k＝1或＜k≤10時，函數圖象與線段AB只有一個公共點．
課堂練兵
練習 解：(1)當a＝1時，拋物線的頂點坐標為(1，3)；
(2)由(1)知拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∵拋物線開口向上，且1－(－1)＝2，2－1＝1，2＞1，
∴yM＞yN；
(3)∵二次函數的圖象在x≤3的部分與一次函數y＝2x－3的圖象有兩個交點，
令x2－2x＋3a＋1＝2x－3，
整理得x2－4x＋3a＋4＝0，
由根的判別式得16－4(3a＋4)＞0，解得a＜0，
把x＝3代入y＝2x－3，得y＝3×2－3＝3，
把(3，3)代入y＝x2－2x＋3a＋1得3＝9－6＋3a＋1，
解得a＝－，
∴a的取值范圍為－≤a＜0.
課后小練
練習1 解：(1)將A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c中得，
解得，∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3；
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，
將x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝5，∴拋物線經過(－2，5)，
∵點(－2，5)關于對稱軸的對稱點為(4，5)，y1≥y2，∴－2≤m＜m＋1≤4，
解得－2≤m≤3；
2≤n≤4.
【解法提示】由題意得新拋物線的解析式為y＝(x－1＋n)2－4，當新拋物線過點C(0，－3)時，將其代入得(0－1＋n)2－4＝－3，解得n＝2或n＝0(舍去)；當新拋物線過點A(－1，0)時，將其代入得(－1－1＋n)2－4＝0，解得n＝4或n＝0(舍去)，∴當新拋物線與線段AC只有一個交點時，n的取值范圍為2≤n≤4.
練習2 解：(1)將(－2，0)，(4，0)兩點代入y＝x2＋bx＋c中，得，解得，
∴二次函數的解析式為y＝x2－2x－8；
(2)∵y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.
當x＝1時，y有最小值－9.
∵5－1＞1－(－1)，
∴當x＝5時，y有最大值，y最大＝(5－1)2－9＝7.
∴當－1≤x≤5時，函數值的取值范圍為－9≤y≤7；
(3)∵y＝(3＋m)x＋6＋2m＝(3＋m)(x＋2)，
∴一次函數y＝(3＋m)x＋6＋2m的圖象過定點(－2，0).
又∵y＝x2－2x－8過(－2，0)，
∴x1＝－2.
∵x2＞5，
∴當x＝5時，一次函數的圖象在二次函數圖象的上方，
即當x＝5時，一次函數的函數值比二次函數的函數值大．
∵x＝5時，y＝x2－2x－8＝52－2×5－8＝7，
∴5(3＋m)＋6＋2m＞7，解得m＞－2，
∴m的取值范圍是m＞－2.

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