資源簡介

2024河南中考數學備考重難專題：閱讀理解題 導學案
考情分析
年份 題號 題型 分值 考查背景 設問形式 解題關鍵點
2023 23 解 答 題 10 尺規作圖---角平分線 (1)全等三角形的判定依據HL(填序號)； (2)根據作圖步驟證明角平分線 (3)求線段長 (1)從尺規作圖步驟知道：等線段，垂直平分線及其性質，直角三角形的判定定理（HL）； (2)全等三角形的判定（對稱性型全等，A字型全等）； (3)根據（1）（2）的經驗，同理得到點P在∠AOB的角平分線上；分類討論點C在線段OE上和OE延長線上（動點問題，常會考到分類討論思想）
2022 20 解 答 題 9 "三分角器"的原理與使用方法 補充已知和求證，并寫出證明過程 證明角平分線（垂直平分線的性質，等腰三角形判定及性質（三線合一）/（全等三角形的判定及性質），角平分線的逆定理
典例精講
例 (2023山西黑白卷)閱讀與思考
閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．
利用對稱性補全圖形 有些幾何問題，采用原來的圖形去解，顯得十分繁瑣，若利用對稱的思想去思考，將整個或部分圖形補畫成對稱圖形，再利用對稱性質去解，往往能使問題巧妙、迅速地得到解決．
如圖①，在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠BAD＋∠BCD＝180°. 求證：AD＝CD. 例題圖
分析：圖形中出現角平分線，此時應嘗試補全以角平分線為對稱軸的圖形． 證明：如圖②，在BC上截取BE＝BA，連接DE， ∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中，， ∴△ABD≌△EBD(依據1)，∴AD＝ED，∠BAD＝∠BED， 又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BED＋∠DEC＝180°， ∴∠BCD＝∠DEC，∴ED＝CD(依據2)， 又∵AD＝ED， ∴AD＝CD. 受材料中方法的啟發，勤奮小組認為出現角平分線時，常作的輔助線是過角平分線上一點，向角的兩邊引垂線，這樣也能構成軸對稱圖形，然后證明題目中需證相等的線段所在的兩個三角形全等即可解決問題．
任務：
例題圖③
(1)上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：
依據1：__________________________________________；
依據2：__________________________________________；
(2)請根據勤奮小組的思路，結合圖①，加以證明；
(3)如圖③，BD是△ABC的角平分線，CE⊥BD于點E，若DE＝1，BD＝2，AB＝3，則線段AC的長度為__________.
課堂練兵
練習 (2023河南逆襲卷)請閱讀下列材料，并完成相應的任務．
在復習三角形中線的相關知識時，李老師提出了以下問題： 練習題圖 如圖，在△ABC中，BE為中線，已知AB＝3，BC＝5，求BE長的取值范圍. 小穎和小組交流后，通過倍長中線，將分散的條件遷移到同一個三角形中，利用三角形的邊角關系順利的解決了問題，下面是小穎的解題思路： 延長BE至點D，使BE＝DE，連接AD，則易證△ADE≌△CBE，得到AD＝BC＝5，則可得，AD－AB＜2BE＜AD＋AB，從而可得BE長的取值范圍是1＜BE＜4.
任務：
(1)如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為AB邊的中點，且CE平分∠BCD，則AD、BC、CD的數量關系是________________；
練習題
(2)如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AF與BC的延長線交于點F，點E是CD的中點，若AE是∠DAF的平分線，試探究AD，AF，CF之間的數量關系，并證明你的結論；
練習題
(3)如圖④，CF∥AB，E是BC的中點，點D在線段AE上，∠EDF＝∠BAE，若∠ABE＝60°，DF＋CF＝BC＝6，直接寫出△ABE的面積．
練習題圖
模型總結
倍長中線
看到題干中有中點，要證明三條線段數量關系（和/差），通常考慮延長中線，構造全等三角形解決.
具體如下：
圖示 直接倍長中線 間接倍長中線
條件 在△ABC中，AD是邊BC邊的中線 在△ABC中，AD是BC邊的中線，點M是AB上一點
作法 延長AD到點E，使得DE=AD，連接CE 延長MD到點N，使得DN=MD，連接CN
結論 △ABD≌ECD △BDM≌△CDN
課后小練
練習 (2023河南黑白卷) 下面是某數學興趣小組探究用不同方法將一條線段截為三段，且三段的長恰好構成直角三角形的三條邊的討論片段，請仔細閱讀，并完成相應任務．
小明：如圖①，(1)以線段AB為斜邊作等腰直角△ABC； (2)在線段AB上取一點D，作射線CD； (3)將射線CD繞點C逆時針旋轉45°至CE，交線段AB于點E.線段AD，DE，EB的長恰好是直角三角形的三條邊． 小亮：我可以用軸對稱的方法進行證明，如圖②，將△CDA沿CD所在的直線對折得到△CDF，連接EF. 簡述理由如下：通過證明△CEF≌△CEB，進而說明線段AD，DE，EB恰好構成直角三角形． 圖① 圖②　 　 圖③ 練習題圖 小強：我可以用旋轉的方法進行證明，如圖③，將△CDA繞點C逆時針旋轉90°至△CGB，連接EG. …
任務：
(1)小亮得出△CEF≌△CEB的依據是________(填序號)；
①SSS　　　②SAS　　　③AAS　　　④ASA　　　⑤HL
(2)請完成小強的證明過程；
(3)如圖④，已知AB＝6，小娟認為以線段AB為底邊作等腰△ABC，使∠ACB＝120°，在線段AB上取一點D，作射線CD，再將射線CD繞點C逆時針旋轉60°至CE，交線段AB于點E，也能得到線段AD，DE，EB順次相連構成直角三角形，請直接寫出線段AD的長．
　練習題圖④
答案
典例精講
例 解：(1)有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(SAS)；
在同一個三角形中，相等的兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；
(2)證明：如解圖①，分別過點D作DM⊥AB交BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N，
則∠M＝∠DNC＝90°，∵BD平分∠ABC，
∴DM＝DN，
∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠DAM＝180°，
∴∠BCD＝∠DAM，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN(AAS)，
∴AD＝CD；
例題解圖①
(3)3.
【解法提示】如解圖②，分別延長BA，CE交于點F，過點E作EG∥AC交BF于點G，
例題解圖②
∵BD是△ABC的角平分線，CE⊥BD，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝BF，CE＝FE，
∵DE＝1，BD＝2，
∴BE＝BD＋DE＝2＋1＝3，
∵EG∥AC，
∴∠BAD＝∠BGE，∠BDA＝∠BEG，∠FGE＝∠FAC，∠FEG＝∠FCA，
∴△BAD∽△BGE，△FGE∽△FAC，
又∵DE＝1，BD＝2，BE＝AB＝3，BC＝BF，CE＝FE，
∴＝＝＝，＝＝＝，
∴AC＝2EG，AD＝EG，BG＝，AG＝FG，
∴AC＝CD，AG＝FG＝BG－AB＝－3＝，
BC＝BF＝BG＋FG＝＋＝6，
∴CE＝＝＝3，
∴CD＝＝＝2，
∴AC＝CD＝3.
課堂練兵
練習 解：(1)AD＋BC＝CD；
【解法提示】如解圖①，延長CE與DA的延長線交于點P.∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠P.∵點E為AB邊的中點，∴AE＝BE.又∵∠AEP＝∠BEC，∴△AEP≌△BEC(AAS)，∴AP＝BC.∵CE平分∠BCD，∴∠BCP＝∠DCP，∴∠DCP＝∠P，∴CD＝DP，∴AD＋BC＝AD＋AP＝DP＝CD.
圖① 　圖②
練習題解圖
(2)CF＋AF＝AD；
證明：如解圖②，延長AE交BC的延長線于點P，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠P，
∵點E為CD邊的中點，∴DE＝CE，
又∵∠AED＝∠PEC，∴△ADE≌△PCE(AAS)，
∴AD＝CP，
∵AE平分∠DAF，∴∠DAE＝∠FAP，
∴∠FAP＝∠P，∴AF＝FP，
∴CF＋AF＝CF＋FP＝CP＝AD；
(3)△ABE的面積為.
【解法提示】如解圖③，延長AE交CF的延長線于點P.∵點E為BC的中點，∴CE＝BE.∵CF∥AB，∴∠BAE＝∠P.又∵∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE(AAS)，∴CP＝AB.∵∠EDF＝∠BAE, ∴∠FDP＝∠P，∴DF＝FP，∴CF＋DF＝CF＋FP＝CP＝AB.∵DF＋CF＝BC＝6，∴AB＝6，BE＝3.過點E作EQ⊥AB于點Q，在Rt△BEQ中， ∠QBE＝60°，∴EQ＝BE·sinB＝3×＝，∴S△ABE＝AB·EQ＝×6×＝.
練習題解圖③
課后小練
練習 解：(1)②；
【解法提示】∵△ACB是等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠A＝∠B，∠ACB＝90°. 將△CDA沿CD所在的直線對折得到△CDF，∴CF＝CA＝CB，∠ACD＝∠FCD.∵∠DCE＝45°，∴∠ACD＋∠BCE＝45°，∠DCF＋∠FCE＝45°，∴∠ECF＝∠ECB.在△CEF與△CEB中，，∴△CEF≌△CEB(SAS).
(2)完成證明過程如下：∵△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，∠A＝∠CBA＝45°，CA＝CB,
∵△CGB是由△CDA繞點C逆時針旋轉90°得到的，
∴∠GCB＝∠DCA，∠GBC＝∠A＝45°，CG＝CD，AD＝BG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCA＋∠ECB＝∠ACB－∠DCE＝45°，
∴∠GCB＋∠ECB＝45°，即∠GCE＝45°，
∴∠DCE＝∠GCE.
在△DCE與△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE(SAS)，
∴DE＝GE，
∵∠GBC＝∠CBA＝45°，
∴∠GBE＝∠GBC＋∠CBA＝90°，
∴線段BG，GE，EB恰好構成直角三角形，
則線段AD，DE，EB順次相連能構成直角三角形；
(3)【解法提示】∵△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，∴∠A＝∠ABC＝30°.如解圖①，②，將△ACD繞點C逆時針旋轉120°得到△BCD′，連接D′E，∴∠ACD＝∠BCD′，∠A＝∠CBD′＝30°，AD＝BD′，CD＝CD′.∵∠DCE＝60°，∴∠ACD＋∠BCE＝60°，∴∠BCD′＋∠BCE＝60°，∴∠DCE＝∠D′CE＝60°，在△EDC與△ED′C中，，∴△EDC≌△ED′C(SAS)，∴DE＝D′E，∵∠CBD′＝∠ABC＝30°，∴∠ABD′＝60°.設AD＝BD′＝x.如解圖①，當∠BD′E＝90°時，BE＝，DE＝D′E＝x·tan 60°.∵AB＝6，∴x＋x·tan 60°＋＝6，解得x＝3－.如解圖②，當∠BED′＝90°時，DE＝D′E＝x·sin 60°，BE＝x·cos 60°，∴x＋x·sin 60°＋x·cos 60°＝6，解得x＝6－2.綜上所述，線段AD的長為3－或6－2.
練習題解圖

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