資源簡介

2024河南中考數學備考重難專題：綜合與實踐 旋轉問題 導學案
考情分析
年份 題號 題型 分值 設問 解題關鍵點
2023 23 解 答 題 11 (1)三角形的形狀為____，線段的比值 (2)①(1)中的兩個結論是否成立？成立請證明，不成立請說明理由 ②當四邊形為平行四邊形時，請直接寫出線段比 (1)證明三角形兩個內角為45°；連接正方形對角線BD，構造△B'DB∽△EDC(手拉手相似) (2)①證明三角形兩個內角為45°;連接正方形對角線BD，構造△B'DB∽△EDC(手拉手相似) ②分類討論：當點B'在BE上，當點B'在BE的延長線上(類比(1)(2)問B'分別在BE及BE延長線上)
2022 22 10 (1)兩線段的比值是____，角的度數是___ (2)寫出線段比值及兩線段相交所成的較小角度數 (3)直接寫出線段比值 (1)證明三角形全等；延長兩條線段所交銳角，根據全等三角形對應角相等將角轉化到一個三角形中，根據內角和求解 (2)證明三角形相似；根據相似三角形對應角相等將角轉化到一個三角形中，根據內角和求解 (3)分類討論：當點P在在線段EF上，和點P在FE的延長線上(類比(1)(2)問P分別在三角形內部和外部)
2021 22 10 (1)①線段比的值為____ ②角的度數為____ (2)請判斷線段比值及角的度數 (3)請直接寫出當點C與點M重合時AC的長 (1)①證明三角形全等 ②根據全等三角形對應角相等將角轉化到一個三角形中，根據內角和求解 (2)證明三角形相似； 根據相似三角形對應角相等將角轉化到一個三角形中，根據內角和求解 (3)當點C與點M垂合時，B、D、C三點共線，通過構造直角三角形求線段長
2020 22 10 (1)兩線段的數量關系是____，位置關系是____ (2)判斷三角形的形狀，并說明理由 (3)直接寫出三角形面積最大值 (1)MP=EC=BD=PN；兩條線段平行，垂直于其中一條線段的垂線，也垂直于另一條平行線 (2)MP=EC=BD=PN； (3)當CE最大時，MP最大；當點C、E在點A異側，且在同一條直線上時，CE最大
典例精講
例 (2023河南真題子母卷)如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，連接BD，點F為BD的中點，連接CF，EF.
例題
(1)如圖①，當點E在CA的延長線上時，線段CF與EF的數量關系為________，∠CFE的度數為________；
(2)將△ADE繞點A順時針旋轉，連接CE，(1)中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖②的情況加以證明；如果不成立，請說明理由；
(3)若AB＝13，AE＝5，將△ADE繞點A順時針旋轉過程中，當D，E，F共線時，請直接寫出△BCE的面積．
課堂練兵
練習 (2023河南逆襲卷)如圖，在四邊形ABCD中，點E是直線BC上一點，將射線AE繞點A逆時針旋轉α交直線CD于點F.
練習題圖
(1)如圖①，若四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，α＝60°，則AE與AF之間的數量關系是__________；
(2)如圖②，若四邊形ABCD為正方形，α＝45°，連接EF，當點E在BC的延長線上時，試猜想線段BE、DF與EF之間的數量關系，并加以證明；
(3)若四邊形ABCD為正方形，α＝45°，連接EF，當AB＝4，BE＝BC時，請直接寫出EF的長．
課后小練
練習 (2023河南預測卷)如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，OA＝2OC＝4，點O為直角頂點，連接AD、BC，E是BC的中點，連接OE.
練習題圖
(1)如圖①，當點C、D分別在邊OA、OB上時，線段OE與線段AD之間的數量關系為________；
(2)將△COD繞點O逆時針旋轉到如圖②所示位置，請探究線段OE與線段AD之間的數量關系，并說明理由；
(3)在△COD的旋轉過程中，當點C落在直線AD上時，請直接寫出OE的長．
答案
典例精講
例 解：(1)EF＝CF，90°；
【解法提示】如解圖①，連接AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠BCA＝90°，AE＝DE，AC＝BC，∴∠DAB＝90°，∵點F為BD的中點，∴AF＝DF＝BF，∴△AEF≌△DEF(SSS)，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠AED＝90°，∴∠AEF＝45°，同理可得∠ACF＝45°，∴∠AEF＝∠ACF＝45°，∴EF＝CF，∠CFE＝90°.
解圖①
(2)(1)中的兩個結論仍成立．
證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE，AC＝BC，
如解圖②，過點B作BG∥DE交EF的延長線于點G，連接CG，
解圖②
∵BG∥DE，
∴∠EDF＝∠GBF，
∵∠DFE＝∠BFG，BF＝DF，
∴△BFG≌△DFE(ASA)，
∴BG＝DE，FG＝EF，∴BG＝AE，
∵∠EDF＝∠GBF，
∴∠CBG＝∠GBF＋∠CBD＝∠EDF＋∠CBD
＝∠ABD＋∠ADB＋∠ABC＋∠ADE
＝180°－∠BAD＋45°＋45°
＝270°－∠BAD＝∠EAC，
在△BGC和△AEC中，
∴△BGC≌△AEC(SAS)，
∴GC＝EC，∠BCG＝∠ACE，
∵∠ACB＝∠BCG＋∠ACG＝90°，
∴∠ACE＋∠ACG＝90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
又∵FG＝EF，
∴EF＝CF，∠CFE＝90°；
(3)51或21.
【解法提示】①如解圖③，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝13，AE＝5，由勾股定理得BE＝＝＝12，∴BD＝BE－DE＝12－5＝7，∵點F是BD的中點，∴DF＝，∴CF＝EF＝5＋＝，∴S△BCE＝BE·CF＝×12×＝51；②如解圖④，同理可得S△BCE＝BE·CF＝×12×＝21.綜上所述，△BCE的面積為51或21.
解圖③ 解圖④
課堂練兵
練習 解：(1)AE＝AF；
【解法提示】如解圖①，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.
解圖① 解圖②
(2)BE－DF＝EF；
證明：如解圖②，在BC上取點F′，使得BF′＝DF，連接AF′，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
在△ABF′和△ADF中，，
∴△ABF′≌△ADF(SAS)，
∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF.
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°.
在△AEF′和△AEF中，，
∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF，
∴BE－DF＝BE－BF′＝EF′＝EF；
(3)或10.
【解法提示】分兩種情況：①如解圖③，當點E在線段BC上時，同理(2)易得EF＝BE＋DF，∵AB＝4，∴BE＝BC＝2.設EF＝x，則DF＝x－2，CF＝4－(x－2)＝6－x，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即22＋(6－x)2＝x2，解得x＝，即EF＝；②如解圖④，當點E在CB延長線上時，同理可得DF－BE＝EF.設EF＝x，則DF＝x＋2，CF＝x＋2－4＝x－2，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即62＋(x－2)2＝x2，解得x＝10，即EF＝10.綜上所述，EF的長為或10.
解圖
課后小練
練習 解：(1)OE＝AD；
【解法提示】∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，點C、D分別在邊OA、OB上，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOD＝∠BOC＝90°，∴△AOD≌△BOC，∴AD＝BC.∵E為BC的中點，∴OE＝BC，∴OE＝AD.
(2)OE＝AD，
理由如下：如解圖①，延長OE至點F，使得EF＝OE，連接BF、CF，
∵BE＝CE，EO＝EF，
∴四邊形COBF是平行四邊形，∴BF∥CO，BF＝CO＝DO，∴∠FBO＋∠BOC＝180°.
∵∠BOA＝∠COD＝90°，
∴∠BOC＋∠BOD＝∠1＋∠BOD＝90°，∴∠1＝∠BOC.
∵∠1＋∠DOA＝180°，
∴∠FBO＝∠DOA.
∵BO＝AO，
∴△FBO≌△DOA(SAS)，∴AD＝OF，∴OE＝AD；
解圖①
(3)＋1或－1.
【解法提示】分點C在AD上和點C在AD的延長線上兩種情況討論：①如解圖②，當點C在線段AD上時，設AD、EO交于點M，由(2)可知EO＝AD，易證AD⊥EO，∴∠AMO＝90°，∵OC＝OD＝2，∴MO＝＝2，∴在Rt△AMO中，AM＝＝＝2，又∵MD＝MO＝2，∴AD＝AM＋MD＝2＋2，∴OE＝AD＝＋1；②如解圖③，當點C在AD的延長線上時，延長EO交AC于點N，由(2)可知EO＝AD，易證AD⊥EO，∴AC⊥EN，∴∠ANO＝90°，∵OC＝OD＝2，∴NO＝＝2，∴在Rt△ANO中，AN＝＝＝2，又∵DN＝NO＝2，∴AD＝AN－DN＝2－2，∴OE＝AD＝－1.
解圖

展開更多......

收起↑