資源簡介

2024河南中考數學備考重難專題
綜合與實踐 與折疊有關的探究 導學案
考情分析
年份 題號 題型 分值 折疊次數 設問形式 解題關鍵點
2023 23 解 答 題 10 折疊2次 (1)寫出圖中30°的角 (2)①求兩角度數 ②判斷兩角數量關系 (3)寫出線段長 (1)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半 (2)①△QMB≌△QCB， ∠MBQ=∠MCQ ②證得兩三角形全等，對應角相等 (3)分類討論思想：折疊過程中，當點Q分別在CF和DF上
典例精講
例 (2023河南逆襲卷)綜合與實踐
問題情境：
如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠A＝60°，點E，F，G，H為四條邊上的動點，且滿足AE＝CH，AF＝CG，將菱形ABCD分別沿EF和GH折疊，點A的對應點為A′，點C的對應點為C′，連接A′G，C′F，得到四邊形A′FC′G.
操作探究：
(1)如圖①，當點A′與點C′分別落在菱形ABCD的邊AD和BC上時，求證：四邊形A′FC′G是矩形；
(2)如圖②，在(1)的條件下，當四邊形A′FC′G是正方形時，求AF的長；
拓展延伸：
(3)如圖③，隱去右邊折疊部分，若點F是AB邊的中點，當A′F垂直于菱形ABCD的邊時，請直接寫出AE的長．
　例題圖
課堂練兵
練習 (2023河南定心卷)觀察猜想
(1)如圖①，在矩形ABCD中，點E是BC的中點，將△DCE沿直線DE折疊后得到△DFE，點F在矩形ABCD的內部，延長DF交AB于點G，連接EG，猜想△DEG是直角三角形，請你證明這個猜想；
類比探究
(2)若將圖①中的矩形ABCD變為如圖②的平行四邊形，其他條件不變，那么(1)中的猜想是否仍然成立？請說明理由；
拓展延伸
(3)在(2)的基礎上，若∠ABC＝60°，AB＝6，G為AB邊的三等分點，請直接寫出BC的長．
練習題圖
課后小練
練習 (2023甘肅黑白卷)如圖是人教版八年級上冊數學教材第79頁的部分內容．
把一張長方形的紙沿對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？
問題解決：(1)如圖1，已知矩形ABCD(AB>AD)，將矩形紙片沿對角線AC折疊，使點B落在點P的位置，AP交CD于點Q.請判斷△ACQ的形狀，并進行證明；
　練習1題圖
拓展延伸：(2)如圖2，折疊矩形ABCD使點B落在CD上的點E處，折痕為GH，過點E作EF∥BC交GH于點F，連接BF，發現四邊形BFEG是特殊四邊形，請先寫出是哪種特殊四邊形，并進行證明；
類比遷移：(3)在(2)的基礎上，若AD＝6，AB＝10，當點E在CD邊上移動時，折痕的端點G，H也隨著移動，若限定G，H分別在線段BC，AB上移動，求四邊形BFEG面積的變化范圍．
答案
典例精講
例 (1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD∥BC，CD∥AB，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠B＝∠D＝120°.
由折疊可知，AF＝A′F，
∵∠A＝60°，
∴△AFA′是等邊三角形，
同理，△CGC′是等邊三角形，
∴∠AFA′＝60°.
∵AF＝CG，
∴AA′＝AF＝CG＝C′C＝A′F＝C′G，
∴BF＝BC′＝DG＝DA′.
在△DA′G和△BC′F中，，
∴△DA′G≌△BC′F(SAS)，
∴A′G＝FC′.
∵A′F＝C′G，
∴四邊形A′FC′G是平行四邊形．
∵∠B＝120°，BF＝BC′，∴∠BFC′＝30°.
∵∠BFC′＋∠A′FC′＋∠A′FA＝180°，
∴∠A′FC′＝180°－60°－30°＝90°.
∴四邊形A′FC′G是矩形；
(2)解：如解圖①，過點B作BM⊥FC′于點M，
∵BF＝BC′，∴FC′＝2FM，
∵四邊形A′FC′G是正方形，
∴A′F＝ FC′，
在Rt△FBM中，∵∠BFC′＝30°，
∴設BF＝x，則FM＝x，
例題解圖①
∴FC′＝x，
∴AF＝A′F＝x，
∵AF＋BF＝2，
∴x＋x＝2，
∴x＝＝－1，
∴AF＝x＝3－，
∴當四邊形A′FC′G是正方形時，AF＝3－；
(3)－1或2－.
【解法提示】當A′F垂直于菱形ABCD的邊時，分兩種情況討論如下：①如解圖②，當A′F⊥AB，即A′F⊥CD時，∠AFA′＝90°，由折疊的性質得∠EFA＝∠A′FE＝45°，過點E作EG⊥AB于點G，則∠GEF＝45°，∴EG＝FG，設AG＝x，∵∠A＝60°，∴EG＝FG＝x，AE＝2x，∵AB＝2，F是AB的中點，∴AF＝1，∴x＋x＝1，解得x＝，∴AE＝－1；②如解圖③，當A′F⊥AD，即A′F⊥BC時，設A′F交AD于點H，則∠AHF＝90°，∵∠A＝60°，∴HF＝AF＝，由折疊的性質得A′F＝AF＝1，∠A′＝∠A＝60°，∴A′H＝1－，∴AE＝A′E＝2A′H＝2－.綜上所述，AE的長為－1或2－.
例題解圖
課堂練兵
練習 解： (1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
由折疊的性質得，∠DFE＝∠C＝90°，EC＝EF，∠CED＝∠FED，
∴∠GFE＝90°＝∠B，
∵E為BC的中點，∴BE＝EC，
∴BE＝EF，
∵EG＝EG，
∴Rt△BEG≌Rt△FEG(HL)，
∴∠BEG＝∠FEG，
∵∠CED＝∠FED，∠BEC＝∠BEG＋∠FEG＋∠FED＋∠CED＝180°，
∴∠GED＝∠FEG＋∠FED＝∠BEC＝90°，
∴△DEG是直角三角形；
(2)(1)中的猜想仍成立，
理由如下：
　練習題解圖
如解圖，連接BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＋∠C＝180°，
由折疊的性質得，∠DFE＝∠C，EC＝EF，∠CED＝∠FED，
∵∠GFE＋∠DFE＝180°，
∴∠ABC＝∠GFE，
∵E為BC的中點，∴BE＝EC，
∴BE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴∠GBF＝∠GFB，∴GB＝GF，
∵EG＝EG，∴△EBG≌△EFG(SSS)，
∴∠BEG＝∠FEG，
∵∠CED＝∠FED，∠BEC＝∠BEG＋∠FEG＋∠FED＋∠CED＝180°，
∴∠GED＝∠FEG＋∠FED＝∠BEC＝90°，
∴△DEG是直角三角形，(1)中的猜想仍然成立；
(3)BC的長為－1或2－2.
【解法提示】如解圖，過點G作GH⊥AD交DA的延長線于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠HAG＝∠B＝60°.若G為AB邊的三等分點，分兩種情況討論如下：
①如解圖①，此時AG＝AB＝2，∴AH＝AG＝1，GH＝AG＝，由(2)得FG＝BG＝4，由折疊的性質得DF＝DC＝6，∴DG＝DF＋FG＝10，在Rt△DGH中，DG2＝DH2＋GH2，即102＝(1＋AD)2＋()2，解得AD＝－1(負值已舍去)，∴BC＝AD＝－1；
②如解圖②，此時AG＝AB＝4，∴AH＝AG＝2，GH＝AG＝2，由(2)得FG＝BG＝2，由折疊的性質得DF＝DC＝6，∴DG＝DF＋FG＝8，在Rt△DGH中，DG2＝DH2＋GH2，即82＝(2＋AD)2＋(2)2，解得AD＝2－2(負值已舍去)，∴BC＝AD＝2－2.
綜上所述，BC的長為－1或2－2.
練習題解圖
課后小練
練習 解：(1)△ACQ是等腰三角形．
證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
由折疊的性質可知∠BAC＝∠PAC，
∴∠PAC＝∠DCA，
∴QA＝QC，
∴△ACQ是等腰三角形；
(2)四邊形BFEG是菱形．
證明：由折疊的性質知GB＝GE，BF＝EF，∠BGF＝∠EGF.
∵EF∥BC，
∴∠BGF＝∠EFG，
∴∠EGF＝∠EFG，
∴EG＝EF，
∴GB＝GE＝BF＝EF，
∴四邊形BFEG是菱形；
(3)∵四邊形BFEG是菱形，S四邊形BFEG＝BG·CE，
①當點H與點A重合時，此時點E離點C最近，且BG最小，∴S四邊形BFEG最小，如解圖①，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，∠C＝∠D＝90°，
∵點B與點E關于GH對稱，
∴AE＝AB＝10，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝8，
∴CE＝CD－DE＝10－8＝2，
在Rt△CGE中，CE＝2，CG＝6－BG＝6－EG，
∴在Rt△CEG中，EG2＝22＋(6－EG)2，
解得EG＝，
由(2)知，四邊形BFEG是菱形，
∴S四邊形BFEG＝BG·CE＝×2＝.
②當點G與點C重合時，點E離點C最遠，點H與點F重合，且BG最大，∴S四邊形BFEG最大，如解圖②，
此時四邊形BFEG為正方形，CB＝HB＝6，
∴S四邊形BFEG＝BC·HB＝36，
∴四邊形BFEG面積的變化范圍為≤S四邊形BFEG≤36.
練習1題解圖

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