資源簡介

5.4正切函數的圖像與性質
正切函數的圖象與性質
圖象
定義域
值域 R
周期 最小正周期為
奇偶性 奇函數
單調性 在開區間內單調遞增
注意：
（1）正切函數的單調性:正切函數在每一個開區間上,都是從增大到,故正切函數在每一個開區間上是增函數,但不能說函數在定義域內是增函數.
（2）正切函數的對稱性:由函數的奇偶性和周期性以及圖象可知,正切函數的每支圖象關于點對稱,兩支圖象關于點對稱,所以正切函數的對稱中心為
（3）畫正切函數 圖象常用“三點兩線法”，找三個關鍵點,兩條平行線
重難點1 正切（型）函數的圖象問題
1．函數在一個周期內的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正切函數的圖象與性質判斷，
【詳解】由正切函數的圖象與性質可知在上單調遞增，圖象為A，
故選：A
2．函數在區間內的圖象是 .（填相應序號）

【答案】④
【分析】分段取絕對值，然后由正弦函數和正切函數圖象可得.
【詳解】當時，，此時；
當時，，此時.
綜上，，由正弦函數和正切函數圖象可知④正確.
故答案為：④
3．作出函數的圖象.
【答案】圖見解析
【分析】依題意是將在軸下方部分的圖象關于軸翻折上去，即可得到的函數圖象；
【詳解】解：函數是將在軸下方部分的圖象關于軸翻折上去，所以的圖象如下所示：
4．作函數的圖象.
【答案】答案見解析.
【分析】根據奇偶性可得答案.
【詳解】先作出的圖象，
因為，所以是偶函數，
圖象關于軸對稱，可作出的圖象，
所以的圖象如下所示：

5．畫出函數在上的簡圖．
【答案】答案見解析
【分析】根據五點作圖法畫圖即可.
【詳解】令，，可得，，
又，所以直線是該函數圖象的一條漸近線．
當時，；
當時，；
當時，；
當時，．
描點，，，，畫虛線，根據正切曲線的趨勢，畫出簡圖，如圖所示．

重難點2 解正切不等式
6．不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根據圖像和周期性直接求解.
【詳解】由題意得，，
得.
故選：C
7．若，則不等式的解集為 .
【答案】
【分析】根據正切函數的單調性及特殊角三角函數值直接求解即可.
【詳解】當時，；
當時，且在上單調遞增，；
綜上所述：的解集為.
故答案為：.
8．不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】利用正切函數的單調性列不等式即可得出.
【詳解】不等式的解集為.
由可得，
解得，
不等式的解集為
故答案為：
9．若，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據正切函數的性質計算可得.
【詳解】由，則，，
又，所以，即的取值范圍是.
故答案為：
10．根據正切函數的圖象，寫出使下列不等式成立的x值的集合：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根據給定條件，借助正切函數的圖象性質解不等式得解.
【詳解】（1）不等式，化為，
在同一平面直角坐標系中作出正切函數在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，
由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是，
所以使不等式成立的x的集合為.
（2）不等式，化為，
在同一平面直角坐標系中作出正切函數在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，
由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是.
所以使不等式成立的x的集合為.
11．解不等式.
【答案】.
【分析】解出正切不等式在一個周期內的解集，由周期性可得不等式的解集.
【詳解】作出函數，的圖像，如圖所示．
觀察圖像可得：在內，滿足條件的x為，
由正切函數的周期性可知，滿足不等式的x的解集為.
重難點3 正切（型）函數的定義域問題
12．函數的定義域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據對數式中真數大于零，列出不等式，從而求解.
【詳解】由題意得，
即，
所以，，
所以，，故B項正確.
故選:B.
13．函數的定義域為 .
【答案】
【分析】利用正切函數的性質即可得解.
【詳解】因為，
所以，則，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
14．函數的定義域為 .
【答案】
【分析】根據正切函數的定義域求解即可.
【詳解】由，，
即，，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
15．函數的定義域是 .
【答案】
【分析】由正切函數的定義域，整體思想可求得函數的定義域.
【詳解】由正切函數的定義域可得，，，得，，
故函數的定義域為.
故答案為：.
16．函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】根據函數定義域的求法結合正切函數性質進行求解即可.
【詳解】 由，得，且．

由圖可得，即．
所以函數的定義域為．
故答案為：.
17．求下列函數的定義域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)且.
(2)且
(3)
(4)
【分析】利用具體函數定義域的求法，結合三角函數的性質即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以且，
故的定義域為且.
（2）因為，所以，即，
所以且，
故的定義域為且.
（3）因為，
令，得，
故的定義域為.
（4）因為，所以，即，
顯然，
故的定義域為.
重難點4 正切（型）函數的周期問題
18．函數是（ ）
A．周期為的偶函數 B．周期為的奇函數
C．周期為的偶函數 D．周期為的奇函數
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性、周期性確定正確答案.
【詳解】由解得,
的定義域是，的定義域關于原點對稱.
，所以是偶函數，
由此排除BD選項.
，所以的一個周期為，A選項正確.
，
所以不是的周期，所以C選項錯誤.
故選：A
19．函數的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根據正切函數的周期性求解．
【詳解】的最小正周期為.
故選：C.
20．函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正切函數求最小正周期公式求解.
【詳解】函數的最小正周期，
直接利用公式，可得．
故選：A
21．（多選）下列函數，最小正周期為的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用三角函數的周期性求出各個選項的周期，即可得出結論.
【詳解】對于A，因為令，，令，，
所以的最小正周期不是；
對于B，的最小正周期為，所以的最小正周期為；
對于C，，則最小正周期為；
對于D，的最小正周期為，則小正周期為.
故選：BCD.
22．已知函數，則函數的最小正周期是 .
【答案】
【分析】利用正切函數最小正周期公式即可得解.
【詳解】因為，
所以的最小正周期為.
故答案為：.
23．函數的周期為 ．
【答案】/
【分析】直接根據正切函數的周期公式計算可求解.
【詳解】由題意得的周期為，
所以的周期為.
故答案為：.
重難點5 正切（型）函數的奇偶性問題
24．下列四個函數中，是偶函數的是（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由解析式直接判斷函數的奇偶性，從而得解.
【詳解】由冪函數的性質可知為奇函數，故A錯誤 ；
由正弦函數的性質可知為奇函數，故B錯誤；
由余弦函數的性質可知為偶函數，故C正確；
由正切函數的性質可知為奇函數，故D錯誤；
故選：C.
25．已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數，根據奇函數的性質計算可得；
【詳解】解:，令，，于是
，所以是奇函數，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.
故選：B
26．，若，則 ．
【答案】0
【分析】代入計算并運用函數的奇偶性求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以.
故答案為：0.
27．已知，則“函數的圖象關于軸對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出函數的圖象關于軸對稱所滿足的條件，和進行比較
【詳解】關于軸對稱，則關于原點對稱，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函數的圖象關于軸對稱是的必要不充分條件
故選：B
重難點6 正切（型）函數的對稱性問題
28．下列函數中，沒有對稱中心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】結合函數圖像及性質分別判斷各個選項即可.
【詳解】的對稱中心是,A不正確;
的對稱中心是,B不正確;
的對稱中心是,C不正確;
結合指數型函數的圖像可知函數無對稱中心,D選項正確.
故選：D.
29．設函數的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正切函數的對稱中心得到，，再對各選項逐一檢驗分析即可.
【詳解】根據題意得，，則，
又，則，，
對于A，若是的最小正周期，則，得，與矛盾，故A錯誤；
對于B，由得，滿足條件，故B正確；
對于C，由得，與矛盾，故C錯誤；
對于D，由得，與矛盾，故D錯誤.
故選：B.
30．（多選）下列坐標所表示的點中，是函數圖像的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】令，求出對稱中心橫坐標，對四個選項一一進行判斷.
【詳解】令，解得，
A選項，當時，，故對稱中心為，A正確；
B選項，當時，，故對稱中心為，B正確；
C選項，令，解得，不合要求，舍去，C錯誤；
D選項，當時，，故對稱中心為，D正確；
故選：ABD
31．已知函數，則的對稱中心為 .
【答案】
【分析】根據正切函數的對稱中心公式，結合整體法即可求解.
【詳解】
，
所以的對稱中心為,
所以的對稱中心為.
故答案為：.
32．“函數的圖象關于中心對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】分別求出與的對稱中心，比較兩個中心關系.
【詳解】的對稱中心為，的對稱中心為，的對稱中心不一定為的對稱中心；的對稱中心一定為的對稱中心.
故選：B．
重難點7 正切（型）函數的單調性問題
33．下列說法正確的是（ ）
A．正切函數在定義域上是增函數
B．正切函數在第一、四象限是增函數
C．正切函數在每一個區間上都是增函數
D．正切函數在某一區間上是減函數
【答案】C
【分析】由正切函數的單調性可得出結論.
【詳解】由正切函數的單調性可知，正切函數在每一個區間上都是增函數，
正切函數在定義域上不單調，
正切函數在第一、四象限不單調，
正切函數不存在減區間，ABD錯，C對.
故選：C.
34．（多選）已知函數，若在區間內單調遞增，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由的范圍，求出的范圍，由題意可得，解方程即可得出答案.
【詳解】因為，
函數，若在區間內單調遞增，
所以，所以.
故選：BC.
35．已知函數在區間上是減函數，則的取值集合為 .（用列舉法表示）
【答案】
【分析】由正切函數的單調性結合條件可得，由正切函數的單調區間與周期性可得，再對的值進行逐一驗證即可得出答案.
【詳解】由在區間上是減函數，則，且，解得
因為，所以或或或，
當時，，當時，，
當 ，即時，函數無意義，故不成立.
當時，,當時，，
由在上單調遞增，所以在區間上是減函數，
故滿足題意.
當時，,當時，，
由在上單調遞增，所以在區間上是減函數，
故滿足題意.
當時，,當時，，
當 ，即時，函數無意義，故不成立.
故答案為:
36．已知函數在上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據題意得到，，即可得到答案.
【詳解】因為函數在上是嚴格減函數，
所以，，，
.
故答案為：
37．求函數的定義域和單調增區間.
【答案】；.
【分析】求正切型函數的定義域和遞增區間，首先都要把角看成整體角，再利用正切函數的定義域和遞增區間處理即可.
【詳解】由函數有意義可得：，解得，
即函數的定義域為：
又由可得：，
即函數的單調增區間為：.
38．若函數在區間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】解出正切型函數單調區間，則得到的范圍.
【詳解】令，，解得，，
令，則其一個單調增區間為，則實數的取值范圍為，
故答案為：.
重難點8 比較正切值的大小
39．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由誘導公式得，再根據正弦函數，正切函數的單調性可得.
【詳解】，
因為，
又因在上單調遞增，
所以，
又，在上單調遞增，
所以，
所以．
故選：A
40． .（用“”、“”或“”填空）
【答案】
【分析】利用誘導公式結合正切函數的單調性可得出結論.
【詳解】因為，
當時，隨著的增大而增大，
因為，故.
故答案為：.
41．比較下列正切值的大小：
(1)與；
(2)tan與tan．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據三角函數的誘導公式，以及正切函數的單調性，即可求解.
【詳解】（1）解：由，
因為時，函數為單調遞增函數，且，
所以，所以.
（2）由，
因為函數在為單調遞增函數，且，
所以，即
42．比較下列各組中三角函數值的大小：
(1)與；
(2)與．
【答案】(1)
(2)
【分析】由正切函數的單調性即可判斷大小.
【詳解】（1）因為當時，函數單調遞增，且，
所以；
（2）因為，
，且，
結合函數在上單調遞增，
所以，即.
43．已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
【答案】
【分析】根據正切函數單調性以及任意角的定義分析求解.
【詳解】因為在上單調遞增，若，則，
取，
則，即，
令，則，
因為，則，
即，則.
不妨取，即滿足題意.
故答案為：.
重難點9 正切（型）函數的值域問題
44．函數且的值域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用正切函數的性質求得答案.
【詳解】當時，，∴；
當時，，∴.
即當時，函數的值域是．
故選：B.
45．已知在區間上的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根據解方程即可.
【詳解】因為，即，
又，所以，所以，
所以，．
故選：A．
46．函數，的值域為 ．
【答案】
【分析】分析函數單調性求出值域即可.
【詳解】∵函數在區間上單調遞增，
∴函數在區間上的值域為．
故答案為：.
47．函數在x∈[]上的最大值為4，則實數a為 .
【答案】/
【分析】利用正切函數單調性求出最大值作答.
【詳解】函數在上單調遞增，則當時，，
因此，解得，
所以實數a為.
故答案為：
48．已知函數在閉區間上的最大值為7，最小值為3，則 .
【答案】/
【分析】分析在的單調性，求出的范圍，根據最值建立等式，解出即可.
【詳解】解：取，解得，
所以在上單調遞增，
即在上單調遞減，
因為在閉區間上有最大值為7，最小值為3，
所以，且，，
即，解得，
因為，所以，故.
故答案為：
49．求函數的值域.
【答案】
【分析】結合復合函數的性質，令，函數變化成，的二次函數問題，從而求得函數的值域；
【詳解】因為，所以
令則
當即時，
當即時，
故所求函數的值域為 .5.4正切函數的圖像與性質
正切函數的圖象與性質
圖象
定義域
值域 R
周期 最小正周期為
奇偶性 奇函數
單調性 在開區間內單調遞增
注意：
（1）正切函數的單調性:正切函數在每一個開區間上,都是從增大到,故正切函數在每一個開區間上是增函數,但不能說函數在定義域內是增函數.
（2）正切函數的對稱性:由函數的奇偶性和周期性以及圖象可知,正切函數的每支圖象關于點對稱,兩支圖象關于點對稱,所以正切函數的對稱中心為
（3）畫正切函數 圖象常用“三點兩線法”，找三個關鍵點,兩條平行線
重難點1 正切（型）函數的圖象問題
1．函數在一個周期內的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
2．函數在區間內的圖象是 .（填相應序號）

3．作出函數的圖象.
4．作函數的圖象.
5．畫出函數在上的簡圖．
重難點2 解正切不等式
6．不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若，則不等式的解集為 .
8．不等式的解集為 ．
9．若，且，則的取值范圍是 ．
10．根據正切函數的圖象，寫出使下列不等式成立的x值的集合：
(1)；
(2)．
11．解不等式.
重難點3 正切（型）函數的定義域問題
12．函數的定義域是(　　)
A． B．
C． D．
13．函數的定義域為 .
14．函數的定義域為 .
15．函數的定義域是 .
16．函數的定義域為 ．
17．求下列函數的定義域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
重難點4 正切（型）函數的周期問題
18．函數是（ ）
A．周期為的偶函數 B．周期為的奇函數
C．周期為的偶函數 D．周期為的奇函數
19．函數的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．4
20．函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
21．（多選）下列函數，最小正周期為的有（ ）
A． B． C． D．
22．已知函數，則函數的最小正周期是 .
23．函數的周期為 ．
重難點5 正切（型）函數的奇偶性問題
24．下列四個函數中，是偶函數的是（　 ）
A． B．
C． D．
25．已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
26．，若，則 ．
27．已知，則“函數的圖象關于軸對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
重難點6 正切（型）函數的對稱性問題
28．下列函數中，沒有對稱中心的是（ ）
A． B．
C． D．
29．設函數的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
30．（多選）下列坐標所表示的點中，是函數圖像的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
31．已知函數，則的對稱中心為 .
32．“函數的圖象關于中心對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
重難點7 正切（型）函數的單調性問題
33．下列說法正確的是（ ）
A．正切函數在定義域上是增函數
B．正切函數在第一、四象限是增函數
C．正切函數在每一個區間上都是增函數
D．正切函數在某一區間上是減函數
34．（多選）已知函數，若在區間內單調遞增，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
35．已知函數在區間上是減函數，則的取值集合為 .（用列舉法表示）
36．已知函數在上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是 ．
37．求函數的定義域和單調增區間.
38．若函數在區間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍為 .
重難點8 比較正切值的大小
39．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
40． .（用“”、“”或“”填空）
41．比較下列正切值的大小：
(1)與；
(2)tan與tan．
42．比較下列各組中三角函數值的大小：
(1)與；
(2)與．
43．已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
重難點9 正切（型）函數的值域問題
44．函數且的值域是(　　)
A． B．
C． D．
45．已知在區間上的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
46．函數，的值域為 ．
47．函數在x∈[]上的最大值為4，則實數a為 .
48．已知函數在閉區間上的最大值為7，最小值為3，則 .
49．求函數的值域.

展開更多......

收起↑