資源簡介

6.2.4　向量的數量積
第二課時
知識點歸納
向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
提示：(1)a·b＝b·c推不出a＝c；
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它們表示不同的向量.
題型演練
題型一　平面向量的數量積
例1 已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，b方向的單位向量為e.
(1)求a·b與(a－2b)·(a＋b)的值；
(2)求a在b上的投影向量.
解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4·cos 120°＝－10；
(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2
＝|a|2－|a||b|·cos 120°－2|b|2
＝25－(－10)－2×42＝3.
(2)a在b上的投影向量為|a|cos θe＝5×e＝－e.
小結　1.運用a·b＝|a||b|cos θ計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，求解時要靈活運用數量積的運算律.
2.若所求向量的模與夾角未知，應先選取已知模與夾角的兩個向量，表示出所求向量，再代入運算.
變式1 (1)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.0
(2)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分別為BC，CD的中點，則·＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，
又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
(2)∵E，F是菱形ABCD中邊BC，CD的中點，
∴＝＋，
＝＝(－)，
又||＝||＝2，且∠BAD＝60°，
∴·＝·(－)
＝·＋||2－||2
＝||·||·cos 60°＋×22－×22
＝－.
題型二　向量模的計算
例2 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夾角為60°，那么向量a－4b的模為(　　)
A.2 B.2
C.6 D.12
答案　B
解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2
＝22－8×2×1·cos 60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2.
小結　1.利用向量的數量積求模是數量積的重要應用，a2＝|a|2是計算的依據.
2.根據平面圖形求向量的模時，注意利用圖形的性質對向量的數量積或者夾角等進行轉化.
變式2 已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝(　　)
A.6 B.4
C. D.
答案　C
解析　∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝，
∴|a＋b|＝＝＝.
題型三　向量的夾角與垂直
類型1　求兩向量的夾角
例3 已知平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，則向量a，b的夾角θ為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　(4a－b)·(a＋3b)＝4a2－3b2＋11a·b＝2，
由|a|＝2，|b|＝1，得a·b＝－1.
由a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ＝－1，
得cos θ＝－，所以θ＝.
小結　1.求向量夾角的基本步驟：
2.求向量的夾角，還可以結合向量線性運算、模的幾何意義，利用數形結合的方法求解.
類型2　利用數量積解決向量的垂直問題
例4 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夾角為60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求實數m為何值時，c與d垂直.
解　由已知得a·b＝2×1·cos 60°＝1.
若c⊥d，則c·d＝0.
∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)
＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
∴m＝.
故當m＝時，c與d垂直.
變式3 已知a，b是非零向量，當a＋tb(t∈R)的模取最小值時，求證：b⊥(a＋tb).
證明　|a＋tb|＝
＝
＝，
∴當t＝－＝－時，|a＋tb|有最小值.
此時b·(a＋tb)＝b·a＋tb2
＝a·b＋·|b|2＝a·b－a·b＝0.
∴b⊥(a＋tb).
總結 1.重要思想與方法
(1)求向量的數量積要靈活應用其運算律，求向量的夾角與模時，則要靈活應用夾角公式和模的計算公式.
(2)用向量解決夾角與垂直問題，常利用數形結合的思想方法.
2.易錯易混點提醒
要注意數量積不滿足結合律.
分層作業
A基礎能力提升
一、單選題
1．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）設非零向量，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量的模及向量垂直的數量積表示可得結果.
【詳解】由，平方得，
即，則.
故選：B.
2．（2023下·新疆喀什·高一統考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設向量的夾角為，結合，求得，即可求解.
【詳解】設向量的夾角為，因為，可得，
又因為，，
可得
，解得，
因為，可得.
故選：B.
3．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用向量運算律計算判斷即得.
【詳解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故選：C
4．（2023下·天津和平·高一統考期末）已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】C
【分析】根據數量積的定義可得，結合模長公式和數量積的運算律運算求解.
【詳解】由題意可知：，
所以.
故選：C.
5．（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】根據題意，求得，結合，即可求解.
【詳解】由，可得，所以，
因為，可得，
所以.
故選：A.
6．（2023下·全國·高一期末）下列關于向量，，的運算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對于選項A，C，D，可舉反例判斷其錯誤，選項B是分配律．
【詳解】當時，，故A錯誤；
選項B是向量數量積的分配律，是正確的；
當時，，故C錯誤；
當時，，
不滿足，故D錯誤．
故選：B．
二、多選題
7．（2023下·浙江金華·高一校聯考階段練習）已知向量滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C．，有恒成立 D．若，則
【答案】ABC
【分析】將化為可判斷A；將化為可判斷B；將平方，根據二次函數的最值可判斷C；計算可判斷D.
【詳解】解：對于A,因為，所以，
即，故，故A正確；
對于B，可化為，
即.
若，則，即，故B正確；
對于C，，
故，故C正確；
對于D，若，
則，
該式子的值隨著的變化而變化，故D錯誤.
故選：ABC.
8．（2023下·四川自貢·高一統考期中）已知，下述結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用條件及數量積與模、夾角的關系得出夾角，一一計算判定即可.
【詳解】∵，∴，
對于A項，，A正確；
對于B項，，B正確；
對于C項，，故C錯誤；
對于D項，，故D錯誤.
故選：AB
三、填空題
9．（2023·全國·高一隨堂練習）若，，且，則與的夾角為 ；
【答案】//
【分析】根據已知結合數量積的運算律可推得，然后即可求出，進而得出答案.
【詳解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
又，所以.
故答案為：.
10．（2023下·上海寶山·高一校考期中）設向量、滿足，，且，則 ．
【答案】
【分析】根據，結合向量的數量積運算計算可得答案.
【詳解】，
故.
故答案為：.
11．（2023下·貴州安順·高一統考期末）已知平面非零向量與的夾角為，若，則 .
【答案】2
【分析】根據數量積的定義以及運算律運算求解.
【詳解】因為，則，
整理得，解得或（舍去），
所以.
故答案為：2.
12．（2023下·福建·高一福建師大附中校考期末）在中，，.若點D在邊BC上，且滿足，則 .
【答案】/
【分析】根據向量加減、數乘的幾何意義得，再應用向量數量積的運算律求模長，即可得結果.
【詳解】由，
所以，
故.
故答案為：
四、問答題
13．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）已知，，與的夾角是.
(1)計算；
(2)當k為何值時，？
【答案】(1)
(2)
【分析】根據數量積的計算規則計算.
【詳解】（1），，與的夾角是，
則，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.則當k為時，；、
綜上，（1），（2）.
14．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，是等邊三角形，邊長為2，P是平面上任意一點．求的最小值．

【答案】
【分析】根據三角形中心的性質，結合平面向量數量積的運算性質、正弦定理進行求解即可.
【詳解】取等邊的中心O．
記，，，，則．
又，
，
所以．
當時，上式取最小值．
因為等邊的邊長為2，所以．
所以．
因此，當點P滿足時，取最小，其最小值為．
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角形中心性質、正弦定理.
15．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）已知平行四邊形中，，，，點是線段的中點．

(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據條件結合數量積的運算得到，再利用線性運算得到，即可求解；
（2）根據（1）和條件得到，，由垂直關系得到，從而得到關于的方程，即可求解.
【詳解】（1）在平行四邊形中，，，，
所以，
因為點是線段的中點，
所以，
則，
故的值為.
（2）由（1）知：，，
則，，
又因為，
則，
即，
即，解得：，
故的值為.
16．（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學校考期末）如圖，在中，，，，且，，設與交于點．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據數量積的定義求出，再以、為基底表示、，最后根據數量積的運算律計算可得；
（2）求出、，再根據計算可得.
【詳解】（1）因為，
因為，即為的中點，所以，
又，所以，
所以
；
（2）由題意知等于向量和的夾角，
因為，所以；
因為，所以；
所以．
B數學素養落實
一、單選題
1．（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑∥，點在正六邊形的邊上運動，則的最大值為（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】由，，然后由數量積的運算計算，結合正六邊形性質可得．
【詳解】如圖，連接，顯然，
，
點在正六邊形的邊上運動，是其中心，因此的最大值等于其邊長4，
所以的最大值為．
故選：D．

2．（2023下·江蘇連云港·高一統考期中）在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，再兩邊平方求解即可.
【詳解】
由，則①，
又②，
由①+②可得，即，
故，設與夾角為，
則，解得.
故選：C．
3．（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學附屬高級中學校考階段練習）已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將兩邊平方，根據數量積的運算律可求得的值，根據向量夾角公式即可求得答案.
【詳解】因為，
所以，
所以，所以，
又因為，所以，
故選：B
4．（2023下·山東青島·高一統考期中）已知非零向量滿足：向量與向量垂直，且向量與向量垂直，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量垂直得數量積為0，求得數量積與向量模的關系，根據向量夾角公式求解即可.
【詳解】因為向量與向量垂直，所以，所以，
因為向量與向量垂直，所以，所以，
所以，即，所以，又，
所以，即與的夾角為.
故選：C
5．（2023下·四川自貢·高一校考期中）若四邊形滿足，，則該四邊形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
【答案】C
【分析】根據可判斷四邊形為平行四邊形，由可得，可判斷四邊形為菱形.
【詳解】
因，所以，故，且，
故四邊形為平行四邊形，
由得，即，
所以平行四邊形對角線互相垂直，故四邊形為菱形.
故選：C
6．（2023下·廣東廣州·高一統考期末）已知中，，，，O為的外心，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知，O為外接圓的圓心，過O作，已知等式兩邊同乘以，結合數量積定義得，同理得，從而兩式聯立即可求得的值．
【詳解】由題意可知，為的外心，
設半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為,
因為 ，兩邊乘以，即，
的夾角為，而，
則 ，得①，
同理兩邊乘 ，即，，
則 得②，
①②聯立解得，，
所以，
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是將兩邊分別乘以，結合數量積定義化簡得到關于的方程，求得答案.
二、多選題
7．（2023下·河北石家莊·高一校考階段練習）設為所在平面上一點，內角，，所對的邊分別是，，，則正確的是（ ）
A．為的外心
B．為的重心
C．為的垂心
D．為的內心
【答案】BCD
【分析】由三角形四心的定義，利用向量共線定理、向量垂直的幾何意義和平面幾何的知識，即可得出結果.
【詳解】對于A：當為三角形的外心，取的中點，，則，，即，
反之，若，取的中點，則，即，
即，只能得到在的垂直平分線上，不能得到為三角形的外心，故A錯誤；
對于B：當為三角形的重心，為中線的交點，延長交于點，
可得，所以，.
反之，取的中點，若，則，
則可得，，三點共線且，即為三角形的重心，故B正確；
對于C：當為三角形的垂心，，
同理可證，即，反之也成立，故C正確；
對于D：當為三角形的內心，為三角形的角平分線，則，，
如圖過A作CF的平行線交BE的延長線于點N，過A作BE的平行線交CF于點M，
則四邊形為平行四邊形，
，
所以，反之也成立，故D正確；
故選：BCD
8．（2023下·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】通過平方的方法化簡已知條件，根據向量夾角、基本不等式等知識確定正確答案.
【詳解】由兩邊平方得①，
由兩邊平方得②，
①+②得，
①-②得.
，
而，所以，
所以ABD選項符合，C選項不符合.
故選：ABD
三、填空題
9．（2023下·山東菏澤·高一校考階段練習）已知向量，滿足，， 則 ．
【答案】
【分析】由關系式中知三求一可得.
【詳解】由，
得，
又，
兩式相加得，
則，則.
故答案為：.
10．（2023下·江西宜春·高一江西省宜豐中學校考期中）如圖，在中，已知，點D，E分別在邊AB，AC上，且，，點F為線段DE上的動點，則的取值范圍是 .

【答案】
【分析】運用平面向量基本定理和數量積的定義，將表示為某變量的函數，進而求出取值范圍即可.
【詳解】因為，
所以，，
設，
則
，
，
則
，
對于，其開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得最大值，
當時，取得最小值，
所以的取值范圍是.
故答案為：
11．（2023下·上海浦東新·高一校考階段練習）已知向量、滿足，，則 .
【答案】
【分析】由得，經平方后轉化為數量積求解.
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
12．（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學校考階段練習）如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值是 ．

【答案】
【分析】利用平面向量的加減法運算和數量積的運算律求解即可.
【詳解】由題可得，，，
，
所以
，
，
，
所以，
則.
故答案為：.
四、證明題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）已知點O為所在平面內一點，且滿足．求證：點O是三條高線的交點．
【答案】證明見解析
【分析】根據題意，把用表示，代入已知向量等式計算，即可證明,
【詳解】因為，，，
由可得，
，
所以，
則，
，
。
所以點O是三條高線的交點.
五、問答題
14．（2023下·全國·高一期末）如圖，在中，已知P為線段上的一點，，，且與的夾角為60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求實數k的值；
(3)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)k不存在
(3)
【分析】（1）利用，結合向量模長公式即可求出，則結論可求；
（2）根據兩向量垂直的充要條件列出k的方程求解；
（3）由可求出x，y的值，根據向量數量積的運算律則問題可解．
【詳解】（1）由已知，，且與的夾角為60°，
可得
因為，故；
又，所以可得；
（2）因為，且，
所以
化簡得，顯然不成立，
故k不存在；
（3）因為，故，
所以，
.
所以的值為.
15．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)當為何值時，與垂直？
(3)求向量與的夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，然后通過平方的方法求得.
（2）根據向量垂直列方程，化簡求得的值.
（3）根據向量的夾角公式求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，，
所以.
（2）若與垂直，
則，
解得.
（3），
設向量與的夾角為，
則.
16．（2023下·江蘇常州·高一統考期末）如圖所示，在中，，，，．

(1)用表示；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）由向量的線性運算求解即可；
（2）分別由，向量表示，由向量的數量積運算求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以，
因為，所以，
所以；
（2）
，
即的值為13．6.2.4　向量的數量積
第二課時
知識點歸納
向量數量積的運算律
(1)a·b＝ (交換律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ (結合律).
(3)(a＋b)·c＝ (分配律).
提示：(1)a·b＝b·c推不出a＝c；
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它們表示不同的向量.
題型演練
題型一　平面向量的數量積
例1 已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，b方向的單位向量為e.
(1)求a·b與(a－2b)·(a＋b)的值；
(2)求a在b上的投影向量.
小結　1.運用a·b＝|a||b|cos θ計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，求解時要靈活運用數量積的運算律.
2.若所求向量的模與夾角未知，應先選取已知模與夾角的兩個向量，表示出所求向量，再代入運算.
變式1 (1)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.0
(2)如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分別為BC，CD的中點，則·＝(　　)
A. B.－
C. D.－
題型二　向量模的計算
例2 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夾角為60°，那么向量a－4b的模為(　　)
A.2 B.2
C.6 D.12
小結　1.利用向量的數量積求模是數量積的重要應用，a2＝|a|2是計算的依據.
2.根據平面圖形求向量的模時，注意利用圖形的性質對向量的數量積或者夾角等進行轉化.
變式2 已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝(　　)
A.6 B.4
C. D.
題型三　向量的夾角與垂直
類型1　求兩向量的夾角
例3 已知平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，則向量a，b的夾角θ為(　　)
A. B.
C. D.
小結　1.求向量夾角的基本步驟：
2.求向量的夾角，還可以結合向量線性運算、模的幾何意義，利用數形結合的方法求解.
類型2　利用數量積解決向量的垂直問題
例4 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夾角為60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求實數m為何值時，c與d垂直.
變式3 已知a，b是非零向量，當a＋tb(t∈R)的模取最小值時，求證：b⊥(a＋tb).
總結 1.重要思想與方法
(1)求向量的數量積要靈活應用其運算律，求向量的夾角與模時，則要靈活應用夾角公式和模的計算公式.
(2)用向量解決夾角與垂直問題，常利用數形結合的思想方法.
2.易錯易混點提醒
要注意數量積不滿足結合律.
分層作業
A基礎能力提升
一、單選題
1．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）設非零向量，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·新疆喀什·高一統考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）在中，若，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．（2023下·天津和平·高一統考期末）已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A．12 B．16 C． D．
5．（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）已知，，若，則（ ）
A． B． C． D．4
6．（2023下·全國·高一期末）下列關于向量，，的運算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
7．（2023下·浙江金華·高一校聯考階段練習）已知向量滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C．，有恒成立 D．若，則
8．（2023下·四川自貢·高一統考期中）已知，下述結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
9．（2023·全國·高一隨堂練習）若，，且，則與的夾角為 ；
10．（2023下·上海寶山·高一校考期中）設向量、滿足，，且，則 ．
11．（2023下·貴州安順·高一統考期末）已知平面非零向量與的夾角為，若，則 .
12．（2023下·福建·高一福建師大附中校考期末）在中，，.若點D在邊BC上，且滿足，則 .
四、問答題
13．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）已知，，與的夾角是.
(1)計算；
(2)當k為何值時，？
14．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，是等邊三角形，邊長為2，P是平面上任意一點．求的最小值．

15．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）已知平行四邊形中，，，，點是線段的中點．

(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
16．（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學校考期末）如圖，在中，，，，且，，設與交于點．
(1)求；
(2)求．
B數學素養落實
一、單選題
1．（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑∥，點在正六邊形的邊上運動，則的最大值為（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2023下·江蘇連云港·高一統考期中）在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學附屬高級中學校考階段練習）已知向量滿足，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·山東青島·高一統考期中）已知非零向量滿足：向量與向量垂直，且向量與向量垂直，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·四川自貢·高一校考期中）若四邊形滿足，，則該四邊形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
6．（2023下·廣東廣州·高一統考期末）已知中，，，，O為的外心，若，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
7．（2023下·河北石家莊·高一校考階段練習）設為所在平面上一點，內角，，所對的邊分別是，，，則正確的是（ ）
A．為的外心
B．為的重心
C．為的垂心
D．為的內心
8．（2023下·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．（2023下·山東菏澤·高一校考階段練習）已知向量，滿足，， 則 ．
10．（2023下·江西宜春·高一江西省宜豐中學校考期中）如圖，在中，已知，點D，E分別在邊AB，AC上，且，，點F為線段DE上的動點，則的取值范圍是 .

11．（2023下·上海浦東新·高一校考階段練習）已知向量、滿足，，則 .
12．（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學校考階段練習）如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值是 ．

四、證明題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）已知點O為所在平面內一點，且滿足．求證：點O是三條高線的交點．
五、問答題
14．（2023下·全國·高一期末）如圖，在中，已知P為線段上的一點，，，且與的夾角為60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求實數k的值；
(3)若，且，求的值．
15．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習）已知，，．
(1)求；
(2)當為何值時，與垂直？
(3)求向量與的夾角的余弦值．
16．（2023下·江蘇常州·高一統考期末）如圖所示，在中，，，，．

(1)用表示；
(2)求的值．

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