資源簡介

6.2.4　向量的數量積
第一課時
知識點歸納
一、兩向量的夾角
1.定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作向量＝a，＝b，則 叫做向量a與b的夾角.
2. 當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b .
如果a與b的夾角是，我們說a與b ，記作 .
提示：(1)兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是[0，π]，而兩直線夾角的范圍為.
(2)兩個向量只有起點重合時所對應的角才是向量的夾角.
二、兩個向量的數量積
1. 平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝ .
規定：零向量與任一向量的數量積為 .
2. 向量數量積的性質
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
①a·e＝e·a＝ .
②a⊥b a·b＝ .
③當a與b同向時，a·b＝ ；當a與b反向時，a·b＝ ，特別地，a·a＝ 或|a|＝.
④|a·b|≤|a|·|b|(當且僅當向量a，b共線時，等號成立).
⑤cos θ＝.
提示：(1)數量積運算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫.
(2)向量的數量積是一個實數，不是向量，它的值可正、可負、可為0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個零向量.
(4)|a|＝是求向量的長度的工具.
(5)溝通了向量運算與數量之間的關系.
三、投影向量
投影向量
如圖(1)，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，這種變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
　　
圖(1)　　　　　　　圖(2)
如圖(2)，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則 就是向量a在向量b上的投影向量.
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝ .
提示：(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量.
(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
題型演練
題型一　兩向量的夾角
例1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，則與的夾角是(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
小結　(1)求兩個向量夾角的關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.
(2)特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數)的夾角為θ0，當λ1λ2<0時，θ0＝180°－θ；當λ1λ2>0時，θ0＝θ.
變式1 已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
題型二　兩向量的數量積
例2 (1)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，則·的值等于(　　)
A.－2 B.2
C.－2 D.2
(2)已知向量a，b均為單位向量，a·b＝，則a與b的夾角為________.
小結　定義法求平面向量的數量積
若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.運用此法計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.
變式2 已知正三角形ABC的邊長為1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
題型三　投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為________.
小結　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量).
變式3 (1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b方向上的投影向量是(　　)
A.－4e B.4e
C.－2e D.2e
(2)已知a·b＝16，e為b方向上的單位向量.若a在b上的投影向量為4e，則|b|＝________.
總結 1.重要思想與方法
(1)計算向量的數量積與投影向量要緊扣其定義進行.
(2)在求向量的夾角時要結合具體的圖形，應用數形結合的思想方法.
2.易錯易混點提醒
(1)向量夾角共起點.
(2)a·b>0 / 兩向量的夾角為銳角，a·b<0 / 兩向量的夾角為鈍角.
分層作業
A基礎能力提升
一、單選題
1．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）已知向量，，，則向量與的夾角大小為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一湖北省仙桃中學校考階段練習）已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·吉林長春·高一長春外國語學校校考階段練習）設向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2023下·安徽池州·高一校聯考期中）已知菱形的邊長為1，，點E是邊上的動點，則的最大值為（ ）．
A．1 B． C． D．
二、多選題
7．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習）下列說法中正確的是（　　）
A．若，，且與共線，則
B．若，，且，則與不共線
C．在△ABC中，若，則△ABC是鈍角三角形
D．若向量，，則是與夾角為鈍角的充要條件
8．（2023下·四川南充·高一校考期中）下列敘述中錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．在等邊中，與的夾角為60°
三、填空題
9．（2023下·廣東佛山·高一校考期中）已知向量滿足，則 ．
10．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）已知，，與的夾角為，則在方向上的投影向量是 .
11．（2023下·浙江金華·高一校聯考階段練習）已知平面向量滿足，且，則在上投影向量為，則 ．
12．（2023下·廣東佛山·高一校考階段練習）設點、、、為四個互不相同的點，且在同一圓周上，若，且，則 .
四、問答題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）已知，，當，滿足下列條件時，分別求的值．
(1)；
(2)；
(3)與的夾角為．
14．（2023·全國·高一課堂例題）如圖所示，求出以下向量的數量積．

(1)；
(2)；
(3)．
15．（2023下·福建南平·高一統考期末）已知向量，，，且.
(1)求在上的投影向量；
(2)求與的夾角.
B數學素養落實
一、單選題
1．（2023下·福建龍巖·高一校聯考期中）已知，，且與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期中）已知為的外接圓圓心，且，則（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023下·陜西西安·高一統考期中）已知，為非零向量，且，則（ ）
A．，且與方向相同 B．，且與方向相反
C． D．，無論什么關系均可
4．（2023下·寧夏吳忠·高一統考期末）若是夾角為的單位向量，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·江蘇泰州·高一泰州中學校考期中）已知平面向量，對任意實數都有，成立.若，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·重慶·高一統考期末）已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023下·黑龍江·高一黑龍江實驗中學校考期末）下列說法正確的是（ ）．
A．平行向量就是共線向量
B．兩個非零向量，，若，則，夾角為銳角
C．向量與共線的充要條件是存在唯一實數使得
D．向量在非零向量上投影向量的長度為
8．（2023下·河北承德·高一統考期末）如圖，均為等腰直角三角形，在線段上，，在扇形中，為的中點，為上一動點，為線段上一動點，則（ ）

A．向量在向量上的投影向量為
B．向量在向量上的投影向量與向量在向量上的投影向量相等
C．當的位置固定，在線段上移動時，為定值
D．當的位置固定，在上移動時，為定值
9．（2023下·廣東肇慶·高一德慶縣香山中學校考階段練習）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個蜂巢的正六邊形，下列說法正確的是（ ）

A．
B．
C．
D．在上的投影向量為
三、填空題
10．（2023下·江蘇南京·高一校考期中）如圖在直角梯形中，已知，，，，，則 .
11．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1．從，，，四點中任取兩個點作為向量的始點和終點，則的最大值為 ．

12．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在邊長為的正六邊形中，點為其內部或邊界上一點，則的取值范圍是 ．
13．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考期中）趙爽是我國漢代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》作注解時，給出了“趙爽弦圖”：四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大的正方形．如圖，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為 ．
四、問答題
14．（2023下·江蘇蘇州·高一星海實驗中學校考階段練習）已知，，且與夾角為.
(1)求與的夾角；
(2)若向量與平行，求實數的值.
15．（2023下·高一課時練習）在中，已知，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量；
(3)在方向上的投影的數量．6.2.4　向量的數量積
第一課時
知識點歸納
一、兩向量的夾角
1.定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作向量＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
2. 當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向.
如果a與b的夾角是，我們說a與b垂直，記作a⊥b.
提示：(1)兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是[0，π]，而兩直線夾角的范圍為.
(2)兩個向量只有起點重合時所對應的角才是向量的夾角.
二、兩個向量的數量積
1. 平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2. 向量數量積的性質
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
①a·e＝e·a＝|a|cos__θ.
②a⊥b a·b＝0.
③當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|，特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
④|a·b|≤|a|·|b|(當且僅當向量a，b共線時，等號成立).
⑤cos θ＝.
提示：(1)數量積運算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫.
(2)向量的數量積是一個實數，不是向量，它的值可正、可負、可為0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個零向量.
(4)|a|＝是求向量的長度的工具.
(5)溝通了向量運算與數量之間的關系.
三、投影向量
投影向量
如圖(1)，設a，b是兩個非零向量，＝a，＝b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，這種變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
　　
圖(1)　　　　　　　圖(2)
如圖(2)，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝|a|cos__θ__e.
提示：(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量.
(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
題型演練
題型一　兩向量的夾角
例1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，則與的夾角是(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案　C
解析　如圖，作向量＝，則∠BAD是與的夾角，在△ABC中，因為∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即與的夾角是120°.
小結　(1)求兩個向量夾角的關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.
(2)特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數)的夾角為θ0，當λ1λ2<0時，θ0＝180°－θ；當λ1λ2>0時，θ0＝θ.
變式1 已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？
解　如圖所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，為鄰邊作平行四邊形OACB，
則＝a＋b，＝a－b.
因為|a|＝|b|＝2，
所以平行四邊形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以與的夾角為30°，與的夾角為60°.
即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°.
題型二　兩向量的數量積
例2 (1)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，則·的值等于(　　)
A.－2 B.2
C.－2 D.2
(2)已知向量a，b均為單位向量，a·b＝，則a與b的夾角為________.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)·＝||||cos ∠ABC
＝2×·cos 45°＝2.
(2)設a與b的夾角為θ，
由題意知|a|＝|b|＝1，
則cos θ＝＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
小結　定義法求平面向量的數量積
若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.運用此法計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.
變式2 已知正三角形ABC的邊長為1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
解　(1)∵與的夾角為60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
(2)∵與的夾角為120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵與的夾角為60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
題型三　投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的單位向量為e，則向量a在向量b上的投影向量為________.
答案　e
解析　∵cos θ＝＝(θ為a與b的夾角)，
∴向量a在向量b上的投影向量為|a|cos θe＝e.
小結　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量).
變式3 (1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，與b同向的單位向量為e，則向量a在向量b方向上的投影向量是(　　)
A.－4e B.4e
C.－2e D.2e
(2)已知a·b＝16，e為b方向上的單位向量.若a在b上的投影向量為4e，則|b|＝________.
答案　(1)A　(2)4
解析　(1)根據投影向量的定義，設a，b的夾角為θ，可得向量a在b方向上的投影向量是|a|cos θe＝e＝－4e.
(2)設a與b的夾角為θ，且a·b＝16，
∴|a|·|b|·cos θ＝16，
又∵a在b上的投影向量為4e，
∴|a|·cos θe＝4e，
∴|a|cos θ＝4，∴|b|＝4.
總結 1.重要思想與方法
(1)計算向量的數量積與投影向量要緊扣其定義進行.
(2)在求向量的夾角時要結合具體的圖形，應用數形結合的思想方法.
2.易錯易混點提醒
(1)向量夾角共起點.
(2)a·b>0 / 兩向量的夾角為銳角，a·b<0 / 兩向量的夾角為鈍角.
分層作業
A基礎能力提升
一、單選題
1．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）在邊長為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據平面向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】∵，向量與的夾角為120°，
∴.
故選：D
2．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）已知向量，，，則向量與的夾角大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據公式可求夾角的大小.
【詳解】，而，故，
故選：B.
3．（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一湖北省仙桃中學校考階段練習）已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用投影向量定義求解即可.
【詳解】由已知，向量，的夾角為，
得，又已知為單位向量，
則在上的投影向量是.
故選：D.
4．（2023下·吉林長春·高一長春外國語學校校考階段練習）設向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用投影向量的定義可求得的值.
【詳解】因為向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，
則，故.
故選：C.
5．（2023下·四川遂寧·高一射洪中學校考階段練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由題意可知，為外接圓的圓心，過作，，已知等式兩邊同乘以，結合數量積定義得，同理得，從而兩式聯立即可求得的值．
【詳解】由題意可知，為的外心，設外接圓半徑為，
在圓中，過作，，垂足分別為，，
則，分別為，的中點，
因為，兩邊乘以，即，
的夾角為，而，
則，得①，
同理兩邊乘，即，，
則，得②，
①②聯立解得，，
所以．
故選：C．
6．（2023下·安徽池州·高一校聯考期中）已知菱形的邊長為1，，點E是邊上的動點，則的最大值為（ ）．
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】設，，令,直接利用向量的數量積定義運算即可.
【詳解】設，，
，
∴的最大值為．
故選:D．
二、多選題
7．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習）下列說法中正確的是（　　）
A．若，，且與共線，則
B．若，，且，則與不共線
C．在△ABC中，若，則△ABC是鈍角三角形
D．若向量，，則是與夾角為鈍角的充要條件
【答案】BC
【分析】特殊向量法判斷A，D選項，根據向量共線的坐標表示判斷B選項，應用向量數量積判斷鈍角判斷C選項.
【詳解】當，，與共線，A選項錯誤；
若，，，則與共線，所以當，則與不共線，B選項正確；
在△ABC中，若，，則是鈍角， 則△ABC是鈍角三角形，C選項正確；
向量，，當時， ， 與夾角為，則是與夾角為鈍角的不充條件，D選項錯誤.
故選：BC.
8．（2023下·四川南充·高一校考期中）下列敘述中錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．在等邊中，與的夾角為60°
【答案】ABCD
【分析】根據平面向量的定義即可判斷A；根據數量積的定義即可判斷B；根據平面向量共線的定義即可判斷C；根據向量夾角的定義即可判斷D.
【詳解】對于A，因為向量不能比較大小，故A錯誤；
對于B，當時，，此時無法確定，故B錯誤；
對于C，當時，此時無法判斷是否平行，故C錯誤；
對于D，在等邊中，，
則與的夾角為，故D錯誤.
故選：ABCD.
三、填空題
9．（2023下·廣東佛山·高一校考期中）已知向量滿足，則 ．
【答案】/
【分析】先求，，利用向量夾角公式可得答案.
【詳解】由題意，
，所以，
故答案為：
10．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）已知，，與的夾角為，則在方向上的投影向量是 .
【答案】
【分析】根據投影向量的計算公式計算即可.
【詳解】因為，，與的夾角為，
所以在方向上的投影向量是.
故答案為：.
11．（2023下·浙江金華·高一校聯考階段練習）已知平面向量滿足，且，則在上投影向量為，則 ．
【答案】
【分析】根據向量的投影的概念及公式直接計算.
【詳解】在上投影向量為，即，
故.
故答案為: .
12．（2023下·廣東佛山·高一校考階段練習）設點、、、為四個互不相同的點，且在同一圓周上，若，且，則 .
【答案】
【分析】依題意可得為圓的直徑，設，則為圓的直徑，連接，根據數量積的定義及銳角三角函數計算可得.
【詳解】，
，
為圓的直徑，如圖所示：

設，則為圓的直徑，連接，，
，
．
故答案為：．
四、問答題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）已知，，當，滿足下列條件時，分別求的值．
(1)；
(2)；
(3)與的夾角為．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】根據數量積的定義計算可得.
【詳解】（1）因為，所以與的夾角為或，又，，
當與的夾角為時，
當與的夾角為時.
（2）因為，所以與的夾角為，
所以.
（3）因為與的夾角為，
所以.
14．（2023·全國·高一課堂例題）如圖所示，求出以下向量的數量積．

(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)1
(2)0
(3)
【分析】（1）（2）根據圖得到向量夾角及向量的模，利用數量積公式計算；
（3）根據向量在向量上投影的數量計算.
【詳解】（1）圖可知，
因此
（2）由圖可知，，因此0．
（3）由圖可知，向量在向量上的投影的數量為，且為單位向量，因此根據向量數量積的幾何意義可知．
15．（2023下·福建南平·高一統考期末）已知向量，，，且.
(1)求在上的投影向量；
(2)求與的夾角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用投影向量的概念求解即可；
（2）先利用向量的數量積運算求得，再利用求解即可.
【詳解】（1）因為向量，，，且，
所以在上的投影向量為.
（2）因為向量，，，且，
所以
，
所以，
記與的夾角為，
則，
又，所以與的夾角為.
B數學素養落實
一、單選題
1．（2023下·福建龍巖·高一校聯考期中）已知，，且與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出數量積，再根據投影向量公式求解即可.
【詳解】因為，，且與的夾角為，
所以，
所以在上的投影向量為.
故選：A
2．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期中）已知為的外接圓圓心，且，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由已知條件可得是為直角的等腰三角形，然后數量積的定義求解即可
【詳解】由可知為中點，則為直徑，
所以；
在等腰中，由，得，
所以，
所以是為直角的等腰三角形，
所以
故選：A.
3．（2023下·陜西西安·高一統考期中）已知，為非零向量，且，則（ ）
A．，且與方向相同 B．，且與方向相反
C． D．，無論什么關系均可
【答案】A
【分析】對兩邊平方得到，結合平面向量數量積公式得到，從而，且與方向相同.
【詳解】，兩邊平方得，
化簡得，即，
又，其中為，的夾角，
因為，為非零向量，所以，則.
故，且與方向相同.
故選：A
4．（2023下·寧夏吳忠·高一統考期末）若是夾角為的單位向量，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量的數量積和模，代入向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】，
，
，
所以，且，
所以.
故選：C
5．（2023下·江蘇泰州·高一泰州中學校考期中）已知平面向量，對任意實數都有，成立.若，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，根據題意得到在以為直徑的圓周上，過點作，得到，設，求得，進而得到，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】如圖所示，設，則，
若對任意的實數都有且成立，
即對任意的實數都有且成立，
即成立，所以在以為直徑的圓周上，
設圓心為，過點作，交于點，交圓于點，
可得向量在上的射影長最大值為，
所以，
設，其中，且，
則，
所以，
所以，
，，
當時，取得最大值，最大值為.
故選：B.

6．（2023下·重慶·高一統考期末）已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，求出，再根據向量在向量上的投影向量的定義列式求出，最后利用平面向量的夾角公式可求得結果.
【詳解】因為是與向量方向相同的單位向量，設，
則，所以，得，所以，
因為向量在向量上的投影為，且向量在向量上的投影向量為，
所以，所以，所以，所以，
設與的夾角為，則，
又，所以.
故選：B．
二、多選題
7．（2023下·黑龍江·高一黑龍江實驗中學校考期末）下列說法正確的是（ ）．
A．平行向量就是共線向量
B．兩個非零向量，，若，則，夾角為銳角
C．向量與共線的充要條件是存在唯一實數使得
D．向量在非零向量上投影向量的長度為
【答案】AD
【分析】根據平行向量與共線向量的定義判斷A；根據數量積的定義判斷B；根據特例法判斷C錯；求出向量在非零向量上投影向量為，可判斷D.
【詳解】根據平行向量與共線向量的定義，平行向量就是共線向量，A正確；
若兩個非零向量夾角則，B錯；
若，滿足向量與共線，但不存在實數使得，C錯；
兩個非零向量夾角，則，
則向量在非零向量上投影向量為，
其長度為，D正確.
故選：AD.
8．（2023下·河北承德·高一統考期末）如圖，均為等腰直角三角形，在線段上，，在扇形中，為的中點，為上一動點，為線段上一動點，則（ ）

A．向量在向量上的投影向量為
B．向量在向量上的投影向量與向量在向量上的投影向量相等
C．當的位置固定，在線段上移動時，為定值
D．當的位置固定，在上移動時，為定值
【答案】ABC
【分析】根據數量積的定義、投影向量的定義及幾何圖形一一判斷即可.
【詳解】由題意得，則，
所以與同向，又在上的投影向量為，所以在上的投影向量為，故A正確.
如圖，過作，垂足為，與同向，在上的投影向量均為，故B正確.
因為，
當的位置固定，在線段上移動時，是定值，
所以是定值，故C正確.
當的位置固定，在上移動時，不是定值，所以不是定值，故D錯誤.

故選：ABC
9．（2023下·廣東肇慶·高一德慶縣香山中學校考階段練習）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個蜂巢的正六邊形，下列說法正確的是（ ）

A．
B．
C．
D．在上的投影向量為
【答案】CD
【分析】對于A，可得與為相反向量；對于B，證明即得解；對于C，求出即得解；對于D，證明即得解.
【詳解】對于A，，由圖可得與為相反向量，故A錯誤；
對于B，由圖易得，直線平分，且為正三角形，

根據平行四邊形法則有與共線且同方向，
易知均為直角三角形，，
故，
則，而，故，
故，故B錯誤；
對于C，，
，則，又，
， ，，故C正確；

對于D，由C知，則在上的投影向量為，故D正確.
故選：CD.
三、填空題
10．（2023下·江蘇南京·高一校考期中）如圖在直角梯形中，已知，，，，，則 .
【答案】22
【分析】根據向量的加法原理和數量積求解即可；
【詳解】解：因為，
所以
，
因為，，，
所以，
因為直角梯形，
所以，故，
所以原等式
.
故答案為：22.
11．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1．從，，，四點中任取兩個點作為向量的始點和終點，則的最大值為 ．

【答案】4
【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根據圖形即可求出結果．
【詳解】由題意可知：則，
所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，

由圖形可知：當向量時，向量在向量上的投影最大，
,在中應用余弦定理，
即.
即的最大值為．
故答案為： ．
12．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在邊長為的正六邊形中，點為其內部或邊界上一點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用數量積的幾何意義去求的取值范圍即可解決.
【詳解】正六邊形中，過點作于，

則，，，
，
由圖可知，在方向上的投影的取值范圍是，
所以，，
即，故的取值范圍為.
故答案為：.
13．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考期中）趙爽是我國漢代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》作注解時，給出了“趙爽弦圖”：四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大的正方形．如圖，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為 ．
【答案】
【分析】設，根據勾股定理求出，然后求出，，，，根據兩角和的余弦公式求出，最后利用平面向量數量積的定義可求出結果.
【詳解】設，則，，
在直角三角形中，，即，即，
解得或（舍），
在直角三角形中，，，，
在直角三角形中，，，
所以
，
所以.
故答案為：.
四、問答題
14．（2023下·江蘇蘇州·高一星海實驗中學校考階段練習）已知，，且與夾角為.
(1)求與的夾角；
(2)若向量與平行，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量的數量積求模長與夾角；
（2）根據平面向量的共線定理列方程組求出實數的值.
【詳解】（1）解：因為，，且與夾角為，
所以，
，
所以，
所以
又因為，所以向量與的夾角為；
（2）因為向量與平行，
所以存在，使得，
即，解得，所以實數的值為.
15．（2023下·高一課時練習）在中，已知，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量；
(3)在方向上的投影的數量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由條件可得，進而得到，然后根據向量數量積的定義求解即可；
（2）根據投影向量的定義求解即可.
（3）根據投影向量的定義求解即可.
【詳解】（1）因為，，，
所以，即，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
所以在方向上的投影為.
（3）由（1）知，，
所以在方向上的投影的數量為.

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