資源簡介

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))
2.實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型．(難點(diǎn))
【自主學(xué)習(xí)】
一．簡諧運(yùn)動
在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動稱為“簡諧運(yùn)動”，可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0
1. 就是簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；
2.簡諧運(yùn)動的周期是T＝ ，它是做簡諧運(yùn)動的物體往復(fù)運(yùn)動一次所需要的時間；
3.簡諧運(yùn)動的頻率由公式f＝＝ 給出，它是做簡諧運(yùn)動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動的次數(shù)；
4. 稱為相位；x＝0時的相位 稱為初相．
【答案】A ωx＋φ φ
二.三角函數(shù)模型的應(yīng)用
1.勻速圓周運(yùn)動、簡諧運(yùn)動和交變電流都是理想化的運(yùn)動變化現(xiàn)象，可以用________________準(zhǔn)確地描述它們的運(yùn)動變化規(guī)律．
2.函數(shù)模型的應(yīng)用：利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，觀察散點(diǎn)圖，然后進(jìn)行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實(shí)際問題．
【答案】三角函數(shù)模型
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】
1.某簡諧運(yùn)動的圖象如圖所示，試根據(jù)圖象回答下列問題：
（１）這個簡諧運(yùn)動的振幅、周期與頻率各是多少？
（２）寫出這個簡諧運(yùn)動的函數(shù)解析式.
解：（1）從圖像上可以看到，
這個簡諧運(yùn)動的振幅為A=3cm;
周期為（s）；
頻率為Hz .
（2）設(shè)這個簡諧運(yùn)動的函數(shù)表達(dá)式為
２．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動．若線長為lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是
（１）當(dāng)l=25時，求該沙漏的最大偏角(精確到0.0001)；
（２）已知，要使沙漏擺動的周期是1 s，線的長度應(yīng)當(dāng)是多少(精確到0.1cm)？
解:(1)設(shè)最大偏角為θ.
的最大值為3.
最大偏角θ滿足，根據(jù)計算器計算結(jié)果可得.
∴ 線的長度應(yīng)是
3.一臺發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時間之間的關(guān)系如圖6所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位V）關(guān)于時間t（單位s）的函數(shù)解析式．
【解析】周期為0.02，頻率為50，電壓的最大值為311 V．電壓和時間的函數(shù)解析式為U＝311sin 100πt，t∈[0，＋∞).
4.圖為一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各店的位置圖，經(jīng)過 周期 后，乙點(diǎn)的位置將移至何處？
【解析】乙點(diǎn)的位置將移至它關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)處
5.如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b．
（1）求這一天6～14時的最大溫差；
（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．
【解析】（1）圖形中的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是這一天6～14時的最大溫差，觀察圖形得出這段時間的最大溫差為20℃．
（2）由圖可知,
6.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表：
(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時的水深的近似值（精確到0.001 m）．
(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4 m，安全條例規(guī)定至少要有1.5 m的安全間隙(船底與海底的距離)，該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？
(3)若船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船在兩點(diǎn)開始卸貨，吃水深度以0.3 m/h的速度減少，如果這條船停止卸貨后需 0.4 h 才能駛到深水域，那么該船在什么時間必修停止卸貨，將船駛向較深的水域？
【解析】（1）從散點(diǎn)圖的形狀可以判斷，這個港口的水深y與時間x的關(guān)系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函數(shù)來刻畫.
從數(shù)據(jù)和圖形可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；
所以，這個港口的水深與時間的關(guān)系可用函數(shù)近似描述.
（2）貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5 m．從函數(shù)的解析式來看，滿足y≥5.5，即2.5sinx+5≥5.5，該船能夠進(jìn)入港口；從圖象上看，就是函數(shù)y=2.5sinx+5的圖象在直線y=5.5上方時，該船能夠進(jìn)入港口．
利用信息技術(shù)繪出兩個函數(shù)的圖象,如下圖.
求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：
xA≈0.3975，xB≈5.8025，xC≈12.7975，xD≈18.2025．
xC，xD也可由函數(shù)的周期性得到：
xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025.
因此，貨船可以在零時30分左右進(jìn)港，早晨5時45分左右出港；或在下午13時左右進(jìn)港，下午18時左右出港．每次可以在港口停留5小時左右．
事實(shí)上為了安全，進(jìn)港時間要比算出的時間推后一些，出港時間要比算出的時間提前一些，這樣才能保證貨船始終在安全水域．
（3）設(shè)在x h時貨船的安全水深為y m，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．
從函數(shù)的解析式來看，滿足y≥5.5-0.3(x-2)，即2.5sinx+5≥5.5-0.3(x-2)時，該船能夠進(jìn)入港口；從圖象上看，就是函數(shù)y=2.5sinx+5的圖象在直線y=5.5-0.3(x-2)上方時，該船能夠進(jìn)入港口．
利用信息技術(shù)繪出兩個函數(shù)的圖象，如下圖：
可以看到在6～8時之間兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)P，
借助計算工具，用二分法可以求得點(diǎn) P 的坐標(biāo)約為（7.016，3.995）.
因此為了安全，貨船最好在6.6時之前停止卸貨，將船駛向較深的水域.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】
一、單選題
1．如圖所示，單擺從某點(diǎn)開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s(cm)和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin，那么單擺擺動一個周期所需的時間為(　　)
A．2π s　　　　　 B．π s
C．0.5 s D．1 s
【答案】D　
【解析】依題意是求函數(shù)s＝6sin的周期，T＝＝1，故選D.
2．函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則下列選項正確的是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝x
【答案】C　
【解析】觀察圖象知函數(shù)為奇函數(shù)，排除D項；又函數(shù)在x＝0處有意義，排除B項；取x＝，f＝0，A項不合適，故選C.
3．下表是某市近30年來月平均氣溫(℃)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均溫度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是(　　)
A．y＝acos B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acos－3
【答案】C　
【解析】當(dāng)x＝1時圖象處于最低點(diǎn)，且易知a＝＞0.故選C.
4．如圖，為一半徑為3 m的水輪，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪自點(diǎn)A開始1 min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
【答案】A　
【解析】由題目可知最大值為5，∴5＝A×1＋2 A＝3.
T＝15，則ω＝.故選A.
5．如圖是函數(shù)y＝sin x(0≤x≤π)的圖象，A(x，y)是圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交其圖象于另一點(diǎn)B(A，B可重合)．設(shè)線段AB的長為f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象是(　　)
【答案】A　
【解析】當(dāng)x∈時，f(x)＝π－2x；當(dāng)x∈時，f(x)＝2x－π，故選A.
二、多選題
6．從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如下圖所示（均為正弦型曲線）：
體力、情緒、智力在從出生之日起的每個周期中又存在著高潮期（前半個周期）和低潮期（后半個周期），它們在一個周期內(nèi)的表現(xiàn)如下表所示：
高潮期 低潮期
體力 體力充沛 疲倦乏力
情緒 心情愉快 心情煩躁
智力 思維敏捷 反應(yīng)遲鈍
如果從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5860，那么今日同學(xué)甲（ ）
A．體力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思維敏捷
【答案】BC
【分析】根據(jù)圖象求得體力周期、情緒周期、智力周期，根據(jù)周期性求得正確答案.
【詳解】由題圖中數(shù)據(jù)可知體力的周期為，情緒的周期為，智力的周期為．
從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5860，
故對于體力，有5860＝23×254＋18，處于低潮期，疲倦乏力；
對于情緒，有5860＝28×209＋8，處于高潮期，心情愉快；
對于智力，有5860＝33×177＋19，處于低潮期，反應(yīng)遲鈍．
故今日同學(xué)甲疲倦乏力，心情愉快，反應(yīng)遲鈍．BC選項正確.
故選: BC
三、填空題
7．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ℃，12月份的月平均氣溫最低，為18 ℃，則10月份的平均氣溫值為________℃.
【答案】20．5　
【解析】由題意可知A＝＝5，a＝＝23.從而y＝5cos＋23.故10月份的平均氣溫值為y＝5cos＋23＝20.5.
8．如圖是彈簧振子做簡諧振動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移，則這個振子振動的函數(shù)解析式是________．
【答案】y＝2sin　
【解析】由題圖可設(shè)y＝Asin(ωt＋φ)，則A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
將點(diǎn)(0.1,2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin.
9．一種波的波形為函數(shù)y＝－sinx的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________．
【答案】7　
【解析】函數(shù)y＝－sinx的周期T＝4.且x＝3時y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整數(shù)t的最小值是7.
四、解答題
10．已知某地一天從4時到16時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求該地區(qū)這一段時間內(nèi)溫度的最大溫差；
(2)若有一種細(xì)菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時間內(nèi)，該細(xì)菌能生存多長時間？
[解]　(1)由函數(shù)易知，當(dāng)x＝14時函數(shù)取最大值，即最高溫度為30 ℃；當(dāng)x＝6時函數(shù)取最小值，即最低溫度為10 ℃.所以，最大溫差為30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－.
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，而x∈[4,16]，
所以x＝.故該細(xì)菌的存活時間為－＝小時．
11．如圖所示，摩天輪的半徑為40 m，O點(diǎn)距地面的高度為50 m，摩天輪作勻速轉(zhuǎn)動，每2 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)．
(1)試確定在時刻t min時P點(diǎn)距離地面的高度；
(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，有多長時間P點(diǎn)距離地面超過70 m.
[解]　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系
(1)設(shè)φ(0≤φ≤2π)是以O(shè)x為始邊，OP0為終邊的角，OP在t min內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為t，即πt∴以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為(πt＋φ)，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為40sin(πt＋φ)，∴P點(diǎn)距地面的高度為z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由題可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.
(2)當(dāng)50＋40cosπt≥70時，解之得，2k－≤t≤2k＋，持續(xù)時間為min.
即在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，有minP點(diǎn)距離地面超過70 m.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】
一、單選題
1．車流量被定義為單位時間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，單位為輛/分，上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)給出，F(xiàn)(t)的單位是輛/分，t的單位是分，則下列哪個時間段內(nèi)車流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
【答案】C　
【解析】當(dāng)10≤t≤15時，有π<5≤≤<π，此時F(t)＝50＋4sin是增函數(shù)，即車流量在增加．故應(yīng)選C.
2．如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是(　　)
A　　　　 B　　 　 C　　　　 D
【答案】C
【解析】令A(yù)P所對圓心角為θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，
即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的圖象為C.
二、多選題
3．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)；
B．的最小正周期為；
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增；
D．若方程在有四個不同的實(shí)根，則這四個實(shí)根之和為或．
【答案】BC
【分析】由題意，結(jié)合函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分別判斷即可得出答案.
【詳解】函數(shù)
所以
由，可知A錯誤；
畫出函數(shù)在的圖象，如圖所示：
顯然有，結(jié)合圖象的最小正周期為，所以B正確；
在區(qū)間上，為增函數(shù)，C正確.
當(dāng)時，四個實(shí)根之和為，當(dāng)時，四個實(shí)根之和為，
當(dāng)時，四個實(shí)根之和為，所以D錯誤.
故選：BC.
4．已知函數(shù)（a為常數(shù)，）的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)，則下面說法正確的是（ ）
A．將的圖像向左平移個單位可以得到的圖像
B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱
C．在上單調(diào)遞減
D．的最大值為1
【答案】ABC
【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)，為的最大值，由此求得值，然后由兩角和的正弦公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性與最值判斷各選項．
【詳解】由題意，，
，
，
將的圖像向左平移個單位所得圖像的解析式為，A正確；
，B正確；
時，，此時是減函數(shù)，C正確；
的最大值為，D錯誤．
故選：ABC．
三、填空題
5．國際油價在某一時間內(nèi)呈現(xiàn)正弦波動規(guī)律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價80美元，當(dāng)t＝150(天)時達(dá)到最低油價，則ω的最小值為________．
【答案】　
【解析】因?yàn)锳sin＋60＝80，
sin≤1，
所以A＝20，當(dāng)t＝150(天)時達(dá)到最低油價，
即sin＝－1，
此時150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因?yàn)棣兀?，所以當(dāng)k＝1時，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.
6．已知角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1，－1)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象上的任意兩點(diǎn)，若|f(x1)－f(x2)|＝2時，|x1－x2|的最小值為，則f＝________.
【答案】－　
【解析】由條件|f(x1)－f(x2)|＝2時，|x1－x2|的最小值為，結(jié)合圖象(略)可知函數(shù)f(x)的最小正周期為
，則由T＝＝，得ω＝3.又因?yàn)榻铅盏慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，則f(x)＝sin，于是f＝sin＝－.
四、解答題
7．心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80 mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：
(1)求函數(shù)p(t)的周期；
(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；
(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖；
(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)．
[解]　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函數(shù)p(t)的周期為 min.
(2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描點(diǎn)、連線并向左右擴(kuò)展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示：
(4)由圖可知此人的收縮壓為140 mmHg，舒張壓為90 mmHg.
8．一半徑為的水輪（如圖所示），水輪圓心O離水面，已知水輪逆時針轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計算時間.
(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度表示為時間的函數(shù)；
(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，進(jìn)而設(shè)，再求解析式即可；
（2）令，解得，，進(jìn)而當(dāng)時，P第一次到達(dá)最高點(diǎn)，求得對應(yīng)值即可.
【詳解】（1）解：以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
∵，∴，
∴，
∵時，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴當(dāng)時，P第一次到達(dá)最高點(diǎn)，
∴點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要.
9．建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來的長遠(yuǎn)大計．某市通宵營業(yè)的大型商場，為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，在氣溫低于時，才開放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào)．如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時間（，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足關(guān)系．
(1)求的表達(dá)式；
(2)請根據(jù)(1)的結(jié)論，求該商場的中央空調(diào)在一天內(nèi)開啟的時長．
【答案】(1) ，;(2) 8小時.
【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的圖像即可求的表達(dá)式；
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)解,結(jié)合即可求解.
【詳解】解：(1)因?yàn)閳D像上最低點(diǎn)坐標(biāo)為，與之相鄰的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因?yàn)椋?br/>所以，．
所以該商場的中央空調(diào)應(yīng)在本天內(nèi)開啟時長為8小時．
10．如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.
(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.
(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長時方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.
【答案】(1)，其中
(2)
【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)分別表示出，即可求解y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）得令，結(jié)合輔助角公式求出，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）由題可知，，其中
（2）由（1）可得
因?yàn)椋裕O(shè)，則，即，因?yàn)椋裕獾茫藭r，，滿足，故當(dāng)時，總施工費(fèi)用y達(dá)到最小，
所以
11.如圖，摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式為，，已知摩天輪的半徑為50m，其中心點(diǎn)距地面60m，摩天輪以每30分鐘轉(zhuǎn)一圈的方式做勻速轉(zhuǎn)動，而點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.
(1)根據(jù)條件具體寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點(diǎn)有多長時間距離地面超過85m？
【答案】(1)；
(2)10分鐘．
【分析】（1）由中心點(diǎn)到地面距離得值，由摩天輪半徑得值，由周期求得，再由初始值求得得表達(dá)式；
（2）解不等式后可得．
【詳解】（1）中心點(diǎn)距地面60m，則，摩天輪的半徑為50m，即，，，
最低點(diǎn)到地面距離為10 m，
所以，，又，則，
所以所求表達(dá)式為；
（2），，
取一個周期內(nèi)，有，，．
所以在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點(diǎn)有10分鐘的時間距離地面超過85m．
12．某中學(xué)在榮獲省級多樣化發(fā)展示范學(xué)校后，征得一塊形狀為扇形的土地用于建設(shè)新的田徑場，如圖，已知扇形圓心角，半徑米，關(guān)于軸對稱.欲在該地截出內(nèi)接矩形建田徑場，并保證矩形的一邊平行于扇形弦，設(shè)，記.
(1)寫出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并以為自變量，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)為何值時，矩形田徑場的面積最大？并求出最大面積.
【答案】(1)，，
，，，
(2)當(dāng)時，最大面積為平方米
【分析】（1）由題意得到，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，且兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，求出直線的解析式，從而確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，利用三角恒等變換得到，結(jié)合，求出最值.
【詳解】（1）由題意得：米，，
所以，，
因?yàn)檩S，
所以兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，
其中直線，
將代入，解得：，
故，，
∴
，；
（2）
，
因?yàn)椋裕?br/>∴當(dāng)，即時，平方米.
13．如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地（圓心角為）和（圓心角為），為圓的直徑.現(xiàn)分別要設(shè)計出兩塊社區(qū)活動區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域，一塊為平行四邊形區(qū)域，已知圓的直徑百米，且點(diǎn)在劣弧上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)在上 點(diǎn)在上 點(diǎn)和在上 點(diǎn)在上，記.
(1)經(jīng)設(shè)計，當(dāng)達(dá)到最大值時，取得最佳觀賞效果，求取何值時，最大，最大值是多少？
(2)設(shè)矩形和平行四邊形面積和為，求的最大值及此時的值.
【答案】(1)時，最大值為百米
(2)百米，
【分析】對于小問1，分別用變量來表達(dá)，，代入，得關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值；
對于小問2，分別用變量來表達(dá)矩形和平行四邊形面積相加，得關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值.
（1）
在矩形OEFG中，，，所以.
因?yàn)镸N∥PQ，，所以，
在△OQP中，，，由正弦定理可知：
，即，
得.
所以
因?yàn)椋裕?dāng)，時，最大值為百米.
（2）
設(shè)平行四邊形MNPQ邊MN上的高為h，所以有，
所以平行四邊形MNPQ的面積為，
在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面積為，
所以
.
其中，，，因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)，時，百米2，
此時.
14．正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復(fù)雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號的疊加．正弦信號的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來描述：，其中表示正弦信號的瞬時大小電壓V（單位：V）是關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)，而表示正弦信號的幅度，是正弦信號的頻率，相應(yīng)的為正弦信號的周期，為正弦信號的初相．由于正弦信號是一種最簡單的信號，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計中，科學(xué)家和工程師們經(jīng)常以正弦信號作為信號源（輸入信號）去研究整個電路的工作機(jī)理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標(biāo)是一個運(yùn)算放大器，電路中有四個電阻，電阻值分別為，，，（單位：Ω）．
和是兩個輸入信號，表示的是輸出信號，根據(jù)加法器的工作原理，與和的關(guān)系為：．
例如當(dāng)，輸入信號，時，輸出信號：．
(1)若，輸入信號，，則的最大值為___________；
(2)已知，，，輸入信號，．若（其中），則___________；
(3)已知，，，且，．若的最大值為，則滿足條件的一組電阻值，分別是_____________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)（答案不唯一）
【分析】（1）由輔助角公式得，即可求出最大值；
（2）由正弦余弦的和角公式化簡得，解方程組即可求解；
（3）先由余弦的倍角公式化簡得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值為，進(jìn)而得到，即可求解.
（1）
由題意得，，則的最大值為；
（2）
由題意知，，
整理得，
即，則，解得；
（3）
由題意得，
，
又，則，當(dāng)時，取得最大值，
則，整理得，即，解得，
又，則，取即滿足題意，則（答案不唯一）.5.7三角函數(shù)的應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))
2.實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型．(難點(diǎn))
【自主學(xué)習(xí)】
一．簡諧運(yùn)動
在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動稱為“簡諧運(yùn)動”，可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0
1. 就是簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；
2.簡諧運(yùn)動的周期是T＝ ，它是做簡諧運(yùn)動的物體往復(fù)運(yùn)動一次所需要的時間；
3.簡諧運(yùn)動的頻率由公式f＝＝ 給出，它是做簡諧運(yùn)動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動的次數(shù)；
4. 稱為相位；x＝0時的相位 稱為初相．
二.三角函數(shù)模型的應(yīng)用
1.勻速圓周運(yùn)動、簡諧運(yùn)動和交變電流都是理想化的運(yùn)動變化現(xiàn)象，可以用________________準(zhǔn)確地描述它們的運(yùn)動變化規(guī)律．
2.函數(shù)模型的應(yīng)用：利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，觀察散點(diǎn)圖，然后進(jìn)行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實(shí)際問題．
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】
1.某簡諧運(yùn)動的圖象如圖所示，試根據(jù)圖象回答下列問題：
（１）這個簡諧運(yùn)動的振幅、周期與頻率各是多少？
（２）寫出這個簡諧運(yùn)動的函數(shù)解析式.
２．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動．若線長為lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是
（１）當(dāng)l=25時，求該沙漏的最大偏角(精確到0.0001)；
（２）已知，要使沙漏擺動的周期是1 s，線的長度應(yīng)當(dāng)是多少(精確到0.1cm)？
3.一臺發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時間之間的關(guān)系如圖6所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位V）關(guān)于時間t（單位s）的函數(shù)解析式．
4.圖為一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各店的位置圖，經(jīng)過 周期 后，乙點(diǎn)的位置將移至何處？
5.如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b．
（1）求這一天6～14時的最大溫差；
（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．
6.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關(guān)系表：
(1)選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點(diǎn)時的水深的近似值（精確到0.001 m）．
(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4 m，安全條例規(guī)定至少要有1.5 m的安全間隙(船底與海底的距離)，該船何時能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？
(3)若船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船在兩點(diǎn)開始卸貨，吃水深度以0.3 m/h的速度減少，如果這條船停止卸貨后需 0.4 h 才能駛到深水域，那么該船在什么時間必修停止卸貨，將船駛向較深的水域？
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】
一、單選題
1．如圖所示，單擺從某點(diǎn)開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s(cm)和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin，那么單擺擺動一個周期所需的時間為(　　)
A．2π s　　　　　 B．π s
C．0.5 s D．1 s
2．函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則下列選項正確的是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝x
3．下表是某市近30年來月平均氣溫(℃)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均溫度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是(　　)
A．y＝acos B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acos－3
4．如圖，為一半徑為3 m的水輪，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪自點(diǎn)A開始1 min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
5．如圖是函數(shù)y＝sin x(0≤x≤π)的圖象，A(x，y)是圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交其圖象于另一點(diǎn)B(A，B可重合)．設(shè)線段AB的長為f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象是(　　)
二、多選題
6．從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如下圖所示（均為正弦型曲線）：
體力、情緒、智力在從出生之日起的每個周期中又存在著高潮期（前半個周期）和低潮期（后半個周期），它們在一個周期內(nèi)的表現(xiàn)如下表所示：
高潮期 低潮期
體力 體力充沛 疲倦乏力
情緒 心情愉快 心情煩躁
智力 思維敏捷 反應(yīng)遲鈍
如果從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5860，那么今日同學(xué)甲（ ）
A．體力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思維敏捷
三、填空題
7．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ℃，12月份的月平均氣溫最低，為18 ℃，則10月份的平均氣溫值為________℃.
8．如圖是彈簧振子做簡諧振動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移，則這個振子振動的函數(shù)解析式是________．
9．一種波的波形為函數(shù)y＝－sinx的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________．
四、解答題
10．已知某地一天從4時到16時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求該地區(qū)這一段時間內(nèi)溫度的最大溫差；
(2)若有一種細(xì)菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時間內(nèi)，該細(xì)菌能生存多長時間？
11．如圖所示，摩天輪的半徑為40 m，O點(diǎn)距地面的高度為50 m，摩天輪作勻速轉(zhuǎn)動，每2 min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)．
(1)試確定在時刻t min時P點(diǎn)距離地面的高度；
(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，有多長時間P點(diǎn)距離地面超過70 m.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】
一、單選題
1．車流量被定義為單位時間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，單位為輛/分，上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)給出，F(xiàn)(t)的單位是輛/分，t的單位是分，則下列哪個時間段內(nèi)車流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
2．如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是(　　)
A　　　　 B　　 　 C　　　　 D
二、多選題
3．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)；
B．的最小正周期為；
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增；
D．若方程在有四個不同的實(shí)根，則這四個實(shí)根之和為或．
4．已知函數(shù)（a為常數(shù)，）的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)，則下面說法正確的是（ ）
A．將的圖像向左平移個單位可以得到的圖像
B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱
C．在上單調(diào)遞減
D．的最大值為1
三、填空題
5．國際油價在某一時間內(nèi)呈現(xiàn)正弦波動規(guī)律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價80美元，當(dāng)t＝150(天)時達(dá)到最低油價，則ω的最小值為________．
6．已知角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1，－1)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象上的任意兩點(diǎn)，若|f(x1)－f(x2)|＝2時，|x1－x2|的最小值為，則f＝________.
四、解答題
7．心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80 mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：
(1)求函數(shù)p(t)的周期；
(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；
(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖；
(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)．
8．一半徑為的水輪（如圖所示），水輪圓心O離水面，已知水輪逆時針轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計算時間.
(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度表示為時間的函數(shù)；
(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間？
9．建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來的長遠(yuǎn)大計．某市通宵營業(yè)的大型商場，為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，在氣溫低于時，才開放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào)．如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時間（，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足關(guān)系．
(1)求的表達(dá)式；
(2)請根據(jù)(1)的結(jié)論，求該商場的中央空調(diào)在一天內(nèi)開啟的時長．
10．如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.
(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.
(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長時方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.
11.如圖，摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式為，，已知摩天輪的半徑為50m，其中心點(diǎn)距地面60m，摩天輪以每30分鐘轉(zhuǎn)一圈的方式做勻速轉(zhuǎn)動，而點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.
(1)根據(jù)條件具體寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點(diǎn)有多長時間距離地面超過85m？
12．某中學(xué)在榮獲省級多樣化發(fā)展示范學(xué)校后，征得一塊形狀為扇形的土地用于建設(shè)新的田徑場，如圖，已知扇形圓心角，半徑米，關(guān)于軸對稱.欲在該地截出內(nèi)接矩形建田徑場，并保證矩形的一邊平行于扇形弦，設(shè)，記.
(1)寫出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并以為自變量，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)為何值時，矩形田徑場的面積最大？并求出最大面積.
13．如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地（圓心角為）和（圓心角為），為圓的直徑.現(xiàn)分別要設(shè)計出兩塊社區(qū)活動區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域，一塊為平行四邊形區(qū)域，已知圓的直徑百米，且點(diǎn)在劣弧上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)在上 點(diǎn)在上 點(diǎn)和在上 點(diǎn)在上，記.
(1)經(jīng)設(shè)計，當(dāng)達(dá)到最大值時，取得最佳觀賞效果，求取何值時，最大，最大值是多少？
(2)設(shè)矩形和平行四邊形面積和為，求的最大值及此時的值.
14．正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復(fù)雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號的疊加．正弦信號的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來描述：，其中表示正弦信號的瞬時大小電壓V（單位：V）是關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)，而表示正弦信號的幅度，是正弦信號的頻率，相應(yīng)的為正弦信號的周期，為正弦信號的初相．由于正弦信號是一種最簡單的信號，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計中，科學(xué)家和工程師們經(jīng)常以正弦信號作為信號源（輸入信號）去研究整個電路的工作機(jī)理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標(biāo)是一個運(yùn)算放大器，電路中有四個電阻，電阻值分別為，，，（單位：Ω）．
和是兩個輸入信號，表示的是輸出信號，根據(jù)加法器的工作原理，與和的關(guān)系為：．
例如當(dāng)，輸入信號，時，輸出信號：．
(1)若，輸入信號，，則的最大值為___________；
(2)已知，，，輸入信號，．若（其中），則___________；
(3)已知，，，且，．若的最大值為，則滿足條件的一組電阻值，分別是_____________．

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