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5.4 三角函數的圖象和性質
1.定義：正弦函數y＝sinx，x∈R和余弦函數y＝cosx，x∈R的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．
2.圖象：如圖所示．
3.正弦曲線和余弦曲線的關系
①列表：列出x,y的五組對應值表
②描點：在平面直角坐標系中描出五點
③用光滑的曲線順次連接這五個點
正弦函數,余弦函數,正切函數的圖象與性質
性質
圖象
定義域
值域
最值 當時，；當時，． 當時，；當時，． 既無最大值，也無最小值
周期性
奇偶性 ,奇函數 偶函數 奇函數
單調性 在上是增函數；在上是減函數． 在上是增函數；在上是減函數． 在上是增函數．
對稱性 對稱中心 對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形. 對稱中心 對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形. 對稱中心 無對稱軸，是中心對稱但不是軸對稱圖形.
【特別提醒】
(1)正、余弦函數一個完整的單調區間的長度是半個周期，y＝tan x無單調遞減區間，y＝tan x在整個定義域內不單調．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區間時，要注意A和ω的符號．盡量化成ω＞0的形式，避免出現增減區間的混淆．
1．對稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期．
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．
2．函數具有奇、偶性的充要條件
(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數 φ＝kπ(k∈Z)．
考點01 “五點法”做函數的圖象
【典例1】用“五點法”作出下列函數的簡圖：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
【答案】
【解析】[思路分析]　先在[0,2π]上找出五個關鍵點，再用光滑曲線連接即可．
(1)列表
x 0 π π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
sinx－1 －1 0 －1 －2 －1
描點，連線，如圖
(2)列表：
x 0 π π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
2＋cosx 3 2 1 2 3
描點連線，如圖
【典例2】用“五點法”畫出下列函數在區間[0,2π]上的簡圖．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．
【答案】
【解析】(1)按五個關鍵點列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
2－sinx 2 1 2 3 2
描點并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖(1))．
(2)按五個關鍵點列表：
x 0 π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
cosx－1 0 －1 －2 －1 0
描點并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖(2))．
【總結提升】
用“五點法”畫函數y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的簡圖的步驟：
(1)列表：
x 0 π π 2π
sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)．
(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來．
考點02 利用圖象變換作三角函數的圖象
【典例3】利用圖象變換作出下列函數的簡圖：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
【答案】
【解析】[思路分析]　先作出y＝cosx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的圖象，再作對稱和平移變換．
　(1)首先用五點法作出函數y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象，再作出y＝cosx關于x軸對稱的圖象，最后將圖象向上平移1個單位．如圖(1)所示．
(2)首先用五點法作出函數y＝sinx，x∈[0,4π]的圖象，再將x軸下方的部分對稱到x軸的上方．如圖(2)所示．
【典例4】關于三角函數的圖象，有下列說法：
①y＝sin|x|與y＝sinx的圖象關于y軸對稱；
②y＝cos(－x)與y＝cos|x|的圖象相同；
③y＝|sinx|與y＝sin(－x)的圖象關于x軸對稱；
④y＝cosx與y＝cos(－x)的圖象關于y軸對稱；
其中正確說法的序號是 ．
【答案】②④
【解析】函數的圖象變換除了平移變換外，還有對稱變換．一般地，函數f(x)的圖象與f(－x)的圖象關于y軸對稱；－f(x)的圖象與f(x)的圖象關于x軸對稱；－f(－x)的圖象與f(x)的圖象關于原點對稱；f(|x|)的圖象關于y軸對稱．
考點03 利用圖象解三角不等式
【典例5】畫出正弦函數y＝sinx(x∈R)的簡圖，并根據圖象寫出y≥時x的集合．
【答案】
【解析】[思路分析]　(1)作出y＝sinx，與y＝的圖象．(2)確定sinx＝的x值．(3)確定sinx>的解集．
用“五點法”作出y＝sinx的簡圖．
過(0，)點作x軸的平行線，
從圖象可看出它在[0,2π]區間與正弦曲線交于(，)，(，)點，
在[0,2π]區間內，y≥時x的集合為{x|≤x≤}，
當x∈R時，若y≥，則x的集合為{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
【典例6】觀察正切曲線，解不等式tanx>1．
【答案】．
【解析】[思路分析]　先確定在一個周期內的x值的范圍，再寫出不等式的解集．
函數y＝tanx在區間內的圖象如圖所示．
作直線y＝1，則在內，當tanx>1時，有則tanx>1的解集是
．
【規律總結】
1.用三角函數的圖象解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)作出直線y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的圖象．
(2)確定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．
(3)確定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函數線解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的兩個x值的終邊所在的位置．
(2)根據變化趨勢，確定不等式的解集．
3.解形如tanx>a的不等式的步驟
―→
↓
―→
↓
―→
↓
―→
考點04 三角函數的定義域
【典例7】（2022上·重慶北碚·高一西南大學附中校考期末）函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】根據給定的函數有意義，列出不等式組，再利用正余弦函數的性質求解作答.
【詳解】函數有意義，
則需，
由，
，
則，
所以函數定義域為.
故答案為：
【典例8】（2023上·全國·高一專題練習）函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】根據函數的解析式列出不等式組，結合正切函數的性質求解即可.
【詳解】要使函數有意義，
則，即.
在上滿足上述不等式的的取值范圍是.
又因為的周期為，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
【總結提升】
三角函數定義域的求法
(1)求三角函數的定義域常化為解三角不等式(組)．
(2)解三角不等式(組)時常借助三角函數的圖象或三角函數線．
(3)對于函數y＝Atan(ωx＋φ)的定義域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解．
考點05 三角函數的值域(最值)
【典例9】（2023上·北京順義·高三校考階段練習）某同學用“五點法”作函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，見下表：
0
x
0 0
(1)求函數的解析式；
(2)求在區間上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由表中數據列出方程組即可得解.
（2）通過換元法結合正弦函數單調性即可得解.
【詳解】（1）由表格可知，解得，
所以函數的解析式為.
（2）當時，有，
而在上單調遞減，在上單調遞增，
從而，當且僅當，
，當且僅當，
綜上所述，在區間上的最大值和最小值分別為.
【典例10】（2023上·全國·高一專題練習）已知函數．
(1)若，求實數的值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)或
(2)答案見解析
【分析】（1）將條件代入運算可得解；
（2）換元，令，，化為，分類討論求出的最大值.
【詳解】（1）函數，
所以
整理得，解得或．
（2）因為，
設，則，化為，
則為二次函數，開口向下，對稱軸為，
所以當，即時，的最大值為；
當，即時，的最大值為；
當，即時，的最大值為；
所以當時，的最大值；
當時，的最大值為；
當時，的最大值為．
【總結提升】
1．求形如y＝asinx＋b的函數的最值或值域時，可利用正弦函數的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．對于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函數，當定義域為R時，值域為[－|A|＋k，|A|＋k]；當定義域為某個給定的區間時，需確定ωx＋φ的范圍，結合函數的單調性確定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函數的值域或最值時，可以通過換元，令t＝sinx，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域或最值，求解過程中要注意正弦函數的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函數的值域，可以用分離常量法求解；也可以利用正弦函數的有界性建立關于y的不等式反解出y．
綜上可知，求與三角函數有關的函數的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函數的有界性、單調性求解；
(2)轉化為關于sinx的二次函數求解．注意求三角函數的最值對應的自變量x的值時，要考慮三角函數的周期性．
考點06 三角函數的周期性
【典例11】（2023·全國·高一隨堂練習）求下列函數的定義域、最小正周期：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)定義域為,最小正周期
(2)定義域為，最小正周期
(3)定義域為，最小正周期
【分析】利用正切函數的定義域及最小正周期公式即可得解.
【詳解】（1）令可得，
所以函數的定義域為，最小正周期;
（2）令可得，
所以函數的定義域為，最小正周期;
（3）令可得，
所以函數的定義域為，最小正周期.
【典例12】（2023上·江蘇·高一專題練習）求下列函數的周期：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），（2）中利用三角函數周期可求解，（3）根據周期函數定義結合正弦函數的性質即可求解.
【詳解】（1）由題意知：，所以：的周期為：，
故所求周期為：.
（2）由題意知：，所以：的周期為：，
故所求周期為：.
（3）由題意可得：，
根據函數周期的定義可得：的周期為.
又的圖象可以看成將在軸下方的圖象翻折到軸上方得到的，
故其最小正周期為，故所求周期為：.
【總結提升】
求三角函數周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函數f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B與f (x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期為T＝；
②函數f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝.
考點07 三角函數的單調性
【典例13】（2023上·河南鄭州·高一河南省實驗中學校考階段練習）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數單調遞增區間；
(3)求在區間上的最值.
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值為，最小值為.
【分析】（1）根據周期確定，代入計算得到答案.
（2）取，解得答案.
（3）確定，根據正弦函數性質計算得到答案.
【詳解】（1）的最小正周期為，則，，
，；
（2）取，解得，
故的單調遞增區間為；
（3），則，
當，即時，；
當，即時，；
故的最大值為，最小值為.
【典例14】（2023·全國·高一隨堂練習）求函數的定義域、最小正周期和單調區間．
【答案】定義域為，最小正周期為，單調遞增區間為.
【分析】利用正切型函數的定義域可求得函數的定義域，利用正切型函數的周期性可求得函數的最小正周期，利用正切型函數的單調性可求得函數的單調遞增區間.
【詳解】解：對于函數，，可得，
所以，函數的定義域為，
函數的最小正周期為，
由可得，
所以，函數的單調遞增區間為，無減區間.
【規律方法】
三角函數單調區間的求法
(1)將函數化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助誘導公式將ω化為正數．
(2)根據y＝sin x和y＝cos x的單調區間及A的正負，列不等式求解．
考點08 比較三角函數值大小
【典例15】（2023上·江蘇·高一專題練習）比較下列正切值的大小：
(1)與；
(2)tan與tan．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據三角函數的誘導公式，以及正切函數的單調性，即可求解.
【詳解】（1）解：由，
因為時，函數為單調遞增函數，且，
所以，所以.
（2）由，
因為函數在為單調遞增函數，且，
所以，即
【典例16】（2023上·全國·高一專題練習）比較下列各組數的大小：
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用誘導公式得，，由函數在上的單調性，比較余弦值的大小；
（2）由誘導公式得，利用函數在上的單調性，比較正弦值的大小.
【詳解】（1），，
因為，而在上單調遞減，
所以，即.
（2）因為，而且在上單調遞增，
所以，即.
【總結提升】
比較三角函數值大小的步驟：①異名函數化為同名函數；②利用誘導公式把角化到同一單調區間上；③利用函數的單調性比較大小．
考點09 已知單調區間求參數范圍
【典例17】（2023上·江蘇南通·高一統考階段練習）已知在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出取值范圍，再由在上單調遞增得，最后結合題意求出的取值范圍即可.
【詳解】因為，，所以，
要使得在上單調遞增，則，解得，
又由題意可知，所以，
故選：B
【典例18】（2023上·湖北黃岡·高一校考期末）已知函數，其中.若在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】若在區間上單調遞增，滿足兩條件：①區間的長度超過；②的整體范圍在余弦函數的增區間內，取合適的整數k求出ω的取值范圍.
【詳解】，
∵函數在區間內單調遞增，
∴，∴，
∵，∴，
若在區間上單調遞增，則，
解得，當時，，又因為，∴.
故選：A
【總結提升】
已知單調區間求參數范圍的三種方法
（1）子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式(組)求解
（2）反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式(組)求解
（3）周期性法：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解.
考點10 三角函數的奇偶性
【典例19】（2023上·全國·高一專題練習）下列函數中，偶函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據誘導公式化簡函數解析式，再根據正弦、余弦、正切函數的奇偶性可得答案.
【詳解】對于A，，所以為奇函數，故A不正確；
對于B，，所以為奇函數，故B不正確；
對于C， ，所以為奇函數，故C不正確；
對于D， ，所以為偶函數，故D正確.
故選：D.
【典例20】（2023·全國·高一專題練習）判斷下列函數的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)偶函數
(2)奇函數
(3)非奇非偶函數
【分析】（1）（2）先求定義域，然后判斷和的關系即可判斷其奇偶性；
（3）求出函數定義域，然后根據定義域是否關于原點對稱即可作出判斷.
【詳解】（1）的定義域為R，，
因為，
所以為偶函數.
（2）由得，
解得定義域為，關于原點對稱，
又
，
所以為奇函數.
（3）由，即，解得，
所以，定義域不關于原點對稱，
所以，該函數既不是奇函數也不是偶函數.
【總結提升】
1.三角函數是奇、偶函數的充要條件
(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數 φ＝kπ(k∈Z)；偶函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；是偶函數 φ＝kπ(k∈Z)．
2．如何判斷函數的奇偶性:根據三角函數的奇偶性，利用誘導公式可推得函數的奇偶性，常見的結論如下：
(1)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；
(2)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；
(3)若為奇函數則有.
考點11 三角函數對稱軸、對稱中心
【典例21】（2022上·內蒙古赤峰·高一校考期末）函數的圖像關于（ ）
A．點對稱 B．點對稱 C．直線對稱 D．直線對稱
【答案】A
【分析】根據題意，分別將與代入檢驗，即可得到結果.
【詳解】令，可得，所以圖像關于點對稱，故A正確，C錯誤；
令，可得，所以圖像不關于點對稱，
也不關于直線對稱，故BD錯誤；
故選：A
【典例22】函數y＝3tan(2x＋)的對稱中心的坐標為　　．
【答案】(－，0)(k∈Z)
【解析】令2x＋＝(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴對稱中心的坐標為(－，0)(k∈Z)．
【總結提升】
求對稱軸方程(對稱中心坐標)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸方程，只需對ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，對稱中心橫坐標只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸方程，只需對ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，對稱中心橫坐標為ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心的橫坐標，只需對ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.
考點12 三角函數的零點問題
【典例23】設函數f(x)＝4sin(2x＋1)－x，則在下列區間中函數f(x)不存在零點的是(　　)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
【答案】A
【解析】[思路分析]　求f(x)的零點，可轉化為函數g(x)＝4sin(2x＋1)與h(x)＝x的交點．
要求f(x)＝0，可以將f(x)的零點轉化為函數
g(x)＝4sin(2x＋1)與h(x)＝x的交點．如圖，g(x)和h(x)在同一坐標系中的圖象．由此可知，本題選A．
【典例24】（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）若關于的方程在內有實數解，則的取值范圍是
【答案】/
【分析】令，，則在有解，由二次函數性質求參數范圍.
【詳解】由題意可得，，
令，，則，
若，對稱軸為，
所以在單調遞增，
因為在有解，
由零點存在性定理可得，，
解得，所以實數的取值范圍為：.
故答案為：.
【總結提升】
將三角函數圖象與方程的知識相結合，把函數零點問題轉化為函數圖象的交點問題，從而通過數形結合巧妙解決．
考點13 根據三角函數性質求參數
【典例25】（2023上·廣東廣州·高三統考階段練習）若為奇函數，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據奇函數的定義可求得實數的值.
【詳解】對于函數，有，解得，
所以，函數的定義域為，
因為函數為奇函數，則，
即對任意的恒成立，
所以，，
所以，，解得，.
故選：D.
【典例26】（2023上·廣東肇慶·高三統考階段練習）已知函數在區間上的值域為，則 .
【答案】
【分析】根據三角函數值域的知識求得.
【詳解】依題意，函數在區間上的值域為，
由于，
所以，
此時，當時取得最小值，符合題意，
所以.
故答案為：
考點14 三角函數圖象和性質的綜合問題
【典例27】（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數，最小正周期為
(1)求的值及的的取值集合；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍
【答案】(1)2，；
(2).
【分析】（1）利用給定的周期求出，再解正弦函數不等式即得.
（2）根據給定條件，求出的取值集合，再換元并借助二次函數列出不等式組求解即得.
【詳解】（1）由函數的最小正周期為，得，
于是，由，得，
因此，解得，
所以，的取值集合是.
（2）由（1）知，，
由，得， 于是，則，
令，，不等式恒成立，即恒成立，
設，
因此，解得，
所以實數的取值范圍是.
【典例28】（2023上·浙江杭州·高一學軍中學校考階段練習）已知函數．
(1)求函數的最小正周期、對稱中心、單調減區間；
(2)若定義在區間上的函數的最大值為6，最小值為，求實數的值．
【答案】(1);;
(2)或.
【分析】（1）根據函數解析式，結合函數周期、對稱中心、單調區間的求法，直接計算即可；
（2）分類討論的范圍，列出方程組，解出即可.
【詳解】（1）因為,
所以函數的最小正周期為，
令,
得,，
所以函數的對稱中心為,
令，
得，
故函數的減區間為.
（2），
又當時，，
則，
若，
則有，解得，
當時，
，解得，
又明顯不符合題意，
故或者.
1.（2023·天津·統考高考真題）已知函數的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題意分別考查函數的最小正周期和函數在處的函數值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數解析式.
【詳解】由函數的解析式考查函數的最小周期性：
A選項中，B選項中，
C選項中，D選項中，
排除選項CD，
對于A選項，當時，函數值，故是函數的一個對稱中心，排除選項A，
對于B選項，當時，函數值，故是函數的一條對稱軸，
故選：B.
2.（2021年新高考I）下列區間中，函數單調遞增的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.
【詳解】因為函數的單調遞增區間為，
對于函數，由，
解得，
取，可得函數的一個單調遞增區間為，
則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；
取，可得函數的一個單調遞增區間為，
且，，CD選項均不滿足條件.
故選：A.
3.（2020·山東·統考高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數在一個周期內的圖象時，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根據表中數據，求：
（1）實數，，的值；
（2）該函數在區間上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【分析】（1）利用三角函數五點作圖法求解，，的值即可.
（2）首先根據（1）知：，根據題意得到，從而得到函數的最值.
【詳解】（1）由表可知，則，
因為，，所以，解得，即，
因為函數圖象過點，則，即，
所以，，解得，，
又因為，所以.
（2）由（1）可知.
因為，所以，
因此，當時，即時，，
當時，即時，.
所以該函數在區間上的最大值是3，最小值是.
一、單選題
1.（2023上·北京朝陽·高三統考期中）函數的圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將各項對應自變量代入解析式求函數值，判斷是否成立即可.
【詳解】時，不是對稱軸；
時，不是對稱軸；
時，是對稱軸；
時，不是對稱軸；
故選：C
2.（2023·全國·高一專題練習）下列函數中是奇函數，且最小正周期是的函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】確定和，為偶函數，排除，驗證D選項滿足條件，得到答案.
【詳解】對選項A：，函數定義域為，，
函數為偶函數，排除；
對選項B：，函數定義域為，，
函數為偶函數，排除；
對選項C：，函數定義域為，，
函數為偶函數，排除；
對選項D：，函數定義域為，
，函數為奇函數，，滿足條件；
故選：D.
3．（2023上·廣東深圳·高三校考階段練習）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據的取值范圍，明確三角函數的取值范圍，利用指數函數和冪函數的單調性，可得答案.
【詳解】解：已知，則，
因為在上是減函數，故；
因為冪函數在上是增函數，故，
故．
故選：A.
二、多選題
4．（2023上·湖南長沙·高二校考期中）已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關于直線對稱
C．是偶函數
D．的單調遞減區間為
【答案】AD
【分析】根據正弦型函數的周期公式可判斷A；代入驗證函數值可判斷B；求出的表達式即可判斷其奇偶性，判斷C；結合正弦函數的單調區間求出的單調減區間即可判斷D.
【詳解】對于A，由三角函數的性質，可得的最小正周期為，所以A正確；
對于B，當時，可得，
所以的圖象不關于直線對稱，所以B錯誤；
對于C，由，
此時函數為非奇非偶函數，所以C錯誤；
對于D，令，，解得，，
即函數的遞減區間為，，所以D正確．
故選：AD
5．（2023上·黑龍江牡丹江·高三校聯考階段練習）已知函數，則（ ）
A．為偶函數
B．是的一個單調遞增區間
C．
D．當時，
【答案】ACD
【分析】根據正弦函數、正切函數奇偶性判斷A，取特值判斷B，根據誘導公式判斷C，分類討論判斷D.
【詳解】因為的定義域為，關于原點對稱，
且，所以是偶函數，故A正確；
因為，所以，
且，所以不是函數的遞增區間，故B不正確；
，故C正確；
因為當時，，所以，
同理，當時，，即時，，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
6．（2022上·湖北孝感·高一校考期末）函數的定義域為 .
【答案】
【分析】利用正切函數的性質即可得解.
【詳解】因為，
所以，則，
所以函數的定義域為.
故答案為：.
7．（2023上·天津河東·高三校考階段練習）函數，函數的值域為，則 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，求出相位的范圍，再利用正弦函數的性質求出值域即得結果.
【詳解】當時，，正弦函數在上遞增，在上遞減，
于是函數在上單調遞增，在上單調遞減，
因此，即函數的值域為，
所以.
故答案為：
8．（2023上·全國·高一專題練習）函數的最小正周期是，則 ．
【答案】
【分析】利用三角函數的周期公式直接求出即可.
【詳解】因為函數的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案為：.
四、解答題
9.（2022上·吉林四平·高一校考期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值為1，最小值為
【分析】（1）利用三角函數周期公式即可得解；
（2）利用余弦函數的性質求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以的最小正周期為.
（2）因為，所以，
所以，則，即，
當，即時，有最大值為1，
當，即時，有最小值為，
所以當時，的最大值為1，的最小值為.
10．（2022上·新疆烏魯木齊·高一新疆農業大學附屬中學校考期末）已知函數
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的對稱軸方程和對稱中心；
(3)求的單調遞減區間.
【答案】(1)
(2)對稱軸方程為：，，對稱中心為，
(3) ，.
【分析】（1）利用正弦函數的周期公式，計算可得答案；
（2）根據正弦函數對稱軸方程和對稱中心的公式，直接計算可得答案；
（3）根據復合函數的單調性，得到，計算可得函數的單調遞減區間.
【詳解】（1）由題意得函數的最小正周期為：，
（2）由，得，所以函數的對稱軸方程為：，
由得，∴對稱中心為，.
（3）由，得，，
∴函數的單調遞減區間為： ，.
11．（2019下·廣東清遠·高一校考階段練習）已知關于的函數（），圖象的一條對稱軸是.
(1)求的值；
(2)求使成立的的取值集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用給定的對稱軸，列式計算即得.
（2）由（1）的結論，借助正弦曲線的性質解不等式即得.
【詳解】（1）由圖象的一條對稱軸是，得，
而，則，
所以.
（2）由（1）知，，由，得，
于是，解得，
所以使成立的的取值集合為.
12．（2023上·廣東廣州·高一廣州市海珠中學校考階段練習）已知函數．
(1)求函數的最小正周期和單調遞減區間；
(2)求函數在區間上的最小值和最大值，并求出取得最值時的值．
【答案】(1)；
(2)最小值，；最大值1，
【分析】（1）將化為，根據最小正周期公式即可求得最小正周期，根據正弦函數的單調性即可求得單調遞減區間；
（2）根據x的范圍，確定的范圍，根據正弦函數的性質，即可求得答案.
【詳解】（1）由于，故的最小正周期為；
令，即，
故的單調遞減區間為；
（2）因為，所以，
由于函數在上單調遞增，在上單調遞減，，
又，
故當，即時，取到最大值；
當，即時，取到最小值.5.4 三角函數的圖象和性質
1.定義：正弦函數y＝sinx，x∈R和余弦函數y＝cosx，x∈R的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．
2.圖象：如圖所示．
3.正弦曲線和余弦曲線的關系
①列表：列出x,y的五組對應值表
②描點：在平面直角坐標系中描出五點
③用光滑的曲線順次連接這五個點
正弦函數,余弦函數,正切函數的圖象與性質
性質
圖象
定義域
值域
最值 當時，；當時，． 當時，；當時，． 既無最大值，也無最小值
周期性
奇偶性 ,奇函數 偶函數 奇函數
單調性 在上是增函數；在上是減函數． 在上是增函數；在上是減函數． 在上是增函數．
對稱性 對稱中心 對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形. 對稱中心 對稱軸，既是中心對稱又是軸對稱圖形. 對稱中心 無對稱軸，是中心對稱但不是軸對稱圖形.
【特別提醒】
(1)正、余弦函數一個完整的單調區間的長度是半個周期，y＝tan x無單調遞減區間，y＝tan x在整個定義域內不單調．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區間時，要注意A和ω的符號．盡量化成ω＞0的形式，避免出現增減區間的混淆．
1．對稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期．
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．
2．函數具有奇、偶性的充要條件
(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數 φ＝kπ(k∈Z)．
考點01 “五點法”做函數的圖象
【典例1】用“五點法”作出下列函數的簡圖：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
【典例2】用“五點法”畫出下列函數在區間[0,2π]上的簡圖．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．
【總結提升】
用“五點法”畫函數y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的簡圖的步驟：
(1)列表：
x 0 π π 2π
sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)．
(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來．
考點02 利用圖象變換作三角函數的圖象
【典例3】利用圖象變換作出下列函數的簡圖：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
【典例4】關于三角函數的圖象，有下列說法：
①y＝sin|x|與y＝sinx的圖象關于y軸對稱；
②y＝cos(－x)與y＝cos|x|的圖象相同；
③y＝|sinx|與y＝sin(－x)的圖象關于x軸對稱；
④y＝cosx與y＝cos(－x)的圖象關于y軸對稱；
其中正確說法的序號是 ．
考點03 利用圖象解三角不等式
【典例5】畫出正弦函數y＝sinx(x∈R)的簡圖，并根據圖象寫出y≥時x的集合．
【典例6】觀察正切曲線，解不等式tanx>1．
【規律總結】
1.用三角函數的圖象解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)作出直線y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的圖象．
(2)確定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．
(3)確定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函數線解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的兩個x值的終邊所在的位置．
(2)根據變化趨勢，確定不等式的解集．
3.解形如tanx>a的不等式的步驟
―→
↓
―→
↓
―→
↓
―→
考點04 三角函數的定義域
【典例7】（2022上·重慶北碚·高一西南大學附中校考期末）函數的定義域為 ．
【典例8】（2023上·全國·高一專題練習）函數的定義域為 ．
【總結提升】
三角函數定義域的求法
(1)求三角函數的定義域常化為解三角不等式(組)．
(2)解三角不等式(組)時常借助三角函數的圖象或三角函數線．
(3)對于函數y＝Atan(ωx＋φ)的定義域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解．
考點05 三角函數的值域(最值)
【典例9】（2023上·北京順義·高三校考階段練習）某同學用“五點法”作函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，見下表：
0
x
0 0
(1)求函數的解析式；
(2)求在區間上的最大值和最小值．
【典例10】（2023上·全國·高一專題練習）已知函數．
(1)若，求實數的值；
(2)求的最大值．
【總結提升】
1．求形如y＝asinx＋b的函數的最值或值域時，可利用正弦函數的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．對于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函數，當定義域為R時，值域為[－|A|＋k，|A|＋k]；當定義域為某個給定的區間時，需確定ωx＋φ的范圍，結合函數的單調性確定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函數的值域或最值時，可以通過換元，令t＝sinx，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域或最值，求解過程中要注意正弦函數的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函數的值域，可以用分離常量法求解；也可以利用正弦函數的有界性建立關于y的不等式反解出y．
綜上可知，求與三角函數有關的函數的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函數的有界性、單調性求解；
(2)轉化為關于sinx的二次函數求解．注意求三角函數的最值對應的自變量x的值時，要考慮三角函數的周期性．
考點06 三角函數的周期性
【典例11】（2023·全國·高一隨堂練習）求下列函數的定義域、最小正周期：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例12】（2023上·江蘇·高一專題練習）求下列函數的周期：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【總結提升】
求三角函數周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函數f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B與f (x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期為T＝；
②函數f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝.
考點07 三角函數的單調性
【典例13】（2023上·河南鄭州·高一河南省實驗中學校考階段練習）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數單調遞增區間；
(3)求在區間上的最值.
【典例14】（2023·全國·高一隨堂練習）求函數的定義域、最小正周期和單調區間．
【規律方法】
三角函數單調區間的求法
(1)將函數化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助誘導公式將ω化為正數．
(2)根據y＝sin x和y＝cos x的單調區間及A的正負，列不等式求解．
考點08 比較三角函數值大小
【典例15】（2023上·江蘇·高一專題練習）比較下列正切值的大小：
(1)與；
(2)tan與tan．
【典例16】（2023上·全國·高一專題練習）比較下列各組數的大小：
(1)，；
(2)，.
【總結提升】
比較三角函數值大小的步驟：①異名函數化為同名函數；②利用誘導公式把角化到同一單調區間上；③利用函數的單調性比較大小．
考點09 已知單調區間求參數范圍
【典例17】（2023上·江蘇南通·高一統考階段練習）已知在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例18】（2023上·湖北黃岡·高一校考期末）已知函數，其中.若在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【總結提升】
已知單調區間求參數范圍的三種方法
（1）子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式(組)求解
（2）反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，列不等式(組)求解
（3）周期性法：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解.
考點10 三角函數的奇偶性
【典例19】（2023上·全國·高一專題練習）下列函數中，偶函數是（ ）
A． B．
C． D．
【典例20】（2023·全國·高一專題練習）判斷下列函數的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
【總結提升】
1.三角函數是奇、偶函數的充要條件
(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數 φ＝kπ(k∈Z)；偶函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函數y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數 φ＝kπ＋(k∈Z)；是偶函數 φ＝kπ(k∈Z)．
2．如何判斷函數的奇偶性:根據三角函數的奇偶性，利用誘導公式可推得函數的奇偶性，常見的結論如下：
(1)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；
(2)若為偶函數，則有;若為奇函數則有；
(3)若為奇函數則有.
考點11 三角函數對稱軸、對稱中心
【典例21】（2022上·內蒙古赤峰·高一校考期末）函數的圖像關于（ ）
A．點對稱 B．點對稱 C．直線對稱 D．直線對稱
【典例22】函數y＝3tan(2x＋)的對稱中心的坐標為　　．
【總結提升】
求對稱軸方程(對稱中心坐標)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸方程，只需對ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，對稱中心橫坐標只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸方程，只需對ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，對稱中心橫坐標為ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心的橫坐標，只需對ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.
考點12 三角函數的零點問題
【典例23】設函數f(x)＝4sin(2x＋1)－x，則在下列區間中函數f(x)不存在零點的是(　　)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
【答案】A
【解析】[思路分析]　求f(x)的零點，可轉化為函數g(x)＝4sin(2x＋1)與h(x)＝x的交點．
要求f(x)＝0，可以將f(x)的零點轉化為函數
g(x)＝4sin(2x＋1)與h(x)＝x的交點．如圖，g(x)和h(x)在同一坐標系中的圖象．由此可知，本題選A．
【典例24】（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）若關于的方程在內有實數解，則的取值范圍是
【總結提升】
將三角函數圖象與方程的知識相結合，把函數零點問題轉化為函數圖象的交點問題，從而通過數形結合巧妙解決．
考點13 根據三角函數性質求參數
【典例25】（2023上·廣東廣州·高三統考階段練習）若為奇函數，則實數（ ）
A． B． C． D．
【典例26】（2023上·廣東肇慶·高三統考階段練習）已知函數在區間上的值域為，則 .
考點14 三角函數圖象和性質的綜合問題
【典例27】（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數，最小正周期為
(1)求的值及的的取值集合；
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍
【典例28】（2023上·浙江杭州·高一學軍中學校考階段練習）已知函數．
(1)求函數的最小正周期、對稱中心、單調減區間；
(2)若定義在區間上的函數的最大值為6，最小值為，求實數的值．
1.（2023·天津·統考高考真題）已知函數的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則的解析式可能為（ ）
A． B．
C． D．
2.（2021年新高考I）下列區間中，函數單調遞增的區間是（ ）
A． B． C． D．
3.（2020·山東·統考高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數在一個周期內的圖象時，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根據表中數據，求：
（1）實數，，的值；
（2）該函數在區間上的最大值和最小值.
一、單選題
1.（2023上·北京朝陽·高三統考期中）函數的圖象的一條對稱軸是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·全國·高一專題練習）下列函數中是奇函數，且最小正周期是的函數是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·廣東深圳·高三校考階段練習）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2023上·湖南長沙·高二校考期中）已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關于直線對稱
C．是偶函數
D．的單調遞減區間為
5．（2023上·黑龍江牡丹江·高三校聯考階段練習）已知函數，則（ ）
A．為偶函數
B．是的一個單調遞增區間
C．
D．當時，
三、填空題
6．（2022上·湖北孝感·高一校考期末）函數的定義域為 .
7．（2023上·天津河東·高三校考階段練習）函數，函數的值域為，則 ．
8．（2023上·全國·高一專題練習）函數的最小正周期是，則 ．
四、解答題
9.（2022上·吉林四平·高一校考期末）已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值.
10．（2022上·新疆烏魯木齊·高一新疆農業大學附屬中學校考期末）已知函數
(1)求函數的最小正周期；
(2)求函數的對稱軸方程和對稱中心；
(3)求的單調遞減區間.
11．（2019下·廣東清遠·高一校考階段練習）已知關于的函數（），圖象的一條對稱軸是.
(1)求的值；
(2)求使成立的的取值集合.
12．（2023上·廣東廣州·高一廣州市海珠中學校考階段練習）已知函數．
(1)求函數的最小正周期和單調遞減區間；
(2)求函數在區間上的最小值和最大值，并求出取得最值時的值．

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