資源簡介

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七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二 絕對值問題分類探究
一、絕對值的定義：一般地，數軸上表示a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|。
1.1 如果a>0時|a|=a;如果a<0時|a|=-a；如果a=0時|a|=0
1.2 絕對值相等的兩個數，本身可以相等，也可以是相反數；即|a|=|b|，則得a=b或a=-b，特別注意a=b=0的情況。也要注意反推的情況，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。
二、絕對值的非負性：
2.1 任何絕對值的考察，一定考慮0的特殊性，即a=0的情況
2.2 若|a|+|b|=0，則a=0且b=0；若|a|+b=0，則a=0且b=0；（其中a、b可以是單獨的字母，也可以是表達式）
三、幾何意義：|a|表示一個數a在數軸上對應的點與原點之間的距離
3.1:式子|x-y|表示的幾何意義：表示數軸上的數x到數y的距離
3.2:式子|x+y|表示的意義：因為|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示數軸上的數x到數-y的距離。
利用絕對值比較大小：正數大于0和負數，0大于負數，兩個負數比較絕對值大的反而小。
類型一、利用絕對值比較大小
【例1-1】探索研究：
(1)比較下列各式的大小(用“>”“<”或“=”連接).
①__________；
②_________；
③_________.
(2)通過以上比較，請你分析、歸納出當a，b為有理數時，與的大小關系(直接寫出結論即可).
(3)根據(2)中得出的結論，當時，x的取值范圍是_________.
【例1-2】回答下列問題：
（1）比較下列各式的大小.（用“<”“>”或“=”連接）
①____________，
②_________，
③__________.
（2）通過以上的特殊例子，請你分析、補充、歸納，當a、b為有理數時，與的大小關系.
（3）根據上述結論，求當時x的取值范圍.
針對練習1
1、利用絕對值比較下列各組數的大小.
（1）和；
（2）和.
2、已知為有理數，且，比較的大小.
類型二、利用絕對值的性質求值
【例2-1】當|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，則a﹣b的值為（　　）
A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2
【例1-2】已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值．
針對練習2
1 .若|x|＝1，則x＝________．
2 .如果若|x－2|＝1，則x＝________．
3 .若，則a是（ ）
A．正數或0 B．0 C．負數或0 D．正數
4．若，則 ．
類型三、化簡含絕對值的式子
【例3-1】有理數a、b、c在數軸上的位置如圖：
（1）判斷正負，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0．
（2）化簡：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【例3-2】如圖，已知a、b、c在數軸上的位置．
（1）a+b　 　0，abc 　 　0，　 　0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互為相反數，求＝　 　．
（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【例3-3】已知a、b、c在數軸上對應的點如圖所示，
(1)化簡：；
(2)若與互為相反數，且，求（1）中式子的值．
針對練習3
1 .若有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，則|a﹣c|﹣|b+c|可化簡為　 　．
2 .若數軸上的點A、B、C分別表示有理數a，b，c，O為原點，如圖所示．
(1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0；
(2)化簡．
3 .有理數、、在數軸上的位置如圖所示，且，化簡 ．

類型四、絕對值的非負性的應用
【例4-1】若|a﹣1|+(b-3)2＝0，則b﹣a﹣的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【例4-2】，則的值是（ ）
A． B． C． D．1
針對練習4
1 .若，則（　　）
A． B． C．5 D．3
2 .如果，那么a，b的值為（　　）
A． B．
C． D．
．
3 .已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，則ab＝ ．
類型五、分類討論化簡含絕對值的式子
【例5-1】若，則_______．
【例5-2】已知、、均為不等式0的有理數，則的值為 ．
針對練習5
1 .若，則 ．
2 .（1）若，　　；若，　　；
（2）若，則＝　 　；
（3）若，則　 　．
3 .當a≠0時，請解答下列問題：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
類型六、利用絕對值的幾何意義化簡絕對值
【例6-1】結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數軸上表示3和2的兩點之間的距離是_____；表示和1兩點之間的距離是_____；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且數a、b在數軸上表示的數分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是______，最小距離是_____．
(4)若數軸上表示數a的點位于與之間，則_____．
(5)當_____時，的值最小，最小值是_____．
【例6-2】同學們都知道，|5-（-2）|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．試探索
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）同樣道理|x+1008|=|x-1005|表示數軸上有理數x所對點到-1008和1005所對的兩點距離相等，則x=________；
（3）類似的|x+5|+|x-2|表示數軸上有理數x所對點到-5和2所對的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數x，使得|x+5|+|x-2|=7，這樣的整數是__________．
（4）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．
針對練習6
1 .結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
（1）數軸上表示4和1的兩點之間的距離是　 　；表示﹣3和2兩點之間的距離是　 　；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．如果表示數a和﹣1的兩點之間的距離是3，那么a＝　 　．
（2）若數軸上表示數a的點位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|的值為　 　；
（3）利用數軸找出所有符合條件的整數點x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，這些點表示的數的和是　 　．
（4）當a＝　 　時，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
2 .先閱讀，后探究相關的問題
【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2的差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．
（1）如圖，先在數軸上畫出表示點2.5的相反數的點B，再把點A向左移動1.5個單位，得到點C，則點B和點C表示的數分別為 　 　和 　 ，B，C兩點間的距離是 　 　；
（2）數軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離表示為 　 　；如果|AB|＝3，那么x為 　 ；
（3）若點A表示的整數為x，則當x為 　 　時，|x+4|與|x﹣2|的值相等；
（4）要使代數式|x+5|+|x﹣2|取最小值時，相應的x的取值范圍是 　 　．
3 .結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)探究：
①數軸上表示7和3的兩點之間的距離是 ；
②數軸上表示和的兩點之間的距離是 ；
③數軸上表示和5的兩點之間的距離是 ．
(2)歸納：一般的，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于 ．
(3)應用：
①如果表示數a和3的兩點之間的距離是6，則可記為：，那么a＝ ．

②若數軸上表示數a的點位于與2之間，求的值．
③當a何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．

類型七、絕對值方程
【例7-1】如圖，點、在數軸上分別表示有理數、，、兩點之間的距離表示為，在數軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：
(1)數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_____，表示和3的兩點之間的距離是______．
(2)設點在數軸上對應的數為，若，則______．
(3)當整數______時，代數式有最小值為______．
【例7-2】解下列絕對值方程：
(1) (2)
針對練習7
1．適合的整數的值有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．已知，則x的值是〔 〕
A． B．5 C．或5 D．以上答案都不對
3 .我們知道，可以理解為，它表示：數軸上表示數a的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數軸上的兩個點A，B，分別用數a，b表示，那么A，B兩點之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數軸上表示數a的點和表示數b的點之間的距離．利用此結論，回答以下問題：
(1)數軸上點A用數a表示，若，那么a的值為______．
(2)數軸上點A用數a表示，
①若，那么a的值是______；
②當時，數a的取值范圍是______，這樣的整數a有______個；
③有最小值，最小值是______．
4 .閱讀下列材料，完成后面任務：
我們知道的幾何意義是數軸上數的對應點與原點之間的距離，即，也可以說，表示數軸上數與數0對應點之間的距離．這個結論可以推廣為表示數軸上數與數對應點之間的距離．例1：已知，求的值．解：在數軸上與原點距離為2的點表示的數為和2，所以的值為或2．例2：已知，求的值．解：在數軸上與1對應的點的距離為2的點表示的數為3和，所以的值為3或．
任務：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．
(1)．
(2)．
類型八、利用絕對值解決實際問題
【例8-1】某出租車駕駛員從公司出發，在南北向的人民路上連續接送5批客人，行駛路程記錄如下（規定向南為正，向北為負，單位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km
（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？
（2）若該出租車每千米耗油0.2升，那么在這過程中共耗油多少升？
（3）若該出租車的計價標準為：行駛路程不超過3km收費10元，超過3km的部分按每千米加1.8元收費，在這過程中該駕駛員共收到車費多少元？
【例8-2】王先生到市行政中心大樓辦事，假定乘電梯向上一樓記作+1，向下一樓記作﹣1，王先生從1樓出發，電梯上下樓層依次記錄如下（單位：層）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．
（1）請你通過計算說明王先生最后是否回到出發點1樓．
（2）該中心大樓每層高3m，電梯每向上或下1m需要耗電0.2度，根據王先生現在所處位置，請你算算，他辦事時電梯需要耗電多少度？
針對練習8
1 .小蟲從某點A出發在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數，向左爬行的路程記為負數，爬行的各段路程依次為：（單位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小蟲最后是否回到出發點A？
（2）小蟲離開原點最遠是多少厘米？
（3）在爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？
2 .時風工廠生產一批零件，根據零件質量要求，零件的長度可以有的誤差，現抽查5個零件，檢查數據記錄如下表（超過規定長度的厘米數記為正數，不足規定長度的厘米數記為負數，單位：）：
零件號數 1 2 3 4 5
數據
(1)這5個零件中，符合要求的零件是哪幾個？
(2)這5個零件中，質量最好的是第幾個？用學過的絕對值的知識來說明為什么質量最好？
3．河北某交警每天都開車在南北走向的鼓樓大街上巡邏，假定從出發點開始，向南為正，向北為負，他這天下午巡邏記錄里程如下（單位：）：
，，，，，，．
(1)這位交警在第幾個路段行車里程最遠？為多少千米？
(2)若汽車耗油量為，這天下午汽車共耗油多少升？
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二 絕對值問題分類探究
一、絕對值的定義：一般地，數軸上表示a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|。
1.1 如果a>0時|a|=a;如果a<0時|a|=-a；如果a=0時|a|=0
1.2 絕對值相等的兩個數，本身可以相等，也可以是相反數；即|a|=|b|，則得a=b或a=-b，特別注意a=b=0的情況。也要注意反推的情況，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。
二、絕對值的非負性：
2.1 任何絕對值的考察，一定考慮0的特殊性，即a=0的情況
2.2 若|a|+|b|=0，則a=0且b=0；若|a|+b=0，則a=0且b=0；（其中a、b可以是單獨的字母，也可以是表達式）
三、幾何意義：|a|表示一個數a在數軸上對應的點與原點之間的距離
3.1:式子|x-y|表示的幾何意義：表示數軸上的數x到數y的距離
3.2:式子|x+y|表示的意義：因為|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示數軸上的數x到數-y的距離。
利用絕對值比較大小：正數大于0和負數，0大于負數，兩個負數比較絕對值大的反而小。
類型一、利用絕對值比較大小
【例1-1】探索研究：
(1)比較下列各式的大小(用“>”“<”或“=”連接).
①__________；
②_________；
③_________.
(2)通過以上比較，請你分析、歸納出當a，b為有理數時，與的大小關系(直接寫出結論即可).
(3)根據(2)中得出的結論，當時，x的取值范圍是_________.
答案：(1)①>；②=；③=
(2)
(3)
解析：(1)①因為，，
所以.故答案為>.
②因為，，
所以.
故答案為=.
③因為，，
所以.故答案為=.
(2).
當a，b異號時，，當a，b同號時，.
當a，b中有一個為0時，，所以.
(3)因為，
由(2)中得出的結論可知，x與-2015同號或，
所以當時，x的取值范圍是.
故答案為.
【例1-2】回答下列問題：
（1）比較下列各式的大小.（用“<”“>”或“=”連接）
①____________，
②_________，
③__________.
（2）通過以上的特殊例子，請你分析、補充、歸納，當a、b為有理數時，與的大小關系.
（3）根據上述結論，求當時x的取值范圍.
答案：解：（1）①，，故；
②，，故；
③，，故.
（2）當a，b異號時，，
當a，b同號時，，
當或時，，
所以對于有理數a，b，.
（3）因為，
所以.
由（2）可知x與-2017同號或，
所以.
針對練習1
1、利用絕對值比較下列各組數的大小.
（1）和；
（2）和.
答案：（1）
（2）
解析：（1），，
又，
；
（2），，
又，
.
2、已知為有理數，且，比較的大小.
答案：解：根據題意，將有理數表示在數軸上，如圖所示，
由圖可知，.
類型二、利用絕對值的性質求值
【例2-1】當|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，則a﹣b的值為（　　）
A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2
解：∵|a|＝5，|b|＝7，
∴a＝±5，b＝±7
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
∴a＝±5．b＝7，
當a＝5，b＝7時，a﹣b＝﹣2；
當a＝﹣5，b＝7時，a﹣b＝﹣12；
故a﹣b的值為﹣2或﹣12．
答案：B．
【例2-2】已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值．
解：∵|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，
∴a＝﹣8或10，b＝﹣8或4，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣8，b＝﹣8或4，
當a＝﹣8，b＝﹣8時，a﹣b＝﹣8﹣（﹣8）＝0，
當a＝﹣8，b＝4時，a﹣b＝﹣8﹣4＝﹣12．
綜上所述，a﹣b的值為0或﹣12．
針對練習2
1 .若|x|＝1，則x＝________．
【答案】±1
【分析】根據絕對值的性質可得x=±1．
【解析】解：∵|x|=1，
∴x=±1，
故答案為：±1．
【點睛】此題主要考查了絕對值，關鍵是掌握絕對值等于一個正數的數有兩個，它們互為相反數．
2 .如果若|x－2|＝1，則x＝________．
【答案】3或1
【分析】根據絕對值的性質可得x-2=±1，再求出x即可．
【解析】解：∵|x-2|=1，
∴x-2=±1，
則x-2=1或x-2=-1，
解得：x=3或1，
故答案為：3或1．
【點睛】此題主要考查了絕對值，關鍵是掌握絕對值等于一個正數的數有兩個，它們互為相反數．
3 .若，則a是（ ）
A．正數或0 B．0 C．負數或0 D．正數
【答案】C
【分析】本題考查了絕對值的意義，理解絕對值的意義是解題的關鍵．
根據絕對值的意義，一個數的絕對值等于它的相反數，則這個數是負數或者0．
【詳解】，
是負數或者0，
故選：C．
4．若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了絕對值；根據絕對值的意義，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
∴，
故答案為：．
類型三、化簡含絕對值的式子
【例3-1】有理數a、b、c在數軸上的位置如圖：
（1）判斷正負，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0．
（2）化簡：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
解：（1）由圖可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
答案：＜，＜，＞；
（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【例3-2】如圖，已知a、b、c在數軸上的位置．
（1）a+b　 　0，abc 　 　0，　 　0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互為相反數，求＝　 　．
（3）化簡：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．
【分析】（1）根據、、在數軸上的位置即可求解；
（2）根據相反數的定義即可求解；
（3）結合數軸，根據絕對值性質去絕對值符號，再合并即可求解．
【詳解】解：由數軸可知，，，則
（1），，．
故答案為：，，；
（2）、互為相反數，
．
故答案為：；
（3）．
【點睛】本題主要考查數軸、絕對值的性質、整式的加減，解題的關鍵是根據數軸和題目條件判斷出、、的大小關系．
【例3-3】已知a、b、c在數軸上對應的點如圖所示，
(1)化簡：；
(2)若與互為相反數，且，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通過數軸判斷a、b、c的相對大小，從而確定絕對值里代數式的值的符號，再去掉絕對值，最后實現化簡；
（2）兩個非負數互為相反數，只能各自為零．求出a、b、c的值再計算代數式的值．
【詳解】（1）由圖可得且
∴，，，
∴
∴
（2）∵與互為相反數
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴原式
【點睛】此題考查數軸，絕對值的性質，解題關鍵在于利用數軸比較各數的大小，再進行計算．
針對練習3
1 .若有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，則|a﹣c|﹣|b+c|可化簡為　 　．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴|a﹣c|=c﹣a，|b+c|=b+c，
∴原式=c﹣a﹣b﹣c=﹣a﹣b．
2 .若數軸上的點A、B、C分別表示有理數a，b，c，O為原點，如圖所示．
(1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0；
(2)化簡．
【答案】(1)＜，＜，＞
(2)0
【分析】（1）根據數軸上點的位置得出，再根據有理數的加減法法則判斷即可；
（2）利用絕對值的意義化簡即可．
【詳解】（1）解：由圖可得：，且，
∴， ， ；
（2）解：，，，
．
【點睛】此題主要考查了利用數軸比較有理數的大小，有理加減法，絕對值化簡，關鍵是利用數軸得出，且．
3 .有理數、、在數軸上的位置如圖所示，且，化簡 ．

【答案】0
【分析】先由數軸得出a，b，c的大小，再按照絕對值的化簡法則化簡即可；
【詳解】∵由數軸可得：，且

當 時
原式
故答案為0
【點睛】本題考查了數軸上的數的絕對值化簡問題，屬于基礎知識的考查，比較簡單．
類型四、絕對值的非負性的應用
【例4-1】若|a﹣1|+(b-3)2＝0，則b﹣a﹣的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【思路導析】由絕對值得非負性可得：|a﹣1|=0且|b﹣3|＝0進而算出式子的值即可
【詳解】解：根據題意，得
a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∴b﹣a﹣＝3﹣1﹣＝1，
∴b﹣a﹣的值是1．
故選：D．
【例4-2】，則的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根據絕對值非負性的性質求得的值，然后代入代數式計算即可．
【詳解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了絕對值非負性的性質、代數式求值等知識點，熟練掌握絕對值非負性的性質是解題的關鍵．
針對練習4
1 .若，則（　　）
A． B． C．5 D．3
【答案】B
【分析】根據可知，可得，從而可得答案．
【詳解】解：由得：
得：
故選：B
【點睛】此題考查絕對值的性質和偶次方非負數的性質，兩個非負數的和為零，則這兩非負數均等于零是解題關鍵．
2 .如果，那么a，b的值為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據非負數的性質列方程求出a、b的值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
解得，，
故選：C．
【點睛】本題考查了非負數的性質．解題的關鍵是掌握非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．
3 .已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，則ab＝ ．
【答案】2或4．
【詳解】解：根據平方數是非負數，絕對值是非負數的性質可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣2，∴當a=－1，b=－2時，ab=2；
當a=－1，b=－4時，ab=4．
故答案為2或4．
點睛：本題主要考查了絕對值是非負數，偶次方是非負數的性質，根據題意列出等式是解題的關鍵．
類型五、分類討論化簡含絕對值的式子
【例5-1】若，則_______．
【答案】
【思路導析】
討論a和b的符號，逐一求解即可．
【詳解】
解：∵，
∴，或，，
若，，則；
若，，則；
綜上所述，的值為，
故答案為：．
【考察要點】
本題考查絕對值的性質，分情況討論是解題的關鍵．
【例5-2】已知、、均為不等式0的有理數，則的值為 ．
【答案】3，-3，1， 1．
【分析】根據絕對值的性質，將絕對值符號去掉，然后計算．由于不知道a、b、c的符號，故需分類討論．
【詳解】解：(1)當a>0，b>0，c>0時，=1+1+1=3；
(2)當a<0，b<0，c<0時，== 1 1 1= 3；
(3)當a>0，b>0，c<0時，==1+1 1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0時原式的值均為1．
(4)當a<0，b<0，c>0時，== 1 1+1= 1；
同理，當a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0時原式的值均為 1．
故答案為：3，-3，1， 1．
【點睛】本題考查了絕對值規律的性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0，解答時要注意分類討論．
針對練習5
1 .若，則 ．
【答案】
【分析】討論a和b的符號，逐一求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，或，，
若，，則；
若，，則；
綜上所述，的值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查絕對值的性質，分情況討論是解題的關鍵．
2 .（1）若，　　；若，　　；
（2）若，則＝　 　；
（3）若，則　 　．
【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．
【分析】（1）根據的取值，去絕對值符號，然后化簡即可；
（2）由（1）可知，結合可知即，化簡即可；
（3）結合可知a、b、c中有一個負數、兩個正數或三個負數兩種情況，分情況結合（1），化簡即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案為：1，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：1；
（3）∵，
∴a、b、c中有一個負數、兩個正數或三個負數兩種情況，
當a、b、c中有一個負數、兩個正數時，
，
當a、b、c中有三個負數時，
，
故答案為：1或．
【點睛】本題考查了絕對值的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的性質．
3 .當a≠0時，請解答下列問題：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
【解答】解：（1）當a＞0時，=1；
當a＜0時，=﹣1；
（2）∵，
∴a，b異號，
當a＞0，b＜0時，=﹣1；
當a＜0，b＞0時，=﹣1；
類型六、利用絕對值的幾何意義化簡絕對值
【例6-1】結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數軸上表示3和2的兩點之間的距離是_____；表示和1兩點之間的距離是_____；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且數a、b在數軸上表示的數分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是______，最小距離是_____．
(4)若數軸上表示數a的點位于與之間，則_____．
(5)當_____時，的值最小，最小值是_____．
【答案】(1)；
(2)或
(3)；
(4)
(5)，
【分析】（1）根據數軸，觀察兩點之間的距離即可解決；
（2）根據數軸上兩點間的距離，分兩種情況即可解答；
（3）根據數軸上兩點間的距離分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；
（4）根據表示數a的點到與5兩點的距離的和即可求解；
（5）分類討論，即可解答．
【詳解】（1）解：由數軸得
數軸上表示和的兩點之間的距離是：；
表示和兩點之間的距離是：；
故答案：；．
（2）解：由得，
，
所以表示與距離為，
因為與距離為的是或，
所以或．
故答案：或．
（3）解：由，得，
，，
所以表示與的距離為，與的距離為，，
所以或，或，
當，時，則A、B兩點間的最大距離是，
當，時，則A、B兩點間的最小距離是，
故答案：，．
（4）解：
所以表示與的距離加上與的距離的和，
因為表示數a的點位于與之間，
所以，
故答案：．
（5）解：
，
所以表示與、、的距離之和，
①如圖，當表示的點在的右側時，即，

由數軸得：
，
所以，
所以；
②如圖，當表示的點在和的之間時，即，

由數軸得：
因為，
所以，
所以；
③如圖，當表示的點在和的之間時，即，

由數軸得：
因為，
所以，
所以；
④當表示的點在或或的點上時，
即或或，
如圖，當時，

；
如圖，當時，

；
如圖，當時，

；
因為，
所以當表示的點在或或的點上時，僅當時，的最小值為；
綜上所述：當，的最小值為．
故答案： ，．
【點睛】本題主要考查了絕對值的應用，數軸上用絕對值表示兩點之間的距離，理解絕對值表示距離的意義，掌握距離的求法是解題的關鍵．
【例6-2】同學們都知道，|5-（-2）|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．試探索
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）同樣道理|x+1008|=|x-1005|表示數軸上有理數x所對點到-1008和1005所對的兩點距離相等，則x=________；
（3）類似的|x+5|+|x-2|表示數軸上有理數x所對點到-5和2所對的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數x，使得|x+5|+|x-2|=7，這樣的整數是__________．
（4）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．
【答案】（1）7；（2）；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值為3．
【詳解】（1）|5-（-2）|==7，故答案為：7
（2）∵|x+1008|=|x-1005|表示數軸上有理數x所對點到-1008和1005所對的兩點距離相等，
∴x所對點為-1008和1005所對點的中點，∴x+1008＞0，x-1005＜0，
∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得：，答案為：
（3）當x+5=0時，x=-5，當x-2=0時，x=2，
當x＜-5時，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范圍內不成立，舍去）
當-5≤x＜2時，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7，
∵x為整數，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1
當x≥2時，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2，
綜上所述：符合條件的整數為-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，
故答案為：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2
（4）∵|x-3|+|x-6|表示數軸上有理數x所對點到3和6所對的兩點距離之和，
∴由（2）得3≤x≤6時|x-3|+|x-6|的值最小，
∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值為3
針對練習6
1 .結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
（1）數軸上表示4和1的兩點之間的距離是　 　；表示﹣3和2兩點之間的距離是　 　；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．如果表示數a和﹣1的兩點之間的距離是3，那么a＝　 　．
（2）若數軸上表示數a的點位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|的值為　 　；
（3）利用數軸找出所有符合條件的整數點x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，這些點表示的數的和是　 　．
（4）當a＝　 　時，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示數a的點位于﹣4與2之間，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整數點有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故這些點表示的數的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
答案：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
2 .先閱讀，后探究相關的問題
【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2的差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．
（1）如圖，先在數軸上畫出表示點2.5的相反數的點B，再把點A向左移動1.5個單位，得到點C，則點B和點C表示的數分別為 　 　和 　 ，B，C兩點間的距離是 　 　；
（2）數軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離表示為 　 　；如果|AB|＝3，那么x為 　 ；
（3）若點A表示的整數為x，則當x為 　 　時，|x+4|與|x﹣2|的值相等；
（4）要使代數式|x+5|+|x﹣2|取最小值時，相應的x的取值范圍是 　 　．
解：（1）如圖，點B為所求點．B點表示的數﹣2.5，C點表示的數1，BC的長度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
（2）數軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離表示為|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x為﹣4，2；
（3）若點A表示的整數為x，則當x為﹣1，時，|x+4|與|x﹣2|的值相等；
（4）要使代數式|x+5|+|x﹣2|取最小值時，相應的x的取值范圍是﹣5≤x≤2，
答案：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
3.結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)探究：
①數軸上表示7和3的兩點之間的距離是 ；
②數軸上表示和的兩點之間的距離是 ；
③數軸上表示和5的兩點之間的距離是 ．
(2)歸納：一般的，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于 ．
(3)應用：
①如果表示數a和3的兩點之間的距離是6，則可記為：，那么a＝ ．

②若數軸上表示數a的點位于與2之間，求的值．
③當a何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)①或；②7；③當時，的值最小，最小值是7
【分析】（1）根據兩點之間的距離較大的數較小的數可得結論；
（2）因為不確定和的大小關系，所以數軸上表示數和數的兩點之間的距離等于；
（3）①根據絕對值的意義可得：，解方程即可；②根據a的范圍，化簡絕對值，再合并即可；③分析得出表示一點到，1，2三點的距離的和，據此可解．
【詳解】（1）解：①數軸上表示7和3的兩點之間的距離是；
②數軸上表示和的兩點之間的距離是；
③數軸上表示和5的兩點之間的距離是；
（2）一般的，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于；
（3）①，
∴或，
解得：或；
②∵數軸上表示數a的點位于與2之間，
∴，
∴；
③表示一點到，1，2三點的距離的和，
∴當時，該式的值最小，最小值為．
∴當時，的值最小，最小值是7．
【點睛】本題考查了數軸在兩點間的距離及絕對值化簡中的應用，明確數軸上兩點間的距離及絕對值之間的關系，是解題的關鍵．
類型七、絕對值方程
【例7-1】如圖，點、在數軸上分別表示有理數、，、兩點之間的距離表示為，在數軸上、兩點之間的距離．回答下列問題：
(1)數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_____，表示和3的兩點之間的距離是______．
(2)設點在數軸上對應的數為，若，則______．
(3)當整數______時，代數式有最小值為______．
【答案】(1)3，4
(2)8或
(3)，，，0，1；4．
【分析】本題考查兩點間的距離公式，絕對值方程．
（1）根據兩點間的距離公式，進行求解即可；
（2）根據兩點間的距離公式，化簡絕對值，進行求解即可；
（3）根據表示的意義，得到當在到1之間時，有最小值，進行求解即可．
掌握兩點之間的距離的公式，是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：，；
故答案為：3，4；
（2）∵，
∴或，
∴或；
故答案為：8或
（3）表示數軸上表示的點到表示的點的距離與表示的點到表示的點的距離之和，
∴當時，有最小值為，
∵為整數，
∴，，，0，1．
故答案為：，，，0，1；4．
【例7-2】解下列絕對值方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據絕對值的性質求解即可；
（2）根據絕對值的性質求解即可．
【詳解】（1）解：，
；
（2）解：
，
或，
解得：或．
【點睛】本題考查解絕對值方程，掌握絕對值的性質是解題的關鍵．
針對練習7
1．適合的整數的值有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題考查解絕對值方程，可理解為到和5的距離的和，由此可得出的值，進而可得出答案．
【詳解】解：，
該方程表示到和5的距離的和為12，
，
，
整數的值有，，0，1，共4個，
故選C．
2．已知，則x的值是〔 〕
A． B．5 C．或5 D．以上答案都不對
【答案】C
【分析】本題考查了解絕對值方程，根據絕對值的意義作答即可．
【詳解】，
，
，
∴或者，
故選：C．
3 .我們知道，可以理解為，它表示：數軸上表示數a的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數軸上的兩個點A，B，分別用數a，b表示，那么A，B兩點之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數軸上表示數a的點和表示數b的點之間的距離．利用此結論，回答以下問題：
(1)數軸上點A用數a表示，若，那么a的值為______．
(2)數軸上點A用數a表示，
①若，那么a的值是______；
②當時，數a的取值范圍是______，這樣的整數a有______個；
③有最小值，最小值是______．
【答案】(1)
(2)①或8；②，6；③
【分析】（1）根據絕對值的意義可得；
（2）①利用絕對值定義知或，分別求解可得；②根據絕對值的幾何意義可知時，，再由是整數，求出符合條件的的值即可；③根據題意分類討論后可知當時，的最小值是2026．
本題考查絕對值的意義，數軸上兩點之間的距離；熟練掌握絕對值的意義和性質，逐步探索變化規律是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：若，那么的值為5或，
故答案為：；
（2）①數軸上點用數表示，若，則或，
或，
故答案為：或8；
②表示數軸上表示的點與、3的點的距離之和，
時，，
是整數，
的值有，，0，1，2，3，共6個，
故答案為：，6；
③表示數軸上表示的點與表示、3的點的距離之和，
當時，，
當時，，
當時，，
故當時，有最小值，最小值是，
故答案為：．
4 .閱讀下列材料，完成后面任務：
我們知道的幾何意義是數軸上數的對應點與原點之間的距離，即，也可以說，表示數軸上數與數0對應點之間的距離．這個結論可以推廣為表示數軸上數與數對應點之間的距離．例1：已知，求的值．解：在數軸上與原點距離為2的點表示的數為和2，所以的值為或2．例2：已知，求的值．解：在數軸上與1對應的點的距離為2的點表示的數為3和，所以的值為3或．
任務：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)或8
(2)8或
【分析】本題主要考查的是數軸上兩點之間的距離，及利用兩點之間的距離解絕對值方程；
（1）根據可表示數軸上表示x的點到原點的距離，據此求解可得；
（2）可表示數軸上x表示的點與2對應的點的距離，據此求解可得．
理解數軸上兩點之間的距離的表示是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵在數軸上與原點距離為8的點表示的數為和8，
∴x的值為或8．
（2）解：在數軸上與2對應的點的距離為6的點表示的數為8和，
∴x的值為8或．
類型八、利用絕對值解決實際問題
【例8-1】某出租車駕駛員從公司出發，在南北向的人民路上連續接送5批客人，行駛路程記錄如下（規定向南為正，向北為負，單位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km
（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？
（2）若該出租車每千米耗油0.2升，那么在這過程中共耗油多少升？
（3）若該出租車的計價標準為：行駛路程不超過3km收費10元，超過3km的部分按每千米加1.8元收費，在這過程中該駕駛員共收到車費多少元？
解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+10＝10（km）
答：接送完第五批客人后，該駕駛員在公司的南邊10千米處．
（2）（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10）×0.2＝24×0.2＝4.8（升）
答：在這個過程中共耗油4.8升．
（3）[10+（5﹣3）×1.8]+10+[10+（4﹣3）×1.8]+10+[10+（10﹣3）×1.8]＝68（元）
答：在這個過程中該駕駛員共收到車費68元．
【例8-2】王先生到市行政中心大樓辦事，假定乘電梯向上一樓記作+1，向下一樓記作﹣1，王先生從1樓出發，電梯上下樓層依次記錄如下（單位：層）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．
（1）請你通過計算說明王先生最后是否回到出發點1樓．
（2）該中心大樓每層高3m，電梯每向上或下1m需要耗電0.2度，根據王先生現在所處位置，請你算算，他辦事時電梯需要耗電多少度？
解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10）
＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10
＝28﹣28
＝0，
∴王先生最后能回到出發點1樓；
（2）王先生走過的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|）
＝3×（6+3+10+8+12+7+10）
＝3×56
＝168（m），
∴他辦事時電梯需要耗電168×0.2＝33.6（度）．
針對練習8
1 .小蟲從某點A出發在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數，向左爬行的路程記為負數，爬行的各段路程依次為：（單位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小蟲最后是否回到出發點A？
（2）小蟲離開原點最遠是多少厘米？
（3）在爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵一粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝麻？
解：（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣27
＝0，
所以小蟲最后回到出發點A；
（2）第一次爬行距離原點是5cm，第二次爬行距離原點是5﹣3＝2（cm），
第三次爬行距離原點是2+10＝12（cm），第四次爬行距離原點是12﹣8＝4（cm），
第五次爬行距離原點是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距離原點是﹣2+12＝10（cm），
第七次爬行距離原點是10﹣10＝0（cm），
從上面可以看出小蟲離開原點最遠是12cm；
（3）小蟲爬行的總路程為：
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（cm）．
54×1＝54（粒）
所以小蟲一共得到54粒芝麻
2 .時風工廠生產一批零件，根據零件質量要求，零件的長度可以有的誤差，現抽查5個零件，檢查數據記錄如下表（超過規定長度的厘米數記為正數，不足規定長度的厘米數記為負數，單位：）：
零件號數 1 2 3 4 5
數據
(1)這5個零件中，符合要求的零件是哪幾個？
(2)這5個零件中，質量最好的是第幾個？用學過的絕對值的知識來說明為什么質量最好？
【答案】(1)1，3，4，5符合要求
(2)第3個，說明見解析
【分析】（1）根據絕對值的意義，找到絕對值小于零件即為所求答案；
（2）根據絕對值的意義，找到絕對值最小的零件即可.
【詳解】（1）解：零件的長度可以有的誤差，
，，，
，，
1，3，4，5符合要求；
（2）解：的絕對值最小，
第3個零件質量最好．
【點睛】此題考查了正數和負數的概念以及絕對值的意義，絕對值越小表示數據越接近標準數據，絕對值越大表示數據越偏離標準數據，絕對值也能反映一組數據的離散程度；我們必須熟記并能靈活應用這些基本性質.
3．河北某交警每天都開車在南北走向的鼓樓大街上巡邏，假定從出發點開始，向南為正，向北為負，他這天下午巡邏記錄里程如下（單位：）：
，，，，，，．
(1)這位交警在第幾個路段行車里程最遠？為多少千米？
(2)若汽車耗油量為，這天下午汽車共耗油多少升？
【答案】(1)最后一個路段，
(2)升
【分析】（1）先利用絕對值求出每段路的行車里程，再比較大小，即可求解；
（2）計算出每段路的行車里程和每千米的耗油量，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，，，，，，，
，
最后一個路段行車里程最遠為．
（2）解：由題意得
（）；
答：這天下午汽車共耗油升.
【點睛】本題考查了絕對值的實際應用，理解絕對值的定義是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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