資源簡介

第十八章 習題訓練 《四邊形中的最短路徑問題》
教學目標 1.知識與技能：會利用軸對稱知識解決四邊形中的最短路徑問題；2.過程與方法：掌握解決四邊形中的最短路徑問題的一般方法和思想；3.情感態度與價值觀：在解決問題的過程中領會“轉化、方程、函數”等數學思想。
教學重點 利用軸對稱知識、“轉化、方程、函數”等數學思想解決四邊形中的最短路徑問題。
教學難點 利用軸對稱和平移相結合，解決四邊形中的最短路徑問題。
學情分析 八年級學生已經學習了《平行四邊形》和《一次函數》這兩章的知識，已經具備了一定的數學知識基礎，掌握了一定的數學解題方法，對數學探究學習過程很熟悉，能在教師的指導下較容易的通過小組合作探究解決數學問題，并獲得知識。初中學生具有強烈的好奇心、求知欲和表現欲、喜歡動手動腦，他們的思維方式主要是形象思維，但已經具備了初步的邏輯思維能力和分析問題能力。學生合作探究學習及小組代表展示，結合多媒體，完全能夠使學生達到既定教學目標的要求。
教 具 三角尺、多媒體課件
教學方法 1.問題教學； 2.啟發教學
學習方法 1.自主學習； 2.小組合作探究學習。
教學流程 教師活動 預設學生活動 設計意圖
知識鏈接 利用《古從軍行》這首古詩帶領學生回憶《軸對稱》一章中學習的將軍“飲馬問題”，帶領學生把實際問題轉化成數學問題：1．基本圖形：（1）如圖1，已知直線l及其兩側A、B兩點，在直線l上求作一點P，使PA+PB和最小。 圖1 （2）如圖2，已知點A,B在直線l的同一側，在直線l上求作一點P，使得PA+PB最小。結論：AP+PB= .理論依據： 2.教師利用多媒體課件出示本節課的學習目標 1.學生作圖并回答問題（1）連接AB交直線l于點P,點P即為將軍飲馬的位置。將軍每天所走的最短路徑是線段AB。（2）作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP、PB，點P即為將軍飲馬的位置。將軍每天所走的最短路徑是線段AP和線段PB。結論：AP+PB= A′B .理論依據：兩點之間，線段最短。2.學生齊讀學習目標 通過“將軍飲馬”的故事，讓學生回憶最短路徑中兩點一線的基本模型，引導學生理解其數學本質。明確本節課的學習目標，讓學生帶著目標學習。
問題學習 1.教師出示問題數學問題已知: 正方形OABC中, D為OC的中點，E是對角線OB上的一個動點.問題解決：1.若EC+ED的值最小，在圖中畫出點E的位置；2.若正方形OABC的邊長為2，則EC+ED的最小值是 ；3.若 EC+ED的最小值是，求正方形的邊長是多少？2.教師板書問題3的解題過程。3.歸納總結解決正方形中最短路徑問題的步驟：（1）利用軸對稱畫出最短路徑；（2）化“折”為“直”；（3）計算，求出最小值。 學生回答問題：1.連接AD交OB于點E，點E即為所求。2.線段AD的長即為EC+ED的最小值，利用正方形的性質、勾股定理求出EC+ED的最小值是3.分析問題，利用方程思想解決問題，敘述解題過程。 教師提出問題，引導學生利用“兩點一線”這一基本圖形解決正方形中的最短路徑問題，初步形成解決此類問題的思路。
變式練習 變式（一）：若正方形OABC變為菱形OABC.問題解決：1.AB=2，∠AOC=60°，D是OC的中點，E是對角線OB上的一個動點，則EC+ED的最小值為__________．2. EC+ED的最小值是，則菱形的邊長是 . 各學習小組根據多媒體課件中出示的學習任務和學習要求進行合作探究，小組代表展示學習成果。小組代表1：首先分析問題，在圖中畫出點E的位置，并化“折”為“直”，然后求出最小值。利用方程思想解決問題 通過變式（一）由正方形中的最短路徑演變為菱形中最短路徑的問題，讓學生體會解決此類問題的通用方法。
點撥提升 變式（二）.若正方形OABC變為矩形OABC， OA=3，OC=4，D為邊OC的中點．問題解決：1.若E為OA邊上的一個動點，則EB+ED的最小值為 ；2.若矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、C分別在x軸、 y軸的正半軸上。E為OA邊上的一個動點，當△BDE的周長最小時，求E的坐標。思維延伸3.若E、F為OA邊上的兩個動點，且EF=1，當四邊形BDEF的周長最小時，（1）在圖中畫出點E、F的位置；（2）此時點E的坐標為( ， )，點F的坐標為( ， ). 小組代表2：首先分析問題，在圖中畫出點E的位置，并化“折”為“直”，然后求出最小值。(此時不能應用四邊形自身的對稱性來找對稱點，所以要延長邊，作出對稱點，進而解決問題。)小組代表3：在矩形上添加平面直角坐標系，求三角形周長和最小時點E的坐標，首先要明確三角形什么情況下周長和最小，把這個問題轉化為兩條線段和最小值的問題，把上一個問題的結論直接應用到這個問題中來；利用一次函數相關知識解決平面直角坐標系中的幾何問題，在解決問題的過程中領會函數思想。小組代表4：首先分析問題，把四邊形最小和問題轉化為兩條線段和最小值問題（其中利用了軸對稱知識和平移的知識）；利用上一個問題中的函數思想解決問題。 由正方形中最短路徑問題變式成矩形中的最短路徑問題，同時由原來是對角線上的動點變為矩形一條邊上的動點問題，問題層層推進，考查學生對所構建模型的理解和運用，使學生很好地進行知識的遷移。由兩條線段和最小值問題到三角形周長和最小值問題，再到四邊形周長和最小值問題，最終都能通過轉化，歸結為兩條線段和最小值問題，其中利用了軸對稱的性質和平移的性質，此處是個教學難點，適合利用形象的解釋。通過點撥提升，引導學生理解借助平移方法解決四邊形中的最短路徑問題。培養學生創造性的解決問題的能力。
課堂小結 教師提出小結方向1.解決四邊形中最短路徑問題的步驟；2.解決四邊形中最短路徑問題的知識、方法、思想。 小組歸納整理；小組代表總結發言。 歸納、梳理總結本節課的知識、技能、方法，有利于培養學生數學思想、方法、能力和對數學的積極情感。
當堂檢測 1.正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一動點，DN+MN的最小值為 。2.如圖，在平面直角坐標系中，點A（1,1），點B（2,4），y軸上有一動點P，PA+PB的最小值為 .
板書設計 四邊形中的最短路徑正方形OABC 變式（一）菱形OABC 變式（二）矩形OABC問題3（解題步驟）
教學反思 本節課由四邊形中兩條線段和最小值問題到三角形周長和最小值問題，再到四邊形周長和最小值問題，最終都能通過轉化，歸結為兩條線段和最小值問題，其中利用了軸對稱的性質和平移的性質，一節課下來，學生通過自主學習，小組合作探究學習，收獲較大。變式（二）中的問題3時本節課的教學難點，聰明的學生利用了折紙的方法形象的講解了線段平移的特點，讓原本很難理解的平移變得直觀易懂，突破了教學難點，通過點撥提升，學生更加深入的理解借助平移方法解決四邊形中的最短路徑問題的數學本質。本節課中仍然存在個別問題，需要課下小組內繼續解決，解決不了的問題，教師要指導并最終解決問題。
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