資源簡介

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七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題四 數軸上的動點問題探究
.數軸上動點問題解題策略：
數軸上兩點的距離即為數軸上表示這兩點的數的差的絕對值，也就是用右邊的數減去左邊的數的差。
數軸上表示運動中的數的方法：
點在數軸上運動時由于數軸向右的方向為正方向，所有向右的速度看作正速度，向左的速度看作負速度，這樣在起點的基礎上加上運動的路程就得到了運動后表示的數。即一個數表示a，向左運動b個單位就是a-b,向右運動b個單位就是a+b.簡單說成左減右加。
數軸上對于兩個動點的距離：
數軸上兩個動點P、Q的距離避免分類帶來的復雜性，可以用兩數P、Q差的絕對值表示PQ兩點的距離。
數軸上兩點的中點：
若數軸上A、B兩點表示的數分別為a、b，則AB的中點為.
類型一、數軸上兩點的距離的應用
【例1-1】同學們都知道：表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．請你借助數軸進行以下探索：

(1)數軸上表示5與的兩點之間的距離是______；
(2)數軸上表示x與3的兩點之間的距離可以表示為______；
(3)的最小值是______．
【例1-2】已知：點A，B，C在數軸上的位置如圖所示，請觀察數軸并解答下列問題：
(1)表示有理數的點是______，點B表示的有理數是______；A，C兩點之間的距離為______個單位長度；
(2)在數軸上畫出點，分別表示有理數和；這兩個數之間所有的負整數是______；
(3)將，，，這四個數用“”連接的結果是：______．
針對練習1
1．如圖所示，在一條不完整的數軸上從左到右有點A、B、C，其中點A到點B的距離為4，點B到點C的距離為8，設點A、B、C所對應的數的和是m．
（1）若以B為原點，則 ；
（2）若原點O在圖中數軸上，且點B到原點O的距離為3，則 ．
2．閱讀材料：數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于．例如數軸上表示數2和5的兩點間距離為= ；數軸上表示數3和的兩點距離為= ；則
（1）等式的意義可理解為數軸上表示數 和 這兩點的距離；
（2）等式，這里x的值是 ；
（3）等式，這里x的值是 ；
（4）式子，這個式子的最小值是 ．
3．如圖：
(1)在數軸上標出數、、、所對應的點、、、；
(2)、兩點間距離=______；、兩點間距離=______；、兩點間距離______；
(3)設數軸上兩點、，點對應的數為、點對應的數為，（點在點的左側），那么、兩點之間的距離______；
(4)若動點、分別從點、同時出發，沿數軸負方向運動；已知點的速度是每秒個單位長度，點的速度是每秒個單位長度，則秒后、兩點之間的距離是______．
(5)有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，試簡化：．
類型二、兩點距離用絕對值處理策略
【例2-1】如圖A在數軸上所對應的數為．

A、B兩點之間的距離表示為，在數軸上A、B兩點之，間的距離．利用數形結合的思想回答下列問題：
(1)數軸上表示1和5的兩點之間的距離是　　，數軸上表示3和的兩點之間的距離是　　
(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離表示為　　
(3)B點距A點6個單位長度，求B點所對應的數；
(4)在(3)的條件下，點A以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，同時點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，當點A運動到所在的點處時，點B停止運動，求此時A，B兩點間距離．
【例2-2】知識準備：數軸上A、B兩點對應的數分別為a、b，則A、B兩點之間的距離就是線段的長，且，AB的中點C對應的數為：．問題探究：在數軸上，已知點A所對應的數是，點B對應的數是10．
(1)求線段的長為 ___________；線段的中點對應的數是 ___________．
(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離是 ___________；若該距離是8，則x=___________．
(3)若動點P從點A出發以每秒6個單位長度的速度向右運動，同時動點Q從點B出發以每秒2個單位長度的速度向左運動．經過多少秒，P、Q兩點相距6個單位長度？
針對練習2
1．在數軸上，若點、點表示的數分別是、，則、兩點間的距離可以表示為，例如，在數軸上，表示數和數的兩點間的距離是，表示數和數的兩點間的距離是，利用上述結論，解決問題：
(1)若，則=_____；
(2)若有一個半徑為的圓上有一點，與數軸上表示的點重合，將圓沿數軸無滑動的滾動周，點到達點的位置，則點表示的數為______用含有的代數式表示；
(3)，為數軸上的兩個動點，點表示的數為，點表示的數為，且，點C表示的數為，若點、、、三點中的某一點到另外兩點的距離相等，求、的值．
2．閱讀：如圖，已知數軸上有、、三個點，它們表示的數分別是，，．到的距離可以用表示，計算方法：，或．根據閱讀完成下列問題：

(1)填空： ， ．
(2)若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，試探索：到的距離與到的距離的差（即）的值是否隨著時間的變化而改變？請說明理由．
(3)現有動點、都從點出發，點以每秒個單位長度的速度向右移動，當點移動秒時，點才從點出發，并以每秒個單位長度的速度向右移動．設點移動的時間為秒（），直接寫出、兩點間的距離（用含的代數式表示）．
類型三、來回跑的問題
【例3-1】在數軸上，如果點A表示的數為，點B表示的數為1，一個小球從點A出發，沿著數軸先向左移動7個單位長度，再向右移動4個單位長度，此時小球到達點C處，則點A到點C的距離與點B到點C之間的距離之和為 ．
【例3-2】綜合與探究：
數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，利用數軸可以解決很多問題，班里三個小組分別設計了三個問題，請你與他們共同解決：

(1)勤奮小組：在圖所示的數軸上，把數，，4，，2.5表示出來，并用“<”將它們連接起來．
(2)勵志小組：折疊數軸，使表示1的點與表示3的點重合，在這個操作下回答下列問題：
①表示的點與表示______的點重合；
②若數軸上A，B兩點間的距離為7（A在B的左側），且折疊后A，B兩點重合，則點A表示的數為_____．
(3)攀登小組：假如在原點處放立一擋板（厚度不計），有甲、乙兩個小球（忽略球的大小，可看成一點），小球甲從表示數的點處出發，以1個單位長度/秒的速度沿數軸向右運動，同時小球乙從表示數4的點處出發，以2個單位長度/秒的速度沿數軸向左運動，兩個小球在碰到擋板后即刻按原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為秒．
①當時，求甲、乙兩個小球之間的距離；
②用含t的代數式表示甲、乙兩個小球之間的距離．
針對練習3
1．如果數軸上有一點從原點出發，先向左移動2個單位長度，再向右移動1個單位長度；將這一過程共重復2023次后停下，最后點表示的數是 ．
2 .如圖，在數軸上點表示的數是8，若動點從原點出發，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點從點出發，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后立即以原來的速度返回，向右運動，設運動的時間為秒．
(1)當時，求點到原點的距離；
(2)當時，求點到原點的距離；
(3)當點到點的距離為4時，求點到點的距離．
類型四、運動中的變與不變
【例4-1】點在數軸上所表示的數如圖所示，將點向左平移2個單位長度，得到點的相反數，點是數軸上一動點．
(1)點表示的數是_______；
(2)若點在數軸上移動了個單位長度得到點，且，求的值；
(3)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發生變化？若不發生變化，請你求出線段的長度；若發生變化，請你說明理由．
【例4-2】若點在數軸上對應的數為，點在數軸上對應的數為，我們把、兩點之間的距離表示為，記，且，滿足．
(1) ； ；線段的長 ；
(2)點在數軸上對應的數是，且與互為相反數，在數軸上是否存在點，使得 若存在，求出點對應的數；若不存在，請說明理由；
(3)在（）、（）的條件下，點、、開始在數軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，秒鐘后，若點和點之間的距離表示為，點和點之間的距離表示為，那么的值是否隨著時間的變化而變化 若變化，請說明理由；若不變，請求出的值．
針對練習4
1 .如圖，已知數軸上原點為，點表示的數為是數軸上在左側的一點，且兩點間的距離為．動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．

(1)數軸上點表示的數是 ，點表示的數是 （用含的代數式表示）；
(2)動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，若點同時出發；
當點運動多少秒時，點與點間的距離為個單位長度？
若點間的距離記為，點間的距離記為，是否存在一個數，使得的值與無關？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
2 .如圖，已知數軸上的點表示的數為6，是數軸上一點，且．動點從點出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．
(1)寫出點表示的數__________，點表示的數__________（用含的代數式表示）；
(2)動點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點、同時出發，點運動幾秒時追上點，并求出此時表示的數；
(3)若為的中點，為的中點．點在運動的過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，請求出線段的長．
類型五、中點問題
【例5-1】閱讀以下材料：我們給出如下定義：數軸上給定不重合兩點A，B，若數軸上存在一點M，使得點M到點A的距離等于點M到點B的距離，則稱點M為點A與點B的“雅中點”．解答下列問題：
(1)若點A表示的數為，點B表示的數為1，點M為點A與點B的“雅中點”，則點M表示的數為 ；
(2)若A、B兩點的“雅中點M”表示的數為2，A、B兩點的距離為9（A在B的左側），則點A表示的數為 ，點B表示的數為 ；
(3)點A表示的數為，點O為數軸原點，點C，D表示的數分別是，，且B為線段上一點（點B可與C、D兩點重合）．
①設點M表示的數為，若點M可以為點A與點B的“雅中點”，則m可取得整數有 ；
②若點C和點D向數軸正半軸方向移動相同距離，使得點O可以為點A與點B的“雅中點”，則n的所有整數值為 ．
【例5-2】如圖：在數軸上點表示數，點表示數，點表示數．

(1)若將數軸折疊，使得點與點重合，則點與______表示的點重合；
(2)若點、點和點分別以每秒個單位、個單位長度和個單位長度的速度在數軸上同時向左運動．
若秒鐘過后，三點中恰有一點為另外兩點的中點，求值；
②當點在點右側時，是否存在常數，使的值為定值，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
針對練習5
1 .閱讀下面的材料，回答問題：
材料一：在數軸上，我們把到兩個點距離相等的點，叫做這兩個點的“中點”，例如：
①表示1和5的點到表示3的點距離都為2，所以它們“中點”表示的數是3．
②表示和的點到表示的點距離都為1，所以它們的“中點”表示的數是．

材料二：對數軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數乘以，再把所得的數對應的點向右平移1個單位，得到點P的對應點．
(1)表示和6的點的“中點”表示的數是___________．
(2)若“中點”表示的數是2023，其中一點表示的數是2020，則另一個點表示的數是___________．
(3)點A、B在數軸上，對線段AB上的每個點進行上述“材料二”的操作后得到線段，其中，點A、B的對應點分別是、，線段AB的中點C與線段的中點對應．
①若點A表示的數是2，點B表示的數是6，請求出點表示的數．
②若點表示的數是2，請求出點C表示的數．
2．數軸上有A，，三個不同的點，給出如下定義：若其中一個點到其他兩個點之間的距離相等時，則稱該點是其他兩個點的“中點”，這三個點為“中點關聯點”．例如在圖中的數軸上，點A，，所表示的數分別為1，3，5，此時點是點A，的“中點”．

(1)若點A表示數，點表示數1，當點是點A與點的“中點”時，求點表示的數；
(2)點A表示數，點表示數15，點為數軸上一個動點，若點A，，是“中點關聯點”，求此時點表示的數．
類型六、多狀態分析
【例6-1】在數軸上有，兩點，點表示的數為．對點給出如下定義：當時，將點向右移動3個單位長度，得到點；當時，將點向左移動個單位長度，得到點．稱點為點關于點的“聯動點”．如圖，點表示的數為．

(1)在圖中畫出當時，點關于點的“聯動點”；
(2)點從數軸上表示的位置出發，以每秒1個單位的速度向右運動．點從數軸上表示5的位置同時出發，以相同的速度向左運動，兩個點運動的時間為秒．
①點表示的數為__________（用含的式子表示）；
②是否存在，使得此時點關于點的“聯動點”佮好與原點重合？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【例6-2】【閱讀材料】若數軸上點、點表示的數分別為，（），則、兩點間的距離可表示為，記作．
【解決問題】一個點從數軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點，再向右移動10個單位長度到達點．
(1)請畫出數軸，并在數軸上標出、兩點的位置；
(2)若動點，分別從點，同時出發，沿數軸向左運動．已知點的速度是每秒1個單位長度，點的速度是每秒2個單位長度，設移動時間為秒（）．
①用含的代數式表示：秒時，點表示的數為______，點表示的數為______；
②為何值時，點表示的數與點表示的數互為相反數？
③為何值時，，兩點之間的距離為4？
針對練習6
1 .如圖，1個單位長度表示，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動到達A點，再向左移動到達B點，然后向右移動到達C點．

(1)請你直接寫出A、B、C三點所表示的數，點A表示的數為 ，點B表示的數為 ，點C表示的數為 ；
(2)若動點P、Q分別從B、C兩點同時向左移動，點P、Q的速度分別為每秒和每秒，設移動時間為t秒；
① 當時，求t的值；
② 運動過程中，點M到P、Q兩點的距離始終保持相等，試探究的值是否會隨著t的變化而改變？請說明理由．
2．預備知識：在數學中，把點與點之間的距離用表示
如圖，在數軸上點表示數點表示數點表示數，已知數是最小的正整數，且滿足．

(1) ， ， ；
(2)點開始在數軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，運動秒鐘后，求三點在數軸上所表示的數（用含的式子表示），若在此過程中，的值保持不變，求的值．
(3)在此數軸有上一動點對應的數為，求的最小值．
3．如圖，動點從原點出發向數軸負方向運動，同時，動點也從原點出發向數軸正方向運動，點的運動速度為3個單位長度/秒，運動到3秒時，兩點相距15個單位長度．（速度單位：1個單位長度/秒）

(1)求點運動的速度；
(2)設、兩點運動時間為，當時，求點表示的數和點表示的數并在數軸上表示出來；
(3)若、兩點分別從（2）中標出的位置再次同時開始在數軸運動，運動的速度不變，相向而行，問經過多少秒，、兩點之間相距5個單位長度．
4．如圖，已知數軸上A，B，C三個點表示的數分別是a，b，c，且，若點A沿數軸向右移動12個單位長度后到達點B，且點A，B表示的數互為相反數．

(1)a的值為 ，的值為 ；
(2)動點P，Q分別同時從點A，C出發，點P以每秒1個單位長度的速度向終點C移動，點Q以每秒m個單位長度的速度向終點A移動，點P表示的數為x．
①若點P，Q在點B處相遇，求m的值；
②若點Q的運動速度是點P的2倍，當點P，Q之間的距離為2時，求此時x的值．
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題四 數軸上的動點問題探究
.數軸上動點問題解題策略：
數軸上兩點的距離即為數軸上表示這兩點的數的差的絕對值，也就是用右邊的數減去左邊的數的差。
數軸上表示運動中的數的方法：
點在數軸上運動時由于數軸向右的方向為正方向，所有向右的速度看作正速度，向左的速度看作負速度，這樣在起點的基礎上加上運動的路程就得到了運動后表示的數。即一個數表示a，向左運動b個單位就是a-b,向右運動b個單位就是a+b.簡單說成左減右加。
數軸上對于兩個動點的距離：
數軸上兩個動點P、Q的距離避免分類帶來的復雜性，可以用兩數P、Q差的絕對值表示PQ兩點的距離。
數軸上兩點的中點：
若數軸上A、B兩點表示的數分別為a、b，則AB的中點為.
類型一、數軸上兩點的距離的應用
【例1-1】同學們都知道：表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．請你借助數軸進行以下探索：

(1)數軸上表示5與的兩點之間的距離是______；
(2)數軸上表示x與3的兩點之間的距離可以表示為______；
(3)的最小值是______．
【答案】(1)7
(2)
(3)4
【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離．
（1）根據題意求出表示5與的兩點之間的距離即可；
（2）根據題意列出表示x與3的兩點之間的距離的式子即可；
（3）根據題意可知表示x所對應的點到的距離和到2 的距離之和，結合數軸即可求解，理解數軸上所對應的兩點之間的距離的意義，及的幾何意義是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：根據題意，數軸上表示5與的兩點之間的距離為，
故答案為：7
（2）解：根據題意，數軸上表示x與3的兩點之間的距離可以表示為，
故答案為：
（3）解：表示x所對應的點到的距離和到2 的距離之和，由數軸可知，當時，的值最小為．
故答案為：4
【例1-2】已知：點A，B，C在數軸上的位置如圖所示，請觀察數軸并解答下列問題：
(1)表示有理數的點是______，點B表示的有理數是______；A，C兩點之間的距離為______個單位長度；
(2)在數軸上畫出點，分別表示有理數和；這兩個數之間所有的負整數是______；
(3)將，，，這四個數用“”連接的結果是：______．
【答案】(1)，，；
(2)畫圖見解析；，，
(3)
【分析】本題主要考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，利用數軸比較有理數大小
（1）根據數軸上點的位置和數軸上兩點距離公式求解即可；
（2）根據數軸上表示有理數的方法求解即可；
（3）根據數軸上左邊的數小于右邊的數進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得表示有理數的點是A，點B表示的有理數是3.5；A，C兩點之間的距離為個單位長度，
故答案為：，，；
（2）解：如圖所示，即為所求；
和，這兩個數之間所有的負整數是：，，；
故答案為：，，．
（3）解：由題意得，
故答案為：．
針對練習1
1．如圖所示，在一條不完整的數軸上從左到右有點A、B、C，其中點A到點B的距離為4，點B到點C的距離為8，設點A、B、C所對應的數的和是m．
（1）若以B為原點，則 ；
（2）若原點O在圖中數軸上，且點B到原點O的距離為3，則 ．
【答案】 4 或13
【分析】本題考查了數軸的應用，關鍵是注意分類討論．
（1）為原點，點到點的距離為4，點到點的距離為8，可得、兩點表示的數，可求得；
（2）點到原點的距離為可能為3，可能為，分類討論．
【詳解】（1）由題意得，A點表示的數是，C點表示的數是8，
，
故答案為：4；
（2），
，
①當點B表示的數是時，
點A表示的數為，點C表示的數為5，
，
②當點B表示的數是3時，
點A表示的數為，點C表示的數為11，
，
故答案為：或13．
2．閱讀材料：數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于．例如數軸上表示數2和5的兩點間距離為= ；數軸上表示數3和的兩點距離為= ；則
（1）等式的意義可理解為數軸上表示數 和 這兩點的距離；
（2）等式，這里x的值是 ；
（3）等式，這里x的值是 ；
（4）式子，這個式子的最小值是 ．
【答案】3；4；（1）6；（2）或5；（3）（4）2
【分析】根據數軸上的點的特點即可求解；
（1）根據兩點間的距離公式即可求解；
（2）根據的幾何意義求解可得；
（3）根據的幾何意義求解可得；
（4）由題意知表示數x到1和3的距離之和，當數x在兩數之間時式子取得最小值．
本題考查了數軸的點的距離，讀懂題目信息，理解數軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．
【詳解】∵數軸上表示數2和5的兩點間距離為3，
∴=3；
∵數軸上表示數3和的兩點距離為4，
∴=4；
故答案為：3；4；
（1）∵數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于，
∴等式的意義可理解為數軸上表示數6和這兩點的距離；
故答案為：6；；
（2）∵等式的幾何意義是表示到數2的距離為3的點，
∴x的值為或5，
故答案為：或5；
（3）∵的幾何意義是表示到數4和到數5的距離相等，
∴，
故答案為：；
（4）式子表示數x到1和3的距離之和，故當數x在1和3之間時式子取得最小值，即1和3之間的距離：2，
故答案為：2．
3．如圖：
(1)在數軸上標出數、、、所對應的點、、、；
(2)、兩點間距離=______；、兩點間距離=______；、兩點間距離______；
(3)設數軸上兩點、，點對應的數為、點對應的數為，（點在點的左側），那么、兩點之間的距離______；
(4)若動點、分別從點、同時出發，沿數軸負方向運動；已知點的速度是每秒個單位長度，點的速度是每秒個單位長度，則秒后、兩點之間的距離是______．
(5)有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，試簡化：．
【答案】(1)見解析
(2)；；
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）在數軸上找出、、、即可；
（2）兩點之間的距離等于兩點所表示的數之差的絕對值；
（3）兩點之間的距離等于兩點所表示的數之差的絕對值；
（4）根據題意求出與在秒后所表示的數，即可求出、之間的距離；
（5）根據數軸比較、、、與的大小關系，然后化簡即可．
【詳解】（1）如圖所示：
（2），
，
，
故答案為：，，；
（3）；
（4）由題意可知：秒后，點所走的路程為：，點所走的路程為：，
點、所表示的數分別為：，，
此時；
（5）由數軸可知：，
∴，，，，
∴
原式
．
【點睛】本題主要考查了整式的加減、數軸、絕對值、兩點之間的距離公式．解題的關鍵是理解題意，數形結合．
類型二、兩點距離用絕對值處理策略
【例2-1】如圖A在數軸上所對應的數為．

A、B兩點之間的距離表示為，在數軸上A、B兩點之，間的距離．利用數形結合的思想回答下列問題：
(1)數軸上表示1和5的兩點之間的距離是　　，數軸上表示3和的兩點之間的距離是　　
(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離表示為　　
(3)B點距A點6個單位長度，求B點所對應的數；
(4)在(3)的條件下，點A以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，同時點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，當點A運動到所在的點處時，點B停止運動，求此時A，B兩點間距離．
【答案】(1)4；7
(2)
(3)4，
(4)6或18
【分析】（1）用數軸上右邊的數減去左邊的數即可得到對應兩點的距離；
（2）由于x的位置不確定，所以應取兩數差的絕對值；
（3）根據（2）中方法列方程求解即可；
（4）分兩種情形分別進行求解即可．先確定A用的時間，計算B點到達的位置對應的數，再計算兩點間距離即可．
【詳解】（1），
故答案為：4，7．
（2）
故答案為：．
（3）設B點對應的數為x，則有
∴或．
（4）點A運動到所在的點時，所用的時間為4秒，
當B點原來表示的數為4時，運動4秒后表示的數是，
此時，
當B點原來表示的數為，運動4秒后表示的數是
此時．
【點睛】本題考查了數軸上動點問題，數軸上兩點的距離，有理數的混合運算，解方程，正確理解數軸上的動點問題是解題的關鍵．
【例2-2】知識準備：數軸上A、B兩點對應的數分別為a、b，則A、B兩點之間的距離就是線段的長，且，AB的中點C對應的數為：．問題探究：在數軸上，已知點A所對應的數是，點B對應的數是10．
(1)求線段的長為 ___________；線段的中點對應的數是 ___________．
(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離是 ___________；若該距離是8，則x=___________．
(3)若動點P從點A出發以每秒6個單位長度的速度向右運動，同時動點Q從點B出發以每秒2個單位長度的速度向左運動．經過多少秒，P、Q兩點相距6個單位長度？
【答案】(1)14 3
(2) 3或
(3)1秒或2.5秒
【分析】（1）直接代入題目中的公式即可求解；
（2）代入公式，解絕對值方程求解；
（3）分別用時間t表示P、Q點的數值，繼而表示線段的長，解關于時間t的方程求解．
【詳解】（1），
AB的中點C對應的數為：．
故答案為14，3
（2）
若
則
∴
答案為故 或
（3）設運動時間為t秒，則點P運動后所對應的點為，點Q運動后所對應的點為，
∴之間的距離為，
當P、Q兩點相距6個單位長度時，，解得或，
∴經過1秒或2.5秒時，P、Q兩點相距6個單位長度．
【點睛】本題考查數軸上的動點問題，解題時表示動點的數值是解題的關鍵．
針對練習2
1．在數軸上，若點、點表示的數分別是、，則、兩點間的距離可以表示為，例如，在數軸上，表示數和數的兩點間的距離是，表示數和數的兩點間的距離是，利用上述結論，解決問題：
(1)若，則=_____；
(2)若有一個半徑為的圓上有一點，與數軸上表示的點重合，將圓沿數軸無滑動的滾動周，點到達點的位置，則點表示的數為______用含有的代數式表示；
(3)，為數軸上的兩個動點，點表示的數為，點表示的數為，且，點C表示的數為，若點、、、三點中的某一點到另外兩點的距離相等，求、的值．
【答案】(1)10或-4；
(2)或；
(3)，或，或，．
【分析】（1）根據距離公式進行求解即可；
（2）分向左和向右兩種情況進行討論，根據左減右加進行求解即可；
（3）分、、分別為線段的中點進行分類討論進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴在數軸上，表示數的點與數的點之間的距離為，
或，
解得或．
故答案為：或；
（2）解：∵圓的半徑為，
此圓的周長，
當圓向左滾動時點表示的數是；
當圓向右滾動時點表示的數是．
故答案為：或；
（3）解：∵，
∴在數軸上，點與點之間的距離為，且點在點的右側．
①當點為線段的中點時，
．
點表示的數為，
，．
②當點為線段的中點時，
．
點表示的數為，
，．
③當點為線段的中點時，
．
點表示的數為，
，．
綜上所述，，或，或，．
【點睛】本題考查數軸上兩點間的距離問題．熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關鍵．
2．閱讀：如圖，已知數軸上有、、三個點，它們表示的數分別是，，．到的距離可以用表示，計算方法：，或．根據閱讀完成下列問題：

(1)填空： ， ．
(2)若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，試探索：到的距離與到的距離的差（即）的值是否隨著時間的變化而改變？請說明理由．
(3)現有動點、都從點出發，點以每秒個單位長度的速度向右移動，當點移動秒時，點才從點出發，并以每秒個單位長度的速度向右移動．設點移動的時間為秒（），直接寫出、兩點間的距離（用含的代數式表示）．
【答案】(1)，；
(2)不變，理由見解析；
(3)或或．
【分析】（）根據數軸上兩點間距離公式計算即可；
（）根據題意求出點，，向右移動后表示的數，然后根據數軸上兩點間距離公式出表示，的值，最后再進行計算即可；
（）分三種情況討論，點在點處，點在點的右邊，點在點的右邊；
本題考查了列代數式，數軸，熟練掌握用數軸上兩點間距離表示線段長是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數學思想．
【詳解】（1），，
故答案為：，；
（2）不變，理由：
因為：經過秒后，，，三點所對應的數分別是，，，
所以：，，
∵，
∴，，
∴，，
所以：，
所以的值不會隨著時間的變化而改變；
（3）經過秒后，，兩點所對應的數分別是，，
當點追上點時，，
解得：，
當時，點在還點處，
所以：，
當時，點在點的右邊，
所以：，
當時，點在點的右邊，
所以：，
綜上所述，、兩點間的距離為或或．
類型三、來回跑的問題
【例3-1】在數軸上，如果點A表示的數為，點B表示的數為1，一個小球從點A出發，沿著數軸先向左移動7個單位長度，再向右移動4個單位長度，此時小球到達點C處，則點A到點C的距離與點B到點C之間的距離之和為 ．
【答案】10
【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離、數軸上動點問題，根據數軸上點移動的規律得點C表示的數是，再利用數軸上兩點之間的距離公式即可求解，熟練掌握數軸上兩點之間的距離公式及數軸上點移動的規律是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得，點C表示的數是：，
因為點A表示的數為，點B表示的數為1，
所以點A到點C的距離為：，
點B到點C的距離為：，
所以點A到點C的距離與點B到點C之間的距離之和為：，
故答案為：10．
【例3-2】綜合與探究：
數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，利用數軸可以解決很多問題，班里三個小組分別設計了三個問題，請你與他們共同解決：

(1)勤奮小組：在圖所示的數軸上，把數，，4，，2.5表示出來，并用“<”將它們連接起來．
(2)勵志小組：折疊數軸，使表示1的點與表示3的點重合，在這個操作下回答下列問題：
①表示的點與表示______的點重合；
②若數軸上A，B兩點間的距離為7（A在B的左側），且折疊后A，B兩點重合，則點A表示的數為_____．
(3)攀登小組：假如在原點處放立一擋板（厚度不計），有甲、乙兩個小球（忽略球的大小，可看成一點），小球甲從表示數的點處出發，以1個單位長度/秒的速度沿數軸向右運動，同時小球乙從表示數4的點處出發，以2個單位長度/秒的速度沿數軸向左運動，兩個小球在碰到擋板后即刻按原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為秒．
①當時，求甲、乙兩個小球之間的距離；
②用含t的代數式表示甲、乙兩個小球之間的距離．
【答案】(1)在數軸上把數表示見解析，用“＜”將它們連接起來為
(2)①6；②
(3)①甲、乙兩個小球之間的距離為3；②甲、乙兩個小球之間的距離為
【分析】（1）根據數軸的點的表示解答即可；
（2）①根據題意找出對稱軸即可；②根據題意列出方程即可；
（3）①當時，小球甲在的位置表示的數為，小球乙在的位置表示的數為2，據此回答即可；②設運動的時間為t，根據題意列出代數式即可．
【詳解】（1）如圖所示．

用“＜”將它們連接起來為．
（2）由題意得：折疊點與數軸的交點表示的數為，
，
所以表示的點與表示6的點重合，
故答案為：6，
設點A表示的數為x，則點B表示的數為，
可得，
解得：
故答案為：；
（3）①當時，小球甲在的位置表示的數為，小球乙在的位置表示的數為2，
所以甲、乙兩個小球之間的距離為．
②運動前，甲、乙兩個小球之間的距離為．
當時，甲、乙兩個小球之間的距離為；
當時，甲、乙兩個小球之間的距離為．
所以甲、乙兩個小球之間的距離為．
【點睛】本題考查數軸表示數的意義，一元一次方程的應用，利用數軸比較有理數的大小，明確對折點所表示的數以及數軸上兩點之間距離的計算方法是解決問題的關鍵．
針對練習3
1．如果數軸上有一點從原點出發，先向左移動2個單位長度，再向右移動1個單位長度；將這一過程共重復2023次后停下，最后點表示的數是 ．
【答案】
【分析】本題考查了數軸，解題的關鍵是找出規律：重復一次點M向左移動1個單位長度．
【詳解】解：點M從原點出發，先向左移動2個單位長度，再向右移動1個單位長度，則這樣重復一次點M向左移動1個單位長度，
∴將這一過程共重復2023次后停下，最后點表示的數是：
．
故答案為：．
2 .如圖，在數軸上點表示的數是8，若動點從原點出發，以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點從點出發，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后立即以原來的速度返回，向右運動，設運動的時間為秒．
(1)當時，求點到原點的距離；
(2)當時，求點到原點的距離；
(3)當點到點的距離為4時，求點到點的距離．
【答案】(1)當時，點到原點的距離為6
(2)點到原點的距離為2
(3)點到點的距離為6或10或22
【分析】本題考查了數軸上的動點問題，熟練掌握數軸上兩點之間距離的表示方法是解題的關鍵．
（1）先計算出點Q運動的路程，即可解答；
（2）先計算出點Q的運動路程，即可解答；
（3）①點向左運動4個單位長度，②點向左運動8個單位長度到原點，再向右運動4個單位長度，③點向左運動8個單位長度到原點，再向右運動12個單位長度．
【詳解】（1）解：當時，，
，
當時，點到原點的距離為6．
（2）解：當時，點運動的距離為，
，
∴點到原點的距離為2；
（3）解：點到原點的距離為4時，分三種情況討論：
①點向左運動4個單位長度，此時運動時間：（秒），
點表示的數是，點表示的數是4；
此時點到點之間的距離是6．
②點向左運動8個單位長度到原點，再向右運動4個單位長度，
則點運動的距離為：，運動時間：（秒）
點表示的數是，點表示的數是4；
此時點到點之間的距離是10．
③點向左運動8個單位長度到原點，再向右運動12個單位長度，
則點運動的距離為：，運動時間：（秒）
點表示的數是，點表示的數是12；
此時點到點之間的距離是22．
綜上，點到點的距離為6或10或22．
類型四、運動中的變與不變
【例4-1】點在數軸上所表示的數如圖所示，將點向左平移2個單位長度，得到點的相反數，點是數軸上一動點．
(1)點表示的數是_______；
(2)若點在數軸上移動了個單位長度得到點，且，求的值；
(3)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發生變化？若不發生變化，請你求出線段的長度；若發生變化，請你說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)線段的長度不變，且為3，見解析
【分析】本題考查了數軸上的動點問題，兩點間的距離，數軸上的平移，熟練掌握兩點間的距離是解題的關鍵，
（1）根據點表示的數是4，平移左減2兩個單位得到的數是2，其相反數即為點B表示的數．
（2）根據點表示的數是4，，確定點C表示的數，再計算平移單位數即可．
（3）分，，三種情況計算即可．
【詳解】（1）∵點表示的數是4，
∴平移左減2兩個單位得到的數是2，
其相反數即為點B表示的數．
∴點B表示的是，
故答案為：．
（2）∵點表示的數是4，，
∴，
∴或，
解得或，
∵點B表示的是，
∴向右平移或
故或．
（3）設點P表示的數是，點D表示的數是，點E表示的數是，
∵點B表示的是，點表示的數是4，
當時，，，
∴；
當時，，，
∴；
當時，，，
∴；
故線段的長度不變，且為3．
【例4-2】若點在數軸上對應的數為，點在數軸上對應的數為，我們把、兩點之間的距離表示為，記，且，滿足．
(1) ； ；線段的長 ；
(2)點在數軸上對應的數是，且與互為相反數，在數軸上是否存在點，使得 若存在，求出點對應的數；若不存在，請說明理由；
(3)在（）、（）的條件下，點、、開始在數軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，秒鐘后，若點和點之間的距離表示為，點和點之間的距離表示為，那么的值是否隨著時間的變化而變化 若變化，請說明理由；若不變，請求出的值．
【答案】(1)，，；
(2)或；
(3)的值不隨著時間的變化而變化，值為．
【分析】（）根據絕對值及平方的非負性，求出，的值，從而求出線段的長；
（）設P對應的數為y，再由，可得出點對應的數；
（）根據，，的運動情況即可確定，的變化情況，即可確定的值．
【詳解】（1）∵，
∴， ，
解得：，，
∴線段的長為：，
故答案為：，，；
（2）由（）得：，
∴，
設對應的數為，
由圖知：
在右側時，不可能存在點；
在左側時，，
解得: ，
當在、中間時，，
解得: ，
故點對應的數是或；
（3）的值不隨著時間的變化而變化，理由如下：
秒鐘后，點位置為：，
∴點的位置為: ，點的位置為: ，
∴，
∴，
∴的值不隨著時間的變化而變化，值為．
【點睛】此題考查了非負數的應用，數軸的應用，數軸上的距離，理解數軸上點的距離是解題的關鍵．
針對練習4
1 .如圖，已知數軸上原點為，點表示的數為是數軸上在左側的一點，且兩點間的距離為．動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．

(1)數軸上點表示的數是 ，點表示的數是 （用含的代數式表示）；
(2)動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，若點同時出發；
當點運動多少秒時，點與點間的距離為個單位長度？
若點間的距離記為，點間的距離記為，是否存在一個數，使得的值與無關？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，；
(2)當點運動秒或秒時，點與點間的距離為個單位長度；存在，或．
【分析】（）利用兩點間的距離為即可求出點表示的數，根據動點則可求出表示的數；
（）利用數軸上兩點間的距離即可求解；
利用數軸上兩點間的距離和整式化簡不含則有系數為零即可求解；
此題考查了數軸和絕對值，解題的關鍵是熟練掌握數軸上兩點間的距離和絕對值化簡及其應用．
【詳解】（1）設點表示的數為，
∵是數軸上在左側的一點，且，兩點間的距離為，
∴，解得：，
∴點表示的數是，
∵動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，
∴點表示的數是，
故答案為：，；
（2）同理，點表示的數是，
依題意，得，整理得：，
解得或，
∴當點運動秒或秒時，點與點間的距離為個單位長度；
②存在，理由：
由題意得：點表示的數是：，
∴，，
當時，即，
∴，
若的值與無關，則，解得；
當時，，
若的值與無關，則，解得；
當時，，
若的值與無關，則，解得
∴綜上可知：當或時，的值與無關．
2 .如圖，已知數軸上的點表示的數為6，是數軸上一點，且．動點從點出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．
(1)寫出點表示的數__________，點表示的數__________（用含的代數式表示）；
(2)動點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點、同時出發，點運動幾秒時追上點，并求出此時表示的數；
(3)若為的中點，為的中點．點在運動的過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，請求出線段的長．
【答案】(1)；
(2)
(3)運動時，長度不會發生變化，理由見解析
【分析】（1）根據點A的坐標減去點B的坐標等于的長度，可求得點B的坐標；同理根據點A的坐標減去點P的坐標等于運動距離，可求得點P的坐標．
（2）與（1）類似，先求出點R的坐標為，然后令與點P的坐標相等，可列出等式：，求解t值；然后將t值代入．
（3）分點P運動到AB之間與點P運動點B的左側，兩種情況分別討論．
【詳解】（1）解：∵點A表示的數為6，，，即
∴
∴點B表示的數是：
依題意有：
∴
即點P表示的數是
故答案為：
（2）解：根據題意可得：
解得：
即點運動5秒時追上點R
當時，
點表示的數為
（3）運動時，長度是恒定的
①當在A，之間，（如圖）
則
②當在左側時，（如圖）
∴運動時，長度是恒定的，為定值5
【點睛】本題考查數軸上動點問題，解題的關鍵是結合動點路程問題得到兩點距離或點的坐標，注意分類討論．
類型五、中點問題
【例5-1】閱讀以下材料：我們給出如下定義：數軸上給定不重合兩點A，B，若數軸上存在一點M，使得點M到點A的距離等于點M到點B的距離，則稱點M為點A與點B的“雅中點”．解答下列問題：
(1)若點A表示的數為，點B表示的數為1，點M為點A與點B的“雅中點”，則點M表示的數為 ；
(2)若A、B兩點的“雅中點M”表示的數為2，A、B兩點的距離為9（A在B的左側），則點A表示的數為 ，點B表示的數為 ；
(3)點A表示的數為，點O為數軸原點，點C，D表示的數分別是，，且B為線段上一點（點B可與C、D兩點重合）．
①設點M表示的數為，若點M可以為點A與點B的“雅中點”，則m可取得整數有 ；
②若點C和點D向數軸正半軸方向移動相同距離，使得點O可以為點A與點B的“雅中點”，則n的所有整數值為 ．
【答案】(1)
(2)，
(3)①，②，，
【分析】（1）根據新定義求解；
（2）根據新定義設未知數列方程求解；
（3）①依題意，設B表示的數為，根據新定義得，再結合m為整數，即可作答；
②依題意，得點C和點D分別表示的數為，，根據新定義列不等式組求解，結合n為整數，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，得，
所以則點M表示的數為；
故答案為：；
（2）解：設點A表示的數為，
因為A、B兩點的距離為9（A在B的左側），
所以點B表示的數為，
因為A、B兩點的“雅中點M”表示的數為2，
故，
解得，那么，
所以點A表示的數為，點B表示的數為，
故答案為：；
（3）解：①依題意，設B表示的數為，
因為設點M表示的數為，若點M可以為點A與點B的“雅中點”，
所以，
因為m為整數，
所以為整數，
則或
故整數m的值為：，，
故答案為：；
②因為點C和點D向數軸正半軸方向移動相同距離，
所以點C和點D分別表示的數為，，
∵O可以為點A與點B的“雅中點”，
∴，
故，
因為B為線段上一點（點B可與C、D兩點重合），
所以B表示的數為，
所以，
即，
解得，
因為n為整數，
則，，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了數軸，結合數形結合思想、方程思想和不等式思想都是解題的關鍵．
【例5-2】如圖：在數軸上點表示數，點表示數，點表示數．

(1)若將數軸折疊，使得點與點重合，則點與______表示的點重合；
(2)若點、點和點分別以每秒個單位、個單位長度和個單位長度的速度在數軸上同時向左運動．
若秒鐘過后，三點中恰有一點為另外兩點的中點，求值；
②當點在點右側時，是否存在常數，使的值為定值，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)或或；存在，．
【分析】（）求出的長度和中點，然后求出中點到點的距離即中點到點的重合點的距離，即可求得點的重合點；
（）分別以為中點，列出方程求解即可；使的值為定值，列出等式中的含項合并為，從而求出的值．
【詳解】（1），
，
∴的中點表示的數為：，
∵，
點B的重合點為，
故答案為：；
（2）解：由題意可知，秒時，點所在的數為：，點所在的數為：，點所在的數為：，
（）若為中點，
則 ，
解得；
（）若為中點，
則 ，
解得；
（）若為中點，
則，
解得；
綜上，當或或時，三點中恰有一點為另外兩點的中點；
假設存在．
∵在右側，在右側，
∴，，
∴，
當即時，
，為定值，
故存在常數使的值為定值．
【點睛】此題考查了數軸上兩點間距離，數軸上動點問題，一元一次方程的應用，解題的關鍵是能用兩點間的距離公式列出方程．
針對練習5
1 .閱讀下面的材料，回答問題：
材料一：在數軸上，我們把到兩個點距離相等的點，叫做這兩個點的“中點”，例如：
①表示1和5的點到表示3的點距離都為2，所以它們“中點”表示的數是3．
②表示和的點到表示的點距離都為1，所以它們的“中點”表示的數是．

材料二：對數軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數乘以，再把所得的數對應的點向右平移1個單位，得到點P的對應點．
(1)表示和6的點的“中點”表示的數是___________．
(2)若“中點”表示的數是2023，其中一點表示的數是2020，則另一個點表示的數是___________．
(3)點A、B在數軸上，對線段AB上的每個點進行上述“材料二”的操作后得到線段，其中，點A、B的對應點分別是、，線段AB的中點C與線段的中點對應．
①若點A表示的數是2，點B表示的數是6，請求出點表示的數．
②若點表示的數是2，請求出點C表示的數．
【答案】(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）設“中點”表示的數是，由“中點”的定義即可求解；
（2）設另一個點表示的數是由“中點”的定義即可求解；
（3）①由（1）同理可求點和點的“中點”表示的數是，由點P到對應點的操作即可求解；
②由操作可得C表示的數可以由點表示的數對應的點先向左平移1個單位，再除以得到，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
所以“中點”表示的數是，
故答案：．
（2）解：由題意得
，
所以另一個點表示的數是，
故答案：．
（3）解：①由（1）同理可求點和點的“中點”表示的數是，
所以表示的數是；
②表示的數是由點C表示的數乘以，再把所得的數對應的點向右平移1個單位得到，
所以C表示的數可以由點表示的數對應的點先向左平移1個單位，再除以得到，
所以C表示的數為；
【點睛】本題考查了“中點”的新定義，點在數軸上的平移，用方程解決問題，理解新定義是解題的關鍵．
2．數軸上有A，，三個不同的點，給出如下定義：若其中一個點到其他兩個點之間的距離相等時，則稱該點是其他兩個點的“中點”，這三個點為“中點關聯點”．例如在圖中的數軸上，點A，，所表示的數分別為1，3，5，此時點是點A，的“中點”．

(1)若點A表示數，點表示數1，當點是點A與點的“中點”時，求點表示的數；
(2)點A表示數，點表示數15，點為數軸上一個動點，若點A，，是“中點關聯點”，求此時點表示的數．
【答案】(1)
(2)40或或
【分析】（1）根據題意求得與的關系，得出答案；
（2）分點P為A、B的中點關聯點，A為P、B的中點關聯點，B為A、P的中點關聯點列式解答即可．
【詳解】（1）解：因為點A表示數，點表示數1，且點是點與點的中點，
所以，
所以點表示的數為；
（2）解：分三種情況：
①若點是點，的“中點”則點表示的數是：；
②若點是點，的“中點”則點表示的數是：；
③若點是點，的“中點”則點表示的數是：．
故點表示的數為40或或．
【點睛】本題考查了數軸及數軸上兩點的距離，理解新定義，分類討論是解題關鍵．
類型六、多狀態分析
【例6-1】在數軸上有，兩點，點表示的數為．對點給出如下定義：當時，將點向右移動3個單位長度，得到點；當時，將點向左移動個單位長度，得到點．稱點為點關于點的“聯動點”．如圖，點表示的數為．

(1)在圖中畫出當時，點關于點的“聯動點”；
(2)點從數軸上表示的位置出發，以每秒1個單位的速度向右運動．點從數軸上表示5的位置同時出發，以相同的速度向左運動，兩個點運動的時間為秒．
①點表示的數為__________（用含的式子表示）；
②是否存在，使得此時點關于點的“聯動點”佮好與原點重合？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①；②不存在，理由見解析
【分析】（1）求出表示的數，再畫圖即可；
（2）①根據已知可得運動后表示的數；②分兩種情況：當，表示的數是，當時，表示的數是，即可得到答案．
【詳解】（1）解：當時，將點向右移動3個單位長度，得到點；
表示的數是，如圖：

（2）①點表示的數為，
故答案為：；
②不存在恰好與原點重合，理由如下：
表示的數是，
當時，，
表示的數是，
此時不存在恰好與原點重合；
當時，表示的數是，
此時不存在恰好與原點重合，
綜上所述，不存在恰好與原點重合．
【點睛】本題考查數軸上的動點問題，解題的關鍵是用含的代數式表示點運動后所表示的數．
【例6-2】【閱讀材料】若數軸上點、點表示的數分別為，（），則、兩點間的距離可表示為，記作．
【解決問題】一個點從數軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達點，再向右移動10個單位長度到達點．
(1)請畫出數軸，并在數軸上標出、兩點的位置；
(2)若動點，分別從點，同時出發，沿數軸向左運動．已知點的速度是每秒1個單位長度，點的速度是每秒2個單位長度，設移動時間為秒（）．
①用含的代數式表示：秒時，點表示的數為______，點表示的數為______；
②為何值時，點表示的數與點表示的數互為相反數？
③為何值時，，兩點之間的距離為4？
【答案】(1)見解析
(2)①，；②；③或．
【分析】本題考查的是數軸的定義及數軸上兩點之間的距離公式，弄清題中的規律是解本題的關鍵．
（1）根據題意畫出數軸，即可解答；
（2）①用含的代數式表示即可；
②根據相反數的意義列式計算即可求解；
③根據題意列出絕對值方程即可求解．
【詳解】（1）解：如圖：
；
（2）解：①秒時，點表示的數為，點表示的數為；
故答案為：，；
②由題意得：，
解得：；
③由題意得：，即，
∴或，
解得：或．
針對練習6
1 .如圖，1個單位長度表示，一個點從數軸上的原點開始，先向左移動到達A點，再向左移動到達B點，然后向右移動到達C點．

(1)請你直接寫出A、B、C三點所表示的數，點A表示的數為 ，點B表示的數為 ，點C表示的數為 ；
(2)若動點P、Q分別從B、C兩點同時向左移動，點P、Q的速度分別為每秒和每秒，設移動時間為t秒；
① 當時，求t的值；
② 運動過程中，點M到P、Q兩點的距離始終保持相等，試探究的值是否會隨著t的變化而改變？請說明理由．
【答案】(1)，，4
(2)①或，②不會隨著t的變化而改變，見解析
【分析】（1）根據點在數軸上的位置寫出答案即可；
（2）①由題可得點P表示的數為，點Q表示的數為，得到，由得到，解方程即可得到答案；
②由點M到P、Q兩點的距離始終保持相等得到點M表示的數是，，，則，即可證明結論．
【詳解】（1）解：由數軸可知，點A表示的數為，點B表示的數為，點C表示的數為4；
故答案為：，，4
（2）①由題可得點P表示的數為，點Q表示的數為，
∴，
∵，
∴，
∴或，
②不會隨著t的變化而改變，理由如下：
由題可得點P表示的數為，點Q表示的數為，點C表示的數是4，點A表示的數是，
∵點M到P、Q兩點的距離始終保持相等，
∴點M表示的數是，
∵，
∴，
即為定值．
【點睛】此題考查了數軸上的點表示數、絕對值的意義、數軸上兩點之間的距離等知識，讀懂題意，正確列式計算是解題的關鍵．
2．預備知識：在數學中，把點與點之間的距離用表示
如圖，在數軸上點表示數點表示數點表示數，已知數是最小的正整數，且滿足．

(1) ， ， ；
(2)點開始在數軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，運動秒鐘后，求三點在數軸上所表示的數（用含的式子表示），若在此過程中，的值保持不變，求的值．
(3)在此數軸有上一動點對應的數為，求的最小值．
【答案】(1)，1，7
(2)點A表示的數為，點B表示的數為；點C表示的數為，
(3)9
【分析】（1）根據數是最小的正整數，得出，根據絕對值和平方的非負性得出，即可得出a和c的值；
（2）根數兩點之間的距離表示方法，即可得出t秒后A、B、C三點表示的數，得出關于t的表達式，根據的值保持不變可知，的值與t無關，即可求出m的值．
（3）根據絕對值的幾何意義，可得表示點Q和的距離，表示點Q和7的距離，則當點Q在和7之間時，的值最小，即可求解．
【詳解】（1）解：∵數是最小的正整數，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：，1，7；
（2）解：根據題意可得：
∵，
∴t秒中后，點A表示的數為，點B表示的數為；點C表示的數為，
∴，，
∴，
∵的值保持不變，
∴的值與t無關，即，
解得：；
（3）解：∵，
∴表示點Q和的距離，
∵表示點Q和7的距離，
∴當點Q在和7之間時，的值最小，
此時．
【點睛】本題主要考查了絕對值和平方的非負性，絕對值的幾何意義，數軸上兩點之間距離的表示方法，解題的關鍵是掌握幾個非負數相加和為0，則這幾個非負數分別為0，以及數軸上兩點之間距離的表示方法．
3．如圖，動點從原點出發向數軸負方向運動，同時，動點也從原點出發向數軸正方向運動，點的運動速度為3個單位長度/秒，運動到3秒時，兩點相距15個單位長度．（速度單位：1個單位長度/秒）

(1)求點運動的速度；
(2)設、兩點運動時間為，當時，求點表示的數和點表示的數并在數軸上表示出來；
(3)若、兩點分別從（2）中標出的位置再次同時開始在數軸運動，運動的速度不變，相向而行，問經過多少秒，、兩點之間相距5個單位長度．
【答案】(1)2
(2)；12
(3)5秒或7秒
【分析】（1）運用運動到3秒時，算出A點運動后的位置，再根據兩點相距15個單位長度解答即可；
（2）根據（1）算出各自的運動路程即可；
（3）根據相遇前和相遇后、兩點之間相距5個單位長度分類討論即可；
【詳解】（1）運動到3秒時，A點運動到，
因為兩點相距15個單位長度，故運動后B點對應的數：，
故B點的速度為：個單位長度/秒；
（2）當時，
點運動路程為：個單位長度 ；點運動路程為：個單位長度；
點表示的數為： ，點表示的數為：12；

（3）相遇前、兩點之間相距5個單位長度時，；
相遇后、兩點之間相距5個單位長度時，；
故問經過5秒或7秒時，兩點之間相距5個單位長度．
【點睛】該題主要考查了數軸上的動點問題以及數軸上兩點之間距離，解題的關鍵是結合數軸進行分析．
4．如圖，已知數軸上A，B，C三個點表示的數分別是a，b，c，且，若點A沿數軸向右移動12個單位長度后到達點B，且點A，B表示的數互為相反數．

(1)a的值為 ，的值為 ；
(2)動點P，Q分別同時從點A，C出發，點P以每秒1個單位長度的速度向終點C移動，點Q以每秒m個單位長度的速度向終點A移動，點P表示的數為x．
①若點P，Q在點B處相遇，求m的值；
②若點Q的運動速度是點P的2倍，當點P，Q之間的距離為2時，求此時x的值．
【答案】(1)
(2)① ②或
【分析】根據兩點間的距離為且兩點表示的數互為相反數即可求； 再根據絕對值為非負數求出，從而得出結論；
①根據相遇時走的路程是，根據速度時間路程列方程求出的值；②根據點的路程之差的絕對值等于列出方程，解方程即可.
【詳解】（1）∵,
∴,
∵, 互為相反數,
∴,
∴,
故答案為: ；
（2）①∵點的速度是每秒個單位長度，點在點處相遇, ,
∴點從點運動到點所用時間為秒，
∵,
∴,
解得
②設運動時間為秒，
根據題意：,
解得或
或
∴或
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，路程、速度與時間關系的應用，兩點間距離公式的應用，進行分類討論是解題的關鍵.
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