資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題八 全等三角形的常見輔助線（三）
類型七 一線三垂直、一線三等角模型
模型1 一線三垂直全等模型
如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 結論：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型2 一線三等角全等模型
如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 結論：△BEC≌△CDA
方法：①通過證明全等實現邊角關系的轉化，便于解決對應的幾何問題；
②與函數綜合應用中有利于點的坐標的求解
【例7-1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，
求證：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．
【例7-2】已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側作，使，連接BD，CE．
（1）如圖①，若，，，求證；
（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數量關系，并說明理由．
【例7-3】(1)觀察猜想
如圖①,點B、A、C在同一條直線上,DB⊥BC,EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE,則BC、BD、CE之間的數量關系為
(2)問題解決
如圖②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°，CB=8，AB=4，以AC為直角邊向外作等腰Rt△DAC連接BD,求BD的長．
(3)拓展延伸
如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°，CB=8.AB=4，DC=DA，則BD=
針對練習7
1 .（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．
2 .如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．
3 .如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長線上一點，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數；
（2）求證：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為 　 　．（用含a，b，c的式子表示）
類型八 角平分線模型
模型1：如圖一，角平分線+對稱型
圖一
利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧。
【依據】：三邊對應相等的三角戲是全等三角形（SSS）、全等三角形對應角相等
模型2：如圖二，角平分線+垂直兩邊型
角平分線性質定理：角的平分線上的點作角兩邊垂直段構成的兩個RT三角形全等．
如圖二
【幾何語言】：∵ OC為∠AOB的角平分線，D為OC上一點DE⊥OA，DF⊥OB
∴，∴DE=DF
模型3如圖三，角平分線+垂直角平分線型
如圖三
方法：構造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯系了起來。
模型四 角平分線+平行線型
如圖四
方法：有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，為證明結論提供更多的條件，體現了角平分線與等腰三角形之間的密切關系。
典例剖析8
【例8-1】如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例8-2】如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2 求證：．
【例8-3】點E是BC的中點，DE平分∠ADC．
（1）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，求證：AE平分∠DAB；
（2）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度數；
（3）如圖2，若DE⊥AE，求證：AD＝AB+CD．
針對練習8
如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數量關系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．
2 .如圖，在中，，平分，交于，于，求證：.
3 .已知：是的角平分線，且．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，，點E在上，連接并延長交于點，交CA的延長線于點，且，連接．
①求證：；
②若，且，求的長．
類型九 軸對稱模型
軸對稱模型 所給圖形沿某一直線折疊,直線兩邊的部分完全重合.圖示:
方法:
（1）利用公共邊、線段的和差等得到對應邊相等;
（2）利用對頂角、公共角、角的和差、垂直的定義等得到對應角相等
典例剖析9
【例9-1】如圖，與相交于點，，，，點從點A出發，沿方向以的速度往返運動，點從點出發，沿方向以的速度單向運動，、兩點同時出發，當點到達點A時，、兩點同時停止運動，設點的運動時間為（s）．

(1)求證：．
(2)填空：線段________，線段________，（用含的式子表示）．
(3)連接，當線段經過點時，求的值．
【例9-2】【教材呈現】東師版數學八年級上冊教材頁的部分內容，我們都知道演繹推理的方法是研究圖形屬性的重要方法，請你寫出完整的證明過程．
我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任一點，連接、，將線段沿直線對稱，我們發現與完全重合，由此即有：
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
請你結合圖形把已知和求證補充完整，并寫出證明過程．
已知：如圖，，垂足為點，______，點是直線上的任意一點．
求證：______．
證明：
【學以致用】如圖，是線段的垂直平分線，則與有何關系？請說明理由．
針對練習9
1.綜合與實踐
.問題情境：如圖（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為△ABC外的一點，且BD＝BC，∠DBC＝30°，連接AD．
(1)若BC＝4，則D到BC邊的距離為______．
(2)小明在圖（1）的基礎上，以AB為對稱軸構造△ABD的軸對稱圖形△ABE，得到圖（2），連接CE，請判斷△BCE的形狀，并證明你的結論．
(3)在圖（2）中，試猜想AE與AD的數量和位置關系，并證明你的猜想．
2 .教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容．
線段垂直平分線
我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸．如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結PA、PB．將線段AB沿直線MN對折，我們發現PA與PB完全重合．由此即有：
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點C，AC＝BC，點P是直線MN上的任意一點求證：PA＝PB．
分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA＝PB．
（1）請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程；
（2）如圖②，在△ABC中，直線l，m，n分別是邊AB，BC，AC的垂直平分線．
求證：直線l、m、n交于一點；（請將下面的證明過程補充完整）
證明：設直線l，m相交于點O．
（3）如圖③，在△ABC中，AB＝BC，邊AB的垂直平分線交AC于點D，邊BC的垂直平分線交AC于點E，若∠ABC＝120°，AC＝15，則DE的長為　 　．
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題八 全等三角形的常見輔助線（三）（解析版）
類型七 一線三垂直、一線三等角模型
模型1 一線三垂直全等模型
如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 結論：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型2 一線三等角全等模型
如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 結論：△BEC≌△CDA
方法：①通過證明全等實現邊角關系的轉化，便于解決對應的幾何問題；
②與函數綜合應用中有利于點的坐標的求解
【例7-1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，
求證：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．
【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）當MN旋轉到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關系是：DE＝BE﹣AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【例7-2】已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側作，使，連接BD，CE．
（1）如圖①，若，，，求證；
（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）見詳解；（2）DE＝BD＋CE．理由見詳解
【分析】（1）根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點都在直線m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形內角和及平角性質，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質以及三角形內角和定理的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運用所學知識解決問題．
【例7-3】(1)觀察猜想
如圖①,點B、A、C在同一條直線上,DB⊥BC,EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE,則BC、BD、CE之間的數量關系為
(2)問題解決
如圖②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°，CB=8，AB=4，以AC為直角邊向外作等腰Rt△DAC連接BD,求BD的長．
(3)拓展延伸
如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°，CB=8.AB=4，DC=DA，則BD=
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）觀察猜想：證明△ADB≌△EAC，可得結論：BC=AB+AC=BD+CE；
（2）問題解決：作輔助線，同理證明：△ABC≌△DEA，可得DE=AB=2，AE=BC=4，最后利用勾股定理求BD的長；
（3）拓展延伸：同理證明三角形全等，設AF=x，DF=y，根據全等三角形對應邊相等列方程組可得結論．
【詳解】解：（1）觀察猜想
BC=BD+CE，
理由是：如圖①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE，
∴△ADB≌△EAC（AAS），
∴BD=AC，EC=AB，
∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）問題解決
如圖②，過D作DE⊥AB，交BA的延長線于E，
由（1）得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=4，AE=BC=8，
Rt△BDE中，BE=BA+AE=4+8=12，
由勾股定理得：
（3）拓展延伸
如圖③，過D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
設AF=x，DF=y，
∵BC=8，AB=4，
則，解得： ，
∴BF=AF+ AB=2+4=6，DF=6，
由勾股定理得：．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理、勾股定理，解決本題的關鍵是證明：△CED≌△AFD．
針對練習7
1 .（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．
【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解
【分析】（1）根據直線，直線得，而，根據等角的余角相等得，然后根據“”可判斷；
（2）利用，則，得出，然后問題可求證；（3）由題意易得，由（1）（2）易證，則有，然后可得，進而可證，最后問題可得證．
【詳解】（1）證明：直線，直線，，
，，，，
在和中，，；
解：（2）成立，理由如下：，
，，
在和中，，；
（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴（SAS），∴，
∴，∴△DFE是等邊三角形．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質與判定是解題的關鍵．
2 .如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.
【分析】（1）利用鄰補角的性質和三角形內角和定理解題；（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．
【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，
∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；
∵當∠BDA的度數為80°時，∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎題．
3 .如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長線上一點，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數；
（2）求證：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為 　 　．（用含a，b，c的式子表示）
【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，
∴∠BAD＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠DBA＝70°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；
（2）證明：過點A作AF⊥DE于點F，過點C作CG⊥DE于點G，
∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，
又∵AD＝BC＝AB，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB＝∠DAB＝∠CAE，
∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，
在△BAF和△CBG中，
，
∴△BAF≌△CBG（AAS），
∴AF＝BG，BF＝CG，
∵∠CBG＝∠CAE，
∴∠AEF＝∠ACB＝45°，
∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，
∴BF＝EG＝CG，
∴∠CEG＝∠AEF＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠BEC＝135°；
（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，
∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，
∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，
∴S△ABC＝BE CG
＝BE （AF﹣BE）
＝．
故答案為：．
類型八 角平分線模型
模型1：如圖一，角平分線+對稱型
圖一
利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉移，這是經常使用的一種解題技巧。
【依據】：三邊對應相等的三角戲是全等三角形（SSS）、全等三角形對應角相等
模型2：如圖二，角平分線+垂直兩邊型
角平分線性質定理：角的平分線上的點作角兩邊垂直段構成的兩個RT三角形全等．
如圖二
【幾何語言】：∵ OC為∠AOB的角平分線，D為OC上一點DE⊥OA，DF⊥OB
∴，∴DE=DF
模型3如圖三，角平分線+垂直角平分線型
如圖三
方法：構造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯系了起來。
模型四 角平分線+平行線型
如圖四
方法：有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，為證明結論提供更多的條件，體現了角平分線與等腰三角形之間的密切關系。
典例剖析8
【例8-1】如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根據三角形全等的判定和性質以及三角形內角和定理逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=，∠ABE=
∴∠BAD+∠ABE=
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；
在△APH與△FPD中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；
連接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴，，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP，
∴
∵
故④錯誤，
∴正確的有①②③，
故答案為：B．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個三角形全等．
【例8-2】如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2 求證：．
【答案】見解析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，連接DE，由角平分線的定義可得，根據全等三角形的判定可證和全等，再根據全等三角形的性質可得，，由AD=CD等量代換可得，繼而可得，由于，可證；
方法2，延長BA到點E，使，由角平分線的定義可得，根據全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，．由，可得，繼而求得，由，繼而可得；
方法3， 作于點E，交BA的延長線于點F，由角平分線的定義可得，由，，可得，根據全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，再根據HL定理可得可證．
【詳解】解：方法1 截長如圖，在BC上截取BE，使，
連接DE，
因為BD是的平分線，
所以．
在和中，
因為
所以，
所以，．
因為，
所以，
所以．
因為，
所以．
方法2 補短
如圖，延長BA到點E，使．
因為BD是的平分線，
所以
在和中，
因為，
所以，
所以，．
因為，
所以，
所以．
因為，
所以．
方法3 構造直角三角形全等
作于點E．交BA的延長線于點F
因為BD是的平分線，
所以．
因為，，
所以，
在和中，
因為，
所以，
所以．
在和中，
因為，
所以，
所以．
因為，
所以．
【例8-3】點E是BC的中點，DE平分∠ADC．
（1）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，求證：AE平分∠DAB；
（2）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度數；
（3）如圖2，若DE⊥AE，求證：AD＝AB+CD．
【解答】（1）證明：如圖1，延長DE交AB的延長線于F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E是BC的中點，
∴CE＝BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即E為DF的中點，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE平分∠DAB；
（2）解：由（1）得AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠DEC＝35°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠CDE＝110°，
∴∠DAB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAB＝35°；
（3）證明：如圖2，在DA上截取DF＝DC，連接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，
又∵E是BC的中點，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
針對練習8
如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數量關系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．
【答案】（1）BE＝AD，見分析；（2）BEG是等腰直角三角形，見分析
【分析】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；
（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．
解：證：（1）BE＝AD，理由如下：
如圖，延長BE、AC交于點H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【點撥】本題考查等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等腰直角三角形的基本性質，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關鍵．
2 .如圖，在中，，平分，交于，于，求證：.
【分析】延長BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，繼而證得AE=EN，則可證得結論．
解：延長BD至N，使DN=BD，連接AN．
∵AD⊥BE，
∴AD垂直平分BN，
∴AB=AN，
∴∠N=∠ABN，
又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABN=∠NBC=∠C，
∴∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．
【點撥】本題考查了等腰三角形的性質與判定、線段垂直平分線的性質以及平行線的判定與性質．注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．
3 .已知：是的角平分線，且．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，，點E在上，連接并延長交于點，交CA的延長線于點，且，連接．
①求證：；
②若，且，求的長．
（1）見分析；（2）①見分析；②．
【分析】（1）用證明，即得AB＝AC；
（2）①證明可得，再用證明△FAG≌△FAE，即得；
②過作于，由，可得，，而，故，即得，根據，可求．
解：（1）證明：是的角平分線，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②過作于，如圖：
由①知：，
，
，
，
由①知：，
，
，
，
，
∴．
【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的相關知識.
類型九 軸對稱模型
軸對稱模型
所給圖形沿某一直線折疊,直線兩邊的部分完全重合.圖示:
方法:
（1）利用公共邊、線段的和差等得到對應邊相等;
（2）利用對頂角、公共角、角的和差、垂直的定義等得到對應角相等
典例剖析9
【例9-1】如圖，與相交于點，，，，點從點A出發，沿方向以的速度往返運動，點從點出發，沿方向以的速度單向運動，、兩點同時出發，當點到達點A時，、兩點同時停止運動，設點的運動時間為（s）．

(1)求證：．
(2)填空：線段________，線段________，（用含的式子表示）．
(3)連接，當線段經過點時，求的值．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)，；
(3)或
【分析】（1）根據，結合即可得到證明；
（2）根據路程等于速度乘以時間求解即可得到答案；
（3）根據線段經過點得到，即可得到，即可得到，列式求解即可得到答案；
【詳解】（1）證明：在與中，
∵，
∴；
（2）解：根據題意可得，
∵，，
∴，
∵點從點出發，沿方向以的速度單向運動，
∴，，
故答案為：，；
（3）解：當線段經過點時，
，
在與中，
∵，
∴，
∴，
當點P從A到B時，
，
解得：，
當點P從B到A時，
，
解得：，
綜上所述：或；
【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質，解題的關鍵是動點問題注意分類討論．
【例9-2】【教材呈現】東師版數學八年級上冊教材頁的部分內容，我們都知道演繹推理的方法是研究圖形屬性的重要方法，請你寫出完整的證明過程．
我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任一點，連接、，將線段沿直線對稱，我們發現與完全重合，由此即有：
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
請你結合圖形把已知和求證補充完整，并寫出證明過程．
已知：如圖，，垂足為點，______，點是直線上的任意一點．
求證：______．
證明：
【學以致用】如圖，是線段的垂直平分線，則與有何關系？請說明理由．
【答案】【教材呈現】，，證明過程見解析；【學以致用】，證明過程見解析
【分析】（1）根據題中教材補充完成即可；
（2）根據定理線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等求證即可．
【詳解】《教材呈現》
已知：如圖，，垂足為點，，點是直線上的任意一點，
求證：．
故答案為：，．
證明：∵
∴
在和中，
∴
；
《學以致用》
，
理由：
是線段的垂直平分線，
，，
∴，，
∴，
即．
【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質、三角形的全等證明，讀懂題意，靈活應用相關知識解題是關鍵．
針對練習9
1.綜合與實踐
問題情境：如圖（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為△ABC外的一點，且BD＝BC，∠DBC＝30°，連接AD．
(1)若BC＝4，則D到BC邊的距離為______．
(2)小明在圖（1）的基礎上，以AB為對稱軸構造△ABD的軸對稱圖形△ABE，得到圖（2），連接CE，請判斷△BCE的形狀，并證明你的結論．
(3)在圖（2）中，試猜想AE與AD的數量和位置關系，并證明你的猜想．
【答案】(1)2
(2)△BCE為等邊三角形；證明見解析
(3)AE＝AD，AE⊥AD；證明見解析
【分析】（1）過點D作DF⊥BC于F，由含30度角直角三角形的性質求得DF＝BD＝BC；
（2）△BCE為等邊三角形．根據對稱圖形的性質得到BE＝BC．
（3）由△ABD≌△ABE得AE＝AD，再證明，從而可得AE⊥AD，故可得結論．
(1)
如圖（1），過點D作DF⊥BC于F，
∵BD＝BC＝4，∠DBC＝30°，
∴DF＝BD
∴DF＝BC=．
故答案是：2；
(2)
△BCE為等邊三角形．
證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°．
∵以AB為對稱軸構造△ABD的軸對稱圖形△ABE，
∴△ABD≌△ABE，
∴∠ABE＝∠ABD＝15°，BE＝BD，
∴∠EBC＝15°＋15°＋30°＝60°．
∵BD＝BC，
∴BE＝BC，
∴△BCE為等邊三角形．
(3)
AE＝AD，AE⊥AD．
證明：∵△ABD≌△ABE，
∴AE＝AD．
∵△EBC是等邊三角形，
∴∠BEC＝60°，BE＝CE．
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACE，
∴，
∴∠EAB＝180°－∠AEB－∠EBA＝135°．
∵∠EAB＝∠DAB，
∴∠EAD＝360°－135°－135°＝90°，
∴AE⊥AD，AE＝AD．
【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質，軸對稱圖形，等腰直角三角形的性質等知識點，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．
2 .教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容．
線段垂直平分線
我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸．如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結PA、PB．將線段AB沿直線MN對折，我們發現PA與PB完全重合．由此即有：
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點C，AC＝BC，點P是直線MN上的任意一點求證：PA＝PB．
分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA＝PB．
（1）請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程；
（2）如圖②，在△ABC中，直線l，m，n分別是邊AB，BC，AC的垂直平分線．
求證：直線l、m、n交于一點；（請將下面的證明過程補充完整）
證明：設直線l，m相交于點O．
（3）如圖③，在△ABC中，AB＝BC，邊AB的垂直平分線交AC于點D，邊BC的垂直平分線交AC于點E，若∠ABC＝120°，AC＝15，則DE的長為　 　．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）5
【分析】（1）證明△PAC≌△PBC即可解決問題．
（2）如圖②中，設直線l、m交于點O，連結AO、BO、CO．利用線段的垂直平分線的判定和性質解決問題即可．
（3）連接BD，BE，證明△BDE是等邊三角形即可．
【詳解】證明：（1）如圖①中，
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
在△PAC和△PBC中，
，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
（2）如圖②中，設直線l、m交于點O，連結AO、BO、CO．
∵直線l是邊AB的垂直平分線，
∴OA＝OB，
又∵直線m是邊BC的垂直平分線，
∴OB＝OC，
∴OA＝OC，
∴點O在邊AC的垂直平分線n上，
∴直線l、m、n交于點O．
（3）解：如圖③中，連接BD，BE．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵邊AB的垂直平分線交AC于點D，邊BC的垂直平分線交AC于點E，
∴DA＝DB，EB＝EC，
∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，
∵AC＝15，
∴DE＝AC＝5．
故答案為5．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了線段的垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型。
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
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