資源簡介

6.1.1 向量的概念
一、向量的概念
1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2、數(shù)量:只有大小，沒有方向的量(如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等)，稱為數(shù)量．
【注意】（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
二、向量的表示法
1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等.
（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量運算；
（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
三、向量的有關概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
【注意】（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大小．
2、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
3、單位向量：長度等于1個單位的向量.
【注意】
（1）在畫單位向量時，長度1可以根據(jù)需要任意設定；
（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．
四、向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.
【注意】
1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別；
2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系；
3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
題型一 平面向量的基本概念
【例1】（2023·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．質(zhì)量 B．距度 C．力 D．體重
【答案】C
【解析】由向量的定義可知，力為向量，質(zhì)量、距離、體重都為數(shù)量.故選：C.
【變式1-1】（2023·山西·高一陽泉市第十一中學校考期中）下列命題中真命題的個數(shù)是（ ）
（1）溫度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量沒有方向
（3）向量的模一定是正數(shù)
（4）直角坐標平面上的x軸 y軸都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】（1）錯誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；
（2）錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）錯誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；
（4）錯誤，直角坐標平面上的軸、軸只有方向，
但沒有長度，故它們不是向量.故選：A.
【變式1-2】（2023·新疆·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是一個正實數(shù) B．零向量沒有方向
C．單位向量的模等于1個單位長度 D．零向量就是實數(shù)0
【答案】C
【解析】對于A，零向量的模等于零，故A錯誤；
對于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯誤；
對于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；
對于D，零向量有大小還有方向，而實數(shù)只有大小沒有方向，故D錯誤.故選：C.
【變式1-3】（2023·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期末）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．單位向量的模都相等
B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大
D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同
【答案】AD
【解析】根據(jù)單位向量的概念知，單位向量的模都相等且為1，故A正確；
根據(jù)共線向量的概念知，長度不等且方向相反的兩個向量是共線向量，故B錯誤；
向量不能夠比較大小，故C錯誤；
根據(jù)相等的向量的概念知，兩個有共同起點而且相等的向量，
其終點必相同，故D正確. 故選：AD.
題型二 平面向量的幾何表示
【例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點是M D．終點是M
【答案】D
【解析】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．
【變式2-1】（2023·全國·高一隨堂練習）選擇適當?shù)谋壤撸糜邢蚓€段表示下列向量．
（1）終點A在起點O正東方向3m處；
（2）終點B在起點O正西方向3m處；
（3）終點C在起點O東北方向4m處；
（4）終點D在起點O西南方向2m處．
【答案】（1）答案見解析；；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．
【解析】（1）從向東作長度為3m的有向線段：
（2）從向西作長度為3m的有向線段：

（3）從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段：

（4）從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段：
【變式2-2】（2023·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學校考階段練習）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．
（1），點在點的正西方向；
（2），點在點的北偏西方向；
（3）求出的值．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）3
【解析】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：
（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：
（3）
.
【變式2-3】（2023·高一課時練習）如圖，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方．
（1）作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；
（2）求的模．
【答案】（1）作圖見解析；（2）
【解析】（1）根據(jù)題意可知，B點在坐標系中的坐標為，
又因為D點在B點的正北方，所以，
又，
所以，即D、C兩點在坐標系中的坐標為，；
即可作出、、如下圖所示.
（2）如圖，作出向量，
由題意可知，且，
所以四邊形是平行四邊形，則，
所以的模為
【變式2-4】（2023·高一課時練習）在如圖的方格紙上，已知向量,每個小正方形的邊長為1．
（1）試以為終點畫一個有向線段，設該有向線段表示的向量為，使．
（2）在圖中畫一個以為起點的有向線段，設該有向線段表示的向量為，且，并說出點的軌跡是什么？
【答案】（1）圖見解析；（2）點的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓
【解析】（1）如圖，感覺向量相等的定義，與的方向相同，長度相等，
即，即可得到向量；
（2）如圖，畫出一個滿足條件的向量，點的軌跡是以點為圓心，半徑的圓.
題型三 相等向量與共線向量
【例3】（2023·北京·高一東直門中學校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共線向量 D．模為的向量與任意非零向量共線
【答案】D
【解析】對于A：單位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故A錯誤；
對于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯誤．
對于C：平行向量一定是共線向量，故C錯誤；
對于D：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確;故選:D．
【變式3-1】（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；
對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，
所以不一定相等，故③錯誤；
對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.故選：A
【變式3-2】（2023·湖南益陽·高一安化縣第二中學校考階段練習）（多選）下列說法不正確的有（ ）
A．若，，則 B．若，則與的方向相同或相反
C．若，則 D．若，，則
【答案】BCD
【解析】若，，則，故A正確；
對于B，當有一個為零向量時不成立，故B錯誤；
對于C，當與垂直時，可得，但推不出，故C錯誤；
對于D，當時不成立，故D錯誤，故選：BCD.
【變式3-3】（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對于B，因為，故，故B正確.
對于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.
對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，故選：D.
【變式3-4】（2023·全國·高一課堂例題）在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？
【答案】7個，個.
【解析】當向量的起點C是圖中所圈的格點時，可以作出與相等的向量，
這樣的格點共有8個，除去點A外，還有7個，所以共有7個向量與相等；
與長度相等的共線向量（除外），有與相等的向量，
還有與方向相反且長度相等的向量，
所以與長度相等的共線向量共有（個）.
題型四 平面向量的簡單應用
【例4】（2023·江西撫州·高一資溪縣第一中學校考期末）在四邊形ABCD中，若，且||=||，則四邊形ABCD為（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定
【答案】B
【解析】若，則AB=DC，且AB∥DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形.
又因為||=||，即AC=BD，所以四邊形ABCD為矩形.故選：B．
【變式4-1】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【答案】A
【解析】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項，如圖
，但是四邊形不是矩形，錯誤；
選項，若，且，
則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．
選項，若，且，
則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.故選：A
【變式4-2】（2022·高一課時練習）已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，連接AC，
因為，分別是，的中點，所以為的中位線，
所以，且，
同理，因為，分別是，的中點，所以，且，
所以，且，
因為向量與方向相同，所以.
【變式4-3】（2023·高一課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
（1）寫出與向量共線的向量；
（2）求證：.
【答案】（1），，；（2）證明見解析.
【解析】（1）因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，
，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
所以與向量共線的向量為：，，.
（2）證明：在平行四邊形中，，.
因為，分別是，的中點，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，，故.6.1.1 向量的概念
一、向量的概念
1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2、數(shù)量:只有大小，沒有方向的量(如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等)，稱為數(shù)量．
【注意】（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
二、向量的表示法
1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等.
（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量運算；
（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
三、向量的有關概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
【注意】（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大小．
2、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
3、單位向量：長度等于1個單位的向量.
【注意】
（1）在畫單位向量時，長度1可以根據(jù)需要任意設定；
（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．
四、向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.
【注意】
1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別；
2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系；
3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
題型一 平面向量的基本概念
【例1】（2023·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．質(zhì)量 B．距度 C．力 D．體重
【變式1-1】（2023·山西·高一陽泉市第十一中學校考期中）下列命題中真命題的個數(shù)是（ ）
（1）溫度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量沒有方向
（3）向量的模一定是正數(shù)
（4）直角坐標平面上的x軸 y軸都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式1-2】（2023·新疆·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是一個正實數(shù) B．零向量沒有方向
C．單位向量的模等于1個單位長度 D．零向量就是實數(shù)0
【變式1-3】（2023·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期末）（多選）下列命題中正確的是（ ）
A．單位向量的模都相等
B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大
D．兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同
題型二 平面向量的幾何表示
【例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點是M D．終點是M
【變式2-1】（2023·全國·高一隨堂練習）選擇適當?shù)谋壤撸糜邢蚓€段表示下列向量．
（1）終點A在起點O正東方向3m處；
（2）終點B在起點O正西方向3m處；
（3）終點C在起點O東北方向4m處；
（4）終點D在起點O西南方向2m處．
【變式2-2】（2023·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學校考階段練習）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．
（1），點在點的正西方向；
（2），點在點的北偏西方向；
（3）求出的值．
【變式2-3】（2023·高一課時練習）如圖，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方．
（1）作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；
（2）求的模．
【變式2-4】（2023·高一課時練習）在如圖的方格紙上，已知向量,每個小正方形的邊長為1．
（1）試以為終點畫一個有向線段，設該有向線段表示的向量為，使．
（2）在圖中畫一個以為起點的有向線段，設該有向線段表示的向量為，且，并說出點的軌跡是什么？
題型三 相等向量與共線向量
【例3】（2023·北京·高一東直門中學校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共線向量 D．模為的向量與任意非零向量共線
【變式3-1】（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3-2】（2023·湖南益陽·高一安化縣第二中學校考階段練習）（多選）下列說法不正確的有（ ）
A．若，，則 B．若，則與的方向相同或相反
C．若，則 D．若，，則
【變式3-3】（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【變式3-4】（2023·全國·高一課堂例題）在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？
題型四 平面向量的簡單應用
【例4】（2023·江西撫州·高一資溪縣第一中學校考期末）在四邊形ABCD中，若，且||=||，則四邊形ABCD為（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定
【變式4-1】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【變式4-2】（2022·高一課時練習）已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．
【變式4-3】（2023·高一課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
（1）寫出與向量共線的向量；
（2）求證：.

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