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前臺后庫 2008年數列大題難易排序
數列是高考解答題必考的，看看2008年的各地高考試卷，數列占據著重要的位置，有多份試卷用數列作為試卷的壓軸大題，算是“鎮卷之寶”吧！總體看來，數列在高考試卷解答題中算是居后的位置，起著區分、選拔考生的功能.
1.（江西卷19）（本小題滿分12分）
數列為等差數列，為正整數，其前項和為，數列為等比數列，且，數列是公比為64的等比數列，.
（1）求；
（2）求證.
解：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，
，
依題意有①
由知為正有理數，故為的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
【說明】 只要靜下心來做，相信一般的學生都可以做出來，考查了等差、等比數列的基礎知識.第一問相比而言,比第二問還要復雜一些,求數列{bn}時拐了一道彎，但只要按步驟來，問題會迎刃而解.這對占在三號位置的解答題來說，可以穩定學生的情緒.這也算是江西學生的幸運哦.
2.（全國二20）．（本小題滿分12分）
設數列的前項和為．已知，，．
（Ⅰ）設，求數列的通項公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）依題意，，即，
由此得． 4分
因此，所求通項公式為
，．① 6分
（Ⅱ）由①知，，
于是，當時，
，
，
當時，
．
又．
綜上，所求的的取值范圍是． 12分
【說明】本題主要考查數列通項公式的求法、等比數列前n項和公式以及數列單調性的應用. 作為倒數第三題，在大題中算是占據了中等的地位，起到過渡的作用.比起其他試卷的數列解答題，算是容易題了.
3.（四川卷20）．（本小題滿分12分）
設數列的前項和為，已知
（Ⅰ）證明：當時，是等比數列；
（Ⅱ）求的通項公式.
解：由題意知，且
兩式相減得
即 ①
（Ⅰ）當時，由①知
于是

又，所以是首項為1，公比為2的等比數列。
（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，即
當時，由由①得
因此
得
【說明】 這是第一道考查“會不會”的問題．如若不會，對不起，請先繞道走．對大多數考生而言，此題是一道攔路虎．可能比壓軸題還讓人頭痛．原因是兩個小題分別考到了兩種重要的遞推方法．遞推數列中對遞推方法的考查，有30年歷史了，現在只是陳題翻新而已．不過此題對考生有不公平之嫌．大中城市參加過競賽培訓的優生占便宜了．解題有套方為高啊．
4.（山東卷19) (本小題滿分12分)
將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：



……
記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．
（Ⅰ）證明數列成等差數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當時，求上表中第行所有項的和．
解：（Ⅰ）證明：由已知，當時，，又，
所以，
又．所以數列是首項為1，公差為的等差數列．
由上可知，．
所以當時，．
因此
（Ⅱ）解：設上表中從第三行起，每行的公比都為，且．
因為，
所以表中第1行至第12行共含有數列的前78項，故在表中第31行第三列，
因此．又，所以．
記表中第行所有項的和為，
則．
【說明】 此題改革了傳統數列呈現形式，充分考查了考生采集和處理信息的能力，體現了新課程標準的理念.但其難度并不大.
5.（天津卷20）（本小題滿分12分）
在數列中，，，且（）．
（Ⅰ）設（），證明是等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．
解：（Ⅰ）證明：由題設（），得
，即，．
又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
將以上各式相加，得（）．
所以當時，
上式對顯然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　　．
由①可得，．
所以對任意的，是與的等差中項．
【說明】 本小題主要考查等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．
6（遼寧卷21）（本小題滿分12分）
在數列，中，a1=2，b1=4，且成等差數列，成等比數列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}、{bn}的通項公式，并證明你的結論；
（Ⅱ）證明：．
解：（Ⅰ）由條件得
由此可得
． 2分
猜測． 4分
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即
，
那么當n=k+1時，
．
所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知對一切正整數都成立． 7分
（Ⅱ）．
n≥2時，由（Ⅰ）知． 9分
故
綜上，原不等式成立． 12分
【說明】 本小題主要考查等差數列，等比數列，數學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力．第一問中猜測{an}、{bn}的通項公式是問題的瓶頸，這一步能順利解決，后面應該就不會有問題了.
7.（安徽卷21）（本小題滿分13分）
設數列滿足為實數
（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；
（Ⅱ）設，證明：;
（Ⅲ）設，證明：
解 (1) 必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：設 ，對用數學歸納法證明
當時，.假設
則，且
，由數學歸納法知對所有成立
(2) 設 ，當時，，結論成立
當 時，

,由（1）知，所以 且



(3) 設 ，當時，，結論成立
當時，由（2）知

【說明】 考查了數列、充要條件的證明，還有不等式的證明，是一道綜合大題。本題在此卷上是難度系數大，體現了高考的選拔性功能的一道題。
8.（全國一22）．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設函數．數列滿足，．
（Ⅰ）證明：函數在區間是增函數；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設，整數．證明：．
解：（Ⅰ）證明：，
故函數在區間(0,1)上是增函數；
（Ⅱ）證明：（用數學歸納法）（i）當n=1時，，，
由函數在區間是增函數，且函數在處連續，則在區間是增函數，，即成立；
（ⅱ）假設當時，成立，即
那么當時，由在區間是增函數，得
.而，則，
，也就是說當時，也成立；
根據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數，恒成立.
（Ⅲ）證明：由．可得
若存在某滿足，則由⑵知：
若對任意都有，則
，即成立.
【說明】 作為全國卷的壓軸題，肯定是有一定難度的，數列只是作為一個載體，其實考查的是函數，導數和不等式的知識為主.
9.（湖南卷18）（本小題滿分12分）
數列
(Ⅰ)求并求數列的通項公式；
(Ⅱ)設證明：當
解: (Ⅰ)因為所以

一般地，當時，
＝，即
所以數列是首項為1、公差為1的等差數列，因此
當時，
所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此
故數列的通項公式為
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，

所以
要證明當時，成立，只需證明當時，成立.
證法一
(1)當n = 6時，成立.
(2)假設當時不等式成立，即
則當n=k+1時，
由(1)、(2)所述，當n≥6時，.即當n≥6時，
證法二
令，則
所以當時，.因此當時，
于是當時，
綜上所述，當時，
【說明】 數列與三角函數的綜合，給我們的考生帶來分類討論的麻煩，第一問要有敏銳的觀察力，知道怎么分類這是個得分點，既涉及等差數列，又有等比數列；第二問是數列與不等式的結合，可以多渠道解決。
10.（江蘇卷19）. （1）設a1，a2，…，an是各項均不為零的n（n≥4）項等差數列，且公差d≠0，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來順序）是等比數列：
①當n＝4時，求的數值；②求n的所有可能值；
（2）求證：對于給定的正整數n（n≥4），存在一個各項及公差都不為零的等差數列b1，b2，…，bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列．
解：（1）① 先證命題P：若三個數a，b，c既成等差數列、又成等比數列，則它們必為常數數列．
因為若a＋c＝2b，ac＝b2，則，即，∴a＝c，則b＝a＝c．
當n＝4時，即a1，a2，a3，a4是各項均不為零的等差數列，且公差d≠0．
1）刪去a1，則a2，a3，a4成等比數列，由命題P知，a2＝a3＝a4，與d≠0矛盾．
2）刪去a2，則a1，a3，a4成等比數列，即a1，a1＋2d，a1＋3d成等比數列，
∴，則＝－4．
3）刪去a3，則a1，a2，a4成等比數列，即a1，a1＋d，a1＋3d成等比數列，
∴，則＝1．
4）刪去a4，則a1，a2，a3成等比數列，由命題P知，a1＝a2＝a3，與d≠0矛盾．
總之，＝－4或1．
②假設n≥6，則無論刪去哪一項，均有原數列中的連續三項既成等差數列，又成等比數列，由命題P知，假設不成立，∴n≤5．
若n＝5，則由命題P知，只可能在等差數列a1，a2，a3，a4，a5中刪去a3，使a1，a2，a4，a5成等比數列．
由①中3）知，d＝a1，則a2＝2a1，a4＝4a1，a5＝5a1（a1≠0），但它們不成等比數列．由此可知：n只能為4．
（2）對于一個給定的正整數n（n≥4），設b1，b2，…，bn是一個各項及公差都不為零的等差數列，不妨設bt，bt＋sd，bt＋kd是它們其中的任意三項（1≤t≤n－2，1≤s＜k≤n－t，且t，s，k∈N*），
要使這三項不成等比數列，即不成立，即使不成立．
（由此可見，只要k不能為正整數，可使為小數，或無理數……）
如取d＝1，，∵s2＜n2，∴∈（0，1），則不成立．
以上可見，n2，n2＋1，n2＋2，…，n2＋n－1中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列，即它是一個符合題意的等差數列．
【說明】 第（1）問的解答關鍵在于認識命題P，這是認識等差數列與等比數列的一個基本問題，其中第②問通過檢驗而排除n＝5．第（2）問要求考生通過分析構造出符合題意的一種數列，由于平時考生對構造性問題研究相對較少，盡管新課標中倡導培養學生的創造能力，但由于高中數學學習內容較多（理科學生除學習改修1，2，3，4，5外，還須學習選修2系列中的1，2，3三個系列，另外還要在選修4中的4個模塊中選修2個），因此，學生的研究性學習的時間較少，此類問題在高考命題中出現，從學生的學習及人的發展來說，確實是一件好的現象。這也說明，要使學生的學習在“質”上有所飛躍，我們還必須考慮如何在“數”上有所控制。
11.（陜西卷22）（本小題滿分14分）
已知數列的首項，，．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）證明：對任意的，，；
（Ⅲ）證明：．
解法一：（Ⅰ），，，
又，是以為首項，為公比的等比數列．
，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的，有
．
取，
則．
原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）設，
則
，
當時，；當時，，
當時，取得最大值．
原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
【說明】 數列、不等式、導數三者合一的解答題，又是陜西卷的壓軸題，當然不會那么輕易得分。第一問求通項公式就給學生制造了障礙，而后兩問，是緊扣前一問的，所以第一問沒有做出來，后面的分數也得不到.
12.（重慶卷22）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分.）
　　　設各項均為正數的數列{an}滿足.
（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想an的值（不需證明）；
（Ⅱ）記對n≥2恒成立，求a2的值及數列{bn}的通項公式.
解：(Ⅰ)因

由此有，故猜想的通項為

（Ⅱ）令
由題設知x1=1且
①

②
因②式對n=2成立，有
③
下用反證法證明：
由①得
因此數列是首項為，公比為的等比數列.故
④
又由①知
因此是是首項為，公比為-2的等比數列,所以
⑤
由④-⑤得
⑥
對n求和得
⑦
由題設知

即不等式22k+1＜
對kN*恒成立.但這是不可能的，矛盾.
因此x2≤,結合③式知x2=,因此a2=2*2=
將x2=代入⑦式得
Sn=2－(nN*),
所以bn=2Sn=22－(nN*)
【說明】 此題結合函數、不等式考查數列的通項，過程復雜，估計一般的考生不會得分.
13.（浙江卷22）（本題14分）
已知數列，，，．記．
．
求證：當時，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）。
解：（Ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
①當時，因為是方程的正根，所以．
②假設當時，，
因為
，
所以．
即當時，也成立．
根據①和②，可知對任何都成立．
（Ⅱ）證明：由，（），
得．
因為，所以．
由及得， 所以．
（Ⅲ）證明：由，得
所以，
于是，
故當時，，
又因為， 所以．
【說明】 本題主要考查數列的遞推關系，數學歸納法、不等式證明等基礎知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．
14.（廣東卷21）．（本小題滿分12分）
設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，，（…）．
（1）證明：，；
（2）求數列的通項公式；
（3）若，，求的前項和．
解：（1）由求根公式，不妨設，得
，
（2）設，則，
由得，
消去，得，是方程的根，由題意可知，
①當時，此時方程組的解記為
即、分別是公比為、的等比數列，
由等比數列性質可得,,
兩式相減，得
，，
，
，即，
②當時，即方程有重根，，
即，得，不妨設，由①可知
，，
即，等式兩邊同時除以，得，即
數列是以1為公差的等差數列，,
綜上所述，
（3）把，代入，得，解得

【說明】 命題者將方程，函數，數列結合在一起考查，涉及字母多，要有清醒的頭腦，才能理順其的關系。解題中要用函數方程思想、分類討論思想。得滿分者不多.
15.（湖北卷21）(本小題滿分14分)
已知數列和滿足：,其中為實數，為正整數.
（Ⅰ）對任意實數，證明數列不是等比數列；
（Ⅱ）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；
（Ⅲ）設,為數列的前項和.是否存在實數，使得對任意正整數，都有
?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.
解：（Ⅰ）證明：假設存在一個實數λ，使｛an｝是等比數列，則有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比數列.
(Ⅱ)解：因為bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1= -(λ+18),所以
當λ＝－18，bn=0(n∈N+),此時｛bn｝不是等比數列：
當λ≠－18時，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故當λ≠-18時，數列｛bn｝是以－（λ＋18）為首項，－為公比的等比數列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a即a<-(λ+18)·［1－（－）n］ ①
當n為正奇數時，1∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+18),<
當a當b>3a存在實數λ，使得對任意正整數n,都有a【說明】 本小題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力.作為湖北卷的壓軸題，難倒了一大批的學生，起到了它應有區分選拔功能.