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(共30張PPT)
第五章　三角函數
5.7　三角函數的應用
學習目標 素養要求
1.會用三角函數解決一些簡單的實際問題 數學抽象
數學建模
2.體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型 數學建模
| 自 學 導 引 |
　　　三角函數的應用
2．用函數模型解決實際問題的一般步驟
收集數據→作散點圖→選擇函數模型→求解函數模型→檢驗．
【答案】20 ℃
| 課 堂 互 動 |
利用三角函數處理物理學問題的策略
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．
(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題．
【答案】A　
題型2　三角函數模型的實際應用
　　　　已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數據：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
經長期觀測，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數y＝A cos ωt＋b的圖象．
(1)根據以上數據，求其最小正周期，振幅及函數解析式；
(2)根據規定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？
【例題遷移1】　若將本例中“大于1米”改為“大于1.25米”，結果又如何？
【例題遷移2】　若本例中海濱浴場某區域的水深y(米)與時間t(時)的數據如下表：

用y＝A sin ωt＋b刻畫水深與時間的對應關系，試求此函數解析式．
t/時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
解三角函數應用問題的基本步驟
| 素 養 達 成 |
1．三角函數模型是研究周期現象最重要的數學模型，三角函數模型在研究物理、生物、自然界中的周期現象(運動)有著廣泛的應用(體現了數學建模核心素養).
2．三角函數模型構建的步驟：
(1)收集數據，觀察數據，發現是否具有周期性的重復現象．
(2)作出散點圖，選擇三角函數模型進行擬合．
(3)利用三角函數模型解決實際問題．
(4)根據問題的實際意義，對答案的合理性進行檢驗．
【答案】A　
【答案】C　
【答案】B　
4．(題型2)如圖所示的圖象顯示的是相對于平均海平面的某海灣的水面高度y(m)在某天24 h內的變化情況，則水面高度y關于從夜間0時開始的時間x的函數關系式為________．
5．(題型2)如圖所示，一個摩天輪半徑為10 m，輪子的底部在地面上2 m處，如果此摩天輪按逆時針轉動，每30 s轉一圈，且當摩天輪上某人經過點P處(點P與摩天輪中心高度相同)時開始計時．
(1)求此人相對于地面的高度關于時間的關系式．
(2)在摩天輪轉動的一圈內，約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17 m 第五章　5.7
A級——基礎過關練
1．簡諧運動y＝4sin 的相位與初相是(　　)
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
2．最大值為，最小正周期為，初相為的函數表達式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
3．(2023年太原期末)簡諧運動可用函數f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，則這個簡諧運動的初相為(　　)
A． B．－
C．8x－ D．8x
4．有一沖擊波，其波形為函數y＝－sin 的圖象，若其在區間[0，t]上至少有2個波峰，則正整數t的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．如圖為一半徑為3米的水輪，水輪圓心O距水面2米，已知水輪每分鐘轉4圈，水輪上的點P到水面距離y(米)與時間x(秒)滿足關系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，則有(　　)
A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝3 D．ω＝，A＝5
6．(2023年杭州期末)如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h(厘米)由如下關系式確定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π).已知當t＝2時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在t＝0秒時h的值為(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．
7．(多選)下圖是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是(　　)
A．該質點的運動周期為0.8 s
B．該質點的振幅為5 cm
C．該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度最大
D．該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度為零
8．簡諧運動y＝－3sin (x≥0)的頻率為________．
9．已知某種交流電電流I(單位：A)隨時間t(單位：s)的變化規律可以用函數I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，則這種交流電電流在0.5 s內往復運行______次．
10．如果某地夏天從8～14時的用電量變化曲線近似滿足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如圖所示．
(1)求這一段時間的最大用電量和最小用電量；
(2)寫出這段曲線的函數解析式．
B級——能力提升練
11．已知簡諧振動的振幅是，圖象上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則該簡諧振動的頻率和初相是(　　)
A．，　　　　　　　 B．，
C．，　　　　　　　 D．，
12．(多選)交流電的電壓E(單位：伏)與時間t(單位：秒)的關系可用E＝220sin 來表示，則下列說法中正確的是(　　)
A．開始時電壓為110伏
B．電壓值重復出現一次的時間間隔為0.02秒
C．電壓的最大值為220伏
D．第一次獲得最大值的時間為秒
13．單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的位移s和時間t的函數關系式為s＝6sin ，則單擺的運動周期為________，最大位移是________．
14．穩定房價是我國實施宏觀調控的重點，國家出臺的一系列政策已對各地的房地產市場產生了影響，某市房地產中介對本市一樓盤的房價做了統計與預測：發現每個季度的平均單價y(每平方米的價格，單位：元)與第x季度之間近似滿足：y＝500·sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均單價如表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
則此樓盤在第三季度的平均單價大約是________元．
15．(2023年西安期末)摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點距離地面100 m，最低點距離地面10 m，摩天輪上均勻設置了依次標號為1～36號的36個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動t min后距離地面的高度為H m，轉一周需要30 min.
(1)求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；
(2)若甲、乙兩人分別坐在1號和7號座艙里，在轉動一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關于t的函數解析式，并求高度差的最大值．
第五章　5.7
A級——基礎過關練
1．簡諧運動y＝4sin 的相位與初相是(　　)
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
【答案】C　
【解析】相位是5x－，當x＝0時的相位為初相，即－.
2．最大值為，最小正周期為，初相為的函數表達式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】D　
【解析】由最小正周期為，排除A，B；由初相為，排除C.
3．(2023年太原期末)簡諧運動可用函數f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，則這個簡諧運動的初相為(　　)
A． B．－
C．8x－ D．8x
【答案】B　
【解析】當x＝0時，8×0－＝－，則這個簡諧運動的初相為－.故選B.
4．有一沖擊波，其波形為函數y＝－sin 的圖象，若其在區間[0，t]上至少有2個波峰，則正整數t的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C　
【解析】由y＝－sin 的圖象知，要使在區間[0，t]上至少有2個波峰，必須使區間[0，t]的長度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.故選C.
5．如圖為一半徑為3米的水輪，水輪圓心O距水面2米，已知水輪每分鐘轉4圈，水輪上的點P到水面距離y(米)與時間x(秒)滿足關系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，則有(　　)
A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝3 D．ω＝，A＝5
【答案】B　
【解析】因為水輪的半徑為3，水輪圓心O距離水面2米，A＝3，又水輪每分鐘旋轉4圈，故轉一圈需要15秒，所以T＝15＝，所以ω＝.
6．(2023年杭州期末)如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h(厘米)由如下關系式確定：h＝2sin ，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π).已知當t＝2時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在t＝0秒時h的值為(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．
【答案】D　
【解析】因為當t＝2時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，故×2＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈(－π，π)，故φ＝，故h＝2sin ，故當t＝0時，h＝2sin ＝.故選D.
7．(多選)下圖是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是(　　)
A．該質點的運動周期為0.8 s
B．該質點的振幅為5 cm
C．該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度最大
D．該質點在0.1 s和0.5 s時運動速度為零
【答案】ABD　
【解析】由圖可得半個周期為0.4 s，所以周期為0.8 s，A正確；平衡位置為x軸，最低點縱坐標是－5，故振幅為5 cm，B正確；當質點位于最高點或最低點時速度為零，故C錯誤，D正確．
8．簡諧運動y＝－3sin (x≥0)的頻率為________．
【答案】　
【解析】由誘導公式可知y＝－3sin ＝3sin ，故頻率為＝.
9．已知某種交流電電流I(單位：A)隨時間t(單位：s)的變化規律可以用函數I＝5·sin ，t∈[0，＋∞)表示，則這種交流電電流在0.5 s內往復運行______次．
【答案】25　
【解析】∵周期T＝＝(s)，∴頻率為每秒50次，∴0.5 s往復運行25次．
10．如果某地夏天從8～14時的用電量變化曲線近似滿足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如圖所示．
(1)求這一段時間的最大用電量和最小用電量；
(2)寫出這段曲線的函數解析式．
解：(1)觀察圖象知8～14時這一段時間的最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度．
(2)觀察圖象可知，T＝14－8＝6，所以T＝12，所以ω＝＝.b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，
所以y＝10sin ＋40.
將x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).
又因為|φ|＜，所以φ＝.
所以所求解析式為y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
B級——能力提升練
11．已知簡諧振動的振幅是，圖象上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則該簡諧振動的頻率和初相是(　　)
A．，　　　　　　　 B．，
C．，　　　　　　　 D．，
【答案】C　
【解析】由題意可知，A＝，32＋＝52，則T＝8，ω＝＝，y＝sin .由sin φ＝，得sin φ＝.因為|φ|＜，所以φ＝.因此頻率是，初相為.
12．(多選)交流電的電壓E(單位：伏)與時間t(單位：秒)的關系可用E＝220sin 來表示，則下列說法中正確的是(　　)
A．開始時電壓為110伏
B．電壓值重復出現一次的時間間隔為0.02秒
C．電壓的最大值為220伏
D．第一次獲得最大值的時間為秒
【答案】ABCD　
【解析】當t＝0時，E＝110伏，即開始時的電壓為110伏，A正確；T＝＝(秒)，即時間間隔為0.02秒，B正確；電壓的最大值為220伏，C正確；當100πt＋＝，即t＝秒時，第一次取得最大值，D正確．
13．單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的位移s和時間t的函數關系式為s＝6sin ，則單擺的運動周期為________，最大位移是________．
【答案】1　6　
【解析】T＝＝1，最大位移為振幅6.
14．穩定房價是我國實施宏觀調控的重點，國家出臺的一系列政策已對各地的房地產市場產生了影響，某市房地產中介對本市一樓盤的房價做了統計與預測：發現每個季度的平均單價y(每平方米的價格，單位：元)與第x季度之間近似滿足：y＝500·sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均單價如表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
則此樓盤在第三季度的平均單價大約是________元．
【答案】9 000　
【解析】因為y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以當x＝1時，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；當x＝2時，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin ＋9 500.當x＝3時，y＝9 000.
15．(2023年西安期末)摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點距離地面100 m，最低點距離地面10 m，摩天輪上均勻設置了依次標號為1～36號的36個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動t min后距離地面的高度為H m，轉一周需要30 min.
(1)求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；
(2)若甲、乙兩人分別坐在1號和7號座艙里，在轉動一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關于t的函數解析式，并求高度差的最大值．
解：(1)根據題意設H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(0≤t≤30)，
因為某摩天輪最高點距離地面高度為100 m，最低點距離地面10 m，即解得A＝45，B＝55，
因為開啟后按逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周需要30 min，
所以T＝＝30，解得ω＝，
因為t＝0時，H(0)＝10，所以10＝45sin φ＋55，即sin φ＝－1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以H(t)＝45sin ＋55，t∈[0，30].
(2)因為甲、乙兩人分別坐在1號和7號座艙里，設甲、乙兩人對應的位置分別為B，A，如圖所示．
則∠AOB＝×(7－1)＝，經過t min后甲距離地面的高度為H1＝45sin ＋55，點A始終落后B點 rad，
所以乙距離地面的高度為H2＝45sin ＋55，
所以兩人距離地面的高度差為h＝|H1－H2|＝45
＝45
＝45
＝45，t∈[0，30]，
當t－＝或t－＝，即t＝10或t＝25時，h取得最大值為45 m.
所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值為45 m．

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