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（3）不等式—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之填空題
方法技巧
1.解含參數的一元二次不等式的步驟：
（1）二次項若含有參數應討論參數與0的關系，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數為正的一元二次不等式；
②判斷一元二次不等式所對應的方程實根的個數，即討論判別式與0的關系；
③確定方程無實根或有兩個相同實根時，可直接寫出解集；確定方程有兩個相異實根時，要討論兩實根的大小關系，從而確定解集形式.
2.利用基本不等式求最值的方法
（1）拆（裂項拆項）：對分子的次數不低于分母次數的分式進行整式分離，分離成整式與“真分式”的和，再根據分式中分母的情況對整式進行拆項，為應用基本不等式湊定值創造條件；
（2）并（分組并項）：目的是分組后各組可以單獨應用基本不等式，或分組后先對一組應用基本不等式，再在組與組之間應用基本不等式得出最值；
（3）配（配式配系數，湊出定值）：有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據題設條件采取合理配式、配系數的方法，使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值，或配以恰當的系數后，使積式中的各項之和為定值；
（4）換（常值代換、變量代換）：對條件變形，以進行“1”的代換，從而構造利用基本不等式求最值的形式.
1.已知正實數x,y滿足,則的最小值為______.
2.若不等式對一切恒成立,則a的取值范圍是____________.
3.已知,,,則的最小值為_______________.
4.已知函數,若方程有解,則實數m的取值范圍是______________.
5.若,且,的最小值為m,的最大值為n,則mn為___________,
6.下列命題中：
①若,則的最大值為;
②當,時,;
③的最小值為;
④當且僅當均為正數時,恒成立.
其中是真命題的是______________.(填上所有真命題的序號)
7.已知a,,且,,則的最小值為________,的最小值為________..
8.已知，且，則的最小值為_________.
9.若，，則的最小值為__________.
10.已知關于x的不等式的解集是空集,則實數a的取值范圍是__________.
11.已知，，若，則的最小值為_________.
12.已知正實數a，b滿足，則的最小值為_________.
答案以及解析
1.答案：8
解析：因為,,所以,即,當且僅當,時,等號成立,
所以.
即的最小值為.
故答案為:
2.答案：
解析：當,即時,恒成立,
當時,因為不等式對一切恒成立,
所以,解得,
綜上,,
即a的取值范圍是.
故答案為：.
3.答案：
解析：
（當且僅當,即,時取等號）,
的最小值為.
故答案為：.
4.答案：
解析：由題意得：有解
令,則
有解,即有解,顯然無意義
,令
,當且僅當,即時取等,
故答案為：.
5.答案：
解析：由可得,
由可得,,
所以
,
當且僅當,時,等號成立；
即的最小值為；
,
所以,即；
當且僅當,時,等號成立；
即的最大值為；
所以.
故答案為：.
6.答案：①②
解析：①若,則的最大值為
,正確
②當時,
,時等號成立,正確
③的最小值為,
取 錯誤
④當且僅當a,b均為正數時,恒成立
a,b均為負數時也成立.
故答案為①②
7.答案：,9
解析:因為,所以,因,故.
,當時,有最小值且為.
,故
,
當且僅當時等號成立,故的最小值為9.
綜上,填,9.
8.答案：3
解析：
，
當且僅當即時，等號成立.
9.答案：
解析：方法一：，當且僅當即時取等號.
方法二：，當且僅當，即時取等號.
方法三：
，
當且僅當即時取等號.
10.答案：
解析:由題意知恒成立,
當時,不等式化為,顯然恒成立;
當時,則,即,
綜上實數a的取值范圍是,
故答案為.
11.答案：4
解析：由題知，因為，，
所以，設，
故不等式化為，解不等式得（舍）或，
故，即.
12.答案：/
解析：由題設，，則，
又，
，當且僅當時等號成立，
，當且僅當時等號成立.
的最小值為.
故答案為：.

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