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（7）數列—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之填空題
方法技巧
1.由前幾項歸納數列通項公式的常用方法及具體策略：
（1）常用方法：觀察（觀察規律）、比較（比較已知數列）、歸納、轉化（轉化為特殊數列）、聯想（聯想常見的數列）等方法.
（2）具體策略：
①分式中分子、分母的特征；
②相鄰項的變化特征；
③各項的符號特征和絕對值特征；
④對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；
⑤對于符號交替出現的情況，可用或，處理.
2.等差數列前n項和的最值求解得常用方法
（1）通項公式法：其基本思想是通過通項公式求出符號變化的項，從而求得和的最值；
（2）前n項和法：其基本思想是利用前n項和公式的二次函數特性，借助拋物線的圖象求最值.
3.解決等比數列前n項和的實際應用問題的基本步驟
（1）將已知條件翻譯成數學語言，將實際問題轉化為數學問題；
（2）構建等比數列模型；
（3）利用等比數列的前n項和公式求解等比數列問題；
（4）將所求結果還原到實際問題中.
4.利用裂項相消法求和的基本步驟
（1）裂項：觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；
（2）累加：將數列裂項后的各項相加
（3）消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數列的前n項和.
5.解決數列與不等式綜合問題的一般步驟
（1）由已知條件和數列性質求基本量，確定數列的特性（等差或等比數列）；
（2）求出或的通項公式；
（3）分析，涉及的函數或不等式，利用相關函數或不等式性質解決題目中的問題；
（4）得出結果，敘述完整；
（5）回顧反思，查驗“n”的取值是否符合要求，運算過程是否有不當之處.
1.已知數列的前n項和，則數列的通項公式為__________.
2.數列滿足,則___________.
3.設為等比數列的前n項和,已知,,若存在,使得成立,則m的最小值為________.
4.設是數列的前項和,且,則的通項公式為________.
5.已知數列滿足,且,表示數列的前n項和,則使不等式成立的正整數n的最小值是_____________.
6.已知數列滿足，，且數列的前n項和為.若的最大值為，則實數k的最大值是_________.
7.已知數列中,,,,數列的前n項和為.若對于任意的,不等式恒成立,則實數t的取值范圍是_________.
8.各項均為正數的等比數列的前n項和為,若,,則的最小值為________.
9.已知數列中，，，且，則的值為__________.
10.已知數列中,,,若對任意,,則數列的前n項和______.
11.已知數列各項均為正數，，為其前n項和.若是公差為的等差數列，則________.
12.若一個數列的后項與其相鄰的前項的差值構成的數列為等差數列，則稱此數列為二階等差數列.現有二階等差數列：2，3，5，8，12，17，23，…，設此數列為，若數列滿足，則數列的前n項和__________.
答案以及解析
1.答案：
解析：方法一：當時，.
當時，，又，適合上式，所以.
方法二：因為，所以.
2.答案：-800
解析：由題可得
因為
,
又因為,
故答案為：-800.
3.答案：9
解析:為等比數列的前項和,已知,,則,
即,
則等比數列的公比,
即,
則,
則,
當且僅當,即時取等號,又存在,使得成立,
則,
即,
即m的最小值為9.
故答案為:9.
4.答案：
解析:因為,當時,解得;
當時,所以,
即,即,
所以是以為首項,為公比的等比數列,
所以;
故答案為:
5.答案：10
解析：因為數列滿足且,所以數列是首項為2,公差為2的等差數列,
所以,所以,
所以
.
令,解得.
故答案為：10.
6.答案：
解析：，即，當時，，兩式相減得，.又滿足，.令，顯然數列是等差數列，若的最大值為，則解得，實數k的最大值是.
7.答案：
解析：由得,
則有,化簡得,即,
所以,
所以,
所以不等式恒成立,則有.
故答案為：.
8.答案：8
解析:,且,
,
公比,
,,
,
當且僅當,即時等號成立,
故答案為:8.
9.答案：2
解析：因為，由，得；
由，得；
由，得；
由，得；
由，得；
由，得；…
由此推理可得數列是一個周期為6的周期數列，所以.
10.答案：
解析:由,且,,可知,
則可化為,
則有,即等比數列,
且公比為2,首項為,則,
所以,
即數列的前n項和為.
故答案為:.
11.答案：，
解析：由題意知，，由，得，，
又等差數列的公差為，
所以，即，解得，
所以，解得.
當時，，
得，
當時，符合上式，所以.
12.答案：
解析：由題可知，數列是以為首項，1為公差的等差數列，所以.所以.所以.所以.故，所以數列的前n項和.故答案為：.

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