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（8）空間向量與立體幾何—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之填空題
方法技巧
1.求空間幾何體的表面積的方法
（1）求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平
面圖形面積的方法求多面體的表面積.
（2）求旋轉體的表面積：可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系.
（3）求不規則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.
2.求異面直線所成角的方法
（1）平移法：平移的方法一般有三種類型：①利用圖中已有的平行線平移；②利用特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；③補形平移.
（2）向量法：設異面直線a，b的方向向量分別為a，b，則異面直線a，b所成角的余弦值等于，再結合異面直線所成角的范圍，得到異面直線所成的角.
（3）坐標法：建立空間直角坐標系求解.
3.判定平面與平面平行的方法
（1）利用定義，常用反證法完成.
（2）利用面面平行的判定定理.
（3）利用面面平行的判定定理的推論.
（4）面面平行的傳遞性.
（5）利用線面垂直的性質.
（6）用向量法證明平面與平面平行.
4.證明線面垂直的常用方法
（1）利用線面垂直的判定定理.
（2）利用面面垂直的性質定理.
（3）利用面面平行的性質.
（4）利用垂直于平面的傳遞性.
1.設x，，向量，，，且，則________.
2.已知直三棱柱中,,,D,E分別為棱,AB的中點,過點,D,E作平面將此三棱柱分成兩部分,其體積分別記為,,則_______;平面截此三棱柱的外接球的截面面積為_______.
3.如圖,某款酒杯容器部分為圓錐,且該圓錐的軸截面為面積是的正三角形.若在該酒杯內放置一個圓柱形冰塊,要求冰塊高度不超過酒杯口高度,則酒杯可放置圓柱冰塊的最大體積為________.
4.《九章算術》是中國古代的數學專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體(如圖)，其中四邊形ABCD為矩形，，若，和都是正三角形，且，則異面直線AE與CF所成角的大小為__________.
5.如圖，已知四邊形ABCD為圓柱的軸截面，，E，F為上底面圓上的兩個動點，且EF過圓心G，當三棱錐的體積最大時，直線AC與平面BEF所成角的正弦值為_________.
6.已知邊長為1的正方體，M為BC的中點，N為平面上的動點.若，則三棱錐的體積的最小值為__________.
7.如圖，在正方體中，E為棱的中點.動點P沿著棱DC從點D向點C移動，對于下列三個結論：
①存在點P，使得，且這樣的點P有兩個；
②的面積越來越小；
③四面體的體積不變.
所有正確的結論的序號是____________.
8.已知三棱錐中，平面ABC，，，則三棱錐外接球的體積為__________．
9.在直三棱柱中，底面ABC為直角三角形，，.已知G與E分別為與的中點，D與F分別為線段AC與AB上的動點(不包括端點).若，則線段DF長度的最小值為____________.
10.如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上運動(不與A，B重合)，平面ABC，若，二面角等于，則三棱錐體積的最大值為____________．
11.在正三棱錐中,,D是PC的中點,且,則該三棱錐內切球的表面積為________.
12.已知圖(1)中，A，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點，分別沿著AB，BC，CD，DA把，，，向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面ABCD垂直，再順次連接EFGH，得到一個如圖(2)所示的多面體，則以下結論正確的是___________(寫出所有正確結論的序號).
①是正三角形；
②平面平面CGH；
③直線CG與平面AEF所成角的正切值為；
④當時，多面體的體積為.
答案以及解析
1.答案：3
解析：因為，，，且，，
所以，解得，
所以，得.
故答案為：3.
2.答案：,
解析:取AC中點,取中點F,連EF,DF,
平面為平面,,
,,
三棱錐外接球半徑,
如下圖建系,,,,,
設平面的法向量,
,,不妨設,則,
球心到平面距離,
,.
故答案為:,
3.答案：/
解析:設圓錐底面圓的半徑為Rcm,圓柱形冰塊的底面圓半徑為xcm,高為hcm,由題意可得,,解得,,設圓柱形冰塊的體積為,則.設,則.當時,;當時,.所以在處取得極大值,也是最大值,,故酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為.
故答案為:
4.答案：
解析：方法一(建系法)如圖，以矩形ABCD的中心O為坐標原點，，的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.設，則，，，，，，所以，，所以，所以，所以異面直線AE與CF所成的角為.
方法二：如圖，在平面ABFE中，過點F作交AB于點G，連接CG，則或其補角為異面直線AE與CF所成的角.設，則，.因為，，所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以，，.又，所以，又，所以，所以，即異面直線AE與CF所成的角為.
5.答案：
解析：連接AG，BG，因為，的值不變，所以當EF垂直CD時，三棱錐的體積最大.設下底面中心為O，以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面BEF的一個法向量為，則可得令，則.設直線AC與平面BEF所成角為，則.
6.答案：
解析：以D為原點，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則，，.設，，，所以，.又，所以，即，所以，，所以，所以.所以三棱錐的體積的最小值為.
7.答案：②③
解析：如圖，以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
設正方體的棱長為2，則，.設，則，，所以，.令，解得，所以存在唯一一個點P，使得，故①錯誤.又，所以，所以直線的一個單位方向向量.設點P到直線距離為d，則，所以.
因為，動點P沿著棱DC從點D向點C移動，即m從0逐漸變到2，隨著m的變大，變小，所以的面積越來越小，故②正確.求四面體的體積時，以為底面，高為點P到上底面的距離h.因為底面，所以h不變，所以四面體的體積不變，故③正確.
8.答案：
解析：因為，，
所以在中，根據余弦定理可得：，
即，
所以，所以．
所以底面是頂角為的等腰三角形．
由題意將三棱錐補成如圖所示的直三棱柱，則該直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點上．
設外接圓的半徑為r，三棱錐外接球的半徑為R，
由正弦定理得，，所以
，．
所以三棱錐外接球的體積為．
9.答案：
解析：如圖，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則，.
設，，
則，.
因為，所以，由此推出.
又，
，
從而有.
10.答案：
解析：因為C在半圓上，為直徑，所以，因為平面，所以，又因，所以面，所以，所以二面角的平面角為，設的長度為，則在直角三角形中，，同理可得，所以三棱錐體積，令，則，令，當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以當時，取最大值，即取最大值.
11.答案：
解析:如圖,
取AC的中點E,連接PE,BE.
因為三棱錐為正三棱錐,所以,,又E是AC的中點,所以,,又,PE,平面PBE,所以平面PBE,又平面PBE,所以,又,,AC,平面PAC,所以平面PAC,又PA,平面PAC,A所以,,又,,所以,所以,所以.設正三棱錐的內切球的半徑為R,所以,即,解得,所以該三棱錐內切球的表面積.
12.答案：①③
解析：分別取CD，AB的中點O，M，連接OH，OM.
在題圖(1)中，因為A，B，C，D是正方形EFGH各邊的中點，所以.又因為O為CD的中點，所以.因為平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD.在題圖(1)中，設正方形EFGH的邊長為，則四邊形ABCD是邊長為2a的正方形.因為O，M分別為CD，AB的中點，所以且.又，所以四邊形BCOM為矩形，所以.以O為原點，OM，OC，OH所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，，所以，，.對于(1)，易得，所以是正三角形，故①正確.對于②，設平面AEF的法向量為，則取，得.易得，.設平面CGH的法向量為，則取，得.所以，所以平面AEF與平面CGH不垂直，故②錯誤.對于③，因為，設直線CG與平面AEF所成的角為，則，所以，則，故③正確.對于④，以四邊形ABCD為底面，以OH為高將幾何體補成長方體，如圖，則E，F，G，H分別為，，，的中點.因為，即，所以1，所以長方體的體積.易知，所以多面體的體積，故④錯誤.

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