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（9）平面解析幾何—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之填空題
方法技巧
1.與直線方程相關問題的常見類型及解題策略
（l）求解與直線方程有關的最值問題，先設出直線方程，建立目標函數，再利用基本不等式求解最值.
（2）求參數值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數的單調性或基本不等式求解.
2.過一點的圓的切線問題的求解方法
（1）若點在圓上，斜率存在時，先求點與圓心連線的斜率，由切線與過切點、圓心的直線垂直的關系知切線的斜率為-1，由點斜式方程可求出切線方程；斜率不存在時，則根據圖形可直接寫出切線方程.
（2）若點在圓外，可采用幾何法和代數法兩種方法來求.
幾何法：當斜率存在時，由圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，即可得出切線方程.
代數法：當斜率存在時，將直線方程代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，根據判別式求出斜率，即可得出切線方程.
3.與橢圓性質有關的最值或取值范圍的求解方法
（1）利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質，求最值或取值范圍.
（2）利用函數，尤其是二次函數求最值或取值范圍.
（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍.
（4）利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍.
4.求解與雙曲線性質有關的范圍（或最值）問題的方法
（1）幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質來求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關結論來求解.
（2）代數法：若題中給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，將雙曲線的范圍（或最值）問題轉化為二次函數或三角函數等函數的范圍（或最值）問題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數的單調性及三角函數的有界性等求解.
（3）不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關系式求解.
5.利用拋物線的定義可解決的常見問題
（1）軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關的軌跡是否為拋物線；
（2）距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離、到準線的距離問題時，注意利用兩者之間的轉化在解題中的應用.
1.設與相交于兩點,則_______.
2.已知點P為拋物線上的動點,直線,點T為圓上的動點,設點P到直線l的距離為d,則的最小值為______________.
3.已知直線與曲線有且只有一個公共點,則k的取值范圍為__________．
4.已知雙曲線的左,右焦點分別是,,點M為雙曲線上一點,若M到原點的距離,則的面積是___________.
5.已知拋物線的焦點為F，經過拋物線上一點P，作斜率為的直線交C的準線于點Q，R為準線上異于Q的一點，當時，___________.
6.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上一點，且，H是線段上靠近的三等分點，且，則C的離心率為___________.
7.已知點A是焦點為F的拋物線上的動點,且不與坐標原點O重合,線段OA的垂直平分線交x軸于點B.若,則________.
8.拋物線的焦點為F,直線l過點F且與拋物線交于點M,N（點N在x軸上方）,點E為坐標軸上F右側的一點,已知,,若點N在雙曲線的一條漸近線上,則雙曲線的離心率為______________.
9.已知F是橢圓的右焦點,P是橢圓E上一點,Q是圓上一點,則的最小值為________,此時直線PQ的斜率為________.
10.雙曲線（，），P為雙曲線C上的一點，若點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為1，則雙曲線的半焦距c的取值范圍_________.
11.直徑為4的球放地面上,球上方有一點光源P,則球在地面上的投影為以球與地面的切點F為一個焦點的橢圓.若橢圓的長軸為,垂直于地面且與球相切,,則橢圓的離心率為_____________.
12.已知拋物線的焦點為,準線與軸的交點為,過點的直線與拋物線交于A,B兩點,若,則________.
答案以及解析
1.答案：
解析:將和兩式相減:
得過A,B兩點的直線方程:,
則圓心到的距離為,
所以,
故答案為:
2.答案：
解析：拋物線的焦點為,準線為直線,
圓的圓心,半徑,
由拋物線的定義知,,則,
當P,F,M三點共線時,取最小值為.
3.答案：
解析：由,即,
所以直線l過定點,
由,即,
所以曲線為原點為圓心,3為半徑的上半圓,
如圖所示,設與曲線相切于點C,
曲線與x軸負半軸交于點,
則,
由,解得,可得,
要使直線與曲線有且只有一個公共點,
則或,
即k的取值范圍為.
故答案為：．
4.答案：16
解析:由題意可得雙曲線的實軸長為6,虛軸長為8,焦距為10.因為,故M在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義可得,兩邊平方得.
,又在中,由余弦定理可得
,
又,故,即,則的面積是.
5.答案：
解析：如圖，過點P作PR垂直于準線，垂足為R，又，所以PQ為的平分線，又Q是斜率為的直線與拋物線準線的交點，則點P在第一象限內，而，且，
根據角平分線性質知，令且，則直線PQ的方程為，令，則，所以，又，所以，整理可得，則，故.
6.答案：
解析：由題意，不妨設點P在第一象限，如圖.因為，所以，，.
因為，所以，所以，則，即，整理得.由，得，解得或（舍去），所以C的離心率為.
7.答案：3
解析:設,,
,即,整理得:.
又,即C為線段AF的中點,.
.
故答案為:3.
8.答案：
解析：過M,N分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為P,Q,
過M作于G,如圖所示：
設,
由拋物線定義知,,
所以,
因此在中,,
又NQ平行于x軸,
所以,
故為正三角形,
,
解得,
又在拋物線上,
所以（舍）或,
所以在上,
則,又,
所以,
即,
又,故.
故答案為：.
9.答案：,1
解析:如圖,由題可知,圓C的圓心坐標為,半徑為1,設橢圓E的左焦點為.
橢圓中,,,則,當,P,Q,C四點共線時,等號成立,此時直線PQ的斜率為.
故答案為:,1
10.答案：
解析：由題意，雙曲線，可得其漸近線方程為，
設，可得點P到兩條漸近線的距離分別為，，
因為點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為1，
可得，
又由，可得，所以，
即，即，所以，當且僅當時等號成立，
所以雙曲線的半焦距c的取值范圍.
故答案為：.
11.答案：
解析：依題意,平面截球O得球面大圓.
如圖,是球O大圓的外切三角形,
其中,切圓O于點E,F,顯然,
而,則,
又,則,
由圓的切線性質知.
在中,,則,于是得橢圓長軸長,
即.
又F為橢圓的一個焦點,令橢圓的半焦距為c,即,因此,
所以橢圓的離心率.
故答案為：.
12.答案：8
解析:由題意得,,,當直線l的斜率為0時,與拋物線只有1個交點,不合要求,
故設直線l的方程為,不妨設,
聯立,可得,易得,
設,,則,,
則,,
則,
,
由正弦定理得,,
因為,,
所以,,即,
又由焦半徑公式可知,
則,即,
即,解得,
則,,解得,
故,
當時,同理可得到.
故答案為:8

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