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（3）不等式—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之選擇題
方法技巧
1.利用不等式性質比較大小的常用方法
（1）作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結論.
其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式，當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差
（2）作商法：一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④下結論.
（3）特值法：若是選擇題、填空題可以用特值法比較大小；若是解答題，可以用特值法探究思路，其實質就是利用特殊值判斷.
2.利用基本不等式求最值的方法
（1）拆（裂項拆項）：對分子的次數不低于分母次數的分式進行整式分離，分離成整式與“真分式”的和，再根據分式中分母的情況對整式進行拆項，為應用基本不等式湊定值創造條件；
（2）并（分組并項）：目的是分組后各組可以單獨應用基本不等式，或分組后先對一組應用基本不等式，再在組與組之間應用基本不等式得出最值；
（3）配（配式配系數，湊出定值）：有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據題設條件采取合理配式、配系數的方法，使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值，或配以恰當的系數后，使積式中的各項之和為定值；
（4）換（常值代換、變量代換）：對條件變形，以進行“1”的代換，從而構造利用基本不等式求最值的形式.
1.若命題“,”為真命題,則m的取值范圍是( )
A. B.
C.或 D.或
2.已知,,且是與的等差中項,則的最小值為( )
A. B. C. D.
3.若兩個正實數x,y滿足,且不等式有解,則實數m的取值范圍是( )
A. B.或
C. D.或
4.已知函數的定義域為B,函數的定義域為,若,使得恒成立,則實數m的取值范圍為( )
A. B. C. D.
5.已知,,,則xy的最大值為( )
A. B. C. D.
6.不論k為任何實數,直線恒過定點,若直線過此定點其中m,n是正實數,則的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知,且,則的最小值為( )
A. B.10 C.9 D.
8.若兩個正實數x、y滿足,且不等式恒成立,則實數m的取值范圍為( )
A. B.或
C. D.或
9.關于x的不等式的解集為,則的最小值為( )
A. B.4 C. D.8
10.（多選）已知x,,設,,則以下四個命題中正確的是( )
A.若,則M有最小值 B.若,則N有最大值2
C.若,則 D.若,則M有最小值
11.（多選）已知正數x,y滿足,則下列說法錯誤的是( )
A.的最大值為2 B.的最大值為2
C.的最小值為2 D.的最小值為2
12.（多選）已知正實數a,b滿足,下列說法正確的是( )
A.ab的最大值為2 B.的最小值為4
C.的最小值為 D.的最小值為
答案以及解析
1.答案：D
解析：由題意,不等式有解.
即不等式有解.
設,則函數圖象開口向上,
要使不等式有解,則函數圖象與x軸有交點,
則,化簡得,
解得,或.
故選：D.
2.答案：A
解析：因為是與的等差中項,所以,所以,
因為,,則,當且僅當,時取等號.
故選:A
3.答案：D
解析：因為正實數x,y滿足,
所以,
當且僅當,時,取得最小值4,
由有解,則,解得或.
故實數m的取值范圍是或.
故選：D.
4.答案：C
解析：函數的定義域為,即,
所以,所以的定義域,
由于,,
所以在區間上恒成立,
由于,當且僅當,時等號成立,
所以,即m的取值范圍是.
故選：C.
5.答案：B
解析:因為,,,
所以,當且僅當即,時取等;
故,即.
故選:B.
6.答案：B
解析：由直線,
得：,即恒過點,
因為直線過此定點,其中m,n是正實數
所以,
則,
,
當且僅當時取等號;
故選：B.
7.答案：C
解析:由可得,,
所以,
當且僅當,即時取得等號,
所以的最小值為9,
故選:C.
8.答案：C
解析：因為兩個正實數x、y滿足,則
,
當且僅當時,等號成立,故,即,解得.
故選：C.
9.答案：B
解析：由題意知,a,b是方程的兩根,
則,得且,即,得,
由得,
所以,
所以,
當且僅當即時,等號成立;
綜上,的最小值為4.
故選：B.
10.答案：BC
解析:A:,由,當且僅當,時等號成立,錯;
B:,當且僅當,時等號成立,
即,可得,
所以N有最大值2,對;
C:,則,
又x,,則,可得,所以,對;
D:由題設,即,
當且僅當,時等號成立,所以,錯.
故選:BC
11.答案：BCD
解析：因為,,,
所以,當且僅當時,取得等號;
所以的最大值為2,故A正確;
當,時,,故B不正確;
因為,所以,即有最大值為2,故C不正確;
因為,所以有最大值為2,故D不正確;
故選：BCD.
12.答案：BCD
解析：對于A,因為,
即,解得,
又因為正實數a,b,所以,
則有,當且僅當時取得等號,故A錯誤;
對于B,,
即,解得（舍）,
當且僅當時取得等號,故B正確;
對于C,由題可得所以,解得,
,
當且僅當即時取得等號,故C正確;
對于D,,
當且僅當,時取得等號,故D正確,
故選:BCD.

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