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（4）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)—2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)攻克典型題型之選擇題
方法技巧
1.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
（1）比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.
（2）在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.
（3）利用單調(diào)性求解最值問題，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求解.
（4）利用單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).
2.指數(shù)型代數(shù)式大小的比較方法
（1）化同底，化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底.
（2）取中間值法，不同底、不同指數(shù)時(shí)比較大小，先與中間值0或1比較大小，再間接地得出大小關(guān)系.
（3）圖解法，根據(jù)指數(shù)式的特征，在同一坐標(biāo)系中作出它們相應(yīng)的函數(shù)圖象，在圖象上找出相應(yīng)的位置，進(jìn)行比較.
（4）比較法，有作差比較法與作商比較法兩種.
3.解決指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合問題的技巧
（l）解決指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合問題時(shí)，一般運(yùn)用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，并結(jié)合研究函數(shù)的性質(zhì)的思想方法來分析解決問題.
（2）解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
（3）在給定條件下求字母的取值范圍是常見題型，要重視不等式的知識及函數(shù)單調(diào)性在這類問題中的應(yīng)用.
4.求解函數(shù)圖象的應(yīng)用問題的步驟
（1）畫圖：通過五點(diǎn)作圖法或函數(shù)圖象變換法畫出有關(guān)函數(shù)的圖象；
（2）分析：準(zhǔn)確分析函數(shù)圖象的特征，定性分析、定量分析；
（3）轉(zhuǎn)化：借助函數(shù)圖象，把原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系比較明確的問題；
（4）結(jié)論：解決問題，并回到原問題，得出正確結(jié)論.
5.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍的方法及步驟
（1）常用方法：
①直接法：先直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍.
②分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.
③數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
（2）一般步驟：
①轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化為方程（組）的解、不等式(組)的解集或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的情況；
②列式：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式；
③結(jié)論：求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍.
1.函數(shù)的部分圖象為( )
A. B.
C. D.
2.若,,則( )
A. B. C. D.
3.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R,且是奇函數(shù),記,若是奇函數(shù),則( )
A.2 B.0 C. D.
4.設(shè)a,b,c都是正數(shù),且,那么下列關(guān)系正確的是( )
A. B. C. D.
5.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,,,當(dāng)時(shí),恒有,則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象的對稱中心.利用對稱中心的上述定義,研究函數(shù),可得到( )
A.0 B.2023 C.4046 D.4047
6.已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與的圖象的交點(diǎn)為,,,,則( )
A.-2m B.2m C.m D.-m
7.已知函數(shù).設(shè)s為正數(shù),則在,,中( )
A.不可能同時(shí)大于其它兩個(gè) B.可能同時(shí)小于其它兩個(gè)
C.三者不可能同時(shí)相等 D.至少有一個(gè)小于
8.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,則( )
A. B. C. D.
9.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),則的最小值為( )
A.e B. C.7 D.
10.（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且,,則( )
A.是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)
B.
C.函數(shù)在處切線的斜率小于零
D.
11.（多選）函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.若函數(shù)在上為減函數(shù),則
B.若函數(shù)的對稱中心為,則
C.當(dāng)時(shí),若有三個(gè)根,,,且
D.當(dāng)時(shí),若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,則
12.（多選）已知函數(shù),,則( )
A.函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)
B.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
C.若對任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為
D.若,則的最大值為
答案以及解析
1.答案：C
解析：的定義域?yàn)?
,故為奇函數(shù),
其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除B,D;
又時(shí),,,,故,排除A.
故選:C.
2.答案：B
解析：由于 ,
故設(shè)函數(shù) ,
則 ,
由于 ,所以,
即 , 即 故為單調(diào)遞減函數(shù),故 ,
即 ,
令, 則 ,
即 ;又
令,
則,，
即 ,為單調(diào)遞增函數(shù),故,
即 ,令,則,即,
故,
故選：B.
3.答案：B
解析:因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以,
兩邊求導(dǎo)得,
即,
又,
所以,即,
令,可得,
因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù),所以,即.
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),
所以,又,
所以,則,,
所以4是函數(shù)的一個(gè)周期,
所以.
故選:B.
4.答案：C
解析：由,得,,,
,,,則,
根據(jù)可知,.
故選:C
5.答案：D
解析：定義域?yàn)镽.
因?yàn)?
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
所以.
故選:D
6.答案：D
解析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱,
又圖象也關(guān)于點(diǎn)中心對稱,所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對稱,
由對稱性知,每一組對稱點(diǎn),所以.
故選:D.
7.答案：D
解析:,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,且,
對A:若,則,,則,,A錯(cuò)誤;
對B,C:當(dāng)時(shí),則,故;
當(dāng)時(shí),則,故;
當(dāng)時(shí),則,故;
當(dāng)時(shí),則,故;
綜上所述:不可能同時(shí)小于,,B,C錯(cuò)誤;
對D:構(gòu)建,則,當(dāng)時(shí)恒成立,
故在上單調(diào)遞減,則,
令,可得,則,
故,即,使得,
反證:假設(shè),,均不小于,則s,,,
顯然不成立,假設(shè)不成立,D正確.
故選:D.
8.答案：C
解析:因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,
又函數(shù)的定義域?yàn)?導(dǎo)函數(shù)為,
所以方程由兩個(gè)不同的正根,且,為其根,
所以,,,
所以,
則
,
又,即,可得,
所以或(舍去),
故選:C.
9.答案：B
解析:設(shè)t為在上的零點(diǎn),則,所以,即點(diǎn)在直線上,又表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,則,即,令,
可得,
因?yàn)?,所以恒成立,
可得在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以,
所以,即的最小值為.故選:B.
10.答案：AB
解析:令,解得,則在上單調(diào)遞增,
令,解得或,則在,上單調(diào)遞減,
故是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),,A,B正確;
,則,故函數(shù)在處切線的斜率大于零,C錯(cuò)誤;
又,則,但無法確定函數(shù)值的正負(fù),D錯(cuò)誤;
故選:AB.
11.答案：ACD
解析：對于A,,,函數(shù)在上為減函數(shù),
則,對,
所以,解得,故A正確;
對于B,函數(shù)的對稱中心為,則,即,解得,故B錯(cuò)誤;
對于C,當(dāng)時(shí),,則即,
化簡得,其3個(gè)根為,,,所以,故C正確;
對于D,當(dāng)時(shí),,設(shè)切點(diǎn)為,則,切線的斜率,
則切線方程為,
將點(diǎn)代入上式,整理得,
過點(diǎn)可作曲線的三條切線,
即方程有三個(gè)不同的解,
令,
則,可得,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)在處取得極小值,極小值為,
在處取得極大值,極大值為,
由方程有三個(gè)不同的解,
所以,故D正確.
故選:ACD.
12.答案：BCD
解析:對于A:,令,則,
令,解得:,令,解得:,故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
故,故在單調(diào)遞增,函數(shù)在上無極值點(diǎn),故A錯(cuò)誤;
對于B:,令,則,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故,即,
又時(shí),,作出函數(shù)的圖象,如圖:
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),得有兩個(gè)實(shí)根,得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn),
由圖可知,,故B正確;
對于C:由B得:在上恒成立,則在單調(diào)遞增,則不等式恒成立,等價(jià)于恒成立,故,
設(shè),則,
令,解得:,令,解得:,
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故,故,則實(shí)數(shù)的最小值為,故C正確;
對于D:若,則,
即,
∵,∴,,,
由A知,在上單調(diào)遞增,故,
所以,
設(shè),則,
令,解得:,令,解得:,
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故,此時(shí),
故的最大值是,故D正確;
故選:BCD

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