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（5）三角函數與解三角形—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之選擇題
方法技巧
1.三角函數定義問題的常見類型及解題策略
（1）已知角終邊上一點P的坐標，可求角的三角函數值：先求點P到原點的距離，再用三角函數的定義求解.
（2）已知角的某個三角函數值，求角終邊上一點P的坐標中的參數值，可根據定義中的兩個量列方程求參數值.
（3）三角函數值的符號及角的終邊位置的判斷.已知一角的三角函數值中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置.注意終邊在坐標軸上的特殊情況.
2.解決三角函數的圖象變換問題的基本方法
（1）直接法：平移變換規則是“左加右減，上加下減”，井且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數不是1，那么要先把x的系數提取出來再確定平移的單位長度和方向.
（2）方程思想法：可以把變換前后的兩個函數變為同名函數，且x的系數變為一致，通過列方程求解.
（3）數形結合法：平移變換的實質就是點的坐標的變換，橫坐標的平移交換對應著圖象的左右平移，縱坐標的平移變換對應著圖象的上下平移，一般可選定變換前后的兩個函數，的圖象與x軸的交點（如圖象上升時與x軸的交點），其分別為，（，），則由的值可判斷出左右平移的情況，由的值可判斷出上下平移的情況，由三角函數最小正周期的變化可判斷出伸縮變換的情況.
3.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步驟
（1）找條件.尋找三角形中已知的邊和角，確定轉化方向.
（2）定工具，根據已知條件和轉化方向，選擇使用的定理和公式，進行邊角之間的轉化.
（3）求結果，根據前兩步的分析，代入求值得出結果.
（4）反思，轉化過程中要注意轉化的方向，審視結果的合理性.
1.函數的圖像如圖所示,圖中陰影部分的面積為,則( )
A. B. C. D.
2.設a,b,c分別是中內角A,B,C的對邊,且,則( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.英國化學家,物理學家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質量的人,卡文迪許是從小孩玩的游戲(用一面鏡子將太陽光反射到墻面上,我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子,墻上的光斑就會出現大幅度的移動,如圖1)得到靈感,設計了卡文迪許扭秤實驗來測量萬有引力,由此計算出地球質量,他在扭秤兩端分別固定一個質量相同的鉛球,中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上,鋼絲上有個小鏡子,用激光照射鏡子,激光反射到一個很遠的地方,標記下此時激光所在的點,然后用兩個質量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球(如圖2),由于萬有引力作用,根秤微微偏轉,但激光所反射的點卻移動了較大的距離,他用此計算出了萬有引力公式中的常數G,從而計算出了地球的質量.在該實驗中,光源位于刻度尺上點P處,從P出發的光線經過鏡面(點M處)反射后,反射光線照射在刻度尺的點Q處,鏡面繞M點順時針旋轉a角后,反射光線照射在刻度尺的點處,若是正三角形.,(如圖3),則下列等式中成立的是( )
A. B. C. D.
4.函數的圖象向右平移個單位長度后,所得的函數為偶函數,則的最小值為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.若,為銳角,且,則的最小值為( )
A. B. C. D.
6.若函數在的大致圖象如下圖，則( )
A. B. C. D.1
7.已知定義在R上的奇函數滿足,當時,．若函數在區間上有5個零點,則實數m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.已知函數是奇函數,,若關于x的方程在有兩個不相等實根,則實數m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.已知符號函數,函數滿足,當時,,則( )
A. B.
C. D.
10.（多選）已知函數,則( )
A.的最小正周期為
B.圖象的一條對稱軸為直線
C.當時,在區間上單調遞增
D.存在實數m,使得在區間上恰有2023個零點
11.（多選）已知函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則( )
A.
B.的圖象關于直線對稱
C.
D.在上的值域為
12.（多選）已知,,若與圖像的公共點個數為n,且這些公共點的橫坐標從小到大依次為,,…,,則下列說法正確的是( )
A.若,則 B.若,則
C.若,則 D.若,則
答案以及解析
1.答案：A
解析：如圖,①和②面積相等,故陰影部分的面積即為矩形的面積,可得,
設函數的最小正周期為T,則,
由題意得,解得,故,得,即,
的圖象過點,即,
,則,
,解得.
.
故選:A
2.答案：B
解析：由得,所以,
由正弦定理得,
,
所以2.
故選:B.
3.答案：C
解析:過點M作,因為是正三角形.,,
則,,
所以
則,解得
故選:C
4.答案：B
解析：,其中,
函數的圖象向右平移個單位長度后,得到函數為偶函數,
則當時,,,
即,則,,
,
即,
因為,所以,,
所以,
當,即時,等號成立,
所以的最小值為4.
故選:B
5.答案：A
解析:因為,
所以
,
所以,
即,得,
由于,為銳角,所以,所以,
當且僅當時等號成立,
所以的最小值為.
故選:A
6.答案：A
解析：設函數的最小正周期為T，
由圖象可得：，即，
可得，解得，
則，所以.
故選：A.
7.答案：A
解析：由,,聯立可得：,
即函數圖象關于點對稱,
由可得為周期函數,且周期為2,
的周期為2,關于點,對稱,
由圖象知：與在上有4個交點,其交點橫坐標分別為,,,,
所以若函數在區間上有5個零點,
則,
故選：A.
8.答案：C
解析:易知,解得,且,
,由,得,當時,取得最大值,當時,
取得最小值,當時,為,因為有兩個不相等實根,故.
故選:C.
9.答案：C
解析：對選項A：,錯誤;
對選項B：,函數周期為,,錯誤;
對選項C：,正確;
對選項D：取,,,不正確.
故選：C
10.答案：BCD
解析：對于A,,
故
,即為的一個周期,
說明不是的最小正周期,A錯誤;
對于B,
,,
故圖象的一條對稱軸為直線,B正確;
對于C,當時,,則,
由于正弦函數在上單調遞增,且,
故在上單調遞增,且,
此時,
而在上單調遞減,則在上單調遞增,
故在上單調遞增,C正確;
對于D,由A可知即為的一個周期,且的最小正周期為,
故的最小正周期為,
當時,,
當時,,則在上的零點為和,
故當時,恰有個零點,
且第2024個零點為,
故當時,恰有個零點,
即存在實數m,使得在區間上恰有2023個零點,D正確,
故選:BCD
11.答案：AC
解析：由圖像可知，，，
故A正確；
從而，
又由，，
因為，所以，
從而，故C正確；
因為，
所以不是的對稱軸，故B錯誤；
當時，則，
因為在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
因為，，所以，
故，即，
從而，
即在上的值域為，故D錯誤.
故選：AC.
12.答案：BC
解析:對于A,當時,如下圖,
則,,所以,又圖像關于對稱,
結合圖像有,即有,故A錯誤;
對于B,當時,如下圖,
易知在,且,與圖像相切,
由當時,,則,,
故,從而,
所以,故B正確;
對于C,令,顯然有,即是方程的一個根,又易知,是偶函數且,因為,所以時,沒有零點,令,則,當時,,又過原點,當時,是在原點的切線,如圖,
所以時,,故C正確;
對于D,當時,由,
與的圖像在y軸右側的前1012個周期中,每個周期均有2個公共點,共有2024個公共點,故D錯誤.
故選:BC.

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