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（6）平面向量—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之選擇題
方法技巧
1.向量線性運算的解題策略
（1）常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.
（2）找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解.
2.求非零向量a，b的數量積的方法
（1）定義法：已知或可求兩個向量的模和夾角.
（2）基底法：直接利用定義法求數量積不可行時，可選取合適的一組基底（基底中的向量要已知模或夾角），利用平面向量基本定理將待求數量積的兩個向量分別表示出來，進而根據數量積的運算律和定義求解.
（3）坐標法：已知或可求兩個向量的坐標；已知條件中有（或隱含）正交基底，優先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數量積.
3.解決向量在平面幾何中的應用問題的方法
（1）坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示出來，這樣就能進行相應的代數運算，從而使問題得到解決.
（2）基底法：選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據向量的運算法則、運算律和性質求解.
1.已知向量,,則向量與的夾角的余弦值為( )
A. B. C. D.
2.若向量,滿足,,,則( )
A.2 B. C.1 D.
3.已知為等比數列且各項均不為0，向量，，，且，則( )
A.4 B.2 C.8 D.6
4.已知平面單位向量,,滿足,則( )
A. B. C. D.
5.正方形ABCD邊長為4,M為CD中點,點N在AD上,,則( )
A. B. C.5 D.10
6.在中,點D是邊BC的中點,且,點E滿足,則的最小值為( )
A.-10 B.-8 C.-6 D.-4
7.已知，，若，則向量a在b上的投影向量為( )
A. B. C. D.
8.在中,D為BC的中點,,,EF與AD交于G,,則( )
A. B. C. D.
9.已知平面單位向量,,滿足,則( )
A.0 B.1 C. D.
10.（多選）有下列說法,其中正確的說法為( )
A.,為實數,若,則與共線
B.若,,則在上的投影向量為
C.兩個非零向量,,若,則與垂直
D.若,,分別表示,的面積,則
11.（多選）平面向量滿足,對任意的實數t,恒成立,則( )
A.與的夾角為 B.為定值
C.的最小值為 D.在上的投影向量為
12.（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論,因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理:已知O是內一點,,,的面積分別為,,,且.設O是銳角內的一點,,,分別是的三個內角,以下命題正確的有( )
A.若,則
B.若,,,則
C.若O為的內心,,則
D.若O為的垂心,,則
答案以及解析
1.答案：D
解析：由,,
則,,
所以,,,
設向量與的夾角為,則.
故選:D
2.答案：B
解析：因為,,故,即,.
又,故,故.
故.
故選:B
3.答案：C
解析：由得，又為等比數列，所以，
得.由得，即，所以，故選C.
4.答案：D
解析：由可知,兩邊同時平方得,,
故.
故選：D.
5.答案：C
解析:設,
因為,,
因為正方形ABCD邊長為4,,
所以,解得,
所以,
故選:C
6.答案：B
解析：因為,所以,
又,所以點E在線段AD上,所以.
設,所以,
當且僅當時,等號成立,所以的最小值為-8.
故選B.
7.答案：B
解析：，，.，，解得，，向量a在b上的投影向量為.故選B.
8.答案：B
解析：由題設,,
又,且,
所以,即,解得.
故選：B.
9.答案：C
解析:如圖,設,,
因為,所以平行四邊形OCDB為菱形,
則為正三角形,所以,且,反向,
所以,所以,
因為,
所以,
故選:C.
10.答案：BCD
解析:對于A,當時,很顯然,但是與不共線,故A錯誤;
對于B,因為在上的投影向量為
故B正確;
對于C,因為向量,為非零向量,且,
即,故與垂直,即C正確;
對于D,如圖所示取AC中點為D,則,
由,可知,
所以O,B,D三點共線,且,故,故D正確.
故選:BCD.
11.答案：AD
解析：設平面向量與的夾角為,
因為對任意的實數t,恒成立,
即恒成立,又,
也即對任意的實數t恒成立,
所以,則,所以,
故選項A正確;
對于B,因為隨t的變化而變化,故選項B錯誤;
對于C,因為,由二次函數的性質可知：當時,取最小值,故選項C錯誤;
對于D,向量上的一個單位向量,由向量夾角公式可得：,
由投影向量的計算公式可得：在上的投影向量為,故選項正確,
故選：AD.
12.答案：AD
解析:對于A,由奔馳定理可知,若,則,選項A正確;
對于B,在中,由,,可知,,
又,
,則,,
,選項B錯誤;
對于C,由奔馳定理可知,,O為三角形內心,設內切圓半徑為r,故,,,則.
為銳角三角形,故C錯誤
對于D,如圖,延長AO交BC于點D,延長BO交AC于點E,延長CO交AB于點F,
,由奔馳定理可知,,
根據題意O為的垂心,,設,,
同理,設,則,
,可得,,
,故D正確.

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