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（9）平面解析幾何—2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)攻克典型題型之選擇題
方法技巧
1.與圓有關(guān)的軌跡方程問題的求解方法
（1）直接法：當(dāng)題目條件中含有與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí)，可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程.
（2）定義法：當(dāng)題目條件符合圓的定義時(shí)，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程.
（3）代入法：當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí)，常找出要求的點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，代入動(dòng)點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程.
2.直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)問題的求法
（1）直線斜率不存在時(shí)的弦長(zhǎng)問題：若直線斜率不存在，可以直接將直線方程
（一般方程中帶有字母參數(shù)）代人橢圓方程，得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求相交弦問題.直接求解此類問題的情況較少，一般是在求直線方程的有關(guān)問題中，分類討論此種情況.注意在解答時(shí)不要漏解，同時(shí)注意檢驗(yàn)是否符合題意.
（2）直線斜率存在時(shí)的弦長(zhǎng)公式：若直線斜率存在，直線方程為，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則相交弦長(zhǎng)[其中A為的系數(shù)].
3.解決與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的范圍（或最值）問題時(shí)的注意點(diǎn)
（1）雙曲線上本身就存在最值問題，如異支雙曲線上兩點(diǎn)間的最短距離為2a（實(shí)軸長(zhǎng)）；
（2）由直線和雙曲線的位置關(guān)系，求直線或雙曲線中某個(gè)參數(shù)的范圍，常把所求參數(shù)作為函數(shù)中的因變量來求解；
（3）所構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系式中變量的取值范圍往往受到雙曲線中變量范圍的影響.
4.圓錐曲線中的最值問題的求解方法
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：將常見的幾何圖形所涉及的結(jié)論轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，常見的幾何圖形所涉及的結(jié)論有：①兩圓相切時(shí)半徑的關(guān)系；②三角形三邊的關(guān)系式；③動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成線段的和或差的最小值，經(jīng)常在兩點(diǎn)共線時(shí)取到，注意同側(cè)與異側(cè)；④幾何法轉(zhuǎn)化所求目標(biāo)，常用勾股定理、對(duì)稱、圓錐曲線的定義等.
（2）函數(shù)最值法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則考慮先建立目標(biāo)函數(shù)（通常為二次函數(shù)），再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常見的方法有配方法、基本不等式法、判別式法、單調(diào)性法、三角換元法.
1.直線將圓分成兩段，這兩段圓弧的弧長(zhǎng)之比為( )
A. B. C. D.
2.已知直線和,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
3.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上,滿足,,則( )
A. B. C.2 D.
4.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,以為圓心的圓與x軸交于,B兩點(diǎn),與y軸正半軸交于點(diǎn)A,線段與C交于點(diǎn)M.若與C的焦距的比值為,則C的離心率為( )
A. B. C. D.
5.已知圓，橢圓，過C上任意一點(diǎn)P作圓C的切線l，交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)Q，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為( )
A.16 B.8 C.4 D.2
6.已知過橢圓左焦點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為,過點(diǎn)且斜率為-1的直線與C相交于A,B兩點(diǎn),若P恰好是AB的中點(diǎn),則橢圓C上一點(diǎn)M到F的距離的最大值為( )
A.6 B. C. D.
7.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則雙曲線C的離心率為( )
A.2 B. C. D.
8.設(shè),是橢圓的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)Q,且,若的面積為,則( )
A. B. C. D.
9.青花瓷又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為P，盤子的中心為O，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)A關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為C.給出下列四個(gè)命題：
①兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等；
②兩橢圓的離心率相等；
③；
④與小橢圓相切.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.（多選）若曲線,且a,b分別是1與9的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng),則下列描述正確的是( )
A.曲線C可以表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓
B.曲線C可以表示焦距是的雙曲線
C.曲線C可以表示離心率是的橢圓
D.曲線C可以表示漸近線方程是的雙曲線
11.（多選）上甘嶺戰(zhàn)役是抗美援朝中中國(guó)人民志愿軍進(jìn)行的最著名的山地防御戰(zhàn)役.在這場(chǎng)戰(zhàn)役中,我軍使用了反斜面陣地防御戰(zhàn)術(shù).反斜面是山地攻防戰(zhàn)斗中背向敵方,面向我方的一側(cè)山坡.反斜面陣地的構(gòu)建,是為了規(guī)避敵方重火力輸出.某反斜面陣地如圖所示,山腳A,B兩點(diǎn)和敵方陣地D點(diǎn)在同一條直線上,某炮彈的彈道DCE是拋物線的一部分,其中在直線AB上,拋物線的頂點(diǎn)C到直線AB的距離為100米,DE長(zhǎng)為400米,,,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使得拋物線的方程為,則( )
A.
B.的準(zhǔn)線方程為
C.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
D.彈道CE上的點(diǎn)到直線AC的距離的最大值為
12.（多選）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得,阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠,阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,的距離之比為定值(,且)的點(diǎn)的軌跡是圓,此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,,,點(diǎn)P滿足.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,則下列說法正確的是( )
A.C的方程為
B.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí),則
C.在C上存在點(diǎn)M,使得
D.若,則的最小值為
答案以及解析
1.答案：A
解析：設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，圓心為C，，圓心到直線的距離為，，，，，兩段圓弧的弧長(zhǎng)之比等于兩段弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)之比，等于，故正確選項(xiàng)為A.
2.答案：A
解析：由,則或,
當(dāng),,滿足平行;
當(dāng),,滿足平行;
所以或,
故“”是“”的充分不必要條件.
故選:A
3.答案：C
解析：由題,,拋物線焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線l為,
設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交點(diǎn)為E,如圖所示,
由題知,由定義可知,
因?yàn)?所以是正三角形,
則對(duì),因?yàn)?所以,
所以,
故選:C
4.答案：D
解析：設(shè)雙曲線的半焦距為c,因?yàn)橐詾閳A心的圓過,故該圓的半徑為2c,
故其方程為:,
令,則,結(jié)合A在y軸正半軸上,故,
令,則或,故.
故,故直線.
設(shè),
因?yàn)锳在y軸的正半軸上,在x軸的負(fù)半軸上,故,
而,
故,整理得到:,
故,故,
所以,故,
解得或,又因?yàn)?則,
則,.
故選:D.
5.答案：C
解析：當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，此時(shí)切線l的斜率不存在，
不妨設(shè)，此時(shí)中令得：，
所以不妨令，，
下面證明橢圓在處的切線方程為，
理由如下：
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡(jiǎn)得：
，
所以，
把代入，得：，
于是
則橢圓的切線斜率為，
所以橢圓的切線方程為，整理得：，
方程兩邊同除以，得到，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，即此時(shí)，故切線方程為，
中令，，可得，
故當(dāng)切線斜率不存在，切線也滿足，
綜上：橢圓在處的切線方程為，
故過，的兩切線分別為和，
聯(lián)立可得：，此時(shí)，同理可得時(shí)，，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，
因?yàn)榕c相切，所以，即，
與聯(lián)立得：
，設(shè)，，
則過，的橢圓的切線方程為和，
聯(lián)立得：，
，
則，
綜上：的最大值為4.
故選：C.
6.答案：D
解析：由過橢圓左焦點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為,可得橢圓過點(diǎn),代入方程得.
設(shè),則,
兩式作差得,
即,
因?yàn)镻恰好是AB的中點(diǎn),所以,又因?yàn)橹本€AB斜率為-1,
所以,將它們代入上式得,
則聯(lián)立方程解得.
所以橢圓C上一點(diǎn)M到F的距離的最大值為.
故選：D.
7.答案：A
解析:雙曲線的一條漸近線不妨設(shè)為:,
圓的圓心,半徑為2雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2
可得圓心到直線的距離為:,
解得:,可得,即,故選:A.
8.答案：B
解析：由橢圓的定義,,
由余弦定理有：
,
化簡(jiǎn)整理得：,
又,
由以上兩式可得：
由,得,,
又,所以為等邊三角形,由橢圓對(duì)稱性可知軸,
所以.
故選：B.
9.答案：B
解析：設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，
設(shè)點(diǎn)、、，
以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)小橢圓的方程為，
則大橢圓的方程為，
對(duì)于①，大橢圓的焦距長(zhǎng)為，兩橢圓的焦距不相等，①錯(cuò)；
對(duì)于②，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，②對(duì)；
對(duì)于③，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)A、B關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，合乎題意，
當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，可得，
此時(shí)，，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，即點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，
綜上所述，，③對(duì)；
對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，將代入可得，
不妨取點(diǎn)、，則，
若，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓不相切，④錯(cuò).
故選：B.
10.答案：AB
解析：由題知,
a,b分別是1與9的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng),
,,
解得:,;
當(dāng),時(shí),
此時(shí)曲線C的方程為:,
因此曲線C為橢圓,焦點(diǎn)在x軸上,
離心率,
故選項(xiàng)A正確,C錯(cuò)誤;
當(dāng),時(shí),
此時(shí)曲線C的方程為:,
因此曲線C為雙曲線,
由得,
解得:,焦距為:,
漸近線方程為:即
故選項(xiàng)B正確,D錯(cuò)誤;
故選:AB.
11.答案：ABD
解析：如圖所示,建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸平行于AB,y軸垂直于AB.
此時(shí),,,
拋物線的方程為,即,
解得,故A正確;
拋物線的方程為,準(zhǔn)線方程為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
故B正確,C錯(cuò)誤;
因?yàn)?,故,
所以直線AC的方程為即,
不妨設(shè)CE上一點(diǎn)為,,
當(dāng)Q該點(diǎn)處的切線與直線AC平行時(shí),其到直線AC的距離最大.
由可得,故,
解得,
此時(shí)Q點(diǎn)到直線AC的距離為,故D正確.
故選:ABD.
12.答案：ABD
解析:設(shè),(P不與A,重合)
,,,,
,得,化簡(jiǎn)得,
點(diǎn)P的軌跡曲線是以為圓心,半徑的圓,
對(duì)于A,曲線C的方程為,故選項(xiàng)A正確;
對(duì)于B,由已知,,,,
當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí),由三角形內(nèi)角平分線定理知,PO是內(nèi)角的角平分線,
,故選項(xiàng)B正確;
對(duì)于C,若,則,由題意,M點(diǎn)軌跡是圓,
設(shè),由得,化簡(jiǎn)得點(diǎn)M軌跡方程為,
即點(diǎn)M的軌跡是圓心為,半徑的圓,
圓C與圓的圓心距,
圓C與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含,圓與圓無公共點(diǎn),
C上不存在點(diǎn)M,使得,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,,,
,
當(dāng)且僅當(dāng)P在線段AD上時(shí),等號(hào)成立,故選項(xiàng)D正確.
故選:ABD.

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